De las Álgebras de Sucesos a los Espacios Probabilísticos

Transcripción

DE LAS ÁLGEBRAS DE SUCESOS A LOS ESPACIOS PROBABILÍSTICOS
CARLOS S. CHINEA
De las Álgebras de Sucesos a los
Espacios Probabilísticos
Introducción: las álgebras de sucesos
Este trabajo podemos considerarlo continuación del titulado “Aleatoriedad y
álgebras de sucesos”, que figura en esta misma web, y en donde vemos, en
definitiva, que todo álgebra de sucesos Σ es isomorfa a un subálgebra Ω del
álgebra booleana p(Γ), conjunto de las partes de los haces de sucesos de Σ . Si
Ω no fuera un σ−álgebra, existe entonces una σ−álgebra mínima Φm(Ω) que la
contiene, que es la σ−álgebra engendrada por Ω .
Vamos a estudiar aquí la posibilidad de establecer una medida sobre una sigmaálgebra de modo que podamos hacer corresponder un número real no negativo a
cada suceso de la misma, e introducir, de este modo, la idea de probabilidad.
MEDIDAS SOBRE UNA SIGMA-ÁLGEBRA
- Límites de sucesiones en una σ−álgebra:
Definición 1
Sea {Ak }k ≥1 una sucesión de partes de un conjunto U. Definimos el límite superior e
inferior del modo siguiente:
lim sup Ak = {x ∈ U / ∀n ∈ N , ∃m ≥ n, x ∈ Am }
k →∞
lim inf Ak = {x ∈ U / ∃n ∈ N , ∀m ≥ n, x ∈ Am }
k →∞
La sucesión dada, {Ak }k ≥1 , tendrá límite si ambos, superior e inferior, coinciden:
lim Ak = lim sup Ak = lim inf Ak
k →∞
k →∞
k →∞
Es inmediato, de esta definición que:
- Si la sucesión es creciente:
∞
A1 ⊆ A2 ⊆ ... ⊆ Ak ⊆ ... → lim Ak = U Ak
k →∞
k =1
- Si la sucesión es decreciente:
MATEMÁTICA, FÍSICA, ASTRONOMÍA, CASANCHI.COM
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CARLOS S. CHINEA
∞
A1 ⊇ A2 ⊇ ... ⊇ Ak ⊇ ... → lim Ak = I Ak
k =1
k →∞
- Funciones en la σ−álgebra:
Definición 2
Sea Φ un álgebra de sucesos y R el cuerpo infinito de los números reales. Una
aplicación f : Φ → R se dice que es una función de conjuntos no negativa de
aditividad finita sii se verifican las dos condiciones:
∀A ∈ Φ, f ( A) ≥ 0
b) ∀A, B ∈ Φ / A ∩ B = φ → f ( A ∪ B ) = f ( A) + f ( B )
a)
Definición 3
Sea Φ una sigma-álgebra y R el cuerpo infinito de los números reales. Una
aplicación f : Φ → R se dice que es una función de conjuntos no negativa con
aditividad infinita, o bien, función de conjuntos no negativa completamente aditiva,
sii se verifican las dos condiciones
a) ∀A ∈ Φ, f ( A) ≥ 0

 ∞
A
U k  = ∑ f ( Ak )
 k =1  k =1
b) ∀Ak ∈ Φ, k = 1,2,... / Ai ∩ A j = φ , i ≠ j → f 
∞
Una función completamente aditiva se dice que es una medida sobre el σ-álgebra.
Teorema 1
Sea Φ un álgebra de booleana de partes de un conjunto U, y sea f : Φ → R una
función de conjuntos no negativa con aditividad finita. Se verifica las propiedades
siguientes:
a) Si es {A1 , A2 ,..., An } una familia de elementos de Φ disjuntos dos a dos, es decir,
tales que
Ai ∩ A j = φ , si i ≠ j :
 n
 n
f  U Ak  = ∑ f ( Ak )
 k =1  k =1
b)
c)
d)
e)
f)
g)
∀A, B ∈ Φ, f ( B − A) = f ( B) − f ( A ∩ B)
∀A, B ∈ Φ, f ( A ∪ B) = f ( A) + f ( B) − f ( A ∩ B)
∀A, B ∈ Φ, f ( A ∪ B) ≤ f ( A) + f ( B )
∀A, B ∈ Φ / A ⊆ B → f ( B − A) = f ( B) − f ( A) ∧ f ( A) ≤ f ( B)
f (φ ) = 0
f ( A∆B ) = f ( A) + f ( B ) − 2 f ( A ∩ B )
Demostración:
a) Probemos la fórmula por inducción:
Para n=1 → f ( A1 ) = f ( A1 )
Para n=2 → f ( A1 ∪ A2 ) = f ( A1 ) + f ( A2 ), cierta por definición de función no
negativa con aditividad finita.
Supongámosla cierta para n=h y veamos que, entonces, habrá de ser cierta
también para n=h+1:
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 h
 h
f  U Ak  = ∑ f ( Ak ) , si son Ai ∩ A j = φ , si i ≠ j
 k =1  k =1
h +1
 h
 h
 h +1 

