Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales.

Transcripción

Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna
Ecuaciones en Derivadas Parciales
Curso de Introducción
José C. Sabina de Lis
La Laguna, 26 de septiembre de 2014
Índice general
INTRODUCCIÓN
vi
1. Algunas Edp’s de referencia
1.1. Definiciones básicas. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . .
1.1.1. Recapitulación de ecuaciones diferenciales ordinarias . . .
1.2. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Ecuación del transporte simple . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Ecuaciones lineales: coeficientes constantes . . . . . . . .
1.2.3. Ecuación de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Funciones radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Funciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Introducción a los coeficientes variables . . . . . . . . . .
1.3. Ecuaciones de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. La ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4. La ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5. Ecuación de las superficies mínimas: un ejemplo de ecuación cuasilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6. El problema de Cauchy: generalidades . . . . . . . . . . .
1.4. Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. La Ecuación de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. La ecuación de las ondas unidimensional . . . . . . . . . .
1.5.2. Ecuación de las ondas bidimensional . . . . . . . . . . . .
1.6. La Ecuación del Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. La ecuación del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1. La ecuación del calor n-dimensional . . . . . . . . . . . .
1.7.2. Difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
3
4
5
6
7
7
8
9
10
12
13
14
15
15
17
18
18
24
28
28
32
35
36
2. Primer orden
47
2.1. Ecuaciones lineales y cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2. Ecuaciones cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
iii
ÍNDICE GENERAL
iv
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
La ecuación general de
Integrales primeras . .
Integrales completas .
Lagrange-Charpit . . .
Ejercicios . . . . . . .
primer
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
orden
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75
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4. Ecuación de ondas
4.1. Clasificación de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Transformación de operadores de segundo orden . . . . . . . . .
4.3. Clasificación de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Operadores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Operadores con coeficientes constantes . . . . . . . . . . .
4.4. Ecuación de ondas unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. El problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Velocidad de propagación finita de las perturbaciones . .
4.4.3. Soluciones generalizadas. Propagación de discontinuidades
4.4.4. Soluciones simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.5. El problema no homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Problemas de Dirichlet y Neumann homogéneos . . . . . .
4.5.2. Oscilaciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3. Problemas de Dirichlet y Neumann no homogéneos . . . .
4.5.4. Problemas de contorno perturbados . . . . . . . . . . . .
4.6. Problemas semilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Ecuación de ondas n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2. Medias esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.3. El problema de valor inicial en el caso n = 3 . . . . . . . .
4.7.4. Propagación de ondas en el plano n = 2 . . . . . . . . . .
4.8. El caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1. Dimensiones impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2. Método del descenso de Hadamard . . . . . . . . . . . . .
4.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
93
95
98
98
103
105
105
106
107
109
110
112
116
118
118
120
120
120
123
123
123
125
127
130
131
131
134
135
3. El problema de Cauchy
3.1. Funciones analíticas . . . . . .
3.2. El problema general de Cauchy
3.3. Teorema de Cauchy-Kowalevski
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
5. Ecuación del calor
5.1. Problema de valor inicial . . . . . . .
5.2. El problema perturbado . . . . . . .
5.3. No unicidad de soluciones . . . . . .
5.4. Soluciones analíticas . . . . . . . . .
5.5. Problemas de valor inicial y contorno
5.6. Principios del máximo . . . . . . . .
5.7. Principios del máximo . . . . . . . .
5.8. Soluciones positivas . . . . . . . . . .
5.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .
v
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147
152
152
154
154
156
160
163
164
6. Series de Fourier
6.1. Series de Fourier: introducción . . . . .
6.2. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . .
6.3. Series de Fourier: primeras propiedades
6.4. Resultados de convergencia puntual . . .
6.5. Cuestiones complementarias . . . . . . .
6.6. Convergencia uniforme . . . . . . . . . .
6.7. Fenómeno de Gibb . . . . . . . . . . . .
6.8. Teorema de Lusin . . . . . . . . . . . . .
6.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .
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187
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193
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7. Separación de Variables
7.1. Ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Función de Green . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Ecuación de ondas amortiguada . . . . . . . .
7.5. Problemas no homogéneos: función de Green
7.5.1. El problema de Dirichlet . . . . . . . .
7.5.2. Propiedades del operador solución . .
7.6. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . .
7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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203
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207
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212
218
220
8. Ecuación de Laplace (n = 2)
8.1. Fórmula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1. Dominios simplemente conexos . . . . . . . . .
8.1.2. Deducción geométrica de la fórmula de Poisson
8.1.3. Problema de Dirichlet en un rectángulo . . . .
8.2. Ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Singularidades evitables . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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225
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232
233
240
241
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ÍNDICE GENERAL
vi
9. Ecuación de Laplace (Rn )
9.1. Identidades de Green. Solución fundamental
9.2. Propiedades de las funciones de Green . . .
9.3. Ecuación de Laplace en la bola . . . . . . .
9.4. Funciones armónicas: propiedades . . . . . .
9.5. Método de Perron . . . . . . . . . . . . . .
9.6. El semiespacio . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7. La ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . .
9.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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247
247
249
251
252
254
258
259
264
A. Funciones diferenciables
269
B. Series Múltiples
273
C. Superficies. Integrales de superficie
277
D. Diferenciación bajo el signo integral
285
BIBLIOGRAFÍA
287
Introducción
Estas son unas notas “dinámicas” sobre ecuaciones en derivadas parciales(“edp’s” en lo que sigue), es decir, en continua remodelación. Al estar colgadas
en la red nos podemos permitir ese lujo. Disculpe el posible lector el número
inmoderado de erratas tipográficas y algunas de las otras (que he tratado de
disipar hasta el exterminio con el paso del tiempo).
Las edp’s dan al estudiante de matemáticas la impresión –ese fue al menos
mi caso– de materia caprichosa. Se aplica un enorme esfuerzo al estudio de tres
“meros” casos particulares de segundo orden. Esto, en mis tiempos, donde la
carrera ponía gran énfasis en materias tan abstractas como la topolgía general o el cáculo diferencial en espacios de Banach, resultaba desolador para el
principiante.
Otro agravante, cada pequeño avance en el análisis de estas ecuaciones (v. g.
de “coeficientes constantes” a “coeficientes variables”) supone un esfuerzo considerables incluso en las situaciones más humildes (v. g. la ecuación de ondas con
velocidad variable). Como subrayaba mi querido profesor de entonces, Carlos
Fernández Pérez, nada que ver con las “ode’s” donde teoremas de existencia,
unicidad y dependencia continua se formulan limpia y concisamente desde el
principio.
Pues bien, en lo que aquí se expone, más de lo mismo. . . . Las lecciones
que siguen tratan de imitar las que hace ya muchos años recibí sobre edp’s.
Las actuales materias de licenciatura/grado contemplan metas mucho menos
ambiciosas (en la generalidad de los centros se estudia muy poco de edp’s). Tras
la lectura del índice resulta evidente que hay temas suficientes para surtir varias
de estas nuevas asignaturas.
Es un placer reconocer las deudas contraídas en la redacción de estas notas.
La científica espero haberla saldado unas líneas atrás. Sobre textos, un buen
número de los ejercicios provienen de [21]. Ya de estudiante, el de Folland [9]
me resultó siempre muy sugestivo. Por su cuidada exposción y detalle en los
cálculos, [16] ha sido siempre un importante pilar para mi docencia. Nada se
trata aquí sobre soluciones débiles. Si ese fuese el caso, aparte de [16] los textos
de [1] y [5] serían de referencia obligada.
Espero que el lector saque el mejor provecho de este manuscrito virtual.
José C. Sabina de Lis (http://josabina.wbs.ull.es)
La Laguna 26 de septiembre de 2014.
vii
viii
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Algunas ecuaciones de
referencia en la teoría
1.1.
Definiciones básicas. Ecuaciones de primer
orden
1.1.1.
Recapitulación de ecuaciones diferenciales ordinarias
Una función
F :
R × Rk+1
(t, y0 , . . . , yk )
−→
7−→
R
F (t, y0 , . . . , yk ),
define la ecuación diferencial ordinaria de orden k,
F (t, x, x′ , . . . , x(k) ) = 0.
(1.1)
Se dice que x = x(t), x : J ⊂ R → R, J un intervalo, x diferenciable, es una
solución de (1.1) si,
F (t, x(t), x′ (t), . . . , x(k) (t)) = 0,
para cada t ∈ J.
El marco de referencia para el que se hace la teoría de las ecuaciones (1.1)
corresponde al caso en que F tiene la estructura:
F (t, y0 , . . . , yk ) = yk − f (t, y0 , . . . , yk−1 ),
y (1.1) se puede escribir en la forma que se suele llamar “normalizada”:
x(k) = f (t, x, . . . , x(k−1) ).
1
(1.2)
2
CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA
En el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias se estudian la “teoría” y “aplicaciones” de la ecuación (1.2).
Los hechos teóricos más significativos se pueden describir en los siguientes
términos:
• Bajo condiciones muy generales sobre f = f (y0 , . . . , yk−1 ) la ecuación
(1.2) admite infinitas soluciones.
• Se pueden hallar soluciones de (1.2) que satisfacen condiciones adicionales
“prefijadas” en un instante arbitrario t0 .
Esto sugiere que bajo condiciones adecuadas el conjunto de soluciones de
(1.2) es finito dimensional.
El siguiente resultado –que lleva asociado los nombres de Cauchy, Peano,
Lipschitz y Lindelöff– resume los aspectos fundamentales de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Como se tratará de explicar en el presente curso no existe
una contrapartida para ecuaciones en derivadas parciales –salvo que se impongan condiciones muy restrictivas– del mismo.
Teorema 1.1. Si la función f es continua, el problema (llamado de valor inicial
o de Cauchy),

x(k) = f (t, x, . . . , x(k−1) )



x(t0 ) = ξ0
(P )
..


.


 (k−1)
x
(t0 ) = ξk−1 ,
admite al menos una solución no prolongable (x, J), J = (α, ω), para cada
(t0 , ξ0 , . . . , ξk−1 ) ∈ R × Rk .
Si f es además localmente Lipschitziana en (y0 , . . . , yk−1 ) (por ejemplo si
...,
∂f
,
∂y0
∂f
existen y son continuas) tal solución es única.
∂yk−1
Observaciones 1.1.
a) El problema de Cauchy está inspirado en el principio determinista de Galileo
según el cual el comportamiento futuro de una partícula queda determinado por
su velocidad y posición iniciales. En el caso unidimensional se estaría hablando,
por ejemplo, del problema de valor inicial:

′′

x = f (x)
x(t0 ) = x0

 ′
x (t0 ) = v0 .
Revísese el caso del oscilador armónico f (x) = −x. La solución del problema
precedente es x(t) = x0 cos(t − t0 ) + v0 sen(t − t0 ).
1.2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
3
b) La teoría se desarrolla de una forma más simétrica en formato n dimensional.
Se consideran campos F = F (t, u), F : R×Rn → Rn con lo que u : J ⊂ R → Rn
y el problema (P) adopta la forma:
{
du
dt = F (t, u)
u(t0 ) = u0 .
La ecuación (1.2) se escribe en forma equivalente como,


u′ = u2

 1
..
.


u′ = f (t, u , . . . , u ),
1
k
k
en donde x(t) = u1 (t).
c) Una cuestión nada trivial es la determinación del intervalo máximo (α, ω)
de existencia. Si por ejemplo ω < +∞ la solución sufrirá con toda seguridad
una singularidad en t = ω. Como en el caso u′ = u2 este tipo de singularidades
(comúnmente llamadas de tipo “blow-up”) no se detectan en el segundo miembro
de la ecuación.
Como balance final podemos afirmar que una ecuación diferencial ordinaria
admite, bajo condiciones muy poco restrictivas, infinitas soluciones. Las soluciones se determinan con unicidad cuando se imponen condiciones iniciales.
Ejercicio 1.1. Se define x(θ) = |x|θ−1 x, θ > 0. Para x ̸= 0 prúebese que (x(θ) )′ =
(
)−1
θ|x|θ−1 , (|x|θ )′ = θx(θ−1) , mientras x(θ)
= x(1/θ) . Discútase con todo detalle
la existencia y unicidad de soluciones para el problema,
{
x′ = |x|θ
x(t0 ) = x0 .
Nos ocuparemos en lo que sigue de la discusión de diversos aspectos elementales de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales.
1.2.
Ecuaciones de primer orden
Se considera la función,
F :
Ω × R × Rn
(x, z, p1 , . . . , pn )
−→
7−→
R
F (x, z, p1 , . . . , pn ),
donde Ω ⊂ Rn es un dominio (conjunto abierto y conexo).
Definición 1.2. Una función u ∈ C 1 (Ω) define una solución de la ecuación en
derivadas parciales de primer orden:
F (x, u, ∇u) = 0,
si F (x, u(x), ∇u(x)) = 0 para cada x ∈ Ω.
4
Ejemplos 1.2.
∑n
a) Cuando F (x, z, p1 , . . . , pn ) = i=1 ai (x)pi + a0 (x)z − f (x) es lineal en (p, z)
la ecuación (1):
n
∑
∂u
ai (x)
+ a0 (x)u = f (x),
∂x
i
i=1
se llama lineal.
b) Si F (x, z, p1 , . . . , pn ) =
∑n
i=1
n
∑
ai (x, z)pi −b(x, z) sólo es lineal en p, la ecuación:
ai (x, u)
i=1
∂u
= b(x, u),
∂xi
se llama cuasilineal.
c) Una ecuación no englobada en los casos anteriores se llamará fuertemente no
lineal. Por ejemplo la así denominada ecuación eikonal (ecuación de la óptica
geométrica):
|∇u|2 = c2 ,
donde c es la velocidad de la luz.
En los siguientes ejemplos se efectúa una prospección de cómo responden las
ecuaciones de primer orden a las cuestiones de existencia y número de soluciones así como a la posibilidad de imponer condiciones adicionales de tipo “valor
inicial”.
1.2.1.
Ecuación del transporte simple
Toma la forma,
ut + cux = 0.
(1.3)
Admite como soluciones en R a los llamados frentes de onda (“travelling waves"),
u(x, t) = h(x − ct),
2
donde se conoce a c como velocidad de propagación.
Como en el caso de las edo’s, un problema de Cauchy permite determinar
todas las soluciones de (1.3). A tal efecto es más sugestivo escribir (1.3) en la
forma,
ut = −cux ,
e imaginarse que el valor inicial es toda una función de x mientras que el “lugar”
de los datos iniciales es, en vez de un punto, todo el eje x.
Teorema 1.3. Para cada φ ∈ C 1 (R) el problema,
{
ut + cux = 0
u(x, 0) = φ(x)
sólo admite u = φ(x − ct) como solución.
Demostración. Basta probar que las soluciones se conservan sobre las rectas
x = x0 + ct.
1.2.2.
5
Ecuaciones lineales: coeficientes constantes
La ecuación:
a1 ux + a2 uy + a0 (x, y)u = f (x, y),
ai ∈ R constantes, de la que la del transporte es un caso particular, puede
tratarse por métodos absolutamente elementales.
El caso más sencillo a2 = 0,
{
a1 ux + a0 (x, y)u = f (x, y)
u(w1 s, w2 s) = φ(s),
admite inmediatamente como solución:
u(x, y) = h(y)e−
∫x
0
a0 (t,y)
a1
dt
−
1
a1
∫
x
e−
∫x
t
a0 (τ,y)
a1
dτ
f (t, y) dt,
0
en la que h se determina resolviendo la ecuación:
∫ w1 s ∫ w s
∫ w1 s a0 (t,w2 s)
1
1
dt
a1
φ(s) = h(w2 s)e− 0
−
e− t
a1 0
a0 (τ,w2 s)
a1
dτ
f (t, y) dt. (1.4)
Se observa inmediatamente que (1.4) se puede resolver para φ’s arbitrarias siempre que w2 ̸= 0.
El caso general:
{
a1 ux + a2 uy + a0 (x, y)u = f (x, y)
u(w1 s, w2 s) = φ(s),
se puede tratar por reducción al caso anterior. Como v = (a1 , a2 ) ̸= (0, 0)
basta con transformar las coordenadas para anular uno de los coeficientes de las
derivadas de primer orden. En otras palabras, la ecuación se puede escribir,
∂u
+ a0 u = f,
∂v
y basta elegir nuevas coordenadas x′ , y ′ para que ∂u/∂v = ∂u/∂x′ . Por ejemplo,
(x, y) = x′ v + y ′ w
Es decir,
w = (−a2 , a1 ) .
( ) (
) ( ′)
x
a1 −a2
x
=
,
y
a2 a1
y′
( ′)
(
)( )
1
x
a1 a2
x
=
.
y′
y
a21 + a22 −a2 a1
La ecuación transformada adopta la forma,
ũx′ + ã0 (x′ , y ′ )ũ = f˜(x′ , y ′ ),
6
donde,
ã0 = a0 (a1 x′ − a2 y ′ , a2 x′ + a1 y ′ )
mientras,
f˜ = f (a1 x′ − a2 y ′ , a2 x′ + a1 y ′ ),
u(x, y) = ũ(|v|−2 (a1 x + a2 y), |v|−2 (−a2 x + a1 y)).
La condición inicial se transforma en,
ũ(|v|−2 (a1 w1 + a2 w2 )s, |v|−2 (−a2 w1 + a1 w2 )s) = φ(s).
1.2.3.
Ecuación de Burgers
Una magnitud fundamental para describir el comportamiento de un fluido
es el campo de velocidades. Si se busca el campo de velocidades u = u(x, t) de
un fluido unidimensional, x ∈ R, de forma que cada partícula fluida se mueve
con velocidad constante, se llega a la ecuación:
ut + uux = 0.
Es similar a la del transporte simple con la particularidad de que la velocidad
de propagación c queda reemplazada por la propia función incógnita u. Para la
resolución del problema de valor inicial:
{
ut + uux = 0
(P )
u(x, 0) = φ(x),
φ ∈ C 1 (R), puede intentarse –por analogía con el caso anterior– la ecuación
implícita,
u = φ(x − ut).
(E)
Se comprueba inmediatamente que si tal u existe, u resuelve (P). Por otro lado,
el teorema de la función implícita permite asegurar la existencia de una única
solución u de (E) definida en un entorno U de t = 0 que cumple la condición
u(x, 0) = φ(x). Podemos enunciar así el siguiente resultado.
Teorema 1.4. El problema (P) admite una única solución u ∈ C 1 (U) en el
sentido de que si u1 ∈ C 1 (U1 ) es otra solución con U1 ⊃ U, u = u1 en U.
Demostración. La unicidad consiste en probar que toda posible solución v =
v(x, t) satisface la ecuación funcional (E). Para ello recordamos que las partículas
fluidas tienen velocidad constante. Es decir, si resolvemos:
{
x′ = v(x, t)
x(0) = x0 ,
se tiene que v(x, t) = v(x0 , 0) sobre la solución x = x(t). Pero v(x0 , 0) = h(x0 )
mientras x(t) = x0 + h(x0 )t. Por tanto v(x, t) = h(x0 ), luego:
v(x, t) = h(x − vt),
que era el objetivo.
1.2.4.
7
Funciones radiales
Una función u ∈ C 1 (R2 \ {0} se dice radial si u = h(r), r =
Satisfacen la ecuación:
yux − xuy = 0
√
x2 + y 2 .
(x, y) ∈ R2 \ {0}.
Otra vez, un problema de valor inicial permite caracterizar sus soluciones.
En el siguiente resultado la sugerencia es observar la ecuación como un problema de primer orden en y donde el dato inicial se toma en una curva “transversal” a la dirección con respecto a la que se deriva.
Teorema 1.5. Para cada φ ∈ C 1 (R+ ) el problema:
{
xuy = yux
u(x, 0) = φ(x),
admite una única solución, que es radial.
Demostración. La unicidad es consecuencia de la conservación de las soluciones
sobre las circunferencias r = r0 .
1.2.5.
Funciones homogéneas
Una función u ∈ C 1 (Rn \ {0}) se dice homogénea de grado α si:
u(tx) = tα u(x)
∀t > 0.
Derivando con respecto a t:
n
∑
i=1
xi
∂u
(tx) = αtα−1 u(x),
∂xi
y haciendo t = 1 se llega a la ecuación (denominada) de Euler,
n
∑
i=1
xi
∂u
= αu.
∂xi
Es fácil decidir qué tipo de comportamiento exhiben las soluciones sobre los
semirayos x = tx0 , t > 0.
Teorema 1.6. El problema de Cauchy,

