Licenciatura en Econom´ıa Macroeconom´ıa II 1 Modelo de RBC

Licenciatura en Econom´ıa Macroeconom´ıa II 1 Modelo de RBC

Licenciatura en Economı́a
Macroeconomı́a II
Danilo Trupkin
Trabajo Práctico 4 - Soluciones
1
Modelo de RBC con Costos de Ajuste sobre la Inversión
Considere una economı́a con población constante de agentes con horizonte infinito, donde
P
t
las familias maximizan la esperanza de ∞
t=0 β u(ct , 1 − lt ), 0 < β < 1. Asuma que las
preferencias son tales que u(ct , 1−lt ) = ln ct +η(1−lt ), donde ct y 1−lt son las asignaciones
de consumo y ocio, respectivamente, y η una constante positiva.
La función de producción es standard, y tiene la forma yt = At ktα lt1−α . Es decir, depende
de las horas de trabajo, lt , de los servicios del capital, kt , y del estado de la tecnologı́a,
At . La ecuación de movimiento del capital se define como kt+1 = it + (1 − δ)kt . El nivel
tecnológico, tal como lo definimos en clase, sigue un proceso dado por ln At = θ ln At−1 + t ,
donde 0 < θ < 1 y t ∼ N (0, σ 2 ).
Para simplificar, asuma que no hay firmas en esta economı́a. Es decir, aquı́ las familias
consumen, invierten, y producen.1 Asimismo, suponga que existen costos de ajuste sobre
la inversión, tal que por cada unidad invertida el agente debe renunciar a 1 + φit unidades
de producto en cada periodo, donde φ es una constante positiva. Es decir, para cada t, el
costo total de inversión equivale a: it (1 + φit ).
Resumiendo, el problema a resolver es el siguiente:
max
{ct ,lt ,kt+1 ,it }∞
t=0
sujeto a
E
∞
X
β t [ln ct + η(1 − lt )]
t=0
ct + it (1 + φit ) = At ktα lt1−α
it = kt+1 − (1 − δ)kt
ln At = θ ln At−1 + t ; t ∼ N (0, σ 2 ); k0 > 0; A0
1. Escriba el lagrangiano del problema, y encuentre las condiciones de primer orden.
El Lagrangiano del problema puede escribirse de la siguiente manera:
L=E
∞
X
β t ln ct + η(1 − lt ) + λ1t [At ktα lt1−α − ct − it (1 + φit )] + λ2t [it + (1 − δ)kt − kt+1 ]
t=0
1
Note que, si las firmas son competitivas, la ausencia de éstas no cambia las asignaciones óptimas. De
hecho, para resolver este problema no necesita hallar el equilibrio competitivo.
1
Luego, las que siguen son las condiciones de primer orden con respecto a: 1) el consumo,
2) el trabajo, 3) la inversión, 4) el stock de capital del periodo siguiente, 5) el multiplicador
de la restricción de recursos, y 6) el multiplicador de la ecuación de movimiento del capital:
Lct
=
1
− λ1t = 0
ct
(1)
Llt
= −η + λ1t (1 − α)
(2)
Lit
Lkt+1
yt
=0
lt
= −λ1t (1 + 2φit ) + λ2t = 0
yt+1
= −λ2t + Eβ λ1t+1 α
+ λ2t+1 (1 − δ) = 0
kt+1
(3)
(4)
Lλ1t
= At ktα lt1−α − ct − it (1 + φit ) = 0
(5)
Lλ2t
= it + (1 − δ)kt − kt+1 = 0
(6)
2. Halle e interprete la ecuación que describe la sustitución intratemporal entre ocio y
consumo, ası́ como también la ecuación de Euler.
