2010 – I SOLUCIONARIO DEL EXAMEN FINAL

Transcripción

2010 – I SOLUCIONARIO DEL EXAMEN FINAL
2010 – I
Facultad de Contabilidad y Finanzas
SOLUCIONARIO DEL EXAMEN FINAL - A
Curso
Docente
Ciclo
:
:
:
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Ing. Oscar Reyes Almora
III
Turno
Sección
:
:
Noche
Extraordinario
1. Calcule los siguientes límites:
a) lím 3x2 – 1.= ∞ (pues el grado del polinomio del numerador es mayor)
x → ∞ 5x + 2
b) lím
x→∞
lím
x→∞
c) lím
x→
x + 3 3x → lím x + 3 – 1 (3x) = lím x + 3 – x + 3 (3x) =
x–3
x→∞ x – 3
x→∞
x–3
18x = 18 → Rpta. e18
x–3
x3 – 3x + 2
.= lím (x – 1)(x – 1)(x + 2) = lím (x + 2) = 3/8
2
1 2x + 2x – 10x + 6
x → 1 (x – 1)(x – 1)(2x + 6) x → 1 (2x + 6)
(1,5 puntos)
(1,5 puntos)
3
2. Halle las asíntotas y represente gráficamente la función:
Asíntota vertical:
x = -2
Asíntota oblicua:
m = lím
x→∞
n = lím
x→∞
f(x) = 2x2 – 1
x+2
(4 puntos)
2x2 – 1 = lím 2x2 – 1 = 2
x(x + 2) x → ∞ x2 + 2x
2x2 – 1 – 2x = lím 2x2 – 1 – 2x(x + 2) = lím 2x2 – 1 – 2x2 – 4x =
x+2
x→∞
x+2
x→∞
x+2
= lím -4x – 1 = -4
x→∞ x + 2
x
-4
-3
-1
0
(1 punto)
∴ y = 2x – 4
y
-31/2
-17
1
-½
3. Dada la función: f(x) = 2x2 + x – 1
a. Halle la TVM en el intervalo [-3, -1] e indique si existe un crecimiento o decrecimiento
(2 puntos)
de la función.
2
2
TVM [-3, -1] = [f(-1) – f(-3)]/[-1 – (-3)] = [2(-1) + (-1) – 1 – (2(-3) + (-3) – 1)]/(-1 + 3)
TVM [-3, -1] = [2 – 2 – (2(9) – 4)]/2 = (0 – 18 + 4)/2 = -14/2 = -7 ∴ Existe decrecimiento
b. Halle la TVI en el punto 0.
(2 puntos)
2
TVI (0) = lím [f(0+h) – f(0)]/h = lím [f(h) – f(0)]/h = lím [2h + h – 1 – (-1)]/h =
h→0
h→0
lím h(2h + 1)/h = lím (2h + 1) = 2(0) + 1 = 1
h→0
h→0
h→0
4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto de abscisa
(4 puntos)
indicado:
y = 3x – x2
;
x=1
Hallamos la pendiente de la recta tangente por x = 1:
f´(x) = 3 – 2x → f´(1) = 3 – 2(1) = 1
Hallamos la ordenada correspondiente a x = 1:
f(1) = 3(1) – (1)2 = 3 – 1 = 2
Sustituyendo en la forma punto-pendiente:
y – 2 = 1(x – 1) → y = 2 + x – 1 → ∴ y = x + 1
5. Usando las reglas de derivación, calcule la derivada de las siguientes funciones:
→
a. f(x) = x3 + 4x2 + 5
f ´(x) = 3x2 + 8x
(1 punto)
b. g(x) = (2x + x) (x – x) → g(x) = 2x – 2x + x – x → g(x) = 2x – x – x
2
2
4
3
3
2
4
3
2
(1 punto)
→ g´(x) = 8x – 3x – 2x
3
2
c. h(x) = (2x4 – x2)3 → h´(x) = 3(2x4 – x2)2(8x3 – 2x)
.→
3x
d. t(x) =
2
(1 punto)
2
2
t´(x) = [3(3x – 2x + 1) – 3x(6x – 2)]/(3x – 2x + 1)
(1 punto)
2
3x – 2x + 1
→ t´(x) = (9x2 – 6x + 3 – 18x2 + 6x)/(3x2 – 2x + 1)2 → t´(x) = (-9x2 + 3)/(3x2 – 2x + 1)2
6. Determine el punto de inflexión (si existe) y determine los intervalos de concavidad y
(4 puntos)
convexidad de la siguiente función: h(x) = x3 + 3x2 – 2.
h´(x) = 3x2 + 6x → h´´(x) = 6x + 6 → 6x + 6 = 0 → x = -1
Intervalo
]-∞, -1[
]-1, ∞ [
x
-2
0
h´´(x)
-6 < 0
6>0
(punto de inflexión)
h(x)
convexa
cóncava
7. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y halle los extremos relativos
(4 puntos)
(mínimos y máximos) de la función: f(x) = x4 – 10x2 + 9.
f ´(x) = 4x3 – 20x → 4x(x2 – 5) = 0 → x = 0, x = √ 5 y x = -√ 5
Intervalo
]-∞, -√ 5 [
]-√ 5, 0 [
]0, √ 5 [
] √ 5, ∞[
x
-2,5
-1
1
3
f ´(x)
-12,5 < 0
16 > 0
-16 < 0
48 > 0
f(x)
Decreciente
Creciente
Decreciente
Creciente
En x = -√ 5 y x =√ 5 se producen mínimos relativos, mientras que en x = 0 se produce un máximo
relativo.
EL PROFESOR

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