∑n x ∂u = αu
i=1 i
∂xi

u(x) = φ(x)
|x| = 1,
admite para cada φ una única solución que es una función homogénea.
8
Demostración. Para x fijo el grupo t−α u(tx) se conserva en t para las soluciones
de la ecuación de Euler.
Observación 1.3. Nótese que la condición inicial determina ella sola una única
función homogénea de grado α:
( )
x
u(x) = |x|α φ
.
|x|
1.2.6.
Introducción a los coeficientes variables
Si a1 = a1 (x, y), a2 = a2 (x, y) son funciones de clase C 1 en R2 , la ecuación
de primer orden:
a1 (x, y)ux + a2 (x, y)uy = 0,
describe aquellas funciones que se conservan cuando se las observa en la dirección
variable del campo X = (a1 , a2 ). Nada más natural que considerar las curvas
del plano γ que son tangentes a X. Por definición tales curvas son las órbitas
de la edo:
{
x′ = a1 (x, y)
(S)
y ′ = a2 (x, y).
Es inmediato comprobar que u se conserva sobre cualquier órbita γ de (S) si y
sólo si u cumple la edp propuesta. Resolver el problema:
{
a1 (x, y)ux + a2 (x, y)uy = 0
(P )
u(x, 0) = φ(x),
es construir u = u(x, y) que cumple:
u(x, y) = φ(x0 ),
sobre órbita γx0 que pasa por (x0 , 0) y esto para cada x0 . La posible arbitrariedad en la elección del dato φ requiere suponer que:
a2 (x, 0) ̸= 0
x ∈ R.
El cálculo de órbitas de (S) que pasan por el eje 0x se hace como sigue. El
problema,

 dx = a1 (x, y)
dy
a2 (x, y)

x(0) = x0 ,
admite una única solución x = X(y, x0 ). En la ecuación,
x − X(y, x0 ) = 0,
x0 se puede despejar en términos de (x, y) bajo la forma de una función C 1 ,
ξ = ξ(x, y). Si se quiere, las órbitas por el eje x son la familia uniparamétrica
de curvas,
ξ(x, y) = x0 ,
1.3. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
9
con x0 el parámetro. Cubriendo todos los detalles con el debido rigor –y la ayuda
de la teoría de edo’s– puede probarse el siguiente resultado.
Teorema 1.7. Para cada φ ∈ C 1 (R) y bajo la condición de transversalidad
de órbitas a2 (x, 0) ̸= 0, x ∈ R el problema (P) admite una única solución
u ∈ C 1 (U) definida en un cierto entorno U del eje x.
Demostración. La solución no puede ser otra que u(x, y) = φ(ξ(x, y)).
Ejemplo 1.4. El problema:
{
xux + uy = 0
u(x, 0) = φ(x),
conduce a la ecucación:
dx
= x.
dy
La condición x(0) = x0 lleva a x0 = xe−y . La solución es pues u = φ(xe−y ).
1.3.
Ecuaciones de segundo orden
Si Ω ⊂ Rn es un dominio de Rn , una función:
F :
2
Ω × R × Rn × Rn
(x, z, p, q)
−→
7−→
R
F (x, z, p, q),
donde p = (pi ), q = (qij ), define la ecuación en derivadas parciales de segundo
orden:
F (x, u, (∂i u), (∂ij u)) = 0,
(1)
en el sentido de que u ∈ C 2 (Ω) resuelve (1) si F (x, u(x), (∂i u(x)), (∂ij u(x))) = 0
en cada x ∈ Ω.
Una ecuación lineal en el grupo de variables (p, q) se llama lineal:
n
∑
aij (x)∂ij u +
i,j=1
n
∑
ai (x)∂i u + a0 (x)u = f (x),
i=1
mientras que una ecuación cuasilineal es aquella en la que F sólo es lineal en el
grupo q y la ecuación toma la forma:
n
∑
aij (x, u, ∇u)∂ij u = b(x, u, ∇u).
i,j=1
La generalidad de los cursos avanzados de ecuaciones en derivadas parciales, incluso los más ambiciosos, sólo alcanza a tratar las ecuaciones lineales de segundo
orden. En especial las tres ecuaciones de la física matemática: las ecuaciones de
Laplace (y Poisson), del calor y de las ondas que pasamos a presentar a continuación.
10
1.3.1.
Ecuación de Laplace
Una masa puntual M localizada en el origen 0 ∈ R3 crea una perturbación
en el medio circundante de forma que una partícula puntual en la posición
x = (x1 , x2 , x3 ) sufre una fuerza por unidad de masa
F (x) = −
GM x
GM
=− 3 x
2
|x| |x|
r
r = |x|,
donde G es la constante de gravitación. La fuerza F deriva de un potencial
V = V (x), es decir:
F (x) = ∇V (x).
En efecto, ensayando una función radial V (x) = U (r), el que
Vxi = −(GM/r3 )xi = −(GM/r2 )xi /r
nos lleva a que
GM
.
r
Se conoce a V como el potencial Newtoniano.
Por otro lado,
( ′)
( ′ )′ 2
U
U′
U
xi
U′
Vxi xi =
xi +
=
+
.
r xi
r
r
r
r
V (x) =
En nuestro caso U ′ /r = −GM/r3 , (U ′ /r)′ = 3GM/r4 . Por tanto,
3
∑
(
Vxi xi = r
i=1
U′
r
)′
+3
U′
= 0.
r
Para una función u ∈ C 2 (Ω), Ω ⊂ Rn , el grupo:
∆u :=
n
∑
∂ii u =
i=1
n
∑
∂2u
i=1
∂x2i
,
se conoce como el Laplaciano de u (se llamará a ∆ el operador Laplaciano).
Se ha comprobado que el potencial Newtoniano V = GM/r satisface la
ecuación:
∆V = 0
en R3 \ {0}.
Se llama a:
∆u = 0
x ∈ Ω,
(L)
la ecuación de Laplace en Ω. Decimos que u es armónica en Ω si satisface (L).
El potencial Newtoniano es armónico en R3 \ {0}.
Un ejemplo fundamental de función armónica en el plano lo dan las determinaciones de la función argumento θ = θ(x, y). Para construir una de
11
ellas sea “arctag x” la inversa de la tangente en (−π/2, π/2). Sobre el dominio Ω = R2 \ {(0, y) : y ≥ 0} definimos:


x>0
arctag (y/x)
θ(x, y) = π/2
y > 0, x = 0


arctag (y/x) + π
x < 0.
Es inmediato ver que θ ∈ C ∞ (Ω) y que es armónica en Ω. Se verá más adelante
que todas las funciones armónicas se generan a partir de la función argumento.
Otra gran clase de ejemplos de funciones armónicas en el plano lo suministran
las funciones holomorfas. Si Ω ⊂ C es un domino del plano complejo, z = x + iy,
y f : Ω → C es una función derivable en sentido complejo en Ω, es decir, el
límite:
f (z0 + z) − f (z0 )
f ′ (z0 ) = lı́m
,
(2)
z→0
z
existe para cada z0 ∈ Ω, entonces escribiendo: f (z) = u(x, y) + iv(x, y) es fácil
ver que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
ux = vy
uy = −vx .
(3)
Basta para ello tomar z real en (2) e igualar el límite al correspondiente valor
cuando z es imaginario puro (Ejercicio). Admitiendo la existencia de las derivadas de orden dos para u y v es inmediato concluir de (3) que u y v son armónicas
en Ω.
La experiencia del curso nos enseñará que el operador Laplaciano se relaciona
bien con las rotaciones de Rn . De hecho, si u es radial, u = U (r) entonces,
∆u = U ′′ (r) +
n−1 ′
U (r)
r
De ahí la ecuación de Laplace en Rn \ 0 para funciones radiales da como soluciones (módulo constantes):

 Cn
n≥3
U (r) = rn−2
C log r n = 2 .
2
A efectos de cálculo suele hacerse una elección precisa de las constantes Cn (ver
más adelante la solución fundamental del operador Laplaciano).
Finalmente, la teoría de gravitación proporciona otro modelo de ecuación
asociada al operador Laplaciano. Supongamos ahora que la masa M que perturba el espacio no está localizada en un punto sino que ocupa un dominio
Ω ⊂ R3 (un planeta) en la que está distribuida según una densidad de masa
ρ = ρ(x).
La fuerza neta de atracción por unidad de masa sobre una partícula en la
posición espacial x viene dada por la integral:
∫
Gρ(y)
F (x) = −
(y − x) dy.
|x
− y|3
Ω
12
Dicha fuerza deriva del potencial,
∫
V (x) =
Ω
Gρ(y)
dy,
|x − y|
que se llama potencial Newtoniano con densidad ρ. Si –como es natural– ρ ∈
L1 (Ω) entonces, una aplicación escrupulosa de los resultados de derivación bajo
el signo integral (cf. Anexo) permite concluir que:
x ∈ R3 \ Ω.
∆V = 0
Si además ρ es un poco más regular, por ejemplo, ρ ∈ C 1 (Ω) ∩ L∞ (Ω) (Ω
acotado) entonces V satisface la ecuación:
∆V = −4πGρ(x)
x ∈ Ω.
Los cálculos implicados ahora en la demostración son más delicados que una
mera derivación bajo el signo integral y se desarrollarán en los Capítulos VIII
y IX correspondientes a la teoría del potencial.
Para f definida en un dominio Ω ⊂ Rn se conoce a:
∆u = f (x)
x ∈ Ω,
se conoce como la ecuación de Poisson.
1.3.2.
Problema de Dirichlet
A la luz de lo explicado, existe una infinidad de funciones armónicas u en un
dominio Ω. Basta construir los potenciales u ∈ C 2 (Ω) asociados a las infinitas
distribuciones de masa ρ ∈ C 1 (Ω1 ) con Ω1 ∩ Ω = ∅.
La siguiente definición se atribuye a Riemann.
Definición 1.8. Sea Ω ⊂ Rn un dominio con frontera no vacía ∂Ω y φ una
función dada que es continua en ∂Ω. Se dice que u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) es solución
del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace si:
{
∆u = 0
x∈Ω
(1.5)
u=φ
x ∈ ∂Ω.
El contexto en el que surgió dicho problema es el de la teoría de las funciones
complejas. Para hallar una solución del problema se introdujo el funcional:
∫
D(u) =
|∇u|2 dx,
Ω
donde se supone que Ω es un dominio acotado de Rn y u varía en la clase
D = {u ∈ C 1 (Ω) : u = φ si x ∈ ∂Ω}.
13
Se propuso el siguiente problema de tipo variacional: hallar u ∈ D tal que
(1.6)
D(u) = ı́nf D(v).
v∈D
En su tiempo –mediados del XIX– se daba por sentado la existencia de una
solución de éste último.
La conexión con el problema de Dirichlet (1.5) se resume en las siguientes
propiedades.
Propiedad 1.9. Si u ∈ D resuelve (1.6):
∫
∇u∇v dx = 0
∀v ∈ C 1 (Ω) y v|∂Ω = 0.
Ω
Propiedad 1.10. Si u, v ∈ C 1 (Ω) entonces:
∫
D(u) = D(v) + D(u − v) + 2
∇u∇(u − v).
Ω
En particular (1.6) admite a lo más una solución.
Propiedad 1.11. Sea u ∈ D ∩ C 2 (Ω). Entonces u resuelve (1.5) ⇔ u resuelve
(1.6).
Observaciones 1.5.
Las condiciones bajo las que (1.6) admite solución no son en absoluto obvias.
Dependen de la geometría del dominio. Un ámbito natural lo proporcionan los
dominios de clase C 1 (Anexo).
Cuando φ sólo es continua la existencia de (1.6) queda en entredicho incluso en
el círculo.
Si (1.6) admite solución no es inmediato probar que dicha solución es dos veces
derivable y cumple la ecuación de Laplace.
Que (1.6) admite solución es lo que se dio en llamar (palabras de Riemann) el
“principio de Dirchlet”.
1.3.3.
La ecuación de ondas
Una magnitud u = u(x, t), (x, t) ∈ Ω × R, mide la “desviación” de un medio
continuo –dotado de propiedades elásticas– con respecto a la configuración de
equilibrio, representada por u = 0 (u puede representar una cualquiera de las
componentes del vector desplazamiento que señala la desviación con respecto
al equilibrio). El medio puede ser unidimensional (una cuerda), bidimensional
(una membrana) o tridimensional (un sólido elástico). Como comprobaremos en
la Sección 1.5, cuando el medio detenta propiedades de elasticidad adecuadas,
u cumple –bajo la hipótesis de variaciones de pequeña amplitud– la ecuación:
∂2u
= c2 ∆u,
∂t2
14
conocida como ecuación de ondas. El número c > 0 representa, como veremos, la
velocidad de propagación de las perturbaciones. La propagación de señales acústicas, la radiación de energía y la propagación de señales electromagnéticas son
otros de los fenónmenos que pueden describirse mediante la ecuación de ondas.
La conservación de la energía es una característica de los procesos gobernados
por dicha ecuación. La variable t tiene el sentido de tiempo. Si el medio puede
considerarse “ilimitado”, un problema de valor inicial “natural” para la ecuación
de ondas es:
 2
 ∂ u = c2 ∆u


 ∂t2

u(x, 0) = φ0 (x)



ut (x, 0) = φ1 (x) ,
para posición y velocidad φ0 , φ1 prefijadas. Otros términos representando fricción aerodinámica o fuentes de perturbación externas pueden aparecer en la
ecuación (Sección 1.5):
∂2u
+ but = c2 ∆u + F (x, t).
∂t2
1.3.4.
La ecuación del calor
La energía calorífica, bajo condiciones de variabilidad pequeña, es transportada por un proceso denominado difusión, de regiones de alta temperatura hasta
zonas de temperatura inferior. En términos de la ley de Fourier (de la que hablaremos en la S. 1.6) este fenómeno de transporte se describe en función de la
temperatura u = u(x, t) mediante la ecuación del calor:
∂u
= k∆u,
∂t
(4)
en la que la constante k resume las propiedades de conductividad del medio
(aquí supuesto isótropo). De nuevo t representa el tiempo y si estamos suponiendo que el medio es ilimitado (las condiciones externas pueden considerarse
despreciables), un problema de valor inicial natural para (4) es,

 ∂u = k∆u
∂t

u(x, 0) = φ(x),
donde φ es la temperatura inicial.
Una característica de los procesos simulados por (4) es su carácter disipativo
en el sentido de degradar la energía (son además de naturaleza fuertemente
irreversible). Como veremos más adelante, (4) tiene la propiedad de velocidad
infinita de propagación de las perturbaciones.
1.3.5.
15
Ecuación de las superficies mínimas: un ejemplo de
ecuación cuasilineal
El siguiente ejemplo pertenece al círculo de los problemas variacionales –fundamentales en física teórica– cuyo estudio general se desarrolla en el Cálculo de
Variaciones.
Consideremos un dominio acotado Ω ⊂ Rn de clase C 1 (cf. Anexo) y h =
h(x) ∈ C 1 (Ω) una función prefijada. En X = {u ∈ C 1 (Ω) : u|∂Ω = h} introducimos el funcional:
J : X −→ R
u
7−→ J(u),
definido por:
∫ √
J(u) =
1 + |∇u|2 dx.
Ω
J mide el área de la superficie S = {z = u(x) : x ∈ Ω} en Rn+1 . Un problema
natural es hallar u tal que:
J(u) = ı́nf J(v).
v∈X
(P ).
Una condición necesaria para que u sea solución de (P) es que:
d
(J(u + tφ))|t=0 = 0,
dt
para toda φ ∈ C01 (Ω). Esto significa que:
∫
∇u∇φ
√
dx = 0
1 + |∇u|2
Ω
∀φ ∈ C01 (Ω).
(5)
Si se hace la hipótesis adicional de que u ∈ C 2 (Ω) entonces el teorema de la
divergencia (cf. Anexo) nos lleva a:
(
)
∫
∇u
div √
φ dx = 0
∀φ ∈ C01 (Ω),
1 + |∇u|2
Ω
por lo que llegamos a que u resuelve el problema:
(
)


div √ ∇u
=0 x∈Ω
1 + |∇u|2


u=h
x ∈ ∂Ω.
1.3.6.
El problema de Cauchy: generalidades
Como en el caso de edo’s y algunos ejemplos de edp’s de primer orden vistos
en el §I.1.2 nos planteamos la existencia de condiciones similares a las de valor
inicial que determinen “con unicidad” las soluciones de una edp. Esto ya presupone algo nada trivial en el caso de edp’s como es la propia existencia de un
16
número suficiente de soluciones que permita ajustar éste u otro tipo concebible
de condiciones. En efecto, se dará en el Capítulo III un ejemplo de edp lineal
con coeficientes complejos que no admite soluciones en absoluto.
Módulo un estudio más profundo en el Capítulo III trataremos ahora de
sugerir que el problema de Cauchy para una edp de segundo orden en el plano
consiste en prefijar, de manera arbitraria, sobre una curva C 1 dada Γ = {(x, y) =
(f (s), g(s)) : s ∈ I} los valores de la solución u = u(x, y) y√
de su derivada normal
a Γ, es decir ∂u/∂ν donde, por ejemplo, ν = (−g ′ , f ′ )/ f ′ 2 + g ′ 2 (′ = d/ds,
mientras se supone (f ′ , g ′ ) ̸= (0, 0) en Γ).
A tal efecto consideramos:


uyy = f (x, y, u, uy )
(6)
u(x, 0) = φ0 (x)


uy (x, 0) = φ1 (x),
que es ciertamente un caso muy particular de un problema más ambicioso que
consideraremos más tarde como es:


uyy = f (x, y, u, ux , uy , uxy , uyy )
(7)
u(x, 0) = φ0 (x)


uy (x, 0) = φ1 (x).
En el caso en que (6) toma la forma uyy + u = 0, u(x, 0) = φ0 (x), uy (x, 0) =
φ1 (x) la solución es u = φ0 (x) cos y + φ1 (x) sen y. En general un teorema de
existencia y unicidad de soluciones para (6) está ya recogido en la teoría de
edo’s. En efecto para, pongamos, G = G(x, z, p, λ), G : R × R × R × R → R, de
clase C 1 , el problema:

′′
′

u = G(x, u, u , λ)
(8)
u(x0 ) = ξ0

 ′
u (x0 ) = ξ1 ,
admite una única solución u = U (x, x0 , ξ0 , ξ1 , λ). Se puede así construir una
única solución local de (6) si, usando la jerga de (8) observamos en (6) a x como
el parámetro λ y ponemos como solución:
u = U (y, 0, φ0 (x), φ1 (x), x).
No obstante, adelantamos que sólo podremos garantizar la existencia de soluciones de (7) bajo condiciones muy restrictivas.
Si por otra parte nos limitamos al caso lineal:
a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + a1 ux + a2 uy + a0 u = F (x, y),
una de las posibilidades es, por ejemplo, la ecuación:
uxy = F (x, y).
(9)
1.4. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
17
Si nos limitamos a cualquiera de los ejes como curva destinataria de las condiciones iniciales se observa que (9) no es propiamente de segundo orden con
respecto a la variable x o y. Eso da lugar a la introducción de otro tipo posible
de problema de valor inicial donde las condiciones se toman en ejes distintos.
Por ejemplo,


uxy = F (x, y)
u(0, y) = φ(y)