f  U Ak  = f   U Ak  U Ah +1  = ∑ f ( Ak ) + f ( Ah +1 ) = ∑ f ( Ak )
k =1
 k =1 
  k =1 
 k =1
puesto que son
 h

 U Ak  I Ah +1 = φ
 k =1 
con lo cual, vemos que para todo n se verifica la fórmula propuesta.
b) Se tiene que:
∀A, B ∈ Φ, B = ( A ∩ B) ∪ ( B ∩ A) . Puesto que ( A ∩ B ) ∩ ( B ∩ A) = φ , se
tiene, por definición que f ( B ) = f ( A ∩ B ) + f ( B ∩ A) = f ( B ) = f ( A ∩ B ) +
c)
d)
e)
f)
g)
+ f ( B − A) , de donde f ( B − A) = f ( B) − f ( A ∩ B)
Se tiene que ∀A, B ∈ Φ, f ( A ∪ B ) = f ( A ∪ ( B − A)) = f ( A) + f ( B − A) , puesto
que se cumple que A ∩ ( B − A) = φ .
Si sustituimos f ( B − A) por la expresión obtenida en b), queda:
f ( A ∪ B) = f ( A) + f ( B − A) = f ( A) + f ( B) − f ( A ∩ B)
Veamos que siempre es ∀A, B ∈ Φ, f ( A ∪ B ) ≤ f ( A) + f ( B )
Si A ∩ B = φ → f ( A ∪ B ) = f ( A) + f ( B ) , por definición.
Si A ∩ B ≠ φ → f ( A ∪ B ) = f ( A) + f ( B ) − f ( A ∩ B ) → f ( A) + f ( B ) −
− f ( A ∪ B) = f ( A ∩ B) > 0 → f ( A) + f ( B) > f ( A ∪ B)
Por tanto, en todos los casos es ∀A, B ∈ Φ, f ( A ∪ B ) ≤ f ( A) + f ( B )
Si A ⊆ B es A ∩ B = A , y por b), es f ( B − A) = f ( B ) − f ( A ∩ B) =
= f ( B) − f ( A) → f ( B − A) = f ( B) − f ( A)
Como por la definición ha de ser f ( B − A) ≥ 0 → f ( B ) − f ( A) ≥ 0 →
→ f ( B) ≥ f ( A)
Se tiene, puesto que A ∩ φ = φ : f ( A − φ ) = f ( A) − f (φ ) → f ( A) = f ( A) −
− f (φ ) → f (φ ) = 0
Sabemos que A∆B = ( A − B ) ∪ ( B − A) , y como ( A − B) ∩ ( B − A) = φ , se
tiene: f ( A∆B ) = f ( A − B ) + f ( B − A) , y sustituyendo las expresiones
obtenidas en b):
f ( A − B) = f ( A) − f ( A ∩ B)
 → f ( A∆B) = f ( A) + f ( B) − 2. f ( A ∩ B)
f ( B − A) = f ( B) − f ( B ∩ A)
- Una caracterización de la medida:
Teorema 2
Sea Φ un σ−álgebra de partes de un conjunto U, y sea
f : Φ → R una función de
conjuntos no negativa con aditividad finita. Se verifica que f es una medida en Φ
sii para toda sucesión decreciente {An }n ≥1 de elementos de Φ tales que
f ( An ) < +∞ , para n = 1,2,... se cumple que lim f ( An ) = 0, para n → ∞ .
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