De la condición (1), tenemos que
λ1t =
1
.
ct
(7)
Combinando este resultado con la condición (2), hallamos la ecuación que describe el
comportamiento de las familias relativo a la elección entre ocio y consumo:
(1 − α)
yt
= ηct .
lt
Dicha expresión iguala el producto marginal del trabajo a la tasa marginal de sustitución
entre ocio y consumo. Noten que, en este ejemplo, la variable trabajo no aparece en la tasa
marginal de sustitución, debido a la forma particular de las preferencias. Esta ecuación
muestra que la asignación óptima de trabajo/ocio será aquella que permita compensar al
agente su pérdida marginal de utilidad debido a la reducción del ocio, a través del ingreso
adicional que recibirı́a por una unidad más de trabajo.
La ecuación de Euler, a su vez, puede construirse de la siguiente manera. De la condición
(3) tenemos que
λ2t = λ1t (1 + 2φit ).
(8)
Por otro lado, de la condición (4) encontramos que
yt+1
λ2t = Eβ λ1t+1 α
+ λ2t+1 (1 − δ) .
kt+1
(9)
Sustituyendo λ2 en (9) por su expresión hallada en (8), y teniendo en cuenta además que
2
λ1 = 1/c (ver ecuación 7), obtenemos finalmente la ecuación de Euler para una economı́a
con costos de ajuste sobre la inversión, tal como la del presente ejemplo:
1
yt+1
1
(1 + 2φit ) = Eβ
α
+ (1 − δ)(1 + 2φit+1 ) .
ct
ct+1
kt+1
(10)
Recuerden que la ecuación de Euler del modelo standard visto en clase (sin costos de
ajuste) tenı́a la siguiente forma:
1
1
yt+1
= Eβ
α
+ (1 − δ) .
ct
ct+1
kt+1
(11)
En particular, noten que si φ → 0, es decir que los costos de ajuste a la inverión se vuelven
despreciables, la ecuación (10) se reduce a (11). Asimismo, uno podrı́a interpretar la nueva
ecuación de Euler, con costos de ajuste, del siguiente modo. Reescribamos la ecuación (8),
alternativamente, como
λ2t
= 1 + 2φit ,
λ1t
(12)
Qué significa esta ecuación? Del lado izquierdo tenemos el cociente entre el multiplicador
de la ecuación de movimiento del capital y el multiplicador de la restricción de recursos.
Dicho cociente puede interpretarse como la razón entre: 1) el precio sombra de una unidad
de bien de capital y 2) el precio sombra de una unidad de bien de consumo (recuerden que,
después de todo, λ1 es igual a la utilidad marginal del consumo en el óptimo). Este cociente
puede ser interpretado, precisamente, como el precio relativo de una unidad de capital en
términos de consumo, o simplemente como el precio relativo del capital, al cual podemos
definir como pkt ≡ λ2t /λ1t .
En resumen, podemos reescribir la ecuación (12) como
pkt = 1 + 2φit .
(13)
Finalmente, podemos aplicar esta definición del precio del capital para reescribir la ecuación
de Euler en (10), la cual queda expresada de la siguiente manera:
1
yt+1
1
pkt = Eβ
α
+ (1 − δ)pkt+1 .
ct
ct+1
kt+1
(14)
En otras palabaras, la familia estará indiferente entre consumir e invertir cuando el
beneficio marginal de una unidad consumida en el presente (lado izquierdo de la ecuación)
sea igual al retorno esperado y descontado de una unidad invertida. Este último término
estará compuesto por: 1) el retorno futuro en términos de alquiler de dicha unidad de bien
de capital, más 2) su valor de venta (luego de restarse la parte depreciada). Noten que,
3
en (14), aparecen los precios relativos del capital tanto en el periodo t (del lado izquierdo)
como en t + 1 (del lado derecho). Ello muestra que, en realidad, el bien de capital puede
sufrir variaciones de su precio relativo. Como ejemplo, si aumenta el precio del capital en
el periodo siguiente, i.e., sube pkt+1 , ceteris paribus esto incrementa los incentivos relativos
a ahorrar en lugar de consumir. Luego, uno esperarı́a que, además de los ajustes de las
otras variables endógenas del modelo, el consumo presente caiga con relación al consumo
futuro, de modo que se cumpla la ecuación (14).
