Integral Doble e Integral Triple

1
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Práctica 6
Integral Doble e Integral Triple
Cambio de variable con coordenadas polares y coordenadas cilı́ndricas.
Cálculo Superior
Instituto Tecnológico de Costa Rica
Escuela de Matemática
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1. Calcule y verifique los siguientes resultados,
Z
1Z 2
a)
0
Z
b)
1
Z
c)
0
Z
d)
e)
f)
g)
h)
i)
y exy dx dy =
0
4Z
x2
√
1Z
e2 − 2
2
(x2 + 2xy − 3y 2 ) dy dx =
x
√
2− y
√
xy dx dy =
y
π/2 Z
x2
³y´
−20975
14
1
5
π π2
+
+1
x
2
8
0
0
√
Z 1Z y p
√
7
ln(
2 − 1) 1
x 1 + x2 dx dy =
2−
−
24
8
3
0
0
Z 2Z y
17
(1 + x2 ) dx dy =
12
1
1
Z π Z sen x
π
(y) dy dx =
4
0
0
Z 3 Z √y
18 √
559 16 √
(x2 y + xy 2 ) dx dy =
3−
−
2
7
8
21
2
1+y
Z 1Z 1
xy ex+y dy dx = 1
sen
0
dy dx = −
0
2. En cada caso, dibujar las región de integración y calcular las integrales en el orden“dx dy”.
Z
2 Z 3x+1
a)
1
Z
0
R/
5
2
dy dx
R/
2
3
2x
1Z
1−x2
b)
Z
dy dx
0
eZ 1
c)
(x + y) dx dy
1
ln(y)
R/
e2 − 1
4
2
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Z
1 Z arc cos(y)
d)
dx dy
0
R/ 1
0
3. Dibuje la región de integración y calcule la integral doble si,
ZZ
a)
(x2 + y 2 ) dA donde R es la región limitada por x = −2, x = 3, y = x + 2; y = −2 .
R
½
¾
1
1
p
b)
dA,
donde R = (x, y)/0 ≤ x ≤ , x ≤ y ≤
.
2
2
1 − y2
R
ZZ
h πi h πi
× 0,
.
c)
cos(x) sin(y) dA donde R = 0,
2
2
R
ZZ
d)
(x − y) dA donde R es la región, en el primer octante, limitada por las rectas con ecuación
ZZ
x
R
x + y − 3 = 0, y = 3 y las curvas de ecuación
y 2 = 4x, x2 = 4y .
4. En cada caso, determinar el valor de la integral iterada:
√ ¶
Z 1Z xZ yµ
1+ 3z
√
a)
dz dy dx
z
0
0
0
Z π/2 Z π/2 Z 1
r2 cos2 (θ) dr dθ dx
b)
aZ
c)
0
Z
R/
0
0
0
Z
(4a2 −y 2 )/3a Z h
dz
y2
0
dx dy
R/
a
ayz dz dy dx
3Z
R/
0
0
0
6−2y Z
dz dx dy
Z
f)
2
1
0
2
ZZZ
R/
6
0
0
4Z 1Z
a
120
2−x/3−2y/3
e)
0
π2
24
8a2 h
, a y h constantes.
9
1 Z 1−x Z 1−x−y
d)
Z
2144
2805
R/
√
yz
xyz dx dy dz
R/
28 ln(2)
−
9
6
dV
donde S es el recinto limitado por los planos coordenados y el plano
3
S (x + y + z + 1)
ln(2)
5
x + y + z = 1.
R/
− +
16
2
5. Calcular
Z
6. Considere la integral I , donde I =
0
1 Z 1−y
√
f (x, y) dx dy .
1−y 2
a) Dibuje le región de integración.
b) Reescriba I con el orden de integración dy dx.
7. El área de una región R del plano xy está dada por:
3
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Z
AR =
1
−3
Z
Z
dy dx +
2
−x/3+1
9 Z x/2+5/2
dy dx
1
−x/3+1
a) Dibuje la región R.
b) Plantee las integrales dobles correspondientes al área de la región R , invirtiendo el orden integración.
c) Calcule el área de la región R .