f medida sobre Φ ⇔ ∀{An }n≥1 decrec / f ( An ) < +∞, n = 1,2,... → lim f ( A) = 0


n→∞
Demostración:
Para probar la equivalencia, hemos de hacer la demostración en los dos sentidos.
- Veamos que si f es una medida, entonces lim f ( An ) = 0, para n → ∞ :
pues se tiene obviamente que A1 = ( A1 − A2 ) + ( A2 − A3 ) + ... + ( Ak − Ak +1 ) + ... =
∞
= ∑ ( Ak − Ak +1 ) , con ( Ak − Ak +1 ) ∩ ( Ah − Ah +1 ) = φ , si k ≠ h
k =1
por ser f una medida se cumple que
 ∞
 ∞
f ( A1 ) = f  ∑ ( Ak − Ak +1 )  = ∑ f ( Ak − Ak +1 )
 k =1
 k =1
y por ser, por hipótesis, f ( A1 ) < +∞ la serie
∞
∑ f (A
k =1
k
− Ak +1 ) converge. Como es
∞
∀n ∈ N , f ( An ) = ∑ f ( Ak − Ak +1 ) se tendrá, al ser la sucesión {An }n≥1 decreciente:
k =n
∞
lim ∑ f ( Ak − Ak +1 ) = 0 para n → ∞ , luego, efectivamente lim f ( An ) = 0, para n → ∞
k =n
f ( An ) = 0, para n → ∞ , entonces f es una medida:
Sea {An }n ≥1 decrec / f ( An ) < +∞, n = 1,2,... ∧ lim f ( An ) = 0, n → ∞ . Llamando
- Veamos ahora que si lim
∞ 
An = Uϕ k se tiene que f ( An ) = f  Uϕ k  < +∞, n = 1,2,...
k =1
 k =1 
n −1
∞

  ∞   n −1 
Sea la unión infinita Uϕ k =  Uϕ k U  Uϕ k  =  Uϕ k U An , el valor de la función
k =1
 k =1   k = n   k =1 
∞
n −1
n −1




será: f  U ϕ k  = f  U ϕ k  + f ( An ) = ∑ f (ϕ k ) + f ( An ) . Pasando al límite, para
k =1
 k =1 
 k =1 
∞
n −1


