Versión para imprimir - Revista Colombiana de Física

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Revista Colombiana de Fı́sica, Vol. 42, No. 2 de 2010.
Procesos de Difusión Anómala usando Lattice Boltzmann
Anomalous Diffusion Processes using Lattice Boltzmann
F. Fonseca* a
a
Grupo de Simulación de Sistemas Fı́sicos, Departamento de Fı́sica, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá.
Recibido 17.04.10; Aceptado 30.11.10; Publicado en lı́nea 17.01.11.
Resumen
Muchos procesos fı́sicos son descritos por ecuaciones de difusión anómalas; básicamente el sistema fı́sico tiene un comportamiento fractal o de invariancia de escala. Entre ellos podemos encontrar procesos de difusión en contra de gradientes
de concentración los cuales describen procesos de difusión en sistemas metálicos, cerámicos, medios porosos, etc. Por otra
parte, estos mismos comportamientos pueden ser encontrados en otras áreas, como la economı́a donde acciones a futuro
rigen los derivados para bolsas de valores. Usando la técnica de Lattice-Boltzmann en la aproximación BGK (BaghnarGroos-Krook), para una red d2q9, encontramos la solución de la ecuación de difusión anómala. Tanto desde el punto de
vista analı́tico como computacional los resultados presentan total concordancia.
Palabras Clave: Difusión anómala, Lattice-Boltzmann.
Abstract
Many physical processes are described by anomalous diffusion equations; basically the system experiences a fractal behaviour or scale invariance. Among them, we can find concentration gradients which give explanation to diffusion processes
in metallic systems, ceramics, porous media, etc. On the other hand, this kind of phenomena can be found in finance, where
assets, derivatives, etc. are ruled by those kind of differential equations, playing a central role in the stock market dynamics.
Using the Lattice- Boltzmann technique in the B.G.K. approximation, for a d2q9 velocity lattice, we find the solution to
the anomalous diffusion equation. The analytical and computational results match pretty well.
Keywords: Anomalous Diffusion, Lattice-Boltzmann.
PACS: 47.11.Qr, 05.60.-k, 02.60.Cb.
c
2010.
Revista Colombiana de Fı́sica. Todos los derechos reservados.
1.
Introducción
Los procesos de difusión son muy frecuentes en la naturaleza ([1]); podemos encontrar un amplio rango de fenómenos, los cuales pueden representar propagación en el espacio y en el tiempo. Entre ellos podemos encontrar: cambio
en concentración ([2]), transferencia de calor ([3]), transferencia de momentum ([4]), propagación de información en
redes ([5]), propagación de infecciones (bird flu, AH1N 1)
([6]), difusión y formación de la opinión ([7]-[8]), estudios
de mercadeo y estructuración de precios ([9]), en finanzas
* [email protected]
([9]), en la formación de tendencias ([11]-[12]). Esta clase de difusión no lineal también puede ser aplicada al estudio de reacciones quı́micas, tranferencia de masa y calor
[14]. De la misma forma, el ascenso de aire húmedo en la
atmósfera, el cual ha sido estudiado con la ecuación K.P.Z.
y despreciando el término de ruido, corresponde a una proceso de difusión anómalo [13]. Además, tenemos procesos
de difusión en cerámicos, sistemas metálicos y fundido de
silicatos en contra de gradientes de concentración, (conocidos como uphill en inglés) [15].
F. Fonseca: Procesos de Difusión Anómala usando Lattice Boltzmann
donde D es una constante usada para balancear las dimensiones:
!
∂(ρ−m )
0
(0)
∂t
Π =D
(6)
∂(ρ−m )
0
∂t
Por otra parte, el uso de la técnica de Lattice-Boltzmann
se ha convertido en una herramienta muy importante en los
últimos años. Lattice-Boltzmann se ha aplicado a problemas relacionados con magnetohidrodinámica [16], flujo de
suspensiones de partı́culas coloidales ([17]), fenómenos en
Biofı́sica ([18]), etc. En general, la aproximación de LatticeBoltzmann está basada en una descripción bottom-up en el
modelamiento de los procesos fı́sicos. Básicamente, la ecuación de Boltzmann es discretizada sobre una red, y el modelo fı́sico que podemos entender, es el de un gas cuya dinámica evoluciona en el espacio y tiempo discretizados. En especial, en cada paso de tiempo de simulación, las partı́culas
saltan al siguiente punto coordenado y entonces se dispersan de acuerdo a reglas que preservan conservación de masa, energı́a y momentum, ([2], [19] y [22]). Las propiedades
macroscópicas promedio sobre las simulaciones en la red
conducen a una buena aproximación de las ecuaciones en el
continuo, ([2], [20] y [21]).