R/ AR = 48.
8. El área de la región R del plano xy está dada por:
Z
AR =
0
1Z x
Z
dy dx +
−x3
4Z x
dy dx
1
x−2
a) Dibuje la región R .
b) Plantee las integrales dobles correspondientes al área de la región R, invirtiendo el orden integración respecto a las integrales dadas.
c) Calcule el área de la región R .
9. Cambio de variable: polares, cilı́ndricas y esféricas.
a) Calcule el área de la región sombreada (entre la recta x = 1 y el cı́rculo r = 2 ) en la figura que
4π √
− 2.
sigue.
R/
3
2
1
b) Calcular el área de la región R limitada por las circunferencias x2 + y 2 = 4x, (x − 4)2 + y 2 = 16
y las rectas y = 0 y y = x.
R/
6 + 3π.
4
2
2
Z
Ayuda:
cos2 t dt = t/2 +
4
6
8
sen(2t)
+ C.
4
c) Calcular el área de la región R limitada por las circunferencias x2 + y 2 = 4x, (x − 4)2 + y 2 = 16
y las rectas y = x y y = 2x.
R/
−6/5 − 3π + 12 arctan(2).
4
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4
2
2
4
6
8
-2
d ) Calcular el área de la región R que es la parte común al cı́rculo de ecuación x2 + y 2 = 4x y al
cı́rculo de ecuación x2 + y 2 = 4y.
R/
2π − 4.
4
2
4
2
Z
Ayuda:
sen2 θ dθ = t/2 −
sen(2t)
+ C.
4
e) Calcular el área de la región R limitada por la cardioide r = 2(1 + cos θ) y la circunferencia
r = 2, tal y como se muestra en la figura que sigue.
R/ 8 + π.
3
f ) Calcular el√área de la región limitada por el lazo de la curva r = 1/2 + cos θ.
R/ −3 3/8 + π/4.
θ=2π/3
θ=−2π/3
Ayuda: notar que el lazo tiene ecuación r = 1/2 + cos θ, 2π/3 ≤ θ ≤ 4π/3.
g) Calcular el área de la región R limitada por la curva (x2 + y 2 )3 = 4x2 y 2 con x ≥ 0, y ≥ 0.
R/ π/8.
5
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Ayuda: en este caso, los lı́mites de integración son las tangentes al polo. Si hacemos el cambio
de variable x = r cos θ y y = r sen θ obtenemos r = sen(2θ). Los lı́mites de integración son las
rectas (tangentes al polo) θ = 0 y θ = π/2.
Tangentes al polo: Las tangentes a la curva r = f (θ) son rectas con pendiente m =
Un cálculo rápido nos da m =
f (θ) cos θ + f 0 (θ) sen θ
.
f (θ) sen θ − f 0 (θ) cos θ
dy/dθ
.
dx/dθ
Para determinar las tangentes al polo, resolvemos r = f (θ) = 0. Si θ = α es una solución de
la ecuación f (θ) = 0, para la cual f 0 (α) 6= 0 y cos α 6= 0, entonces la recta tangente tiene
f 0 (α) sen α
= tan α y entonces θ = α serı́a una tangente al polo.
pendiente m = 0
f (α) cos α
Un caso especial es cuando tenemos α = π/2, el eje Y, como tangente (vertical) al polo. Otro
caso especial es cuando f 0 no está definida en α pero m si se puede calcular usando un lı́mite
unilateral para la derivada, como en el ejercicio que sigue.
h) Calcular el área de la región R limitada por la curva (x2 + y 2 )2 = 4(x2 − y 2 ).
R/
4.
√
Ayuda: usando coordenadas polares se obtiene r = 2 cos 2θ con θ ∈ ] −π/4, π/4 [ ∪ ] 3π/4, 5π/4 [.