∞  ∞
n → ∞ : lim f  Uϕ k  = lim ∑ f (ϕ k ) + lim f ( An ) → f  Uϕ k  = ∑ f (ϕ k ) + lim f ( An )
k =1
 k =1 
 k =1  k =1
Si, por hipótesis, se verifica la condición lim f ( An ) = 0 , queda, finalmente:
∞
∞
∞  ∞
f  Uϕ k  = ∑ f (ϕ k ) + 0 = ∑ f (ϕ k ) → f es una medida
k =1
 k =1  k =1
- La propiedad de paso al límite en una medida:
Teorema 3
Sea Φ un σ−álgebra de partes de un conjunto U, y sea f : Φ → R una medida
sobre Φ .
a) Si {ϕ n }n ≥1 es una sucesión creciente de conjuntos de Φ tal que verifica que
lim ϕ n = ϕ , para n → ∞ , entonces:
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lim f (ϕ n ) = f (ϕ )
n→∞
b) Si
{ψ n }n≥1
es una sucesión decreciente de conjuntos de
que limψ n
Φ tal que verifica
= ψ , para n → ∞ , entonces:
lim f (ψ n ) = f (ψ )
n→∞
Demostración:
a) Sea An = ϕ − ϕ n . Como
{ϕ n }n≥1 es creciente, {An }n≥1 es decreciente y se
= lim(ϕ − ϕ n ) = ϕ − lim ϕ n = 0, para n → ∞ , por lo que,
aplicando el teorema 2, será lim f ( An ) = 0 para n → ∞ . Por tanto, se tiene
que lim f (ϕ − ϕ n ) = lim f (ϕ ) − lim f (ϕ n ) = f (ϕ ) − lim f (ϕ n ) = 0 para n → ∞
En definitiva, lim f (ϕ n ) = f (ϕ ) para n → ∞
b) Sea An = ψ n −ψ . Como {ψ n }n≥1 es decreciente, {An }n ≥1 es también decreciente
y se cumple que lim An = lim(ψ n −ψ ) = limψ n −ψ = 0, para n → ∞ , por lo
que, aplicando el teorema 2, será lim f ( An ) = 0 para n → ∞ . Por tanto, se
cumple que lim An
tiene que
lim f (ψ n −ψ ) = lim f (ψ n ) − lim f (ψ ) = lim f (ψ n ) − f (ψ ) = 0 para n → ∞
En definitiva, lim f (ψ n ) = f (ψ ) para n → ∞
- ESPACIOS PROBABILISTICOS DE KOLMOGOROFF:
Definición 4
Un espacio probabilizable es el par constituido por un conjunto
Φ de partes de U:
Espacio probabilizable: (U , Φ )
( Φ es σ−álgebra de partes de
U y una σ−álgebra
U)
Se define espacio probabilístico, o espacio probabilístico de Kolmogoroff, como una
terna constituida por un conjunto U, una σ−álgebra Φ de partes de U y una medida
p : Φ → R que verifica p (U ) = 1 .
Espacio probabilístico: (U , Φ, p )
( Φ σ−álgebra de partes de
U, p medida sobre Φ tal que p (U ) = 1 )
Es obvio que un espacio probabilístico es un espacio probabilizable (U , Φ ) dotado
de una medida
p que cumple la condición indicada p (U ) = 1 .
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Definición 5
Se llama probabilidad a la medida p sobre la sigma-álgebra de un espacio
probabilístico. Llamaremos probabilidad de un suceso M a la imagen p(M) por la
medida de probabilidad.
El conjunto U base del espacio probabilístico se denomina conjunto de los sucesos
elementales del espacio.
Teorema 4
Se verifican las siguientes propiedades para la medida de probabilidad:
n
n
k =1
j =1
U Ak ) = ∑ p( Ak ), ∀Ak ∈ Φ, k = 1,2,... / Ai ∩ Aj = φ , i ≠ j
1) p (
2)
3)
4)
5)
6)
p ( B − A) = p( B) − p ( A ∩ B), ∀A, B ∈ Φ
p( A ∪ B) = p( A) + p( B ) − p( A ∩ B), ∀A, B ∈ Φ
p( A ∪ B ) ≤ p( A) + p( B), ∀A, B ∈ Φ
A ⊆ B → p ( B − A) = p( B ) − p ( A)
p(φ ) = 0
p( A∆B) = p( A) + p ( B) − 2. p( A ∩ B)
7)
Demostración:
Trivialmente, por el teorema 1 se cumplen para cualquier medida.
Teorema 5
∀{An }n≥1 decrec / p ( An ) < +∞, n = 1,2,... → lim p ( A) = 0
n→∞
Demostración:
Trivialmente, por el teorema 2.
Teorema 6
a) Si {ϕ n }n ≥1 es una sucesión creciente de conjuntos de
Φ tal que verifica que
lim ϕ n = ϕ , para n → ∞ , entonces:
lim p (ϕ n ) = f (ϕ )
b) Si
{ψ n }n≥1
n→∞
es una sucesión decreciente de conjuntos de
que limψ n
Φ tal que verifica
= ψ , para n → ∞ , entonces:
lim p (ψ n ) = f (ψ )
n→∞
Demostración:
Trivial, por el teorema 3.
Teorema 7
La probabilidad de un suceso cualquiera está comprendida entre 0 y 1:
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0 ≤ p ( A) ≤ 1, ∀A ∈ Φ
Demostración:
∀A ∈ Φ, A ⊆ U → p(U − A) = p(U ) − p( A) = 1 − p ( A) ≥ 0 → p( A) ≤ 1 , y como p es