3. Asuma que los parámetros del modelo toman los valores siguientes:
β
δ
α
η
φ
θ
σ
0.99
0.02
0.36
2.5
1
0.95
0.008
Luego, escriba el sistema que describe el comportamiento de esta economı́a en Matlab
(aquı́ puede utilizar Dynare, y en particular adaptar el archivo “.mod” que vimos en
clase).
El sistema que describe (completamente) el comportamiento en el tiempo de esta
economı́a, es el siguiente:
(1 − α)
yt
= ηct
lt
(regla de sustitución intratemporal ocio/consumo)
1
yt+1
1
pkt = Eβ
α
+ (1 − δ)pkt+1
ct
ct+1
kt+1
pkt = 1 + 2φit
(precio relativo del capital)
ct + it (1 + φit ) = yt
(restricción de recursos)
yt = At ktα lt1−α
kt+1 = it + (1 − δ)kt
ln(At ) = ρ ln(At−1 ) + t
(ecuación de Euler)
(tecnologı́a)
(ecuación de movimiento del capital)
(comportamiento aleatorio de la tecnologı́a)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Luego, se introducen estas ecuaciones en Matlab, junto con los valores de los parámetros
mencionados en la tabla del enunciado, de modo de hallar la solución al problema de esta
economı́a (ver, en la web del curso, el archivo anexo donde se escribe el modelo en Matlab,
en particular usando Dynare, tal como vimos en clase).
4. Halle, como resultado, las funciones de impulso-respuesta y las volatilidades de las
variables. Finalmente, compare estos resultados con aquellos vistos en clase para el
modelo standard RBC. Que diferencias encuentra?
4
Las funciones de impulso-respuesta se muestran en las Figuras 1 y 2 (página siguiente),
mientras que las volatilidades se detallan en la tabla que sigue:
Variable
Desviación Standard %
D.S. % Relativa al Output
Modelo Alternativo
Modelo Std.
Modelo Alternativo
Modelo Std.
c
0.90
0.43
0.70
0.28
i
2.43
5.24
1.88
3.40
k
0.17
0.37
0.13
0.24
l
0.40
0.78
0.31
0.51
y
1.29
1.54
1.00
1.00
y/l
0.90
0.78
0.70
0.51
La principal consecuencia de introducir costos de ajuste sobre la inversión es que, tal como
uno esperarı́a, la volatilidad de la inversión (ası́ como la del capital) es ahora sumamente
inferior comparada con aquella observada para el modelo RBC standard visto en clase.
Notemos además que las preferencias en este ejemplo son diferentes a aquellas vistas con el
modelo RBC standard, con lo cual hay que ser cuidadosos al momento de las comparaciones.
De todas maneras, sı́ es seguro que la existencia de los costos al ajuste de la inversión
conduce a cambios menores y más graduales en aquella, lo que genera, en última instancia,
una volatilidad inferior tanto en la inversión como en el stock de capital durante los ciclos
económicos.
5
A
-3
c
0.01
0.01
4
0.005
0.005
2
0
10
20
30
40
0
k
1
0.02
0
10
20
30
40
-1
0.04
0.01
0.02
20
40
0
10
i
20
30
40
30
40
30
40
30
40
pk
0.01
0.005
10
20
30
40
30
40
0
10
20
y_l
0.02
10
30
l
x 10
y
0
20
-3
0.04
0
10
x 10
30
40
0
10
20
Figure 1: Impulso-Respuesta Modelo Alternativo
A
c
i
0.01
0.01
0.02
0.005
0.005
0
0
10
20
30
40
0
0.2
2
0.1
0
10
20
20
-3
k
0
10
30
40
30
40
-2
30
40
-0.02
10
l
x 10
20
y
0.02
0.01
10
20
30
40
0
10
20
y_l
0.04
0.02
0
10
20
Figure 2: Impulso-Respuesta Modelo Standard
6