Ver el ejemplo 13 (página 20) del material complementario.
10. Efectuando un cambio de variable a coordenadas polares, calcular
Z
√
2Z
4−y 2
p
x2 + y 2 dy dx
a)
0
Z
0
2Z x
b)
0
Z
0
aZ
√
dx dy
p
x2 + y 2
a2 −x2
p
x2 + y 2 dy dx, a es constante positiva.
c)
0
0
6
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Z
2a Z
√
2ax−x2
d)
0
(x2 + y 2 ) dy dx, a es constante positiva.
0
ZZZ
x2 dV donde S es el recinto limitado por los planos coordenados y la esfera de radio
11. Calcular
S
a y centro en el origen, en el primer octante.
R/
2a5 π
.
15
12. Verifique que el volumen de un cilindro recto de radio R y altura h, es πR2 h.
Plano z = h
Z
Z
R
2
h
1
Y
1
1
X
Y
X
13. Verifique que el volumen una esfera de radio R es
4 3
πR .
3
Z
R
Y
R
X
14. Verifique, usando coordenadas cilı́ndricas, que el volumen de un cono de altura H y radio R es
1
HπR2 .
3
Z
R
H
Y
X
Ayuda: El cono está limitado arriba por el plano z = H y abajo por la superficie
z2
y2
y2
=
+
.
H2
R2 R2
7
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15. Calcule el volumen del sólido Q limitado por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 y el cilindro x2 + (y − 1)2 =
8
1, z ≥ 0, como se especifica en la figura que sigue.
R/
− (4/3 − π).
3
Z
Z
Z
1
X
1
X
1
1
Y
X
2
Y
Y
Z
Ayuda:
cos3 x dx =
3 sin(t) sin(3 t)
+
.
4
12
16. Calcule el volumen del casquete, de altura h, de una esfera de radio R, tal y como se especifica en la
π 2
h (3R − h).
figura que sigue.
R/
3
Z
Z
h
h
z=R-h
X
R
Y
Y
R
X
17. Verifique, que el volumen de un cono de altura H y radio R es
Z
√2hR - h2
1
HπR2 .
3
R
H
Y
X
Ayuda: El cono está limitado arriba por el plano z = H y abajo por la superficie
z2
y2
y2
=
+
.
H2
R2 R2
8
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Z
Observe que
Z
2
sec ϕ tan ϕ dϕ =
sec ϕ(sec ϕ tan ϕ) dϕ =
sec2 ϕ
+ K, pues (sec x)0 = sec x tan x.
2
1
Además usar la identidad cos(arctan(x)) = √
.
x2 + 1
√
18. Considere el sólido Q limitado por el casquete de esfera y 2 + x2 + z 2 = 1 y el plano z = 1/ 2
Z
X
Y
ZZZ
Verifique que
16z dV = π
Q
a.) Usando coordenadas cilı́ndricas.
b.) (*) Usando coordenadas esféricas.
19. Considere el sólido Q limitado por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 y el cono z 2 = x2 + y 2 . con z ≥ 0.
Z
X
ZZZ
a.) Verificar que
4z dV =
Q
ZZZ
b.) (*)Verificar que
π
, usando coordenadas cilı́ndricas.
2
4z dV =
Q
Y
π
, usando coordenadas esféricas.
2
20. Calcule el volumen de los siguientes sólidos.
9
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a) Calcule, usando coordenadas cilı́ndricas, el volumen del sólido Q0 limitado por la porción de
paraboloide z = 4 − x2 − y 2 , la porción de esfera x2 + y 2 + z 2 = 16 y el plano x = y; en el
primer octante.
Z
Z
4
4
2
4
y=x
2
R2
X
R1
X
b) Sólido Q1 limitado por las superficies y + x = 1, z = 1 − x2 y x = y = z = 0.
Z
1
X
1
1
Y
c) Sólido Q2 limitado por las superficies y + x = 6, z = 4 − x2 /4 y x = y = z = 0.