Reemplazando la ecuación (6) en las ecuaciones (1) y (2),
obtenemos:
∂
∂
~u + D∇( ρ−m ) = 0
(7)
∂t
∂t
Tomando la divergencia e intercambiando el operador derivada temporal con el operador Laplaciano:
∂
(∇ · ~u + D∇ · ∇(ρ−m )) = 0
∂t
Usando la ecuación (2)
−
∂ρ
+ D∇2 (ρ−m ) = 0
∂t
(9)
Por lo tanto, obtenemos la ecuación de difusión no-lineal:
En este trabajo se presenta usando la hipótesis del anzatz ([21]), junto a una definición del tensor Π0 , una solución para la ecuación de difusión anómala. En la sección 2,
presentamos el conjunto básico de las ecuaciones de LatticeBoltzmann y deducimos la ecuación de difusión anómala.
La función de equilibrio discretizada basados en el esquema
d2q9 es presentada en la sección 3. En la sección 4, presentamos los resultados. En la sección 5 se discuten las conclusiones.
2.
(8)
∂ρ
= D∇2 (ρ−m )
∂t
3.
(10)
La Función de Equilibrio y el Esquema d2q9
El Modelo de Lattice-Boltzmann
Las ecuaciones básicas del método de Lattice - Boltzmann son [22]:
∂~u
+ ∇ · Π(0) = 0,
∂t
∂ρ
+ ∇ · ~u = 0.
∂t
Las cantidades macroscópicas están definidas por:
X (0)
ρ=
fi
Fig. 1: Las velocidades en la red denominada D2Q9.
(1)
Usaremos el esquema de discretización de velocidades
d2q9 mostrado en la figura (1). Se definen las direcciones vi
y los pesos wi sobre cada celda:
(2)
(3)
1
9
1
36
wi =
i
y
~u =
X
(0)
~vi fi
if i = 0
if i = 1, 2, 3, 4
if i = 5, 6, 7, 8
(11)
Tanto las direcciones vi como los pesos wi se rigen por las
siguientes relaciones:
X
wi vi,α = 0
(12)
(4)
i
Se usará el tensor como una matriz diagonal,
X
(0)
Π(0) =
viα viu fi
4
9
i
(5)
X
i
i
donde las componentes diagonales del tensor Π(0) , proponemos que se definan como la derivada temporal de ρ−m ,
X
i
153
1
δα,β
3
(13)
wi vi,α vi,β vi,γ = 0
(14)
wi vi,α vi,β =
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También asumimos la función de equilibrio
wi [A~vi · ~u + B] if i > 0
(eq)
fi
=
w0 C otherwise i = 0
Una buena forma de corroborar nuestros resultados
computacionales, es hacer una comparación con la solución
unidimensional conocida, la cual es presentada en la referencia [23], su solución (21), es:
(15)
De la definición del tensor Π(0) , ecuación (5), y con la ayuda
de las relaciones (12-14), encontramos:
B = 3D
∂(ρ−m )
∂t
ρ(x, t) = D(m1/2 Dm/2 x − t)−1/2
Por lo tanto, la comparación entre el resultado analı́tico y de
simulación es dada en la figura (2). Las dos curvas ajustan
muy bien.
(16)
Ahora, de la velocidad media ~u, ecuación (4), y usando
(12-14), hallamos:
A=3
(17)
La figura (3) muestra el resultado 2D que se obtiene en
una red cuadrada de tamaño 100 × 100 con coeficiente de
difusión D = 1,2. En la figura (4) se toma una rebanada
ó corte de sección transversal de la figura (3); claramente vemos los diferentes perfiles de difusión que corresponderı́an
a soluciones unidimensionales de la ecuación de difusión
anómala.
Usando la densidad media, ecuación (3), y usando (12-14),
obtenemos:
4
5
(18)
ρ= B+ C
9
9
Por consiguiente:
C=
9
15 ∂(ρ−m )
ρ−D
4
4
∂t
(21)
(19)
Por lo tanto, reemplazando en la función de equilibrio
ec. (15), los resultados en (16), (17) y (19), se obtiene:
−m
)
5 ∂(ρ
3w
if i > 0
~
v
·
~
u
−
D
i
i
(eq)
4
∂t
fi
=
−m
∂(ρ
)
9
15
otherwise i = 0
4 w0 ρ − D 4
∂t
(20)
Esta es la función de equilibrio estadı́stico que reproduce el
comportamiento de la ecuación de difusión anómala.