una medida y por tanto definida positiva, se tiene, que 0 ≤ p ( A) ≤ 1, ∀A ∈ Φ .
Teorema 8
La probabilidad del suceso complementario de un suceso dado es igual a la unidad
menos la probabilidad del suceso dado.
Demostración:
De ser
U = A ∪ A ∧ A ∩ A = φ → p(U ) = p( A) + p( A) → 1 = p( A) + p( A) , por tanto:
p( A) = 1 − p ( A)
Teorema 9
La probabilidad de un suceso cualquiera, A, es la suma de las probabilidades de los
sucesos elementales cuya unión es A.
Demostración:
Sea U = {u1 , u2 ,..., un }, donde los ui , i = 1,2,..., n son elementales.
Si A =
Uu
ui ⊆ A
i
→
Uu
ui ⊆ A
i
∧
Iu
i
= φ → p ( A) =
∑ p(u )
1
ui ⊆ A
ui ⊆ A
Teorema 10 (Regla de Laplace)
Si los sucesos elementales de un fenómeno aleatorio son equiprobables, entonces,
la probabilidad de un suceso cualquiera A resulta de dividir el número de sucesos
elementales cuya unión es A por el número total de sucesos elementales del
fenómeno aleatorio.
Demostración:
Sea U = {u1 , u2 ,..., un }, donde los
ui , i = 1,2,..., n son elementales.
Como p (u1 ) = p (u2 ) = ... = p (un ) , siendo U = u1 ∪ u2 ∪ ... ∪ un se tiene que
p(U ) = p (u1 ) + p(u2 ) + ... + p(un ) = n. p(u1 ) → 1 = n. p (u1 ) → p(u1 ) = 1 / n
Si son m los sucesos elementales cuya unión es A, se tiene, por el teorema
anterior:
p ( A) =
1
m
∑ p(u ) = m. p(u ) = m. n = n
ui ⊆ A
1
1
ESPACIO DE PROBABILIDAD CONDICIONAL O DE RENYI
Definición 6
Se define como espacio de probabilidad condicional o espacio de probabilidad
condicional de Renyi a una cuaterna (U ,Φ, H , p ) donde:
-
U es el conjunto de sucesos elementales.
Φ es una σ−álgebra de partes de U.
H es una parte de Φ .
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-
-
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p es una medida sobre Φ que verifica las condiciones:
a) Para B ∈ H fijo, ∀A ∈ Φ, p ( A, B) ≡ p ( A / B ) ≥ 0
b) Si A=B, p ( A, A) = p ( A / A) = 1
c)
∀A ∈ Φ, ∀B, C ∈ H / C ⊆ B ∧ p( B / C ) > 0 → p( A / B) =
Si
p( A / B ) =
p( A ∩ B / C )
p( B / C )
p( A ∩ B)
se dice entonces que el espacio de probabilidad
p( B)
condicional de Renyi está engendrado por el espacio probabilístico de
Kolmogoroff.
Representaremos en adelante por (U , Φ, H , p ( A / B ) ) a un espacio de probabilidad
condicional de
Kolmogoroff .
Renyi
engendrado
por
(U ,Φ, p ) ,
espacio
probabilístico
de
Teorema 11
Si es (U , Φ, H , p ( A / B ) ) un espacio de probabilidad condicional de Renyi se verifican
las siguientes propiedades:
1) p ( A / B ) = p ( A ∩ B / B )
p( A / B) ≤ 1
3) p (φ / B ) = 0
4) A ∩ B = φ → p ( A / B ) = 0
5) p (U / B ) = 1
2)
Demostración:
p( A ∩ B / C )
, se tiene, haciendo B=C:
p( B / C )
p( A ∩ B / B) p( A ∩ B / B)
p( A / B) =
=
= p( A ∩ B / B)
1
p( B / B)
2) Puesto que A ∩ B ⊆ B → p ( A ∩ B / B ) ≤ p ( B / B ) = 1 , luego por 1):
p( A / B) = p( A ∩ B / B) ≤ 1
3) Trivialmente, pues p (φ ) = 0
4) A ∩ B = φ → p ( A / B ) = p ( A ∩ B / B) = p (φ / B) = 0
5) p (U / B ) = p (U ∩ B / B ) = p ( B / B ) = 1
1) De ser
p( A / B) =
Teorema 12
a) Sea el espacio de probabilidad condicional (U , Φ, H , p ( A / B ) ) . Si consideramos
un
suceso
fijo
M ∈ H de modo que llamamos p( A / M ) ≡ pM' ( A) , entonces
(U , Φ, p ) es un espacio probabilístico de Kolmogoroff.
'
M
b) Supongamos que es N ∈ Φ / M ∩ N ∈ H y es estrictamente
llamamos
pM' ( A / N ) =
pM' ( N ) > 0 , si ahora
pM' ( A ∩ N )
'
se verifica entonces: pM ( A / N ) = p ( A / M ∩ N )
'
pM ( N )
Demostración:
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a) Puesto que
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pM' es una medida sobre la σ−álgebra Φ de partes de U, la terna
(U , Φ, p ) es efectivamente un espacio probabilístico de Kolmogoroff.
'
M
pM' ( A ∩ N ) p( A ∩ N / M )
=
, por teorema 11,1) es:
pM' ( N )
p( N / M )
p( A ∩ N / M ) p( A ∩ N ∩ M / M )
=