Z
4
X
4
6
Y
d ) Sólido Q3 limitado por las superficies z + y = 4, y = 4 − x2 y x = y = z = 0.
10
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Z
4
X
2
4
Y
e) Sólido Q4 limitado por las superficies z + y = 6, y = 4 − x2 y x = y = z = 0.
Z
6
X
2
6
Y
f ) Sólido Q5 limitado por las superficies z = 3, y 2 + x2 = 4 y z = 0.
Z
3
2
Y
2
X
g) Sólido Q6 limitado por las superficies z + y = 3, y 2 + x2 = 4 y z = 0.
11
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Z
3
2
X
Y
3
2
√
h) Sólido Q7 limitado por el casquete de esfera y 2 + x2 + z 2 = 1 y el plano z = 1/ 2
Z
X
Y
i ) Sólido Q8 limitado por el casquete de esfera y 2 +x2 +z 2 = 1 y el cilindro x2 +y 2 = 1/2, con z ≥ 0.
Z
Y
X
j ) Sólido Q9 limitado por el casquete de esfera y 2 + x2 + z 2 = 1 y el cono z 2 = x2 + y 2 con z ≥ 0
12
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Z
Y
X
k ) Sólido Q10 limitado por el paraboloide z = y 2 + x2 y los planos z = 1 y z = 4; en el primer
octante.
Z
4
1
1
1
X
Y
l ) Sólido Q11 limitado por el paraboloide z = y 2 + x2 y los planos x = y, z = 1 y z = 4; en el
primer octante.
Z
4
1
X
1
1
Y
m) Sólido Q12 limitado por el paraboloide y = 4 − x2 − z 2 y los planos x = 0, y = 0, z = 0 con
x ≥ 0, y ≥ 0 y z ≥ 0.
13
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Z
2
X
2
Y
4
n) Sólido Q13 limitado por las superficies z = y + 1, y 2 + x2 = 1 y z = 0.
Z
1
Y
-1
1
X
ñ) Sólido Q14 limitado por las superficies y = x2 + 1, y + z = 5 y z = 0.
Z
2
1
1
5
1
Y
X
o) Sólido Q15 limitado por las superficies z = 4 − x2 − y 2 , z = 3 y x = 0, y = 0 con x ≥ 0, y ≥ 0.
Z
4
3
Y
X
2
14
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p) Sólido Q16 limitado por las superficies z = 10 − x2 − y 2 y z = 2 + x2 + y 2
Z
10
2
Y
X
q) Sólido Q17 limitado por las superficies z = 4 − x2 , x + 2y = 4, z = 4 y z = y = 0
Z
4
Y
2
X
4
r ) Sólido Q18 limitado por las superficies x2 + z 2 = 4, y + x = 2, z = 4, y y = 0, x = 0.
Z
4
2
Y
X
s) Sólido Q19 limitado por las superficies z = 4 − x2 , 2y + z = 8, y = x, x = 0, z = 0 y x ≥ 0.
15
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Z
4
Y
4
X
t) Sólido Q20 limitado por las superficies z = 4 − x2 /4, y = 6 − x, y = x, y y = 4; en el primer
octante.
Z
X
4
4
Y
Bibliografı́a
[1] Louis Brand. Advanced Calculus. An Introduction to Classical Analysis. Wiley & Sons, Inc. 1995.
[2] Claudio Pita R. Cálculo Vectorial. Prentice-Hall. 1995.
[3] Sherman Stein. Cálculo con Geometrı́a Analı́tica. McGraw-Hill. 1984.
[4] Tom Apostol. Calculus. Wiley. 1967
[5] Jorge Poltronieri. Cálculo Integral: Integración Múltiple. Editorial Cimpa. 1ra ed. Escuela de
Matemática, Universidad de Costa Rica. 2006.
[6] Jerrold Marsden, Anthony Tromba. Cálculo Vectorial. Addison-Wesley. 3ra ed. 1991.
16