2010 – I SOLUCIONARIO DEL EXAMEN FINAL
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2010 – I SOLUCIONARIO DEL EXAMEN FINAL
2010 – I Facultad de Contabilidad y Finanzas SOLUCIONARIO DEL EXAMEN FINAL - A Curso Docente Ciclo : : : ANÁLISIS MATEMÁTICO I Ing. Oscar Reyes Almora III Turno Sección : : Noche Extraordinario 1. Calcule los siguientes límites: a) lím 3x2 – 1.= ∞ (pues el grado del polinomio del numerador es mayor) x → ∞ 5x + 2 b) lím x→∞ lím x→∞ c) lím x→ x + 3 3x → lím x + 3 – 1 (3x) = lím x + 3 – x + 3 (3x) = x–3 x→∞ x – 3 x→∞ x–3 18x = 18 → Rpta. e18 x–3 x3 – 3x + 2 .= lím (x – 1)(x – 1)(x + 2) = lím (x + 2) = 3/8 2 1 2x + 2x – 10x + 6 x → 1 (x – 1)(x – 1)(2x + 6) x → 1 (2x + 6) (1,5 puntos) (1,5 puntos) 3 2. Halle las asíntotas y represente gráficamente la función: Asíntota vertical: x = -2 Asíntota oblicua: m = lím x→∞ n = lím x→∞ f(x) = 2x2 – 1 x+2 (4 puntos) 2x2 – 1 = lím 2x2 – 1 = 2 x(x + 2) x → ∞ x2 + 2x 2x2 – 1 – 2x = lím 2x2 – 1 – 2x(x + 2) = lím 2x2 – 1 – 2x2 – 4x = x+2 x→∞ x+2 x→∞ x+2 = lím -4x – 1 = -4 x→∞ x + 2 x -4 -3 -1 0 (1 punto) ∴ y = 2x – 4 y -31/2 -17 1 -½ 3. Dada la función: f(x) = 2x2 + x – 1 a. Halle la TVM en el intervalo [-3, -1] e indique si existe un crecimiento o decrecimiento (2 puntos) de la función. 2 2 TVM [-3, -1] = [f(-1) – f(-3)]/[-1 – (-3)] = [2(-1) + (-1) – 1 – (2(-3) + (-3) – 1)]/(-1 + 3) TVM [-3, -1] = [2 – 2 – (2(9) – 4)]/2 = (0 – 18 + 4)/2 = -14/2 = -7 ∴ Existe decrecimiento b. Halle la TVI en el punto 0. (2 puntos) 2 TVI (0) = lím [f(0+h) – f(0)]/h = lím [f(h) – f(0)]/h = lím [2h + h – 1 – (-1)]/h = h→0 h→0 lím h(2h + 1)/h = lím (2h + 1) = 2(0) + 1 = 1 h→0 h→0 h→0 4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto de abscisa (4 puntos) indicado: y = 3x – x2 ; x=1 Hallamos la pendiente de la recta tangente por x = 1: f´(x) = 3 – 2x → f´(1) = 3 – 2(1) = 1 Hallamos la ordenada correspondiente a x = 1: f(1) = 3(1) – (1)2 = 3 – 1 = 2 Sustituyendo en la forma punto-pendiente: y – 2 = 1(x – 1) → y = 2 + x – 1 → ∴ y = x + 1 5. Usando las reglas de derivación, calcule la derivada de las siguientes funciones: → a. f(x) = x3 + 4x2 + 5 f ´(x) = 3x2 + 8x (1 punto) b. g(x) = (2x + x) (x – x) → g(x) = 2x – 2x + x – x → g(x) = 2x – x – x 2 2 4 3 3 2 4 3 2 (1 punto) → g´(x) = 8x – 3x – 2x 3 2 c. h(x) = (2x4 – x2)3 → h´(x) = 3(2x4 – x2)2(8x3 – 2x) .→ 3x d. t(x) = 2 (1 punto) 2 2 t´(x) = [3(3x – 2x + 1) – 3x(6x – 2)]/(3x – 2x + 1) (1 punto) 2 3x – 2x + 1 → t´(x) = (9x2 – 6x + 3 – 18x2 + 6x)/(3x2 – 2x + 1)2 → t´(x) = (-9x2 + 3)/(3x2 – 2x + 1)2 6. Determine el punto de inflexión (si existe) y determine los intervalos de concavidad y (4 puntos) convexidad de la siguiente función: h(x) = x3 + 3x2 – 2. h´(x) = 3x2 + 6x → h´´(x) = 6x + 6 → 6x + 6 = 0 → x = -1 Intervalo ]-∞, -1[ ]-1, ∞ [ x -2 0 h´´(x) -6 < 0 6>0 (punto de inflexión) h(x) convexa cóncava 7. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y halle los extremos relativos (4 puntos) (mínimos y máximos) de la función: f(x) = x4 – 10x2 + 9. f ´(x) = 4x3 – 20x → 4x(x2 – 5) = 0 → x = 0, x = √ 5 y x = -√ 5 Intervalo ]-∞, -√ 5 [ ]-√ 5, 0 [ ]0, √ 5 [ ] √ 5, ∞[ x -2,5 -1 1 3 f ´(x) -12,5 < 0 16 > 0 -16 < 0 48 > 0 f(x) Decreciente Creciente Decreciente Creciente En x = -√ 5 y x =√ 5 se producen mínimos relativos, mientras que en x = 0 se produce un máximo relativo. EL PROFESOR