ux (x, 0) = ψ(x).
Una integración directa nos da que la solución de (10) –problema que se llama
de tipo Goursat– es:
∫ x
∫ x∫ y
u = φ(y) +
ψ(ξ) dξ +
F (ξ, η) dη dξ.
0
0
0
En los ejercicios abundaremos un poco más sobre este tipo de cuestiones.
1.4.
Ecuaciones de orden superior
Si consideramos funciones u de clase C k en un dominio Ω ⊂ Rn (u ∈
C (Ω)) es decir funciones que admiten todas las posibles derivadas parciales
∂ l u/∂xi1 . . . ∂xil de órdenes l ≤ k de forma que tales derivadas parciales definen
funciones continuas en Ω, se sabe –ver Capítulo III para detalles precisos– que
todas esas posibles derivadas parciales coinciden con alguna de las derivadas
canónicas:
∂ |α| u
∂αu =
αn ,
1
∂xα
1 . . . ∂xn
k
donde α = (α1 , . . . , αn ) ∈ (N ∪ {0})n , |α| = α1 + · · · + αn . Si N (k) designa
el número de α′ s con |α| ≤ k (la “derivada de orden cero” una de ellas), una
función
F : Ω × RN (k) −→ R
(x, (yα ))
7−→ F (x, (yα )),
define la edp de orden k:
F (x, (∂ α u)) = 0,
en el sentido de que u ∈ C k (Ω) resuelve (1) si F (x, (∂ α u(x))) = 0 en cada x ∈ Ω.
Las ecuaciones lineales corresponden a ∑
elecciones de F ’s que son lineales en
la variable y = (yα ), es decir F (x, (yα )) = |α|≤k aα (x)yα − f (x):
∑
aα (x)∂ α u = f (x).
|α|≤k
En relación con las ecuaciones diferenciales es muchas veces convenientes hablar de operadores diferenciales lineales, en este caso con coeficientes aα en un
dominio Ω, es decir aplicaciones:
L:
C k (Ω)
u
−→
7−→
C(Ω) ∑
Lu = |α|≤k aα (x)∂ α u,
18
Figura 1.1: Cuerda elástica
donde se supone que las aα ∈ C(Ω). La ecuación anterior se abrevia como
Lu = f .
La ecuación lineal de orden superior al segundo más estudiada quizás sea:
∆2 u = f (x),
∆ el operador Laplaciano, que aparece en teoría de elasticidad. Se conoce a ∆2
como el operador biarmónico.
Las ecuaciones cuasilineales corresponden a F ′ s lineales en el grupo de variables yα con |α| = k,
∑
aα (x, (∂ β u)|β|≤k−1 )∂ α u = b(x, (∂ β u)|β|≤k−1 ).
|α|=k
Se puede decir que salvo para clases especiales de ecuaciones (por ejemplo
las lineales) no se conoce una teoría general para edp’s de orden superior a dos.
Deberíamos citar como ejemplo interesante la ecuación de Korteweg-de Vries
(KdV) que aparece en el estudio de ondas de agua (“water waves”) y teoría de
solitones:
ut + uux + uxxx = 0.
1.5.
1.5.1.
La Ecuación de Ondas
La ecuación de las ondas unidimensional
Consideramos una cuerda elástica que se halla en en estado de reposo -en
ausencia de fuerzas exteriores- por el efecto de una fuerza de tensión T0 a lo largo
de la misma, al estar anclada entre los puntos O y P del eje Ox. Supondremos
que tiene longitud l (Figura 1.1).
La situación física a describir consiste en separar la cuerda de su posición
de equilibrio, creando la deformación una fuerza recuperadora que genera el
movimiento de la misma. El estado futuro de la cuerda -en términos del tiempo
t- se representará por las ecuaciones:
x = x(s, t)
y = y(s, t)
0≤s≤l
t ≥ 0,
1.5. LA ECUACIÓN DE ONDAS
19
donde s es un parámetro que se define mediante el convenio de que X(s, t) =
(x, y) represente el punto de la cuerda que inicialmente (t = 0) se hallaba en la
posición (x, y) = (s, 0). Admitiremos que en cada instante, la masa de un tramo
s1 ≤ s ≤ s2 viene expresada por:
∫ s2
ρ(s) ds,
s1
donde la función continua ρ(s) designa la densidad lineal de masa, ρ(s) > 0 en
0 ≤ s ≤ l.
En todo momento suponemos que el movimiento tiene lugar en el plano x-y.
Las condiciones iniciales son:
{
{
x(s, 0) = s
y(s, 0) = f (s)
(CI)
xt (s, 0) = 0
yt (s, 0) = g(s),
en donde 0 ≤ s ≤ l. Por otra parte, el proceso impone las condiciones de
contorno:
x(0, t) = 0,
x(l, t) = l,
y(0, t) = y(l, t) = 0,
t ≥ 0.
(CC)
Suponemos que sobre cada porción s1 ≤ s ≤ s2 de la cuerda actúa una fuerza
vertical neta (dirigida hacia abajo) de módulo:
∫ s2
F (s1 , s2 ) =
ρ(s)F (x(s, t), t) ds.
s1
En otros términos F = F (x, t) es una densidad de fuerzas verticales por unidad
de masa en el punto
∫ s x y en el instante t. Por ejemplo, en el caso del peso, F = g
y F (s1 , s2 ) = g s12 ρ(s) ds, donde la integral representa la masa del trozo de
cuerda.
Para determinar las ecuaciones del movimiento analizaremos las fuerzas sobre un trozo de cuerda si−1 ≤ s ≤ si , 0 = s0 ≤ s1 ≤ · · · ≤ sn = l. Su momento
lineal viene dado por:
(∫
)
∫
si
p̄i =
si
ρ(s)yt ds. ,
ρ(s)xt ds,
si−1
si−1
Las ecuaciones del movimiento se obtendrán escribiendo la segunda ley de Newton (para la variación del momento lineal):
dp̄
= FiE + F̄iI ,
dt
con F̄iE (respectivamente F̄iI ) la fuerza exterior (respectivamente interior) neta
actuando sobre el trozo si−1 ≤ s ≤ si . Por hipótesis, si−1 ≤ s ≤ si está sometido
a la fuerza exterior:
(
)
∫ si
F̄iE = (0, −F (si−1 , si )) = 0, −
ρ(s)F (x(s, t), t) ds .
si−1
20
Falta por precisar quiénes son las fuerzas internas (de corto alcance) que actúan
sobre la porción si−1 ≤ s ≤ si de la cuerda. Para ello es necesario dar una ley
que describa cómo es la naturaleza de las fuerzas de tensión en los extremos.
Esto equivale a describir las propiedades elásticas de la cuerda.
En primer lugar medimos el alargamiento neto sufrido por si−1 ≤ s ≤ si en
el instante t:
∫ si √
x2s + ys2 ds − ∆s (∆s = si − si−1 ),
si−1
donde xs = xs (s, t), ys = ys (s, t). El alargamiento medio por unidad de longitud,
1
∆s
∫
si
√
x2s + ys2 ds − 1.
si−1
Así, el alargamiento puntual por unidad de longitud o densidad de alargamiento
es finalmente:
√
e = x2s + ys2 − 1.
Una primera hipótesis de elasticidad es que en cada punto s la fuerza de tensión
T̄ (s, t) vaya dirigida en la dirección de la tangente, es decir (si T (s, t) designa el
módulo):
T̄ (s, t) = T (s, t)t̄(s, t),
√
con t̄(s, t) = (xs , ys )/ x2s + ys2 el unitario tangente en s. Esto significa que el
material que constituye la cuerda es tal que su ”reacción a la deformación”,
cuando uno quiere ”separar” una sección transversal imaginaria de su contigua,
es puramente normal a dicha sección. En otras palabras, no hay fricciones tangenciales (fatigas), o si se quiere, no hay ”oposición” a la flexión.
La segunda hipótesis de elasticidad es que el módulo de la tensión sea una
función exclusiva de e y de s,
T (s, t) = T (e, s),
con T (0, t) = T0 , donde T0 es la tensión de la cuerda en reposo. Desarrollando
T se obtiene:
T = T0 + Te′ (0, s)e + O(e2 ).
Por ejemplo, el caso particular T = T0 + ke (k constante, el módulo de
elasticidad) da lugar a la conocida ley de Hooke. De aquí se deduce que la
resultante de las fuerzas internas sobre si−1 ≤ s ≤ si resulta ser:
si
F̄iI = T (si , t)t̄(si , t) − T (si−1 , t)t̄(si−1 , t) = T (s, t)t̄(s, t)
.
si−1
Como,
si
T (s, t)t̄(s, t)
si−1
∫
si
=
si−1
∂
(T (s, t)t̄(s, t)) ds,
∂s
21
Figura 1.2: Elemento de cuerda
la identidad para la derivada del momento lineal da lugar a las ecuaciones:
 (
)
T xs
∂


= ρxtt

∂s ( e + 1 )
(1.7)
∂
T ys


= ρytt + ρF.

∂s e + 1
El problema consiste entonces en determinar las funciones x = x(s, t), y = y(s, t)
a partir de (1), y las condiciones (CI) y (CC), donde f , g y T son datos del
problema. El carácter fuertemente no lineal de las ecuaciones (1.7) sugiere, en
primera aproximación, su linealización, para llegar a un modelo más sencillo.
La forma de llevar a cabo este proceso es como sigue. Vamos a imaginarnos que el tiempo t y las funciones f , g junto con sus derivadas hasta
el orden dos son pequeñas. Más precisamente consideramos el vector Φ =
(t, f, g, f ′ , g ′ , f ′′ , g ′′ ) con módulo |Φ| = (|t|, |f |∞ , . . . , |g ′′ |∞ ), siendo, por ejemplo |f |∞ = sup0≤x≤l |f (x)|. A continuación, separaremos en (1.7) los términos ”lineales”, e. d. O(|Φ|), de los de orden superior o(|Φ|), despreciando éstos últimos frente a los primeros. La ecuación resultante (1.9) es la aproximación lineal a (1.7). Conviene recordar la notación u(x) = o(v(x)) (respectivamente u(x) = O(v(x)) cuando x → 0 si u(x)/v(x) → 0 (respectivamente
|u(x)| ≤ M |v(x)|, M > 0) cuando x → 0.
En primer lugar obsérvese que:
xs = 1 + O(t2 ),
xss = O(t2 ),
o si se quiere,
xs = 1 + O(|Φ|2 ),
xss = O(|Φ|2 ).
Por tanto, para t ∼ 0 la ecuación x = x(s, t) define s = s(x, t). Podemos
considerar entonces v(x, t) = y(s(x, t), t) y resulta que:


ys = vx xs
yt = vx xt + vt


ytt = vtt + vxx x2t + 2vxt xt + vx xtt ,
22
que llevado a (1.7), y teniendo en cuenta que:
)
(
)
(
)
(
∂
T ys
∂
T xs
∂
T ys 2
=
vx = ρxtt vx +
x vxx ,
∂s e + 1
∂s e + 1
∂s e + 1 s
da lugar a
(
ρvtt =
T
x2 − ρx2t
e+1 s
)
− 2ρxt vxt − ρF,
que se puede escribir como:
vtt = −F +
T0
1
vxx +
ρ
ρ
(
)
T
x2s − T0 − ρx2t vxx − 2xt vxt ,
e+1
es decir,
vtt = −F +
T0
vxx −
ρ(x)
T0 ρ(s) − ρ(x)
1
vxx +
ρ(s)
ρ(x)
ρ
(
)
T
2
2
x − T0 − ρxt vxx − 2xt vxt ,
e+1 s
En el segundo miembro de dicha ecuación, −F = O(1). Enseguida se ve que:
T0
vxx = O(|Φ|),
ρ(x)
mientras que
(
)
T
x2s − T0 − ρx2t vxx − 2ρxt vxt = o(|Φ|),
e+1
(1.8)
ya que, de hecho, tal cantidad es del orden de |Φ|2 , mientras que
T0 ρ(s) − ρ(x)
vxx = O(|Φ|3 )
ρ(s)
ρ(x)
cuando t, f y g son pequeños. En conclusión,
vtt =
T0
vxx − F,
ρ(x)
(1.9)
es la aproximación lineal de (1.7).
Comencemos estudiando los órdenes de magnitud de vxx y vxt . Se tiene,
v(x, t) = y(s(x, t), t)
vx = ys sx , vxx = yss s2x + ys sxx
vxt = yss st sx + yst sx + ys sxt .
De x = x(s(x, t), t) se tiene que
1 = xs sx ,
23
0 = xss s2x + xs sxx ,
de donde sx = O(1), mientras que sxx = O(t2 ). Por tanto, vxx es del orden de
ϕ, es decir vxx = O(|Φ|). Sin embargo, st = O(t), sxt = O(t) pues derivando
con respecto a t la identidad 1 = xs sx se llega a 0 = xss st sx + xst xs + xs sxt y
basta tener en cuenta que xst = O(t). Así
vxt = O(t)(yss + ys ) + O(|yst ).
Como yss + ys = f ′′ + f ′ + (g ′′ + g ′ )t + O(t2 ) = O(|Φ|), yst = g ′ + O(t) = O(|Φ|),
entonces vxt = O(|Φ|). Así, el término xt vxt en la ecuación,
vtt = −F +
T0
vxx −
ρ(x)
T0 ρ(s) − ρ(x)
1
vxx +
ρ(s)
ρ(x)
ρ
(
)
T
x2s − T0 − ρx2t vxx − 2xt vxt , (1.10)
e+1
es despreciable frente a vxx . En cuanto al coeficiente de vxx en (1.8) (ver (1.10))
sabemos que ys = O(|Φ|). Luego,
√
√
√
e = x2s + ys2 − 1 = 1 + O(t2 + |Φ|2 ) − 1 = 1 + O(|Φ|2 ) − 1 = O(|Φ|2 ),
√
pues 1 + u = 1 + O(u), xs = 1 + O(t2 ). Por otro lado,
T
= (T0 + O(e))(1 + O(e)) = T0 + O(e) = T0 + O(|Φ|2 ),
(1 + e)
mientras que ρx2t = O(t2 ), por ello dicho coeficiente es de orden 2 en Φ, luego de
orden 3 en Φ al multiplicar por vxx . También será entonces despreciable frente
a vxx .
En cuanto a ρ(s(x, t)) − ρ(x), nótese que ρ(s(x, t)) − ρ(x) = ρ′ (x + θ(s(x, t) −
x))(s(x, t)−x), con 0 < θ < 1. Como s(x, t) = x+O(t2 ), ρ(s(x, t))−ρ(x) = O(t2 ).
Al ser ρ > 0 en 0 ≤ s ≤ 0, tenemos que el tercer sumando en el segundo miembro
de (4) es del orden de |Φ|3 y podemos despreciarlo frente a vxx .
Resumiendo, (1.9) es la linealización de (1.10).
Si volvemos a las condiciones iniciales, como s(x, 0) = x, mientras st (x, 0) =
0 resulta que v = v(x, t) satisface el problema de contorno y valor inicial:

utt = c2 uxx − F (x, t) 0 < x < l, t > 0



u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ l
(1.11)

u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ l



u(0, t) = u(l, t) = 0 t ≥ 0.
Hemos puesto c2 = T0 /ρ(x), donde c se define como la velocidad de propagación de las perturbaciones. Las condiciones de contorno en (1.11) se llaman
de tipo Dirichlet homogéneas. Otras posibles condiciones de contorno (de tipo
Neumann):
ux (0, t) = ux (l, t) = 0,
24
o (de tipo Robin),
−ux (0, t) + β1 u(0, t) = ux (l, t) + β2 u(l, t) = 0.
Por otra parte, pueden considerarse problemas mixtos de contorno donde se
alternan condiciones de diferente tipo en los extremos. También pueden considerarse condiciones de contorno no homogéneas, por ejemplo:
u(0, t) = α(t),
u(l, t) = β(t),
que en este caso (α y β datos) se llamarían de tipo Dirichlet no homogéneo.
La ecuación (1.9) puede contener más términos, por ejemplo:
vtt =
T0
vxx − bvt − F,
ρ
(1.12)
donde el término −bvt representa una fricción aerodinámica. Se conoce a (1.12)
como la ecuación de las ondas “amortiguada” mientras que (1.9) es la ecuación
de las ondas “forzada” o “perturbada” por F .
1.5.2.
Ecuación de las ondas bidimensional
Vamos a repetir la experiencia del caso unidimensional con una membrana
elástica sujeta a un bastidor ∂Ω que es la frontera –regular, es decir una curva
de clase C k , k ≥ 1– de un dominio Ω del plano. La extensión directa del caso
anterior sugeriría considerar los movimientos en la forma:
x = x(s1 , s2 , t) y = y(s1 , s2 , t) z = z(s1 , s2 , t)
(s1 , s2 ) ∈ Ω,
sin embargo, supondremos para simplificar que el movimiento es puramente
vertical y así, supondremos que si inicialmente, la membrana M está en reposo
bajo el efecto de una tensión constante T0 , e. d.,
x ≡ s1 ,
y ≡ s2 ,
z ≡ 0,
consideramos que x ≡ s1 y y ≡ s2 en los movimientos futuros, con lo que el
perfil de la membrana se puede escribir como:
u = u(x, y, t),
(x, y) ∈ Ω.
Cada trozo D de la membrana,
D = D(t) = {z = u(x, y, t)/(x, y) ∈ D},
está sometido a la acción de fuerzas exteriores al sistema (gravedad, fricción
aerodinámica) y a fuerzas interiores debidas a la variación de la tensión por
elasticidad del material.
La segunda ley de Newton establece las ecuaciones del movimiento en la
forma:
p̄′ = FiI + FiE ,
25
Figura 1.3: Balance de fuerzas en la membrana
donde p̄ es el momento lineal de D que vale:
(∫
)
∫
∫
ρ(x, y)xt dxdy,
ρ(x, y)yt dxdy,
ρ(x, y)ut dxdy ,
p̄ =
D
D
D
y donde admitiremos que las dos primeras componentes son cero. Contabilizamos la fuerza externa neta sobre D en la forma:
(
)
∫
F̄iE = 0, 0, − ρ(x, y)F (x, y, t) dxdy ,
(de nuevo ρ > 0 en Ω representa la densidad de M). Para las fuerzas interiores
introducimos la tasa (densidad) de deformación puntual:
e=
√
1 + |∇u|2 − 1,
a la que se llega por el mismo razonamiento que en el caso de la cuerda. Ahora,
las fuerzas de tensión sobre D en un punto P actúan siguiendo la dirección
de la normal unitaria exterior ν̄ a D que es además tangente a M en dicho
punto. Para calcular ν̄ en P = (x0 , y0 , u(x0 , y0 )) suponemos que f y g son
regulares en √
∂D = {x = f (s), y = g(s)}1 ; tomamos el vector unitario tangente
′
τ̄ = (f ′ , g√
)/ f ′ 2 + g ′ 2 y la normal unitaria exterior a ∂D en el plano: n̄ =
′
′
(g , −f )/ f ′ 2 + g ′ 2 , y entonces:
ν(P ) = √
=√
1
1 + |∇u|2
1
1 + |∇u|2
√
√
1 + u2τ
1 + u2τ
(n1 + uτ uy , n2 − uτ ux , un )
(n̄ + uτ (uy , −ux ), un ),
donde uτ = ∇u · τ̄ , y un = ∇u · n̄.
Una vez establecida la dirección de la fuerza de tensión T̄ (P, t) en el punto
P e instante t, es necesario observar que en elasticidad, el módulo T (P, t) de T̄
va a medir la magnitud de la tensión por unidad de longitud de arco dl en ∂D.
1 Se
supone que f , g recorren ∂D siguiendo las agujas del reloj.
26
En otras palabras, para conocer la magnitud de la fuerza neta sobre un arco Γ
de ∂D, basta con efectuar la integral de línea:
∫
∫ b
√
T (P, t) dl =
T (P ) f ′ 2 + g ′ 2 + |∇u · (f ′ , g ′ )|2 ds,
Γ
a
en donde hemos parametrizado Γ en la forma {(f (s), g(s), u(f (s), g(s))|a < s <
b}. De ahí, la resultante de las fuerzas internas sobre D será:
∫
FiI =
T̄ (P ) dl
∂D
(∫
)
∫
n̄ + uτ (uy , −ux )
un
√
√
=
T (P ) √
dl,
T (P ) √
dl ,
1 + |∇u|2 1 + u2τ
1 + |∇u|2 1 + u2τ
∂D
∂D
en donde, si M no sufre desplazamientos horizontales habrá de ser:
)
(∫
n̄ + uτ (uy , −ux )
√
dl = 0.
T (P ) √
1 + |∇u|2 1 + u2τ
∂D
Falta pues definir la relación que liga la tensión T (P ) con la deformación e.
Como antes (Ley de Hooke), admitiremos que:
T (P ) = T (e, P ) = T0 + O(e).
Podemos ya escribir las ecuaciones del movimiento que establecen:
p̄′ = FiE + FiI ,
es decir,
(∫
) (
)
∫
∫
∫
ρxtt dxdy,
ρytt dxdy,
ρztt dxdy = 0, 0, −
F (x, y, t) dxdy
Ω
Ω
Ω
Ω
(
)
∫
∫
un
n̄ + uτ (uy , −ux )
√
√
+
dl,
T (P ) √
dl .
T (P ) √
1 + |∇u|2 1 + u2τ
1 + |∇u|2 1 + u2τ
∂Ω
∂Ω
(1)
Ahora pasamos al capítulo de linealizaciones. Vamos a suponer que a lo largo
del movimiento los desplazamientos son lo suficientemente pequeños como para
que lo sean u y ∇u (en estado de reposo u ≡ 0) 2 . En este caso:
√
√
f ′ 2 + g ′ 2 + |∇u · (f ′ , g ′ )|2 = f ′ 2 + g ′ 2 + O(|∇u|2 )
e = O(|∇u|2 ), T (P ) = T (e, P ) = T0 + O(|∇u|2 )
un
1
√
√
√
= 1 + O(|∇u|2 ), √
= un + O(|∇u|3 ),
1 + |∇u|2 1 + u2τ
1 + |∇u|2 1 + u2τ
2 Este es el tipo de argumento que se usa en la ecuación del péndulo θ ′′ = −k sen θ donde
se hace la aproximación sen θ ∼ θ cuando la amplitud de la oscilación es pequeña.
27
mientras que uτ (uy , −ux ) = O(|∇u|2 ). Despreciando en (1) los términos de
orden superior a u y |∇u| llegamos a las identidades:
(∫
)
T0 n̄ dl = 0,
∂Ω
que es compatible con el hecho de que xtt = ytt = 0 en Ω, y:
∫
∫
∫
ρutt dxdy = −
ρF (x, y, t) dxdy +
T0 un dl.
Ω
Ω
(2)
∂Ω
Por el teorema de la divergencia:
∫
∫
T0 un dl =
T0 div (∇u) dxdy.
∂Ω
Ω
Llegamos así a la relación:
∫
ρutt − T0 ∆u + ρF dxdy = 0,
Ω
que es la versión integral de la ecuación que deseamos obtener.
El mismo argumento nos conduce a la ecuación:
∫
ρutt − T0 ∆u + ρF dxdy = 0,
(3)
D
siendo D cualquier subdominio regular pequeño (por ejemplo un rectángulo)
contenido en Ω. Por tanto, la función u(x, y, t) es la solución del problema de
contorno y valor inicial:

T0


∆u − F (x, y) ∈ Ω
utt =


ρ


u(x, y, 0) = φ(x, y) (x, y) ∈ Ω
(P )



ut (x, y, 0) = ψ(x, y) ∈ Ω



u(x, y, t) = 0 (x, y) ∈ ∂Ω.
Se conoce a (P) como un problema de contorno de tipo Dirichlet homogéneo.
Como en el caso unidimensional pueden considerarse otro tipo de condiciones
de contorno como la de tipo Neumann:
∂u
(x, y, t) = 0 (x, y) ∈ ∂Ω,
∂ n̄
o Robin:
∂u
(x, y, t) + βu(x, y, t)u = 0 (x, y) ∈ ∂Ω,
∂ n̄
en donde n̄ es la normal unitaria exterior a ∂Ω y β es una función continua y
positiva. Todas las condiciones pueden considerarse en versión no homogénea,
por ejemplo:
∂u
(x, y, t) + βu(x, y, t)u = α(x, y, t) (x, y) ∈ ∂Ω,
∂ n̄
28
en la que α es un dato. La ecuación de las ondas puede contener otros téminos
en el segundo miembro, por ejemplo:
utt =
T0
∆u − but − F,
ρ
que se llama ecuación de las ondas amortiguada. De nuevo el término T0 /ρ se
designa por c2 y a c se la denomina velocidad de propagación.
1.6.
La Ecuación del Calor
1.7.
La ecuación del calor unidimensional
Las siguientes consideraciones tienen por objeto describir cómo se alcanza el
equilibrio térmico en los sólidos y cómo se transporta el calor de unas zonas a
otras del mismo, bajo ciertas condiciones razonables 3 .
De una manera completamente informal podemos decir que la temperatura u
de un sólido es una medida del estado de movimiento de sus moléculas, evaluado
a través de la energía cinética promedio de las mismas. Es por tanto una energía
a la que se puede asignar una escala de medidas (usando bien unidades típicas
de trabajo, o bien el grado centígrado).
Dos sólidos distintos en contacto o bien dos zonas de un mismo sólido a
distinta temperatura intercambian “calor” Q. Más precisamente. Al ponerse en
contacto, el que posee un estado de movimiento más agitado en sus moléculas
(más caliente), transmite parcialmente dicho estado de movimiento (energía
cinética) al de menor grado (más frío), hasta alcanzar finalmente un estado de
equilibrio. Sin embargo, la cantidad de energía liberada por el de temperatura
más alta no coincide con la diferencia de temperaturas. La tal energía liberada
(por definición el incremento de calor ∆Q) es proporcional al incremento de
temperatura:
∆Q = m c ∆u = ρ c v∆u,
donde m es la masa, ρ la densidad, v el volumen y c es el calor específico, que es
la cantidad de calor –característica de cada substancia– necesaria para elevar la
temperatura de una unidad de masa en un grado. Es decir, la misma cantidad
de masa de substancias distintas “liberan” distinta cantidad de energía cuando
su temperatura “baja” un grado. En otras palabras, si se comunica una cantidad
de calor Q (= energía) a un sólido, sólo una fracción de dicha energía pasa a
incrementar el valor neto de la energía cinética de las moléculas (= incremento
de temperatura).
Una propiedad fundamental de la energía calorífica es que ésta se transporta
por difusión. Genéricamente, si se calienta un sólido en una zona, el calor se
desplaza con una cierta velocidad de zonas de alta temperatura a zonas de baja
3 cf. Landau, Ajiezer, Lifshitz, “Curso de Física General, Mecánica y Física Molecular”,
Editorial Mir, Moscú (1984).
1.7. LA ECUACIÓN DEL CALOR UNIDIMENSIONAL
29
Figura 1.4: Experimento fundamental
temperatura. Eso se pone de manifiesto, por ejemplo, con el siguiente experimento. Consideramos el sistema abierto formado por una placa de un cierto
material homogéneo, delimitada por dos planos paralelos separados una distancia l considerablemente menor que la superficie de las placas, que así, pueden
considerarse infinitas. La tapa superior se mantiene a una temperatura u0 mientras que la inferior se mantiene a una temperatura u1 < u0 (por eso el sistema
se dice abierto). Si u0 − u1 no es muy grande se observa al cabo de cierto tiempo
–el suficiente para que el sistema alcance el equilibrio– que la energía calorífica
“fluye” hacia abajo a razón de:
Φ=k
u0 − u1
l
unidades de energía por unidad de tiempo y unidad de área. La magnitud Φ se
llama flujo calorífico y k el coeficiente de conductividad que depende de cada
material. Si A designa el área de una sección paralela a las caras exteriores, la
cantidad de calor que atraviesa A por unidad de tiempo es:
ΦA=k
u0 − u1
A.
l
Así mismo, la temperatura a lo largo de la sección toma el perfil: u(x) = u0 +
((u1 − u0 )/l) x, por lo que la ley para el flujo se puede escribir en la forma:
Φ = −kux .
En el experimento anterior hemos esperado una cantidad de tiempo suficiente
como para que se “estabilice” la temperatura de todas las secciones de la placa.
Si en las mismas condiciones, suponemos que el sistema no ha alcanzado el
equilibrio, e. d. no ha transcurrido un tiempo característico, podemos formular
todavía una ley para el flujo. Para ello razonamos como sigue (las alturas se
miden en sentido decreciente). Tomamos dos secciones de alturas x0 , x0 + h,
con h pequeño como para que u(x0 + h) ∼ u(x0 ). En este caso, el flujo calorífico
en la sección x0 y el instante t vendrá dado por:
Φ(x0 , t) = −k
∂u
u(x0 + h, t) − u(x0 , t)
∼ −k (x0 , t).
h
∂x
30
Figura 1.5: Flujo estacionario
Obsérvese que al no haber alcanzado el sistema el estado de equilibrio la temperatura depende del tiempo. Hemos deducido así lo que se conoce como ley
de Fourier. A saber: en un cuerpo en el que el calor fluye únicamente en una
dirección y en el que las variaciones de temperatura u(x, t) (temperatura en
un instante t y en una sección x0 ) no son muy altas la cantidad de calor que
atraviesa la unidad de área transversal por unidad de tiempo viene dada por:
Φ(x0 , t) = −k
∂u
(x0 , t).
∂x
(1)
En términos físicos, la magnitud que designa cómo varía otra magnitud por
unidad de área transversal a una superficie S y por unidad de tiempo, se llama
flujo de esa magnitud (aquí Φ es el flujo de calor y la identidad (1) es la ley de
Fourier).
La ley de Fourier nos lleva a la ecuación que satisface la temperatura u(x, t)
antes de alcanzar el estado de equilibrio. La ecuación es consecuencia de la ley de
conservación de la energía. En efecto, consideremos dos secciones suficientemente
próximas x0 y x1 . La variación de calor por unidad de tiempo en dicho intervalo
viene dada por:
∫ x1
∂u
A
ρc
dx,
∂t
x0
en donde A mide el área transversal de una tal sección del sólido. Como el único
mecanismo por el que hay variaciones de calor en la sección es –de momento–
el transporte por difusión, tal variación de la energía se debe únicamente al
calor que ha salido o entrado a través de las paredes x = x0 , x1 . Sea A(t0 , h)
la cantidad de calor que ha entrado en la sección durante el intervalo t0 ≤
t ≤ t0 + h mientras que B(t0 , h) se define como la cantidad de calor que ha
abandonado la sección entre dichos instantes. Así mismo, sea Q(t) la cantidad
de calor acumulada en la sección en el instante t. Evidentemente se tiene:
Q(t0 + h) − Q(t0 ) = A(t0 , h) − B(t0 , h).
31
Figura 1.6: Diversos perfiles unidimensionales
Por tanto, la variación de energía por unidad de tiempo en el intervalo también
se puede calcular en la forma:
Q(t0 + h) − Q(t0 )
A(t0 , h)
B(t0 , h)
dQ
= lı́m
= lı́m
− lı́m
= Ȧ(t0 ) − Ḃ(t0 ).
h→0
h→0
h→0
dt
h
h
h
(2)
Para hacerse una idea del balance (2), es conveniente observar la siguiente figura
y notar que:
Ȧ = −kux (x1 , t0 )A,
Ḃ = −kux (x2 , t0 )A
Ȧ = −kux (x2 , t0 )A,
Ḃ = kux (x1 , t0 )A
Ȧ = −kux (x1 , t0 )A + kux (x2 , t0 )A,
Ȧ = 0,
en (a)
en (b)
Ḃ = 0
Ḃ = −kux (x2 , t0 )A + kux (x1 , t0 )A
en (c)
en (d).
Nótese que en todos los casos:
{
}
Ȧ(t0 ) − Ḃ(t0 ) = −ku( x0 , t0 ) + kux (x1 , t0 ) A.
De la ley de conservación de la energía se tiene entonces que:
∫ x2
x2
ρcut (x, t) dt = kux x1 ,
x1
de donde:
ρcut = kuxx ,
(3)
32
que es la ecuación del calor (o de difusión) unidimensional. Hemos llegado así
a la conclusión de que la evolución de la temperatura u(x, t) en un sólido en
el que el calor se propaga en una dirección x, cuyos extremos se encuentran
a temperaturas u0 , u1 se describe mediante el problema de valor inicial y de
contorno:


 ρcut = uxx , t > 0, 0 < x < l
u(x, 0) = φ(x), 0 < x < l


u(0, t) = u0 , u(l, t) = u1 , t > 0.
Se pueden considerar otro tipo de condiciones. Por ejemplo, la de aislamiento
térmico (condiciones de Neumann):
ux (0, t) = ux (l, t) = 0,
t > 0.
También las de enfriamiento con el medio a través de las paredes (ley de Newton,
condiciones de Robin):
ux (0, t) = ν(u(0, t) − T0 ),
ux (l, t) = −ν(u(l, t) − T0 ),
donde ν > 0 y T0 es la temperatura del medio.
Por otra parte, (3) puede incluir otros términos. Si por ejemplo f (x, t) designa una densidad de producción de calor dentro del sólido –hay un “calentador”
en su interior– por unidad de masa y unidad de tiempo, entonces (3) se convierte
en:
k
cut = uxx + f (x, t).
ρ
En este modelo los términos producción (f > 0) y consumo (f < 0) se pueden
intercambiar, dando lugar a la misma ecuación.
1.7.1.
La ecuación del calor n-dimensional
Consideremos ahora un sólido Ω encerrado por una superficie regular ∂Ω
constituido por un material que en todas las direcciones goza de las mismas
propiedades de conductividad (isótropo). Queremos hacer el siguiente experimento. Inicialmente el cuerpo ha acumulado calor no homogéneamente, e. d.
hay zonas más calientes que otras. Dentro de Ω consideramos una superficie
regular S y queremos estudiar cómo es el flujo de calor de una parte a otra
de la superficie (si la zona de un lado está más caliente que la del otro, habrá
trasvase de calor ΦS de un lado a otro de la superficie). Para ello orientamos S
con uno de sus campos unitarios normales ν = ν(P ), P ∈ S. Nos fijamos en un
punto P0 ∈ S y consideramos un trozo pequeño S0 de superficie que rodee a P0 ,
tan pequeño que se pueda aproximar bien por un trozo homólogo π0 del plano
tangente π, (x − P0 )ν(P0 ) = 0, a S en P0 .
De momento nos conformamos con estudiar el flujo calorífico a través de π0 .
Para ello, estudiamos la evolución de la temperatura sobre un pequeño segmento
de la recta normal x = P0 + ξν, |ξ| < ε. Si U (ξ, t) = u(P0 + ξν, t) representa
la temperatura en el segmento. Este problema es esencialmente unidimensional,
33
Figura 1.7: Flujo en un elemento de superficie
Figura 1.8: Sección unidimensional de la temperatura
si estamos en las proximidades de P0 . La ley de Fourier unidimensional predice
que la cantidad de calor que pasa a través de π0 en la dirección de ν por unidad
de tiempo, e. d. el flujo calorífico a través de π0 , Φ(P0 , π0 ), viene dado por:
Φ(P0 , π0 , ν) = −k
∂U
área(π0 ) = −k∇u(P0 ) · ν área(π0 )
∂ξ |t=0
= −k
∂u
(P0 ) área(π0 ).
∂ν
Como S0 ∼ π0 y área(S0 ) := dS ∼ área(π0 ) (dS es el elemento de área de la
superficie S), podemos aproximar el flujo a través de S0 en la dirección de ν
como:
∂u
Φ(S0 , ν) = −k (P0 ) dS.
∂ν
El flujo en S0 se globaliza a toda la superficie S de la manera obvia:
∫
∂u
dS.
(4)
Φ(S, ν) = −k
S ∂ν
La identidad (4) sugiere una versión vectorial Φ del flujo de temperatura en
el siguiente sentido. Definimos el campo de flujo calorífico Φ (abreviado el flujo)
34
como aquél que permite calcular el flujo a través de S en la dirección ν, Φ(S, ν),
en la forma:
∫
Φ(S, ν) =
S
Φ · ν dS.
Hemos llegado así a le versión n dimensional de la ley de Fourier que establece
que el vector flujo Φ se expresa:
Φ = −k∇u.
(5)
Para hallar la versión n dimensional de la ecuación del calor (3) razonamos
usando el argumento del caso unidimensional. Sea B una pequeña bola en Ω, de
frontera ∂B. Por un lado, la variación de calor por unidad de tiempo en B se
expresa como:
∫
B
ρcut dx.
Por otro lado, la variación de calor por unidad de tiempo Q̇(t0 ) se vuelve a
expresar (ver notación anterior) como:
Q̇ = Ȧ − Ḃ.
Para hacernos una idea de cómo son Ȧ y Ḃ consideramos ∂B− = {x ∈ ∂B|∇u ·
ν < 0} y ∂B+ = {x ∈ ∂B|∇u · ν > 0}, siendo ν el campo unitario exterior a ∂B.
Entonces, Ȧ es como antes, la cantidad de calor que entra en B por unidad de
tiempo (en t0 ) mientras que Ḃ es la correspondiente cantidad de calor que sale
de B por unidad de tiempo en t = t0 . Se tienen entonces las relaciones:
∫
∫
Ȧ =
k∇u · ν dS, Ḃ =
−k∇u · ν dS.
∂B+
∂B−
De donde,
∫
Ȧ − Ḃ =
k
B
∂u
dS.
∂ν
De la ley de conservación de la energía tenemos entonces que:
∫
∫
∂u
ρcut dx =
k
dS,
B
B ∂ν
que por el teorema de la divergencia –o directamente suponiendo que B es un
pequeño cubo en Ω– se transforma en:
∫
∫
ρcut dx =
k∆u dx,
B
B
y siendo B una bola arbitrariamente pequeña llegamos a:
cρut = k∆u x ∈ Ω,
t > 0.
35
Si el sólido estaba inicialmente a una temperatura φ(x) y las paredes se mantienen, por ejemplo a cero grados (condiciones de Dirichlet homogéneas) concluimos que el comportamiento de la temperatura en Ω a lo largo del tiempo sigue
la solución del problema de contorno y valor inicial:


 ρcut = ∆u, t > 0, x ∈ Ω
u(x, 0) = φ(x), x ∈ Ω


u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0.
La condición de contorno se puede sustituir por otra de aislamiento térmico
(condición de contorno de tipo Neumann):
∂u
= 0,
∂n
x ∈ ∂Ω,
t > 0,
o bien por una condición de intercambio con el medio (condición de Robin):
∂u
= −τ u,
∂n
x ∈ ∂Ω,
t > 0,
en la que hemos supuesto que la temperatura exterior a Ω es de cero grados y
τ es el coeficiente de transferencia.
1.7.2.
Difusión
Cuando una substancia soluble en un fluido se deposita en una cierta zona
de éste (el fluido se considera en reposo y localizado en un dominio Ω ⊂ Rn )
se observa que la substancia difunde y es transportada de zonas de alta a baja
concentración. Si u(x, t) representa la concentración (masa por unidad de volumen) se observa experimentalmente que el (vector) flujo de masa viene dado
por:
Φ = −D∇u,
(1)
en donde D se llama el coeficiente de difusión. En otras palabras, si S es un
trozo de superficie regular en Ω con campo unitario normal ν se tiene que la
integral de superficie:
∫
∂u
−D
dS,
∂ν
S
proporciona la cantidad de masa que es transportada a través de S por unidad
de tiempo, en la dirección del campo ν. La relación (1), equivalente a la ley de
Fourier, se conoce en como la ley de Fick. Argumentando de la misma manera
(invocando ahora el principio de conservación de la masa) se obtiene que la
concentración u = u(x, t) satisface:
ut = D∆u,
x ∈ Ω,
t > 0,
(2)
que se conoce como ecuación de difusión. Como en el caso de la ecuación del
calor, las soluciones de (2) se determinan con la ayuda de condiciones iniciales
y de contorno sobre ∂Ω, idénticas a las de dicha ecuación.
36
1.8.
Ejercicios
1. Decídase cuál de los siguientes operadores son lineales:
a) Lu = ux + xuy
b) Lu = ux + uuy
c) Lu = ux + u2y
d) Lu = ux + uy + 1
√
f) Lu = 1 + x2 (cos y)ux + uyxy − arctag(y/x)u.
2. Se considera el operador lineal L, con coeficientes aα (x) definidos en un
dominio Ω ⊂ Rn :
∑
Lu =
aα (x)∂ α u, u ∈ C m (Ω).
|α|≤m
Asociadas a L se consideran las ecuaciones homogéneas:
Lu = 0,
(H)
Lu = f (x).
(C)
y no homogénea:
Pruébese que el conjunto Sh de soluciones de (H) forma un espacio vectorial, mientras que el de (C), Sc , es un espacio afín.
3. Para n = 1, es decir, u = u(x) con x ∈ R, hállese la dimensión del espacio
de soluciones de:
u′′′ − 3u′′ + 4u = 0.
4. Si ahora n = 2, e. d., u = u(x, y), ¿Es finito-dimensional el espacio de
soluciones Sh = {u ∈ C 2 (R2 )/Lu = 0} si la ecuación 4 es:
uxx + u = 0?
5. Prúebese que u(x, y) = f (x)g(y) es solución de la e.d.p.
uuxy = ux uy ,
cualesquiera que sean f, g ∈ C 1 (R).
6. Prúebese que para cada n > 0:
un (x, y) = sen nx senh ny
es una solución de uxx + uyy = 0. ¿Es finita la dimensión del espacio de
soluciones de la ecuación de Laplace?
4 La misma cuestión para la ecuación de Laplace u
xx + uyy = 0 es menos inmediata, pero
la respuesta está implícita en el problema 6.
1.8. EJERCICIOS
37
7. Hállense las soluciones de las siguientes ecuaciones, en cada caso, sometidas
a las condiciones dadas.
a) 3uy + uxy = 0.
b) (1 + x2 )ux + uy = 0.
c) yux + xuy = 0 junto con u(0, y) = e−y .
2
d) aux + buy + cu = 0.
e) ux + uy + u = ex+2y junto con u(x, 0) = 0.
8. Hállese la solución general de la ecuación
aux + buy = f (x, y),
donde f (x, y) es una función continua arbitraria, escribiendo la solución
en la forma:
∫
1
u(x, y) = (a2 + b2 )− 2
f ds + g(bx − ay),
L
donde g es una función C 1 arbitraria, L es el arco de característica del eje
y al punto (x, y), y la integral es una integral de línea.
9. Resuélvase, mediante el método del cambio de coordenadas la ecuación:
ux + 2uy + (2x − y)u = 2x2 + 3xy − 2y 2 .
10. Un fluido unidimensional con velocidad u = u(x, t) (u de clase C 1 en
R2 ) transporta una cierta substancia en la dirección x cuya concentración
viene dada por la función ρ = ρ(x, t), (ρ también C 1 ) sin que intervenga
otro fenómeno en dicho transporte. Demuéstrese que satisface la ecuación:
(ρu)x + ρt = 0,
ecuación de continuidad.
Nota. Un resultado análogo se tiene en n dimensiones (problema 15). Sin
embargo, debe ser preparado convenientemente.
11. Se considera el campo de velocidades de un fluido- u = u(x, t), u : Rn ×
R → Rn , de clase C 1 . Para t0 , y cada y ∈ Rn , el problema de Cauchy:
{
x′ = u(x, t)
x(t0 ) = y,
admite una única solución que escribimos: x = x(t, y) (Teorema de PicardLindelöff). Además x = x(t, y) es también de clase C 1 en (t, y). Escríbase:
n
Φ(t) = ∂x
∂y (t, y) (donde y ∈ R se mantiene fijo).
38
12. Pruébese que Φ(t) es una matriz fundamental de la ecuación:
z ′ = A(t)z,
donde A(t) =
Φ(t0 ) = I.
∂u
∂x (x(t, y), t).
Es decir, que Φ′ (t) = A(t)Φ(t), mientras que
13. Utilícese el teorema de Jacobi
5
para concluir que:
{∫ t
}
detΦ(t) = detΦ(t0 ) exp
div u(x(s, y), s) ds .
t0
14. Sea Ω un dominio acotado de Rn . Si t es suficientemente pequeño, se puede
definir:
Ωt = {x(t, y)/y ∈ Ω}.
Consideremos ahora una función C 1 , ρ = ρ(x, t). Hállese la derivada, con
respecto a t de la función M = M (t), dada por:
∫
ρ(x, t) dx.
M (t) =
Ωt
Nota. Cuando ρ es una densidad de masa y u es la velocidad de un fluido,
M (t) describe la variación, por unidad de tiempo, de la masa que en t = t0
estaba localizada en el dominio Ω.
15. Consideramos el movimiento de un fluido n-dimensional cuyas párticulas
fluidas describen las trayectorias de x′ = u(x, t) (u : Rn × R → Rn de clase
C 1 el campo de velocidades). Como en 10 suponemos que la concentración
ρ = ρ(x, t), ρ : Rn × R → R es C 1 . Demuéstrese que la ecuación de
continuidad tiene la forma:
div(ρu) + ρt = 0.
La misma situación que en el 10 pero ahora
16. El movimiento ondulatorio (p.e. sonido) en un medio unidimensional (p.
e. un gas o un fluido) con viscosidad despreciable se describe mediante el
campo de velocidades u(x, t), la densidad ρ = ρ(x, t) o la presión p(x, t)
(generalmente hay una ley de estado que liga presión y densidad), bajo
las ecuaciones:
{
ρux + uρx + ρt
= 0, 0 < x < l
ρut + ρuux + px = ρF, 0 < x < l,
donde F (x, t) mide una fuerza dada por unidad de masa que actua sobre
el fluido. Hállense la velocidad u(x), presión p(x) y densidad ρ(x) de equilibrio (e. d., no dependientes de t) siempre que F = −g, p = αργ (α > 0,
γ > 1) y u(0, t) = 0, p(l, t) = p0 .
5 Sea x′ = A(t)x una ecuación lineal donde la matriz A(t) es continua y sea Φ(t) una
matriz fundamental de la ecuación. Si se pone ξ(t) = det Φ(t) entonces ξ(t) satisface a su vez
la ecuación lineal ξ ′ = traza A(t) ξ.
1.8. EJERCICIOS
39
17. Se considera la ecuación de orden k = β1 + β2 (n = 2):
∂1β1 ∂2β2 u(x, y) = 0,
(x, y) ∈ R2 .
Defínase adecuadamente un problema de tipo Goursat para dicha ecuación con β1 datos funcionales en el eje Ox y β2 datos funcionales en el
eje Oy. Prúebese el correspondiente teorema de existencia y unicidad de
soluciones.
18. Estúdiese la existencia y unicidad de soluciones de los problemas:




 uxy = 0
 uxy = 0
u(x, 0) = f (x)
ux (x, 0) = f (x)




uy (0, y) = g(y),
u(0, y) = g(y),
siendo f y g adecuadamente regulares, y satisfaciéndose la condición de
compatibilidad: f (0) = g(0).
19. Hállense las soluciones generales de los problemas:


 uxy = F (x, y)
ux (x, 0) = f (x)


u(0, y) = g(y),


 uxy = F (x, y)
ux (x, 0) = f (x)


uy (0, y) = g(y),


 uxy = F (x, y)
u(x, 0) = f (x)


u(0, y) = g(y),
(P1 )
(P2 )
(P3 )
siendo F ∈ C(R2 ), f , g adecuadamente regulares y f (0) = g(0) en los
casos (P2 y (P3 ).
20. Para F (x, y) continua en R2 , hállese la solución del problema


 uxy = −F (x, y)
u(x, x) = 0


ux (x, x) = uy (x, x).
21. Sea J0 (z) la solución regular (cerca del origen) de la ecuación de Bessel
de orden cero:
du
d2 u
+ z 2 u = 0,
z2 2 + z
dz
dz
que satisface: u(0) = 1. Defínase:
√
i2 = −1.
v0 (x, y) = J0 (i2 xy)
40
a) Demuéstrese que u = v0 (x, y) es una solución de la ecuación de Helmholtz
compleja:
uxy − u = 0.
b) Para φ(t) y ψ(t) contínuas en R, determinar qué ecuaciones satisfacen las
funciones:
∫ x
φ(t)v0 (x − t, y) dt,
v1 (x, y) =
0
∫ y
ψ(t)v0 (x, y − t) dt.
v2 (x, y) =
0
c) Dése por conocido el hecho de que para toda f ∈ C 1 y toda g ∈ C 2 el
problema:


 uxy = u
ux (x, 0) = f (x)


u(0, y) = g(y),
admite una única solución C 2 . Pruébese entonces que la solución general
de la ecuación de Helmholzt compleja tiene la forma:
∫ x
∫ y
u(x, y) =
φ(t)v0 (x − t, y) dt +
ψ(t)v0 (x, y − t) dt + Cv0 (x, y),
0
0
donde C es una cierta constante que debe ser identificada.
22. Desígnense por x = x(s, t), y = y(s, t) (x e y funciones de clase C 2 ),
0 ≤ s ≤ l, t ≥ 0 las ecuaciones paramétricas de una cuerda elástica que
se mantiene sujeta en los extremos (x, y) = (0, 0) y (x, y) = (l, 0) y que en
condiciones de equilibrio – e. d. no sometida a fuerzas exteriores– satisface
x(s, t) = s, y(s, t) ≡ 0 estando sometida a una tensión en cada punto igual
a T0 . Se supondrá que en todo instante la densidad de masa de la cuerda
viene dada por la función continua ρ = ρ(s), que su movimiento sólo tiene
lugar en el plano x, y, estando sometida a una densidad de fuerzas vertical
(en el sentido de (0, −1)) F (x, t). La hipótesis de elasticidad se entenderá
en el sentido de que la tensión T̄ (s, t) actúa tangencialmente y el módulo
T (s, t) satisface la relación:
T (s, t) = T (e, s) = T0 +
∂T
(0, s)e + O(e2 ),
∂e
√
donde T = T (e, s) es C 2 y e = x2s + ys2 −1 es la tasa de deformación local
por unidad de longitud. Demuéstrese que las ecuaciones del movimiento
vienen dadas por:
 (
)
∂
T ∂x


= ρxtt
∂s e+1 ∂s
(
)

T ∂y
∂
= ρytt − ρF (x, t),
∂s e+1 ∂s
1.8. EJERCICIOS
41
junto con las condiciones de contorno:
x(0, t) = x(l, t) = y(0, t) = y(l, t) = 0,
para cada t ≥ 0.
Se supondrá siempre que las condiciones iniciales para x(t, s) son
x(s, 0) = s,
xt (s, 0) = 0,
0 ≤ l ≤ l,
mientras que las de y(s, t) son
y(s, 0) = f (s),
xt (s, 0) = g(s),
0 ≤ l ≤ l,
donde f es C 1 y g es C 2 . Véase el Cap. I del libro de Weinberger.
23. Vamos a considerar ahora un camino alternativo para linealizar las ecuaciones del ejercicio anterior, bajo las mismas hipótesis sobre la tensión de
la cuerda. La idea es imaginar el proceso como una pequeña perturbación (de orden ε) de la situación de equilibrio. Vamos a considerar que
la fuerza F y las condiciones iniciales dependen de ε en la forma siguiente: F (x, t, ε) = εG(x, t), x(s, 0, ε) = s, xt (s, 0, ε) = 0, y(s, 0, ε) = f (s)ε,
yt (s, 0, ε) = g(s)ε, manteniendo, para todo valor de ε las condiciones de
contorno del problema anterior. Tenemos así una familia parametrizada
de movimientos, x = x(s, t, ε), y = y(s, t, ε) que para ε = 0 debe ser:
x = s, y = 0. Uno debe tener -suponiendo regularidad por doquier- que:
x(s, t, ε) = s + x1 (s, t)ε + O(ε2 ), y(s, t, ε) = y1 (s, t)ε + O(ε2 ). Pruébese
entonces que y1 (s, t) satisface la ecuación de las ondas:
y1 tt =
T0
y1 − ρG(s, t).
ρ xx
24. Consideremos las ecuaciones de la propagación de perturbaciones en un
gas compresible (Ejercicio 16):
{
(ρu)x + ρt
= 0, 0 < x < l,
(1)
ρut + ρuux + px = ρF, 0 < x < l.
Vamos a linealizar las ecuaciones (1) imitando el camino del ejercicio anterior. Para ello supondremos que p = p(ρ) es una función regular (C 1 ) de
ρ, que F = F (x, t, ε) es una función regular en ε de la forma F = ε G(x, t)
con G continua y que las funciones incógnita u y ρ son funciones regulares
de un pequeño parámetro ε (de clase C 1 ), e. d. u = u(x, t, ε), ρ = ρ(x, t, ε)
que satisfacen u(x, t, 0) = 0, ρ(x, t, 0) = ρ0 > 0. En otras palabras, estamos suponiendo que el régimen del gas es una pequeña perturbación de la
situación de equilibrio ρ = ρ0 , u = 0 en la que no hay fuerzas exteriores
∂u
(x, t, 0) y
(F = 0 para ε = 0). Demuéstrese que las funciones u1 =
∂ε
∂ρ
ρ1 =
(x, t, 0) verifican sendas ecuaciones de ondas, a determinar.
∂ε
42
25. Consideremos una cadena flexible u = u(s, t), x = x(s, t), 0 ≤ s ≤ l que
pende verticalmente del punto (0, 0) sometida a la fuerza de gravedad y
que se mueve horizontalmente -en el sentido del eje u- debido a los efectos
de la tensión. Supondremos que en cada punto, la fuerza de tensión -que
actúa tangencialmente- nivela –e. .d, es igual– al peso de la cuerda de ese
punto hacia abajo. Hállense las ecuaciones del movimiento.
26. Una cable –ahora inextensible– pende de dos puntos situados a la misma
altura y se halla en reposo (formando una figura característica parecida
a una parábola). Se supone que la tensión del cable en cada punto siempre actúa tangencialmente. Si ρ(s) (s la longitud de arco) es la densidad
lineal del cable y τ0 la tensión en el punto más bajo, hállese la ecuación
diferencial (ahora ordinaria) que satisface la curva que lo describe. Hállese
explícitamente si ρ es constante (la curva resultante se llama Catenaria).
27. Hállense las posibles soluciones estacionarias (i. e. no dependientes de t)
de la ecuación de las ondas:
vtt =
T0
vxx − F (x),
ρ(x)
0 < x < l,
bajo condiciones de Dirichlet homogéneas:
u(0, t) = u(l, t) = 0,
t ≥ 0,
y bajo condiciones de Neumann homogéneas:
ux (0, t) = ux (l, t) = 0,
t ≥ 0.
28. Sea Ω = (a, b) × (c, d) y u ∈ C 2 (Ω̄). Demostrar que,
∫
∫
T0 un ds =
T0 ∆u dx,
∂Ω
Ω
donde T0 es constante y un representa la derivada normal exterior en ∂Ω
(ds denota el elemento de longitud de arco).
Pruébese también que si γ es una curva cerrada y C 1 , siendo n̄ un campo
unitario normal a γ, entonces
∫
T0 n̄ ds = 0.
γ
29. Una versión tridimensional de las ecuaciones del Ejercicio 16 resulta ser:
{
∂ρ
= 0,
∂t( + div (ρu)
)
∂u
∂u
ρ ∂t + ∂ x̄ u + ∇p = ρF (x̄, t),
en donde ahora x̄ = (x, y, z), u = u(x, t) es un campo C 2 en R3 , p = p(x̄)
es la presión que como allí es una función regular de la densidad p = p(ρ)
1.8. EJERCICIOS
43
en donde F = F (x̄, t) es un campo C 1 de fuerzas con valores en R3 . El
sistema de ecuaciones describe las perturbaciones en un gas tridimensional
(p.e. la propagación del sonido en el aire) y, suponiendo que u, ∂u
∂ x̄ y ρ − ρ0
son pequeños en módulo una versión linealizada de las ecuaciones tiene la
forma:
{ ∂ρ
∂t + ρ0 div u = 0,
∂u
∂t
+
c20
ρ0 ∇ρ
= 0,
donde escribimos c20 = p′ (ρ0 ) y suponemos por simplicidad que F = 0.
Demuéstrese que si rot u = 0 en t = 0 entonces rot u(x̄, t) = 0 para todo
t ≥ 0. Demuéstrese además que el campo u y la densidad ρ satisfacen la
ecuación de las ondas:
{ 2
∂ u
= c20 ∆u,
∂t2
∂2ρ
∂t2
= c20 ∆ρ.
30. (Concepto de Flujo). Sea u = u(x, t) un campo C 1 en Rn , S una superficie
simple y S1 , S¯1 compacta, una porción de S transversal a u, e. d.,
u(x, t) · ν(x) ̸= 0,
∀t ≥ 0, x ∈ S1 .
Para normalizar supongamos que u · ν > 0 (se recuerda que ν designa el
campo normal a S1 ). Fijado t0 y t > t0 , “convenientemente” próximo a t0
definimos V (t) el “volumen” ocupado por las partículas que han cruzado a
través de S1 -en el sentido de u- entre los instantes t0 y t, e. d. el volumen
de fluido que ha penetrado por S1 entre esos instantes, siguiendo el campo
de velocidades x′ = u(x, t). Prúebese que:
∫
d
V (t)|t=t0 =
u · ν dσ.
(1)
dt
S1
Se conoce a (1) como el flujo de volumen a través de S1 en t = t0 .
31. En las condiciones del Ejercicio 30 sea A una cierta substancia que es
transportada por u(x, t) y que tiene por concentración c = c(x, t), c(x, t)
continua. Hállese la cantidad de masa de A que atraviesa S1 por unidad
de tiempo en t = t0 . Prúebese que dicha cantidad vale (flujo de masa a
través de S1 )
∫
S1
c(x, t)u · ν dσ.
32. Un fenónmeno análogo al del transporte de calor por difusión es el del
transporte de masa, también por difusión, de una cierta substancia A.
Cuando una concentración inicial c0 (x) (i.e. masa por unidad de volumen) de la misma se deposita en un fluido (disolvente) en reposo, ésta es
transportada -por efectos de la dinámica molecular del fluido- por difusión
siguiendo la ley de Fick (que es completamente análoga a la de Fourier).
Esto significa físicamente que la substancia es transportada desde zonas de
44
alta concentración hacia zonas de baja concentración. Es decir, si tenemos
una porción compacta S1 de una superficie simple S, la cantidad de masa
transportada (¡aunque el fluido esté en reposo!) a través de S1 siguiendo
su campo normal ν(x) y por unidad de tiempo vendrá dada por:
∫
∂c
ΦS1 = −
d .
(1)
S1 ∂ν
ΦS1 es el flujo de masa a través de S1 debido a la difusión. d es el coeficiente
de difusión. Otra forma de expresar la ley de Fick es decir que el vector
“flujo de masa” Φ en cada punto x es:
Φ(x) = −d∇c(x, t),
donde c = c(x, t) representa la concentración de A como función de la
posición espacial y el tiempo.
33. Si el fluido ocupa una región del espacio Ω y el único mecanismo que interviene en el transporte de masa es la difusión (fluido en reposo), pruébese
que c satisface la ecuación del calor:
∂c
= d∆c.
∂t
34. Supongamos ahora que el fluido está en movimiento en Ω, bajo un campo
de velocidades u(x, t). Así la substancia A es transportada, además de
por difusión, por el arrastre u(x, t) a que la somete el fluido. Pruébese que
ahora la concentración c satisface:
∂c
= div (d∇c) − div (cu).
∂t
(Véase el Ejercicio 10).
35. (Teorema de Liouville). Supongamos que un fluido con campo C 1 de velocidades u(x, t) ocupa una región abierta Ω de Rn , y que Ω1 ⊂ Ω1 ⊂ Ω,
con Ω1 compacto. Para t > t0 convenientemente próximo a t sea (Ω1 )t el
lugar ocupado en el instante t por las partículas que estuvieron en Ω1 en
t = t0 . Prúebese que:
∫
∫t
div u(x(s,y),s) ds
vol (Ω1 )t =
e t0
dy,
Ω1
donde x(t, y) denota la única solución del problema x′ = u(x, t), con
x(t0 ) = y, y ∈ Ω1 . ¿ Se te ocurre alguna explicación a por qué se llaman “incompresibles” los fluidos que cumplen la ecuación:
div u(x, t) = 0,
t ≥ 0, x ∈ Ω?
1.8. EJERCICIOS
45
36. Se considera una barra de longitud l en la dirección del eje x que tiene sección A lo suficientemente pequeña como para que el calor difunda
solamente en la dirección de x, luego la temperatura será de la forma
u = u(x, t). Admitamos además que el flujo de calor Φ a través de la
pared lateral de la barra sigue la Ley de Newton, es decir, que Φ es proporcional a la diferencia (u − T0 ), donde T0 es la temperatura ambiente.
Dedúzcase la ecuación para la temperatura.
37. Se considera una barra cilíndrica y tridimensional en la que el calor difunde transversalmente al eje de simetría mientras que las variaciones de
temperatura son despreciables en el sentido de dicho eje. Suponiendo que
la temperatura u sólo depende de la distancia al eje de la barra, hállese
una ecuación para dicha temperatura u(x, y, z, t) en el interior de la barra
(tómese por ejemplo el eje Oz en la dirección como eje de la barra).
38. Hállese la ecuación de difusión del calor en coordenadas esféricas de R3 .
39. Se considera una barra homogénea de longitud l, coeficiente de conductividad térmica k; lo suficientemente fina como para que la difusión del calor
sólo se considere en sentido longitudinal. Se ha realizado un experimento
en el que, tras comenzar con una temperatura homogénea de T0 grados en
la barra, y mantenerla a una temperatura constante T1 en los extremos, se
observa que la temperatura en el punto medio viene dada por una función
f (t). Si repetimos el experimento con una barra de las mismas características (mismo ancho y conductividad térmica), inicialmente sometida a T0∗
grados y mantenida permanentemente a T1∗ grados en sus extremos, y de
longitud l∗ ¿Qué ley f ∗ (t) seguirá la temperatura en el punto medio de la
barra?
Indicación. Dése por conocida la unicidad de solucines para el problema
de valor inicial y de Dirichlet para la ecuación del calor.
40.
6 cf.
6
El tiempo de cocción de un asado de 5 libras que inicialmente se hallaba
a una temperatura de 40 grados, al introducirlo en un horno de 350 grados,
es de dos horas ¿Cuál será el tiempo de cocción de una asado de 10 libras
con la misma forma y en las mismas condiciones?
M. S. Klamkin, SIAM Review, Vol. 3, n. 2, pp. 167-169.
46
Capítulo 2
Ecuaciones en derivadas
parciales de primer orden
2.1.
2.1.1.
Ecuaciones lineales y cuasilineales
Ecuaciones lineales
La ecuación en derivadas parciales lineal de primer orden más general es
(Capítulo 1)
Lu = f (x), x ∈ Ω,
(2.1)
donde,
L=
n
∑
ai (x)
i=1
∂
+ b(x),
∂xi
siendo Ω ⊂ R un dominio (abierto y conexo), ai (x) ∈ C 1 (Ω), para cada i,
b(x), f (x) ∈ C(Ω). Mantendremos estas hipótesis a lo largo de todo el capítulo.
∂
Se denotará A(x) = (a1 , · · · , an ), así Lu = ∂A
+ b.
k
Una superficie simple S ⊂ Ω de clase C viene definida una parametrización
(g, U ), U ⊂ Rn−1 un dominio y g = g(s), g : U → Rn de clase C k (k ≥ 2) de
forma que S = g(U ) y tal que:
n
N=
∂g
∂g
∧ ··· ∧
̸= 0,
∂s1
∂sn−1
∀s ∈ U.
N
Si S es una superficie simple ν = |N
| representa el campo unitario normal a
S asociado a (g, U ), mientras que el espacio tangente a S en x0 = g(s0 ) es:
{
}
∂g
∂g
T Sx0 = span
(s0 ), · · · ,
(s0 ) .
∂s1
∂sn−1
Finalmente, se dice que una funcón ϕ : S → R es de clase C 1 en S si ϕ ◦ g ∈
C 1 (U ). Véase el Anexo para más detalles.
47
48
CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN
Es fácil ver que si y(t) = g(σ(t)), a < t < b, σ = σ(t) de clase C 1 , σ(0) = s0
es una curva en S entonces su vector tangente en x0 , ẏ(0) ∈ T Sx0 .
Definición 2.1. Sea ϕ ∈ C 1 (S). El problema de Cauchy para (2.1) en S consiste
en hallar (u, U), S ⊂ U ⊂ Ω, U abierto, u : U → R de clase C 1 tal que:
Lu = f,
x∈Ω
u|S = ϕ.
(2.2)
Por analogía con el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias diremos que
(u, U) es una solución local de (2.2). Como allí, la siguiente noción parece natural
a primera vista: (2.2) goza de la propiedad de unicidad de soluciones si para cada
par de soluciones locales (ui , Ui ), i = 1, 2, resulta que u1 = u2 sobre U1 ∩U2 . Esta
definición parece sugerir que en caso de darse la unicidad de soluciones, todas
las soluciones locales (u, U) acaban siendo restricciones de una cierta solución
maximal (u∗ , U ∗ ) de (2.2). Sin embargo, comprobaremos que ni siquiera en el
caso del problema (2.2) se verifica la propiedad de unicidad de soluciones en el
sentido que se ha enunciado. Sí se demostrará que todas las soluciones locales
(u, U) coinciden en un cierto entorno de la superficie S. Por tanto, nociones
básicas en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias como solución local y
prolongabilidad no pueden extenderse al contexto de (2.2).
La función ϕ se llama dato de Cauchy. En general (Capítulo 1) no toda
superficie sirve para imponer datos de Cauchy. Por ejemplo, supongamos que
Γ = {x(t)/a < t < b} es una solución de x′ = A(x) cuya gráfica Γ ⊂ S.
Entonces S no admite datos ϕ arbitrarios. En efecto, sobre Γ, u = ϕ. Si ponemos
ϕ̂(t) = ϕ(x(t)), ϕ̂ debe satisfacer:
ϕ̂′ + b̂ = fˆ
a < t < b,
con fˆ = f (x(t)), b̂ = b(x(t)). Luego ϕ no se puede elegir arbitrariamente. Las
superficies adecuadas son las siguientes.
Definición 2.2. Una superficie S se dice no característica con respecto a (2.1)
si:
A(x) · ν(x) ̸= 0, ∀x ∈ S.
(2.3)
S es característica si
A(x) · ν(x) = 0,
∀x ∈ S.
(2.4)
Observación 2.1. De lo dicho más se deduce que aquellas superficies que contengan órbitas de x′ = A(x) no son admisibles para el problema de Cauchy. Las
superficies características son siempre la unión de órbitas de dicha ecuación.
Lema 2.3. Sea S ⊂ Rn una superficie simple y F = F (x) ∈ C 1 (Rn , Rn ) un
campo C 1 . Entonces S es invariante frente a x′ = F (x) si y sólo si F (x) es
tangente a S en cada x ∈ S. En particular, si S es característica, S es la unión
de órbitas de x′ = A(x).
2.1. ECUACIONES LINEALES Y CUASILINEALES
49
Demostración.
∑ Si x0 ∈ S, ponemos x0 ′ = g(s0 ) mientras para cada s ∈ U ,
A(g(s)) =
αi (s)∂g/∂si . Resolvemos s = α(s) junto con s(0) = s0 . Resulta
que x(t) = g(s(t)) es la solución de x′ = A(x), x(0) = x0 que por construcción
está es S. El recíproco es inmediato.
Definición 2.4. Las órbitas de x′ = A(x) se denominan curvas características
de la ecuación (2.1).
Las superficies no caracterí sticas son las adecuadas para el problema de
Cauchy. Esto se apoya en el hecho –que precisamos ahora– de que la ecuación
es “de orden 1” en la dirección de la normal a S. La filosofía del argumento,
aunque formal, es la misma para ecuaciones de orden superior.
Si f (t, x) es C ∞ y no se sabe cómo resolver el problema
x′ = f (t, x)
x(t0 ) = x0 ,
lo que está claro es que dicho problema permite al menos obtener una expresión
formal de la solución x(t) si ésta fuese C ∞ :
x(t) =
∞
∑
an (t − t0 )n .
n=0
Consideramos el siguiente caso particular de (2.2):
∂U
= −â−1
n
∂t
{n−1
∑
∂U
âi
+ bU − f
∂si
i=1
}
(2.5)
U (s, 0) = ϕ̂(s).
Hemos tomado S = {xn = 0} y llamado s = (s1 , · · · , sn−1 ) = (x1 , · · · , xn−1 ),
t = xn . Naturalmente hemos supuesto que ân ̸= 0 para |t|, |s| pequeños. Si todos
los datos son C ∞ entonces U (t, s) puede obtenerse formalmente como:
U (s, t) =
∑
aα,m (s − s0 )α tm .
α,m
(¡Hágase con dos variables (n = 2)!).
Si ahora tratamos con una superficie no característica S, el problema (2.2)
se transforma en (2.5) si hacemos el cambio de variable local:
U (s, t) = u(g(s) + tν(s)),
ϕ̂(s) = ϕ(g(s)),
donde |s − s0 |, |t| son pequeños. Nótese que bajo dicho cambio:
x = g(s) + tν(s),
t = T (x), s = S(x)
(2.6)
50
se tiene que:
∂lU
dl
∂lu
(s
,
0)
=
(u(g(s
)
+
tν(s
))
=
(x0 )
0
0
0
|
t=0
∂tl
dtl
∂ν l
∂U
∂g
(s0 , 0) = ∇u(x0 )
,
∂si
∂si
en donde x0 = g(s0 ) ∈ S. Por tanto, las derivadas con respecto a t de U
representan derivadas normales de u en S mientras que las derivadas de U con
respecto a si representan derivadas tangenciales. Haciendo el cambio (2.6) se
llega a que U satisface (2.5) con los valores:
ân (s, t) = A(x) · ∇T (x),
âi = A(x) · ∇Si ,
para 1 ≤ i ≤ n − 1. Nótese que ∇T = ν en S, por eso ân (s, t) ̸= 0 si |s − s0 |, |t|
son pequeños. En efecto: ân (s, t) = A(x) · ν(x) ̸= 0, en virtud a la condición de
no caractericidad.
Teorema 2.5. Sea S una superficie no característica para la ecuación (2.1).
Entonces, cualquiera que sea el dato de Cauchy ϕ ∈ C 1 (S) el problema (P)
admite una solución local (u, U) que es única en el sentido siguiente: si (u1 , U1 )
es otra solución local, existe una abierto V1 ⊂ Ω, S ⊂ V1 ⊂ U ∩ U1 tal que
u = u1 en V1 .
Observaciones 2.2.
a) La técnica de la prueba del teorema se llama “método de las características”.
b) La existencia de soluciones locales no se puede mejorar en general para obtener
soluciones definidas globalmente donde lo estén los coeficientes. Tómese por
ejemplo S = {(x, y) = (s, 0) : s > 0}, ϕ(s) = 0 y la ecuación:
yux − xuy = 1
(x, y) ∈ R2 − {(0, 0)}.
Este problema admite infinitas soluciones no prolongables (ver e)). Tales soluciones presentan discontinuidades donde los coeficientes son regulares. Véase
también la sección de problemas.
c) No es difícil ver que la solución obtenida por el métdodo de las características
depende continuamente del dato ϕ. Es decir, si ϕn es una sucesión de funciones
C 1 que converge uniformemente sobre compactos de S a una ϕ de clase C 1
entonces un (x) → u(x) uniformemente sobre compactos.
d) El entorno U es A-convexo en el sentido de que cada x ∈ U se escribe:
x = X(t, g(s)) para algún t y g(s) ∈ S (notamos por x(t) = X(t, y) a la
única solución de x′ = A(x), junto con x(0) = y) y además: [g(s), x]A = {x =
X(τ, g(s))/0 ≤ τ ≤ t} está contenido en U. Pues bien, dada otra solución local
(u1 , U1 ), el entorno V1 que se menciona en el teorema 1 se puede expresar como:
V1 = {x ∈ U ∩ U1 : [g(s), x]A ⊂ U1 , si x = X(t, g(s))}.
2.2. ECUACIONES CUASILINEALES
51
e) [No unicidad local]. Consideremos el problema:
yux − xuy = 1
u(x, 0) = h(x),
x > 0.
(P )
Sean 0 < α1 < α2 < 2π dos ángulos y sean θ1 (x, y) y θ2 (x, y) dos determinaciones del argumento con líneas de corte en las semirrectas ri , x = t cos αi , y =
t sen αi , t ≥ 0. Pues bien, los pares (ui , Ui ) con:
√
ui = h( x2 + y 2 ) − θi (x, y),
con (x, y) ∈ Ui = R2 − ri son dos soluciones locales tales que u1 ̸= u2 en
{α1 < arg (x, y) < α2 }. Por tanto no se cumple que u1 = u2 en U1 ∩ U2 . Véase
también la sección de ejercicios.
2.2.
Ecuaciones cuasilineales
La ecuación cuasilineal de primer orden más general toma la forma:
n
∑
i=1
ai (x, u)
∂u
= b(x, u)
∂xi
x ∈ Ω,
(2.7)
donde se supone en lo que sigue que las funciones ai (x, y), b(x, y) ∈ C 1 (Ω × R),
mientras que S representa una superficie simple parametrizada por x = g(s),
g ∈ C k (U, Rn ), U abierto de Rn−1 , k ≥ 2. Denotaremos análogamente por A al
campo: A(x, y) = (a1 (x, y), · · · , an (x, y)).
El estudio de las soluciones de (2.7) es de nuevo abordable mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. En efecto, las soluciones u de (2.7) definen superficies en Rn × R (las superficies integrales),
y − u(x) = 0,
cuya normal (∇u, −1) debe ser ortogonal al campo (A(x, y), b(x, y)) en cada
punto (x, y) = (x, u(x)). En otras palabras, el campo (A(x, y), b(x, y)) caracteriza las soluciones de (2.7) como sus superficies invariantes. Esto es consecuencia
del Lema 2.3 o del siguiente razonamiento directo. Si y = u(x) es invariante
frente a la ecuación:
x′ = A(x, y)
(2.8)
y ′ = b(x, y),
y(t) = u(x(t)) para toda solución, con lo que derivando,
∑
ai (x(t), u(x(t)))∂xi u(x(t)) = b(x(t), u(x(t))),
y u resuelve (2.1). Recíprocamente, si u resuelve (2.7) tomamos x0 , y0 = u(x0 ).
Formamos la solución (x(t), y(t)) de (2.8) con dato (x0 , y0 ) y por otro lado
y1 (t) = u(x(t)). Sabemos que y ′ = b(x(t), y), y(0) = y0 . Derivando se tiene
52
y1′ = b(x(t), y1 ), y1 (0) = y0 . Por tanto y = y1 con lo que y(t) = u(x(t)) luego
{y = u(x)} es invariante frente a (2.8).
La (2.8) se llama la ecuación de las características asociada a (2.7).
Se recuerda la siguiente definición.
Definición 2.6. Sea V = V (x) una función real C 1 en Ω y sea F : Ω → Rn
un campo C 1 en Ω. Decimos que V (x) es una integral primera para la ecuación
x′ = F (x) si V (x(t)) = constante para cada solución de la ecuación.
Es inmediato comprobar que V es una integral primera de x′ = F (x) en Ω
sí y sólo sí ∇u(x)F (x) = 0 en Ω. La siguiente propiedad expresa el hecho de
que las superficies de nivel de integrales primeras de la ecuación (2.8) dan lugar
a superficies integrales de (2.7).
Propiedad 2.7. Sea V = V (x, y) de clase C 1 en Ω × R una integral primera
de (2.8). Supongamos que, para c ∈ R la ecuación
V (x, y) = c
define a y = u(x) donde u ∈ C 1 (Ω1 ), Ω1 ⊂ Rn un dominio, de forma que
∂V
∂y ̸= 0 en y = u(x), x ∈ Ω1 . Entonces u define una solución de u en Ω1 .
La estructura local de las integrales primeras de una ecuación se recoge en
la siguiente propiedad.
Propiedad 2.8. Sea F = F (x), F ∈ C 1 (Rn , Rn ) un campo tal que F (x0 ) ̸= 0,
e. d. x = x0 no es una singularidad de F . Existe entonces un entorno U de x0
y n − 1 integrales primeras V1 (x), . . . , Vn−1 (x), con rango (V1 , . . . , Vn−1 )′ (x) =
n − 1 para cada x ∈ U , de forma que si V (x) es otra integral primera en U
entonces V (x) = H(V1 (x), . . . , Vn−1 (x)), x ∈ U , para una cierta aplicación C 1 ,
H = H(y1 , . . . , yn−1 ).
Como en el caso lineal, nos ocupamos del problema de Cauchy para (2.7),
considerando las mismas definiciones de solución local y de unicidad de soluciones. Específicamente, de la existencia de soluciones (u, U) de:
 n
∑
∂u