4.
Fig. 3: Resultados de una simulación en una red de tamaño 100 ×
100 y coeficiente de difusión D = 1,2.
Resultados
Presentamos los resultados de las simulaciones en las
figuras 1-10 para dos-dimensiones, usando una y dos perturbaciones iniciales, las cuales corresponden a paquetes Gausianos. La condiciones de frontera del sistema son consideradas periódicas.
Fig. 4: Un corte de sección transversal para diferentes perfiles.
En la figura (5) presentamos los diferentes valores en la
difusión. Las partes en la superfice coloreadas en verde implican valores muy bajos en la difusión, los cuales aumentan
a amarillo y naranja, siendo máximos para el rojo. La figura en general muestra cómo es la distribución en la difusión
que puede ser representada como concentración, temperatura, momentum, etc. sobre la red.
Fig. 2: Resultado analı́tico (curva roja), eq. (21) y resultado del
perfil de la simulación (perfil azul). Las curvas al ser comparadas
ajustan muy bien.
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F. Fonseca: Procesos de Difusión Anómala usando Lattice Boltzmann
dos perturbaciones iniciales las cuales evolucionan adquiriendo un perfil final. La caracterı́sitica fundamental que
muestra el resultado de la simulación es una intensa zona
difusiva entre las colinas.
Fig. 5: Curvas de nivel para la simulación en una red de tamaño
100 × 100 y coeficiente de difusión D = 1,2.
En la figura (6) se muestra el resultado de la proyección
de la superficie de la solución dada en la figura (3). Las diferentes curvas muestran iguales valores en difusión y su
crecimiento radial muestra cómo el proceso difusivo es más
pronunciado en el centro que en las fronteras.
Fig. 8: Resultados con dos perturbaciones iniciales, vista de sección transversal.
La figura (7) exhibe el campo vectorial gradiente de la
solución dada en la figura (3). El campo gradiente difusivo,
el cual se dirige hacia el centro, donde se ubica la perturbación inicial, y la intensidad del campo vectorial, longitud de
los vectores, se incrementa desde la frontera hacia el centro
del sistema.
Fig. 9: Resultados para curvas de nivel en dos perturbaciones iniciales.
Fig. 6: Proyección de las curvas de nivel sobre la red bidimensional.
Fig. 10: Campo del gradiente de difusión para dos perturbacioes
iniciales.
Fig. 7: Campo vectorial gradiente.
Este tipo de soluciones, presentado en las figuras (8)(10), en dos dimensiones y con una, dos perturbaciones, no
es conocido analı́ticamente hasta el momento.
También se estudia una configuración compleja de condiciones iniciales presentada en las figuras (8)-(9). Usamos
La figura (10) presenta el campo vectorial gradiente y
las curvas de nivel proyectadas en dos dimensiones. Tanto
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el campo vectorial como las curvas de nivel presentan un
punto central donde la difusión se hace nula.
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Demand. Quarterly Journal of Economics, 64: (1950)
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5. Conclusiones
Se ha resuelto de una forma muy novedosa la ecuación de difusión anómala usando la técnica de LatticeBoltzmann. Se ha contrastado la solución analı́tica unidimensional con la solución obtenida usando el método de
Lattice-Boltzmann. La comparación presenta un excelente
ajuste entre los dos resultados. De la misma forma, nuestro resultado bidimensional puede ser extendido fácilmente
a tres dimensiones usando otras redes, e.g., d3q19, mostrando la potencia del método y el resultado, lo cual constrasta fuertemente con la enorme dificultad de la aproximación
analı́tica al problema. De igual manera, presentamos resultados para dos perturbaciones iniciales, evidenciándose notoriamente el caracter no-lineal de la solución.
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Como trabajo futuro planteamos la extensión de involucrar terminos de fuente y sumideros, y el estudiar el problema sobre fronteras complejas.
6. Agradecimientos
[15] T. Nishiyima, Physics of heart and planetary interiors,
107, (1998), 33 -51.
Este trabajo fue financiado por la Universidad Nacional de Colombia en la División de Investigación sede Bogotá con número de proyecto (DIB-8003355).
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