y por la condición c) de la definición
pM' ( A / N ) =
p( N / M )
p( N ∩ M / M )
p( A ∩ N ∩ M / M )
'
6 anterior, queda finalmente pM ( A / N ) =
= p( A / M ∩ N )
p( N ∩ M / M )
b) Si es
pM' ( A / N ) =
Teorema 13
a) Sea el espacio de probabilidad condicional (U , Φ, H , p ( A / B ) ) . Si es U ∈ H de
modo
que
llamamos p ( A / U ) ≡
p' ( A) ,
probabilístico de Kolmogoroff.
b) Supongamos que es N ∈ Φ y es estrictamente
que
p' ( A / N ) =
(U , Φ, p')
entonces
es
un
espacio
p' ( N ) > 0 , se verifica entonces
p' ( A ∩ N )
.
p' ( N )
Demostración:
Es trivial, desde la definición 6 y teorema anterior.
Resulta, en definitiva, que estos espacios de probabilidad condicional o espacios
condicionales de Renyi, (U , Φ, H , p ( A / B ) ) , son más generales que los espacios
probabilísticos de Komogoroff y que contienen a éstos como caso particular.
INDEPENDENCIA DE SUCESOS. PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE BAYES
Definición 7
Dados los sucesos aleatorios A y B de la sigma-álgebra
Φ tales que p ( A) > 0 ,
p ( B) > 0 , se dice que A es independiente de B sii p(A/B)=p(A).
Teorema 14
Si un suceso A es independiente de B entonces
verificándose para sucesos independientes:
B es independiente de A,
A, B ∈ Φ, independientes ↔ p ( A ∩ B ) = p ( A). p ( B)
Demostración:
p( A ∩ B)
p( A ∩ B)
= p( A) →
= p( B) →
p( B)
p( A)
→ p( B / A) = p( B) → B independ de A
p( A ∩ B)
Si ambos sucesos son independientes se verifica que
= p( B) →
p( A)
→ p( A ∩ B) = p( A). p( B)
A independ de B → p( A / B) =
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Teorema 15
Sea (U , Φ, H , p ( A / B ) ) un espacio de probabilidad condicional. Se verifica que
a) Si p(A)=0 o bien p(A)=1, entonces el suceso A es independiente de cualquier
otro suceso del σ−álgebra.
b) Si los sucesos A y B son independientes, entonces también son independientes
los pares de sucesos
{A, B}, {A, B} y {A, B}.
Demostración:
a) Si p(A)=0 →
p( A). p( B) = 0 ,
como A ∩ B ⊆ A → P( A ∩ B) ≤ P( A) = 0 → P( A ∩ B) = 0 , por tanto es
p ( A ∩ B ) = p ( A). p ( B) → {A, B} independientes
Si p(A)=1 → p ( A). p ( B) = 1. p ( B ) = p ( B ) ,
p( A ∪ B ) = p ( A) + p( B) − p( A ∩ B) → p ( A ∩ B) = 1 + p( B ) − p ( A ∪ B) =
= 1 + p( B) − 1 = p( B)
por tanto es
p ( A ∩ B ) = p ( A). p ( B) → {A, B} independientes
b) Veamos que el par
{A, B} está formado por sucesos independientes sin lo son
A y B:
p( A ∩ B) = p ( B) − p( A ∩ B) = p( B) − p( A). p( B ) = p ( B).(1 − p( A)) = p( B). p( A)
luego,
p( A ∩ B) = p ( A ). p ( B) → {A , B}independientes
{ }
La demostración de que el par A, B está formado por sucesos
independientes es, obviamente, la misma.
Veamos que el par
{A, B} está formado por sucesos independientes sin lo son
A y B:
p ( A ∩ B ) = p ( A ∪ B) = 1 − p ( A ∪ B) = 1 − p ( A) − p ( B) + p ( A ∩ B ) =
= 1 − p ( A) − p ( B) + p ( B). p ( A) = p ( A) − p ( B)(1 − p ( A) ) = p ( A) − p ( B). p ( A ) =
= p ( A ).(1 − p ( B )) = p ( A ). p ( B )
luego, p ( A ∩ B ) = p ( A ). p ( B ) → {A , B }independientes
Definición 8
Un conjunto de n sucesos de la σ-álgebra Φ se dicen mutuamente independientes si
para un número k cualquiera de ellos tal que k=2,3,…,n, se verifica que la
probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades, esto es,
eligiendo una combinación cualquiera de orden k-esimo {i1 , i2 ,..., ik } de los números
{1,2,..., n} es:
p( Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik ) = p( Ai1 ). p( Ai2 )... p( Aik )
Definición 9
Se define como sistema completo de sucesos en sentido amplio a un conjunto de
sucesos cuya intersección dos a dos es imposible y cuya probabilidad de la unión es
la unidad (no necesariamente la unión de todos estos sucesos ha de ser el suceso
seguro). Es decir, en un espacio probabilístico de Kolmogoroff, (U , Φ, p ) , se tendría

