Problema de valor inicial

Problema de valor inicial:
Definición:
Un problema de valor inicial de la ecuación
diferencial
de
n-énesimo
orden:
dny
( n 1)

f
(
x
,
y
,
y
`........,
y
)
n
,
dx
consiste en
encontrar una solución de dicha ecuación
diferencial en un intervalo I, que satisfaga en el
punto x 0 de I, las n condiciones siguientes:
y ( x0 )  y 0
y`( x0 )  y1
y``( x0 )  y 2
.
.
.
y ( n 1) ( x0 )  y n 1
EJEMPLOS:
1. Demostrar
que
la
función
 ( x)  sen( x)  cos( x) es solución del
siguiente problema del valor inicial:
d2y
y0
2
dx
y (0) = -1
y`(0) = 1
 ``( x)   ( x)  0
i.-)
(C0)
donde:
 `( x)  cos( x)  sen( x)
 ``( x)   sen ( x)  cos( x)
Sustituyendo en (C0)
  senx  cos x  senx  cos x  0
 0  0identidad 
Por lo tanto la función  es solución de la
d2y
ecuación dx 2  y  0
ii.-)
 (0)  1
 sen (0)  cos( 0)  1
 0  1  1
 1  1(v)
 `(0)  1
 cos( 0)  sen (0)  1
1 0  1
 1  1(v)
Por i) y ii) la función  es solución del
problema de valor inicial dado.
2. Determine si la función 1 ( x)  2sen( x)  cos( x)
es solución de problema del valor inicial:
d2y
y0
2
dx
y (0) = -1
y`(0) = 1
i.-) 1 ``( x)  1 ( x)  0
  `1 ( x)  2 cos( x)  sen( x)
  ``( x)  2sen( x)  cos( x)
 2sen( x)  cos( x)   2sen( x)  cos( x)   0
0  0Identidad 
Por lo tanto
(C0)
1
d2y
y0
2
es solución de dx
ii.-) 1 (0)  1
 2sen(0)  cos(0)  1
 1  1
Entonces 1
y(0)=-1.
no satisface la condición
Por lo tanto 1 no es solución del problema
de valor inicial dado.
Ecuaciones diferenciales
primer orden .
ordinarias
de
TEOREMA DE LA EXISTENCIA Y UNICIDAD.
Dado el problema de valor inicial:
 dy


 dx
 y x0  
f ( x, y )
y0
,
f
donde f y y son funciones continuas en un
2



x
,
y

lR
/ a  x  b  c  y  d  que
rectángulo R=
contiene al punto x , y  . Entonces el problema
de valor inicial tiene una solución única  (x) en
algún intervalo x0  h, x0  h donde h>0.
0
0
Ejemplo:
Determinar si el problema de valor inicial
dy
 x  y ; y(0)  6 tiene solución única.
dx
3
3
Sea:
f ( x, y)  x 3  y 3
f

 3y 2
y
i)
ii)
f es continua en lR2
f
y
es continua en lR2
iii) (0,6) lR2
Por lo tanto el problema de valor inicial dado
tiene solución única en algún intervalo (-h,h),
h>0.
ECUACIONES SEPARABLES.
Definición:
dy
 f ( x, y )
dx
La ecuación diferencial
es
separable si y sólo si existen dos funciones g
y h tales que f ( x, y )  g ( x)h( y )
Solución:
dy
 f ( x, y )
dx
y f ( x, y )  g ( x)h( y ) , entonces:
dy
 g ( x ) h( y )
dx
dy

 g ( x)dx
h( y )
dy

  g ( x)dx  C
h( y )

(la solución obtenida está
dada de manera implícita)
EJEMPLOS:
 Determinar la solución general de la
ecuación diferencial
dy x  5
 2
dx
y
Solución:
 y 2 dy  ( x  5)dx
  y 2 dy    x  5dx  C
y3 x2


 5x  C
3
2
(Solución implícita)
3 2
x  15 x  3C ; 3C  K
2
3
 y  3 x 2  15 x  K (Solución
2
 y3 
explícita)
 Determinar la solución general de la
ecuación diferencial
Solución:

dy xy  2 y  x  2

dx xy  3 y  x  3
dy y ( x  2)  ( x  2)
dy x  2 y  1



dx yx  3  x  3
dx x  3 y  1
 y 1
 x2
dy  
 
dx
y

1
x

3




 y  1
 x  2
dy   
  
dx  C
y

1
x

3





 y  1  1  1 dy  x  3  3  2 dx  C
y 1

x3
 y 1
2 
5 
 x3
 

dy



dx  C


 x  3 x  3
 y  1 y  1

2 
5 

dy   1 
  1 
dx  C
y

1
x

3




 y  2 ln  y  1  x  5 ln x  3  C
(Solución
implícita)
 Determine
la
solución
problema de valor inicial
Solución:
dy
 y 1  x 
dx
dy 1  x

 2 dx
y
x
 x2

dy
1 x
  2 dx  C
y
x
 ln y  
1
 ln x  C
x
y(-1)=1
 ln 1  
1
 ln  1  C
1
 C  1
 ln y  
1
 ln x  1
x
x2
del
siguiente
dy
 y  xy; y (1)  1
dx
 y e
1
  ln x 1
x

1
ln x 1
x
 y e e
 y
y
e
e 1
1
 1
x
x
e
1
 1
x
x
(Solución explícita)