 n
A
U k  = ∑ p( Ak ) = 1
 k =1  k =1
que {A1 ,..., An }completo en s. amplio ↔ Ai ∩ A j = 0, si i ≠ j ∧ p
n
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Teorema 16 (de la probabilidad total)
Dado un espacio probabilístico de Kolmogoroff
CARLOS S. CHINEA
(U ,Φ, p ) y {M 1, M 2 ,..., M s }
un
sistema completo de sucesos en sentido amplio de la σ-álgebra Φ , con
probabilidades estrictamente positivas (p(Mi)>0,i=1,…,s). Se verifica entonces que:
p( A) = ∑ p ( A / M k ). p( M k ), ∀A ∈ Φ
n
Demostración:
Se tiene que M i ∩ M j = φ , i ≠ j → ( A ∩ M i ) ∩ ( A ∩ M j ) = φ , i ≠ j , luego es


A = U ( A ∩ M k ) → p ( A) = p U ( A ∩ M k )  = ∑ p( A ∩ M k ) =∑ p( A / M k ) p( M k )
n
n
 n
 n
Teorema 17 (de Bayes)
Dado un espacio probabilístico de Kolmogoroff (U ,Φ, p ) y sea
{M 1, M 2 ,..., M s }
un
sistema completo de sucesos en sentido amplio de la σ-álgebra Φ , con
probabilidades estrictamente positivas (p(Mi)>0,i=1,…,s). Se verifica entonces que,
∀A ∈ Φ / p( A) > 0 :
p ( M j / A) =
p ( A / M j ). p ( M j )
∑ p( A / M
k
). p ( M k )
n
Demostración:
p ( M j / A) =
p ( M j ∩ A)
p ( A)
=
p( A / M j ). p ( M j )
∑ p( A / M
k
). p ( M k )
n
DOCUMENTACIÓN:
Cramer, H.; “Métodos matemáticos de la Estadística”. Ediciones Aguilar.
Frechet, M.; “Recherches theoriques modernes sur la theorie des probabilities”,
Gauthier-Villars, 10ª edic. 1950
Gndenko, B. ; “Teoría de probabilidades ». Editorial Mir
Schweizer, B;Sklar, A.; “Probabilistic metric spaces”, North Holland, N.York, 1983
S. Chinea, C., “Aleatoriedad y álgebras de sucesos”,
(http://casanchi.com/mat/aleatoria01.pdf )
MAYO, 2010
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De las Álgebras de Sucesos a los Espacios Probabilísticos

Transcripción

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