ai (x, u)
= b(x, u), x ∈ Ω
∂x
i
(2.9)
i=1


u|∂Ω = ϕ,
donde S es una superficie regular y U es un abierto de Ω, S ⊂ U ⊂ Ω, u ∈ C 1 (Ω)
satisface (2.7) y u(x) = ϕ(x) en S. Se supone, por tanto, que ϕ es C 1 y que la
superficie S es C 2 .
Para poder considerar la clase más amplia posible de datos iniciales ϕ es
necesario -como en ecuaciones lineales- imponer condiciones a S. Sin embargo,
en el caso cuasilineal, también deben imponerse restricciones a los propios datos
ϕ. La condición de no caractericidad que vamos a introducir, está justificada si
pensamos que para resolver (2.9) vamos a construir soluciones u = u(x) trazando
órbitas de (2.8) desde {(x, ϕ(x))/x ∈ S} . En la siguiente definición se establece
la condición de no caractericidad con la que trabajaremos.
2.2. ECUACIONES CUASILINEALES
53
Definición 2.9. Diremos que la superficie S y el dato ϕ ∈ C 1 (S) satisfacen la
condición de transversalidad si:
A(x, ϕ(x)) · ν(x) ̸= 0,
∀x ∈ S.
(2.10)
Otra manera de escribir (2.10) es
∂g1
∂s
1
..
.
∂gn
∂s1
···
..
.
···
a1 (g(s), ϕ(g(s))) ..
̸= 0.
.
an (g(s), ϕ(g(s)))
Observaciones 2.3.
a) Es muy fácil interpretar la condición de transversalidad en n = 2 tomando
S = {(x, y) = (g1 (s), g2 (s))/a < s < b}, h(s) = ϕ(g1 (s), g2 (s)).
b) Supongamos que (S, ϕ) son característicos, es decir:
A(x, ϕ(x)) · ν(x) = 0,
x ∈ S.
Si (2.9) admite una solución u = u(x) con dato ϕ entonces A(x, ϕ(x)) es tangente
a S. Por tanto, x0 ∈ S implica x(t) ∈ S si x(t) es la solución de:
x′ = A(x, ϕ(x)) x(0) = x0 .
Como x(t) ∈ S y u = ϕ en S tendremos que y(t) = u(x(t)) = ϕ(x(t)) junto
con x(t) es una solución de (2.8), con datos iniciales (x0 , y0 ) = (x0 , ϕ(x0 )). Eso
quiere decir que la variedad de datos {(x, ϕ(x))} es invariante frente a (2.8).
Puede probarse que entonces (2.9) admite infinitas soluciones, lo que va contra
nuestros propósitos. En el caso n = 2,
a1 ux + a2 uy = b(x, y, u)
u(f (s), g(s)) = h(s), a < s < b.
Que (f, g, h) sean caracterí sticos equivale a que (f, g, h) parametrice una órbita
de (2.8). No es difí cil comprobar que en ese caso el problema precedente admite
infinitas soluciones.
Teorema 2.10. En las hipótesis precedentes para A, b, ϕ, S supongamos que ϕ y
S satisfacen la condición de transversalidad (2.10). Entonces el problema (2.9)
admite una solución local (u, U) que es única en los mismos términos que en el
Teorema 2.5.
Demostración. Se construye la solución (x(t), y(t)) de (2.8) con dato (x0 , y0 ) =
(g(s), h(s)). El teorema de la función implícita permite hallar u tal que y(t) =
u(x(t)). Toda otra solución u1 que pase por (x0 , y0 ) cumplirá y(t) = u1 (x(t)).
Por tanto, la unicidad. De aquí es fácil hallar un dominio mínimo de unicidad.
54
La ecuación de Burgers
Un caso particular de las ecuaciones de la dinámica de gases define el campo
de velocidades de un gas cuyas partículas se mueven con velocidad constante:
uy + uux = 0.
Tal es la ecuación de Burgers (v. Capítulo 1). Supongamos que tenemos un dato
inicial:
u(x, 0) = h(x),
x∈R
con h ∈ C 1 . Veamos que el problema de valores inciales carece de soluciones
definidas en todo y ≥ 0 salvo que h(x) sea creciente: x1 ≤ x2 ⇒ h(x1 ) ≤ h(x2 ),
para cualesquiera x1 , x2 . En efecto, si g1 (s) = s, g2 (s) = 0, entonces ecuación
de las características es:
x′ = z,
y ′ = 1,
z ′ = 0,
con las condiciones iniciales:
x(0) = s,
y(0) = 0,
z(0) = h(s).
De ahí se deduce que una expresión implícita para u es (cf. Capítulo 1):
u = h(x − uy).
Las proyecciones x, y de las curvas características tienen la forma: x = s + th(s),
y = t, es decir
1
y=
(x − s).
(rs )
h(s)
Sobre rs la solución siempre toma el valor h(s). Por eso, si h(s1 ) ̸= h(s2 ), rs1 y
rs2 se cortan en
x=
s1 h(s2 ) − s2 h(s1 )
,
h(s2 ) − h(s1 )
y=−
s2 − s1
,
h(s2 ) − h(s1 )
de lo que se deduce que las soluciones no pueden estar definidas en dicho punto.
Cerca de un tal punto u experimenta una salto de magnitud |h(s2 ) − h(s1 )|
cuando nos aproximamos por la caraterí sticas. Es natural que ux “explote” en
dichos puntos. En efecto, sobre rs se tiene que:
ux =
h′ (s)
.
1 + yh′ (s)
Si h′ (s) ̸= 0, |ux | se hará infinita si y → − h′1(s) .
2.3. LA ECUACIÓN GENERAL DE PRIMER ORDEN
2.3.
55
La ecuación general de primer orden
La ecuación en derivadas parciales de primer orden más general es:
F (x, u, ∇u) = 0,
x ∈ Ω.
(2.11)
Suponemos que las soluciones u ∈ C 1 (Ω) mientras que F : Ω × R × Rn → R
es una función de clase C 2 . Como en los casos precedentes, todavía es posible
estudiar la existencia de soluciones de (2.11) mediante una ecuación diferencial
ordinaria. Como en las secciones precedentes, S designará una superficie simple
regular de clase C 2 parametrizada por x = g(s), s ∈ U ⊂ Rn−1 , U un cierto
dominio.
El primer paso en el estudio de (2.11) consiste en obtener -aunque sólo sea
formalmente- cuál es el equivalente para (2.11) de la ecuación de las características. Para ello escribimos F = F (x, y, p), x = (xi ), p = (pj ). La hipótesis
básica consiste en admitir que es posible determinar la solución u = u(x) sobre
∂u
ciertas curvas x = x(t). Así pues escribimos y(t) = u(x(t)) y yj (t) = ∂x
(x(t)) y
j
tratamos de hallar una ecuación diferencial para las funciones x(t), y(t), yj (t),
es decir, funciones ai (x, y, Y ), b(x, y, Y ), cj (x, y, Y ), Y = (yj ), de forma que:
x′i = ai (x, y, Y )
y ′ = b(x, y, Y )
yj′
(2.12)
= cj (x, y, Y ),
1 ≤ i, j ≤ n.
Pues bien, si x′ = A(x, y, Y ) entonces se tiene que
n
n
∑
∑
∂u ′
xj (t) =
yj ak = A(x, y, Y ) · Y.
∂xj
j=1
j=1
y ′ (t) =
Con ello sólo falta hallar un posible candidato para A y las ecuaciones para
∂u
(x(t)) al
yj′ (t). Vamos a hacer las dos cosas a la vez. Por un lado si yj (t) = ∂x
j
derivar:
yj′ (t) =
n
∑
k=1
∑
∂2u
∂2u
(x(t)) =
ak (x, y, Y )
(x(t)).
∂xj ∂xk
∂xj ∂xk
n
x′k (t)
(2.13)
k=1
Por otra parte si F (x, u(x), ∇u(x)) = 0, al derivar con respecto a xj y hacer
x = x(t):
n
∑
∂2u
Fxj + Fy uxj (x(t)) +
Fpk
(x(t)) = 0.
(2.14)
∂xk ∂xj
k=1
Es decir,
n
∑
k=1
Fpk
∂2u
(x(t)) = −Fxj − Fy yj (t).
∂xk ∂xj
(2.15)
Ahora obsérvese que si se compara el segundo miembro de (2.13) con el primero
de (2.15), ámbas expresiones coinciden si tomamos ai (x, y, Y ) = Fpi (x, y, Y ) (lo
56
∑n
que es coherente con el caso cuasilineal donde F (x, y, p) =
i=1 ai (x, y)pi y
∂F
ai (x, y, Y ) = ai (x, y) = ∂p
).
Bajo
esta
elección
de
los
a
(x,
y,
Y
) se pueden al
i
i
menos cerrar las ecuaciones para x(t), y(t) y yj (t), sin necesidad de introducir
como incógnitas las derivadas de orden superior: yα (t) = ∂ α u(x(t)), observadas
sobre x(t). En efecto, se tiene:
yj′ (t) = −Fxj − Fy yj .
Así las ecuaciones en conjunto son:

∂F


, 1≤i≤n
x′i =


∂pi




n

∑
∂F
y′ =
yi
∂p

i

i=1




∂F

′

− Fy yj . 1 ≤ j ≤ n
 yj = −
∂xj
(2.16)
Se llama a (2.16) la ecuación de las caracterí sticas de (2.11). Si (x(t), y(t), Y (t))
satisface (2.16), se “espera” que los valores de las soluciones de (2.11), u = u(x)
y de ∇u(x) sobre x(t) se deduzcan de (2.16) mediante y(t) = u(x(t)) y que se
cumpla Y (t) = ∇u(x(t)).
Como en las secciones precedentes, si ϕ ∈ C 1 (S) es lícito plantearse el problema de Cauchy:
{
F (x, u, ∇u) = 0
(2.17)
u = ϕ x ∈ S.
Asimismo, la naturaleza de las técnicas que se van a emplear sólo permiten establecer la existencia de soluciones locales (u, U) cuya definición no repetiremos.
Para resolver entonces (2.17) se tienen que determinar las condiciones iniciales
para (2.16). Es obvio cuáles son las condiciones para x(t), y(t):
x(0) = g(s),
y(0) = ϕ(g(s)).
(2.18)
Las condiciones iniciales y1 (0) = ȳ1 (s), · · · , yn (0) = ȳn (s) vienen dadas por el
sistema (se obtiene derivando u(g(s)) = ϕ(g(s)) respecto a si , 1 ≤ i ≤ n − 1):

n
∑

∂gj

 ∂ϕ ◦ g =
ȳj (s)
1≤i≤n−1
∂si
∂si
(2.19)
j=1


 F (g(s), ϕ(g(s)), ȳ (s), · · · , ȳ (s)) = 0.
1
n
Teniendo en cuenta la última ecuación en (2.19) una hipótesis que nos vemos
obligados a admitir es la existencia, para cada s ∈ U , de al menos una solución Ȳ (s) = (ȳj (s)) de dicho sistema siendo las ȳj (s) de clase C 1 en U . Otra
hipótesis ya familiar que introducimos es la condición de transversalidad (2.21).
57
Suponemos que sobre las soluciones Ȳ (s) de (2.19) se satisface:
∂g1
∂s
1
..
.
∂gn
∂s1
···
..
.
···
Fp1 (g(s), ϕ(g(s)), Ȳ (s)) ..
̸= 0.
.
Fpn (g(s), ϕ(g(s)), Ȳ (s))
(2.20)
Debe advertirse que puede haber más de una familia ȳj (s) de funciones que
satisfagan (2.19) y (2.21). Esto ocurrirá si, por ejemplo, (2.11) es de “grado”
superior a 1 en el gradiente |∇u|.
Ejemplo 2.4. Para la ecuación u2x + u2y = 1 si S viene definida por (g1 (s), g2 (s)),
a < s < b, h(s) = ϕ(g1 (s), g2 (s)) = 1, las posibles elecciones de (ȳ1 , ȳ2 ) son:
1
(ȳ1 , ȳ2 ) = ± √
(g2′ , −g1′ ).
2
2
′
′
g1 + g2
Nótese que al ser (g1′ , g2′ ) ̸= 0, se da (2.21). Estúdiese el caso general correspondiente a un dato h(s).
Envolvente de una familia de superficies. Se considera una familia de superficies
{Sλ }, dada por H(x, y, z, λ) = 0, H de clase C 2 , ∇H(·, λ) ̸= 0 en Sλ . Una
envolvente de la familia es otra superficie E, dada por g(x, y, z) = 0 de forma
que
E = ∪ λ γλ
γλ ⊂ Sλ ∩ E,
y tal que ∇g = ∇H(·, λ) en cada γλ 1 . Es decir E hace un contacto de primer
orden con cada Sλ .
Una manera de hallar E es proceder como sigue. Para λ fijo, las secciones de
Sλ por superficies próximas Sµ son γλ,µ , es decir:
{
H(x, y, z, λ) = 0
H(x, y, z, µ) = 0
es decir

 H(x, y, z, λ) = 0
H(x, y, z, µ) − H(x, y, z, λ)

= 0.
µ−λ
Si µ → λ la curva límite γλ tiene por ecuación a:
{
H(x, y, z, λ) = 0
Hλ (x, y, z, λ) = 0.
(γλ )
La unión de tales curvas genera la superficie envolvente E. Una manera analítica
de proceder es como sigue. Genéricamente Hλ = 0 se puede resolver despejando
1 A efectos de su uso posterior no necesitamos pedir la condición más fuerte γ = S ∩ E. El
λ
λ
cálculo de la envolvente que sigue no permite probar esa identidad. En resumen la envolvente
que calcularemos es una superficie constituida por curvas γλ donde E hace un contacto de
orden 1 con cada Sλ para cada λ.
58
λ en términos de (x, y, z), en la forma λ = Gk (x, y, z), para quizás varias Gk ,
k ∈ K. Así, γλ puede representarse como la unión de varias γk,λ con:
{
H(x, y, z, λ) = 0
λ = Gk (x, y, z).
(γk,λ )
La unión de las curvas γk,λ constituye una superficie Ek que tiene la propiedad
buscada y se puede describir mediante la ecuación gk (x, y, z) = 0 donde
gk = H(x, y, z, Gk (x, y, z)).
En efecto si gk (x, y, z) = 0 entonces P = (x, y, z) cumple H(P, λ) = 0, λ =
Gk (P ) y P ∈ γk,λ . Está claro que Ek tiene la propiedad deseada.
Más tarde haremos uso de las superficies envolventes que acabamos de construir.
Ejemplo 2.5. Considérese la familia de esferas (x − λ)2 + y 2 + z 2 − 1 = 0, λ ∈ R.
Deducción geométrica de la ecuación de las características 2 . Para n = 2 tomamos x, y como variables independientes, z = u, p = ux , q = uy y escribimos
F = F (x, y, z, p, q). La ecuación (2.11) es:
F (x, y, u, ux , uy ) = 0.
De nuevo la idea es construir las soluciones u = u(x, y) de una forma geométrica.
Es decir, considerar su gráfica z = u(x, y) 3 como la unión de las gráficas de
soluciones 4 x = x(t), y = y(t), z = z(t) (z(t) = u(x(t), y(t))) de una cierta
ecuación diferencial ordinaria. Para ello necesitamos deducir (geométricamente)
cómo es el campo (dx, dy, dz). Procedemos como sigue. Si u(x, y) es solución
de (2.11), en cada P0 = (x0 , y0 , z0 ), z0 = u(x0 , y0 ), la normal (p0 , q0 , −1), p0 =
ux (x0 , y0 ), q0 = uy x(x0 , y0 ) a la superficie z = u(x, y):
F (x0 , y0 , z0 , p, q) = 0,
(2.21)
para p = p0 , q = q0 . La ecuación (2.21) define entonces en P0 = (x0 , y0 , z0 ) una
familia uniparamétrica de planos tangentes 5 :
z − z0 = p(x − x0 ) + q(y − y0 ),
(2.22)
cuya envolvente E se llama el cono de Monge en P0 . Se razona ahora como sigue:
el plano tangente a una superficie integral z = u(x, y) en P0 , al pertenecer a la
familia (2.22) corta a E en una curva γp 6 . El vector tangente (dx, dy, dz) a γp
2 cf.
el libro de Fritz John.
superficie integral.
4 Órbitas.
5 (2.21) expresa, v. g., q como una función de p.
6 Es una recta generatriz del cono.
3 Una
59
en P0 es tangente a E y a z = u(x, y). ¡ Ese es el vector que estamos buscando!
Según lo dicho, γp viene dada por:

 z − z0 = p(x − x0 ) + q(y − y0 )
dq

0 = x − x0 + (y − y0 ) ,
dp
luego,

 dz = pdx + qdy
dq
 0 = dx + dy.
dp
dq
Fp
dx
dy 7
= −
la última ecuación se puede escribir
=
. En consedp
Fq
Fp
Fq
cuencia, en cada punto (x, y, u(x, y)) de una superficie integral, el campo:
Como
x′ = Fp (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y))
y ′ = Fq (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y))
z ′ = pFp (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y)) + qFq (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y)),
con p = ux (x, y), q = uy (x, y) debe ser tangente a dicha superficie. Si llamamos
p(t) = ux (x(t), y(t)), q(t) = uy (x(t), y(t)) entonces, para hallar las ecuaciones
de p y q se procede como antes:
p′ = uxx x′ + uxy y ′ = uxx Fp + uxy Fq
q ′ = uyx x′ + uyy y ′ = uyx Fp + uyy Fq ,
mientras que derivando (2.11) primero con respecto a x y después con respecto
a y obtenemos:
Fx + Fz ux + Fp uxx + Fq uyx = 0
Fy + Fz uy + Fp uxy + Fq uyy = 0,
de donde se tiene que:
p′ = −Fx − Fz p
q ′ = −Fy − Fz q,
que completan las ecuaciones diferenciales buscadas.
Es costumbre llamar a una solución de la ecuación característica:
x′ = Fp
y ′ = Fq
z ′ = pFp + qFq
′
p = −Fx − Fz p
q ′ = −Fy − Fz q,
7 Esto
se debe leer como x′ = αFp , y ′ = αFq , para algún α.
(2.23)
60
una banda característica. En efecto (x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)) puede interpretarse como una curva (x(t), y(t), z(t)) con un plano asociado:
ζ − z = p(t)(ξ − x) + q(t)(η − y).
Como dz = pdx + qdy se tiene que la curva es tangente al plano en cada punto.
Nos podemos así imaginar una superficie integral como la envolvente de una
familia de bandas características. Obsérvese que cada banda queda determinada
si se fija un punto y un plano inicial. Eso permite plantearse la posibilidad de
resolver el problema de Cauchy para (2.11) sobre una curva dato Γ: x = f (s), y =
g(s), z = h(s), a < s < b, donde f, g, h son de clase C 2 . Integramos así (2.23)
bajo las condiciones:
x(0) = f (s)
y(0) = g(s)
z(0) = h(s).
(2.24)
Sin embargo, para resolver (2.23) necesitamos los valores iniciales de p y q.
Como se vio más arriba los valores iniciales p(0) = φ(s), q(0) = ψ(s) tienen que
cumplir:
h′ (s) = φf ′ + ψg ′
(2.25)
F (f, g, h, φ, ψ) = 0.
Al considerar entonces el problema de Cauchy:
{
F (x, y, u, ux , uy ) = 0
u(f, g) = h, a < s < b
(2.26)
siempre se supone que los datos f, g, h habilitan la existencia de funciones C 1 ,
φ, ψ que satisfacen el sistema (2.25) y además la condición de transversalidad:
f′
g′
(2.27)
Fp (f, g, h, φ, ψ) Fp (f, g, h, φ, ψ) ̸= 0.
Podemos enunciar por fin el siguiente resultado.
Teorema 2.11. Supongamos que Γ = {(f, g, h)/a < s < b} es una curva C 2
y que existen funciones C 1 , φ(s), ψ(s), a < s < b que satisfacen (2.25) y
(2.27) , entonces el problema (2.26) admite una solución local (u, U). Además,
toda otra solución local (u1 , U1 ) que coincida hasta el orden 1 con u(x, y) en
S = {(f, g)/a < s < b} también coincide con u(x, y) en un cierto entorno
abierto V1 ⊂ U ∩ U1 de S.
Observación 2.6. Se dice que dos funcionesu(x, y), v(x, y), de clase C 1 coinciden
hasta el orden 1 en (x0 , y0 ) si:
u(x0 , y0 ) = v(x0 , y0 ),
ux (x0 , y0 ) = vx (x0 , y0 ),
uy (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ).
Por otra parte el Teorema 2.11 habla de unicidad de soluciones locales –en el
sentido que se ha usado en el capítulo– cuando, de acuerdo con la ecuación y la
curva Γ, se elige un campo gradiente ∇u = (φ, ψ) sobre S.
2.4. INTEGRALES PRIMERAS
61
Demostración del Teorema 2.11. La existencia sigue las ideas del caso cuasilineal. Sin embargo hay algún detalle que no es trivial. Lo primero es resolver
(2.23) bajo las condiciones
(x(0), y(0), z(0), p(0), q(0)) = (f (s), g(s), h(s), φ(s), ψ(s)),
para obtener
(x, y, z, p, q) = (X(t, s), Y (t, s), Z(t, s), P (t, s), Q(t, s)).
Es fácil invertir x = X(t, s), y = Y (t, s) en la forma s = S(x, y), t = T (x, y),
lo que permite proponer u = Z(T, S) como posible solución. Derivando con
respecto a t se concluye que:
F (X(t, s), Y (t, s), Z(t, s), P (t, s), Q(t, s)) = 0.
Pero comprobar que u es solución pasa por justificar que:
ux (X(t, s), Y (t, s)) = P (t, s)
Unas cuentas prueban que:
( ) (
)( )
Zt
Xt Yt
ux
=
Zs
Xs Ys
uy
uy (X(t, s), Y (t, s)) = Q(t, s).
(
Zt
Zs
)
(
=
Xt
Xs
Yt
Ys
)( )
P
.
Q
(2.28)
(2.29)
De todas las relaciones la más delicada es la última que se prueba observando
que A(t, s) = P Xs + QYs − Zs cumple A(0, s) = 0 mientras At = Fz A. De (2.29)
se sigue (2.28).
Para la unicidad se toma una solución u de la ecuación y se plantea la
ecuación diferencial ordinaria:
x′ = Fp (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y))
y ′ = Fq (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y)),
con lo que,
z(t) = u(x(t), y(t)),
cumple z ′ = ux Fp + uy Fq . Si, por ejemplo, p(t) = ux (x(t), y(t)) se tiene p′ =
uxx Fp + uxy Fq , que vía la ecuación en derivadas parciales se puede escribir
p′ = −Fx − pFz .
2.4.
Ecuaciones cuasilineales e integrales primeras
Recordemos que si V = V (x1 , · · · , xn , y) es una integral primera de la ecuación:
x′i = ai (x1 , · · · , xn , y) 1 ≤ i ≤ n
(2.30)
y ′ = b(x1 , · · · , xn , y)
62
en un cierto dominio Ω ⊂ Rn × R, entonces, para cada λ ∈ R donde
V (x1 , · · · , xn , y) = λ ,
define y = u(x1 , · · · , xn ) se tiene que u es una solución de:
n
∑
ai uxi = b(x1 , · · · , xn , u).
(2.31)
i=1
Consideremos por simplicidad el problema de Cauchy en el caso n = 2. Nos
proponemos hallar una solución y = u(x1 , x2 ) (la denotaremos z = u(x, y)) que
satisfaga:
u(f (s), g(s)) = h(s), a < s < b,
para ciertas funciones dato f, g, h, de clase C 1 , que cumplen la condición de
transversalidad. Basta con hallar una integral primera V (x, y, z) de:
x′ = a1 (x, y, z)
y ′ = a2 (x, y, z)
(2.32)
′
z = b(x, y, z)
de forma que V (f (s), g(s), h(s)) = 0 para a < s < b. El siguiente método
para encontrar V , por su naturaleza sólo tiene validez local. En la práctica los
resultados suelen ser por regla general globales. Siempre existen dos integrales
primeras independientes de (2.32), Vi = Vi (x, y, z), i = 1, 2. Las órbitas de
(2.32) que pasan por los puntos P (s) = (f (s), g(s), h(s)) -cuya unión genera la
superficie solución-vienen dadas por los sistemas:
V1 (x, y, z) = c1 (s)
V2 (x, y, z) = c2 (s)
para ciertas funciones C 1 , c1 , c2 (véase la sección de Ejercicios). En general,
y1 = c1 (s), y2 = c2 (s) definen una curva en el plano y1 –y2 (razónese, por ejemplo,
qué sucedería si c′1 (s) ≡ 0). Por tanto existe una función F = F (y1 , y2 ) de
clase C 1 tal que F (c1 (s), c2 (s)) = 0 para cada s. Como F (V1 (x, y, z), V2 (x, y, z))
también es una integral primera, V (x, y, z) = F (V1 (x, y, z), V2 (x, y, z)) es la
integral primera buscada.
Ejemplo 2.7. Tomemos y + uuy = 0 junto con u(x, 0) = h(x) de forma que
h(x) ̸= 0 para cada x. Bien, se tiene que V1 = x y V2 = y 2 + z 2 son integrales
primeras de (2.32). El sistema V1 (P (s)) = c1 (s) y V2 (P (s)) = c2 (s) da c1 = s,
c2 = h2 (s). Así, F = y2 − h(y1 )2 , V = V2 − h(V1 )2 y la solución estará implícita
en
y 2 + z 2 − h(x)2 = 0.
Integrales Primeras. Una integral primera de (2.32) es una función C 1 , V (x, y, z),
que satisface (en un cierto dominio de R3 ):
Vx a1 + Vy a2 + Vz b = 0.
2.5. INTEGRALES COMPLETAS
63
En la práctica el cálculo de una integral primera consiste en hallar funciones
P, Q, R tales que P a1 + Qa2 + Rb = 0 de forma que, para alguna función V se
tenga P = Vx , Q = Vy , R = Vz . Una manera de facilitar la búsqueda de P, Q, R
consiste en partir de la ecuación orbital de (2.32):
dx
dy
dz
=
=
a1
a2
b
Por la propiedad fundamental de las fracciones equivalentes:
dy
dz
P dx + Qdy + Rdz
dx
=
=
=
.
a1
a2
b
P a1 + Qa2 + Rb
Si se consigue P a1 + Qa2 + Rb = 0 entonces P dx + Qdy + Rdz = 0. Integrar
ésta última ecuación es –por definición– hallar las funciones V .
Ejemplo 2.8.
x′ = x(y − z)
y ′ = y(z − x)
z ′ = z(x − y).
Al escribir:
dy
dz
dx
=
=
x(y − z)
y(z − x)
z(x − y)
se ve que:
1
1
1
dy
dx
dz
y
x
=
= z
(y − z)
(z − x)
(x − y)
de donde,
1
1
1
dx + dy + dz = 0,
x
y
z
con lo que V = log (xyz). Nótese que también se puede tomar V = xyz.
2.5.
Superficies integrales y envolventes. Integrales completas
Consideremos la ecuación general en dos variables:
F (x, y, u, ux , uy , ) = 0.
(2.33)
Llamaremos superficie integral de (2.33) a la gráfica en R3 , {(x, y, z) : z =
u(x, y)} de cualquier solución u(x, y) de (2.33). Una superficie integral, puede
también expresarse en la forma H(x, y, z) = 0. En la Sección 2.3 del presente
capítulo se introdujo la noción de superficie envolvente E, g(x, y, z) = 0, de una
familia {Sλ } de superficies H(x, y, z, λ) = 0, así como un método para hallar
g. En estos términos, vamos a probar que si las Sλ son superficies integrales,
entonces también la envolvente es una superficie integral.
64
Recordemos que E consta de la unión de curvas γλ de forma que cada γλ ⊂
Sλ . Comprobamos que para cada λ, E y Sλ no sólo hacen un contacto de orden
uno en γλ sino que además:
∇g(x, y, z) = ∇H(x, y, z, λ),
(2.34)
para (x, y, z) ∈ γλ . Así, para cada punto (x, y, z) ∈ γλ de la envolvente se tiene
gx
Hx
gy
Hy
que −
=−
y−
=−
. La solución u definida por H(x, y, z, λ) = 0
gz
Hz
gz
Hz
Hy
x
verifica ux = − H
Hz y uy = − Hz , mientras la función U definida por g(x, y, z) = 0
satisface Ux = ux , Uy = uy en γλ . Por eso:
F (x, y, U, Ux , Uy , ) = 0,
pues U = u, Ux = ux , Uy = uy en γλ . En consecuencia g(x, y, z) = 0 define una
superficie integral.
Verificamos (2.34). La envolvente es E = ∪λ γλ donde γλ se define mediante
el sistema:
H(x, y, z, λ) = 0
λ = G(x, y, z)
donde Hλ = 0 define a λ como función de (x, y, z) mediante λ = G. La ecuación
implícita de E es g(x, y, z) = 0 con g = H(x, y, z, G). Así si el punto P =
(x, y, z) ∈ E entonces P ∈ γλ donde λ viene dado por λ = G(P ). Como:
gx = Hx + Hλ Gx , gy = Hy + Hλ Gy , gz = Hz + Hλ Gz ,
al ser Hλ (P ) = 0 se tendrá ∇g(P ) = ∇H(P ).
Se llama integral completa de (2.33) a una familia biparamétrica
H(x, y, z, λ, µ) = 0,
de superficies integrales de (2.33). Una integral general de (2.33) es una envolvente de una subfamilia uniparamétrica de una integral completa. La envolvente
-si existe- de todas las integrales generales de una ecuación constituye una integral singular de dicha ecuación. Vamos a mostrar cómo la existencia de una
integral completa puede llevar a la resolución del problema de Cauchy. Para
ello suponemos que los datos de Cauchy (f (s), g(s), h(s)), a < s < b satisfacen
las hipótesis del Teorema 2.11. La idea consiste en determinar una subfamilia
uniparamétrica λ = λ(s), µ = µ(s) de forma que su envolvente contenga a la
curva Γ = {(f, g, h) : a < s < b}. Ello requiere que se satisfaga el sistema:
H(f (s), g(s), h(s), λ(s), µ(s)) = 0
Hλ (f (s), g(s), h(s), λ(s), µ(s))′ (s) + Hµ (f (s), g(s), h(s), λ(s), µ(s))µ′ (s) = 0.
Por tanto, las funciones λ, µ buscadas se determinan despejando λ, µ en términos
de s en el sistema:
H(P (s), λ(s), µ(s)) = 0
Hx (P (s), λ(s), µ(s))f ′ + Hy (P (s), λ(s), µ(s))g ′ + Hz (P (s), λ(s), µ(s))h′ = 0,
2.6. LAGRANGE-CHARPIT
65
con P (s) = (f (s), g(s), h(s)). Una vez determinadas las funciones λ(s), µ(s)
la envolvente de la familia H(x, y, z, λ(s), µ(s)) = 0 proporciona la solución
buscada.
Ejemplo 2.9. Consideremos la ecuación de tipo Clairaut:
1
u = xux + yuy + (u2x + u2y )
2
y la condición u(x, 0) = 12 (1 − x2 ). Una familia de superficies integrales es:
z = λx + µy + 12 (λ2 + µ2 ). El sistema es:
1
1
λs + (λ2 + µ2 ) = (1 − s2 )
2
2
λ = −s.
Luego λ = −s, µ = ±1. Las subfamilias uniparámetricas son z = −sx ± y +
1 2
2 (s + 1). Para hallar las envolventes:
1
− sx ± y + (s2 + 1) = 0
2
s = x,
siendo la ecuación de las envolventes (por tanto las soluciones): z = −x2 ± y +
1
2
2 (x + 1).
Observación 2.10. La idea de integral completa se inspira en la de integral
general en el caso de ordinarias. Allí, una familia uniparamétrica de curvas
genera una ecuación. Análogamente, una familia biparamétrica de superficies
H(x, y, z, λ, µ) = 0 define en general una ecuación de primer orden. En efecto,
basta con despejar λ, µ en el sistema:
Hx + Hz p = 0
Hy + Hz q = 0
en términos de x, y, z, p, q. La ecuación buscada es F (x, y, u, ux , uy ) = 0 con
F = H(x, y, z, λ(x, y, z, p, q), µ(x, y, z, p, q)).
2.6.
Cálculo de integrales completas. Método de
Lagrange–Charpit
El método de Lagrange–Charpit proporciona una técnica para hallar integrales completas de ecuaciones de primer orden del tipo (2.33). Consiste en lo
siguiente. Se supone que
H = H(x, y, z, p, q)
66
es una integral primera de la ecuación característica:
x′ = Fp
y ′ = Fq
z ′ = pFp + qFq
p′ = −Fx − pFz
q ′ = −Fy − qFz
de forma que se satisface:
∂(F, H) Fp
=
Hp
∂(p, q)
Fq ̸= 0.
Hq Se admite también que para cada λ el sistema:
F (x, y, z, p, q) = 0
H(x, y, z, p, q) = λ
(2.35)
define p, q como funciones C 1 de (x, y, z, λ), es decir, (2.35) define:
p = ϕ(x, y, z, λ)
q = ψ(x, y, z, λ).
(2.36)
∂(F, H)
junto con el teorema de la función implícita im∂(p, q)
plican que ϕ y ψ son funciones C 1 . Genéricamente, una solución u(x, y) de
(2.33) se describe por el método de las características, en el sentido de que
localmente se tiene la existencia de una solución x(t), . . . , q(t) de la ecuación
de las curvas características tal que z(t) = u(x(t), y(t)), p(t) = ux (x(t), y(t)),
q(t) = uy (x(t), y(t)) (ver la sección de Ejercicios). Por eso, H(x(t), . . . , q(t)) = λ
(constante). Se admite que todas las soluciones x(t), . . . , q(t) que generan u(x, y)
hacen H(x(t), . . . , q(t)) = λ. Entonces u satisface el sistema:
La hipótesis sobre
ux = ϕ(x, y, u, λ)
uy = ψ(x, y, u, λ).
(2.37)
En conclusión, la existencia de H en las condiciones prescritas permite obtener
algunas soluciones de (2.33) - ¡no todas satisfacerán que H = λ! - siempre que
se sepa cómo trabajar con las ecuaciones (2.37), más sencillas que la (2.33).
En el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias se estudia un caso particular: el de las ecuaciones exactas. Para M (x, y) y N (x, y) funciones dato, se
trata de hallar las soluciones de ux = M, uy = N . El siguiente resultado (véase
el Ejercicio 23) establece las condiciones precisas de existencia y unicidad.
Propiedad 2.12. Supongamos que ϕ, ψ son funciones C 1 en un dominio Ω ⊂
R4 . Entonces (2.37) admite soluciones locales en Ω sí y sólo sí se tiene que:
ϕ + ϕz ψ = ψx + ψz ϕ,
(2.38)
en Ω. Además, para λ fijado, dado un punto (x0 , y0 , z0 ) existe una única solución
local u(x, y) de (2.37) tal que u(x0 , y0 ) = z0 .
2.6. LAGRANGE-CHARPIT
67
Si H es una integral primera en las condiciones dadas se demuestra –ver
Ejercicio 24– que las funciones ϕ y ψ definidas en (2.36) como soluciones de
(2.35) satisfacen la condición de integrabilidad (2.38). Por tanto, la integración
de (2.37) da lugar –con λ fijo– a una familia uniparamétrica –tómese µ = z0 como
parámetro– de soluciones. Finalmente al hacer variar λ se obtiene una familia
biparamétrica de soluciones z = u(x, y, λ, µ). Este es el método de LagrangeCharpit para el cálculo de una integral completa de la ecuación (2.33).
Como se ha dicho, el primer paso consiste en hallar una integral primera
H de la ecuación característica. Para ello conviene escribir la ecuación orbital
asociada:
dx
dy
dz
dp
dq
=
=
=−
=−
,
Fp
Fq
pFp + qFq
Fx + pFz
Fy + qFz
y proceder como se ha indicado más arriba. Una vez halladas H, ϕ, ψ se debe
integrar la ecuación:
ϕdx + ψdy − dz = 0,
(2.39)
es decir, hallar una función V (x, y, z) de clase C 1 tal que Vx = ϕ, Vy = ψ,
Vz = −1 8 . Las ecuaciones V (x, y, z) = µ proporcionarán las soluciones de
(2.37). Por razones de cálculo algunas veces conviene multiplicar (2.39) por un
factor integrante ζ(x, y, z). Si V es una solución de la nueva ecuación, es decir
Vx = ζϕ, Vy = ζψ, Vz = −ζ, entonces las ecuaciones V = µ también dan las
soluciones de (2.37).
Ejemplo 2.11. Consideremos la ecuación:
zpq = p + q.
Tomando F = p + q − zpq, escribimos para el cálculo de una integral primera:
dx
dy
dz
dp
dq
=
=
=− 2 =− 2 .
1 − zq
1 − zp
p + q − 2zpq
p q
q p
1
1
p
De la última igualdad dp− dq = 0 y una integral primera es H = . Llegamos
p
q
q
así al sistema:
zpq = p + q
p = λq.
Se tienen dos opciones: ϕ = ψ = 0, que pone de manifiesto que todas las
1+λ
constantes son soluciones y ϕ = 1+λ
z , ψ = λz . Finalmente, integramos:
1+λ
1+λ
dx +
dy − dz = 0,
z
λz
la que, multiplicada por ζ = z –para separar las variables– da:
(1 + λ)dx +
8 La
1+λ
dy − zdz = 0.
λ
condición (2.38) asegura la existencia de tales V (x, y, z).
68
La integral completa es:
(1 + λ)x +
1+λ
z2
y−
= µ.
λ
2
Observación 2.12 (Superficies Ortogonales). Se considera una familia uniparamétrica {Hλ } de superficies,
H(x, y, z, λ) = 0,
que podría obtenerse alternativamente en la forma Λ(x, y, z) = λ, λ ∈ R. Si se
tiene una superficie fija z = u(x, y) (S) ésta corta genéricamente a cada una de
las Hλ según una curva Γλ en R3 :
{
{
H(x, y, z, λ) = 0
Λ(x, y, z) = λ
(Γλ )
z = u(x, y)
z = u(x, y),
es decir, si γλ ⊂ R2 designa la curva plana γλ = {(x, y) : Λ(x, y, u(x, y)) = λ}
entonces,
Γλ = {(x, y, z) : (x, y) ∈ γλ z = u(x, y)}.
Diremos que la superficie S es ortogonal a la familia {Hλ } (ver Ejercicio 15) si
las normales a S y Hλ son ortogonales en Γλ para cada λ. En ese caso habrá de
tenerse:
Hx (x, y, z, λ)ux + Hy (x, y, z, λ)uy = Hz (x, y, z, λ)
(x, y, z) ∈ Γλ λ ∈ R.
De manera equivalente,
Hx (x, y, u, Λ(x, y, u))ux + Hy (x, y, u, Λ(x, y, u))uy = Hz (x, y, u, Λ(x, y, u)),
(2.40)
donde (x, y) ∈ Ω ⊂ R2 (Ω es típicamente un cierto abierto de R2 ). La ecuación
(2.40) es la de las superficies ortogonales a la familia {Hλ }.
2.7.
Ejercicios
1. Hállense las soluciones de los siguientes problemas de Cauchy:
a) ux + uy = u2 ; u(x, 0) = h(x).
b) uy = xuux ; u(x, 0) = x.
c) xux + yuy + uz = u; u(x, y, 0) = h(x, y).
d) xuy − yux = u; u(x, 0) = h(x), x ∈ R+ .
2. Considérese la ecuación aux + buy = 0 y la curva de datos S = {(x, 0)/x ≥
0}. Para el dato ϕ = 0 hállense dos soluciones locales (u, U) y (u1 , U1 ) que
no coincidan sobre U ∩ U1 .
2.7. EJERCICIOS
69
3. Ecuación de Burgers. Se considera la ecuación:
uy + uux = 0,
(B)
en la que y representa el tiempo y u = u(x, y) representa el campo de
velocidades de un gas en la dirección del eje x.
a) Demostrar que si u es solución de (B), la velocidad de cada partícula es
constante.
b) Si h = h(x) es C 1 y no decreciente, entonces la ecuación (B) sometida a
la condición:
u(x, 0) = h(x), x ∈ R
(C)
admite una única solución definida en todo y ≥ 0.
c) Si además h es Lipschitz en R pruébese que la solución de (B) - (C) existe
para |y| ≤ ε para un cierto ε > 0. ¿Qué sucede si h no es Lipschitz?
d) Hállese la solución correspondiente al dato h = s2 − 1.
4. Se considera el problema de Cauchy:
ut = ux + u(1 − u);
u(x, 0) = ϕ(x).
(P )
a) Demostrar que la solución de (P) está definida en todo (x, t) ∈ R2 si
ϕ ∈ C 1 , 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1, para cada x ∈ R.
b) ¿Qué sucede si ∃x0 ∈ R tal que ϕ(x0 ) ∈
/ [0, 1]?
5. Una función u(x), x ∈ Rn se dice homogénea de grado α ̸= 0 si:
u(tx) = tα u(x),
∀t > 0, x ∈ Rn .
(H)
El teorema de Euler establece que u ∈ C 1 (Rn \ {0}) cumple (H) si y sólo
si u satisface la e.d.p.:
n
∑
i=1
xi
∂u
= αu,
∂xi
x ∈ Rn \ {0}.
(E)
Estúdiense las soluciones de (E) con las técnicas de las ecuación en derivadas parciales’s de primer orden.
6. Calcular la ecuación en derivadas parcialesde primer orden que satisfacen
todas las funciones radiales u en R2 . Estudiar el problema de Cauchy para
la ecuación resultante.
7. Calcular la ecuación en derivadas parcialesde primer orden que satisfacen
todas las esferas de radio 1 en R3 con centro en el plano x–y. Descríbanse
los conos de normales y de Monge para la ecuación resultante así como
1
la solución del problema de Cauchy con dato h(x, 0) = .
2
70
8. Hállese la edp de primer orden que satisfacen las funciones u = f (x2 − y 2 ),
para f ∈ C 1 (R). Estúdiese el problema de Cauchy correspondiente.
9. Estúdiense desde el punto de vista geométrico las soluciones del problema
de Cauchy para la ecuación:
mux + nuy − p = 0
(x, y) ∈ R2 ,
siendo m, n, p constantes. Hállese la solución con dato u(x, 0) = f (x),
f ∈ C 1.
10. Sobre una curva C 1 , Γ = {(g1 , g2 ))/a < s < b} estúdiese la solución del
problema de Cauchy para la ecuación Eikonal:
c2 (u2x + u2y ) = 1,
con dato u(g1 (s), g2 (s)) = h(s). En el caso h constante se llama frente de
ondas Γt en el instante t a la curva de nivel u = t. Determinar Γt en el caso
en que Γ es la circunferencia unidad y en el de la elipse x2 /a2 + y 2 /b2 = 1.
11. Supongamos que u = u(x, y) es una solución de:
a(x, y)ux + b(x, y)uy = −u
(x, y) ∈ Ω̄,
donde u ∈ C 1 (Ω) y Ω es la bola unidad de R2 . Supongamos que ax+by > 0
para todo (x, y) ∈ ∂Ω. Demuéstrese que entonces u se anula idénticamente
en todo Ω.
12. Se considera la ecuación en derivadas parciales:
u2x + u2y = u2 .
Estúdiense las soluciones de la ecuación característica. Hállense las soluciones de los problemas correspondientes a datos: u(cos s, sen s) = 1,
u(s, 0) = 1.
13. Estúdiense los problemas de Cauchy:

1
{

3
 u = xux + yuy + (u2x + u2y )
uy = ux
2
1
u(x, 0) = 2x3/2 , 
2
 u(x, 0) = (1 − x ).
2
14. Para F de clase C 2 demuéstrese que toda solución u de:
uy = F (ux ),
u(x, 0) = h(x),
se puede escribir como:
u = (F (p) − pF ′ (p))y + h(x − yF (p)),
donde p se expresa en términos de x e y mediante la relación:
p = h′ (x + yF ′ (p)).
2.7. EJERCICIOS
71
15. Superficies ortogonales. Consideremos una familia uniparamétrica de superficies {Sλ }, λ ∈ R, definidas como H(x, y, z, λ) = 0, λ ∈ R. Pruébese
que una cierta superficie definida en R3 por z = u(x, y), (H y u regulares)
es ortogonal a la familia Sλ sí:
Hx ux + Hy uy = Hz ,
siempre que z = u(x, y). Hállese una familia ortogonal a la familia:
x2 + y 2 = 2λz.
Hállese asimismo una superficie ortogonal a todas las de la familia:
z(x + y) = λ(3z + 1),
que pase además por el círculo x2 + y 2 = 1, z = 1.
16. Teorema de rectificación de campos. Sea G ⊂ Rn un abierto, f ∈ C 1 (G, Rn )
un campo C 1 , x0 ∈ G un punto no singular de f , es decir f (x0 ) ̸= 0. Demuéstrese que existe un entorno U de x0 y un difeomorfismo C 1 , T ∈
C 1 (U, Rn ), sobre T (U ) tal que T ′ (x)f (x) = en = (0, · · · , 1), x ∈ Rn . Si en
U se efectúa el cambio de variable y = T (x) hállese la expresión para la
ecuación transformada de x′ = f (x).
Indicación. La idea es empezar desde la parte final: ¿cómo transformar
las soluciones de x′ = f (x) mediante y = T (x) de forma que y ′ = en .
17. Estructura de las integrales primeras. Sean f y x0 como en el problema 16.
Demuéstrese que existen n − 1 integrales primeras Hi = Hi (x1 , · · · , xn ) ∈
C 1 (U, R), 1 ≤ i ≤ n − 1 de forma que si H = H(x1 , · · · , xn ) es otra
integral primera definida en U entonces H = F (H1 , · · · , Hn−1 ), para una
cierta función F = F (y1 , · · · , yn−1 ) de clase C 1 . Además H1 , . . . , Hn−1
son funcionalmente independientes en el sentido de que
rango (∇H1 (x), . . . , ∇Hn−1 (x)) = n − 1 x ∈ U.
18. Considérense un campo f y un punto no singular x0 de f . Sea V1 (x),. . . ,
Vn−1 (x), x ∈ U una familia de integrales primeras independientes de x′ =
f (x) en un entorno U de x0 . Para los valores V1 (x0 ) = c1 , . . . , Vn−1 (x0 ) =
cn−1 se considera el sistema:


 V1 (x) = c1

..
(2.41)
.



Vn−1 (x) = cn−1 .
Pruébese que las únicas soluciones de (2.41) en un entorno U ′ ⊂ U de x0
forman una curva Γ = {ϕ(t)/|t| < ε} que es una órbita de x′ = f (x).
72
19. Calcúlense dos integrales primeras independientes para las ecuaciones:
x′ = x(y − z)
x′ = x2 (y 3 − z 3 )
y ′ = y(z − x)
y ′ = y 2 (z 3 − x3 )
z ′ = z(x − y)
z ′ = z 2 (x3 − y 3 ).
20. Para a1 (x, y, z), a2 (x, y, z), b(x, y, z) de clase C 1 en R3 se considera el problema de Cauchy con datos u(f (s), g(s)) = h(s), a < s < b, f, g, h de
clase C 1 . Admitiendo que se satisface la condición de transversalidad y la
existencia de dos integrales primeras independientes V1 (x, y, z), V2 (x, y, z)
de la ecuación característica, utilícense éstas para hallar una solución local
de dicho problema.
21. Estúdiese el problema de Cauchy para las siguientes ecuaciones:
a) y + uuy = 0 (n = 2).
√
b) uux = 1 − u2 , u(x, x) = h(x).
c) yux − xuy = 0 con gráfica z = u(x, y) pasando por la curva z = my,
x2 + (y − α)2 = R2 .
d) x2 ux + y 2 uy = (x + y)u.
e) (2xy − 1)ux + (u − 2x2 )uy = 2(x − yu), pasando por la curva y = 0,
z = 1.
f) (x−y)ux +(y −x−u)uy = u, pasando por la curva z = 0, x2 +y 2 = 1.
Indicación Un par de integrales para (5) son por ejemplo: V1 = y + xz,
V2 = x2 + y 2 + z.
22. Sea F = F (x, y, z, p, q) ∈ C 2 (R5 ), y u = u(x, y) una solución C 2 de la
ecuación:
F (x, y, u, ux , uy ) = 0.
Estúdiese bajo qué condiciones es posible asegurar la existencia de una
solución x(t), y(t), z(t), p(t), q(t) de la ecuación característica de forma
que se tengan -localmente- las identidades:
z(t) = u(x(t), y(t)),
p(t) = ux (x(t), y(t)),
q(t) = uy (x(t), y(t)).
Nota. El problema pregunta cuándo una solución dada de la ecuación se
puede obtener por el método de las carcterísticas.
23. Sean ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z) funciones C 1 en un abierto Ω de R3 . Pruébese
que una condición necesaria y suficiente para la existencia de soluciones
locales de la ecuación:
ux = ϕ(x, y, u),
uy = ψ(x, y, u),
(E)
viene dada por la identidad:
ϕy + ϕz ψ = ψx + ψz ϕ,
en Ω.
(2.42)
Demuéstrese que fijado un punto x0 ∈ Ω, en un cierto entorno U de x0
existe una familia uniparamétrica de soluciones de (E).
2.7. EJERCICIOS
73
24. (Método de Lagrange–Charpit). Sea F = F (x, y, z, p, q) ∈ C 2 (R5 ) y supongamos que H = H(x, y, z, p, q) ∈ C 1 (R5 ) es una integral primera de la
ecuación característica asociada a la ecuación en derivadas parciales:
F (x, y, u, ux , uy ) = 0.
Admitamos que para cada λ ∈ R el sistema de ecuaciones:
{
F (x, y, z, p, q) = 0
H(x, y, z, p, q) = λ,
∂(F, H)
̸= 0 (de donde
∂(p, q)
se deduce que ϕ, ψ son C 1 ). Demuéstrese entonces que ϕ y ψ satisfacen la
condición de integrabilidad (2.42).
define p = ϕ(x, y, z, λ), q = ψ(x, y, z, λ), con det
25. Se recuerda que una integral completa de la ecuación en derivadas parciales
F (x, y, u, ux , uy ) = 0,
es una familia biparamétrica de superficies integrales (soluciones) z =
u(x, y, λ, µ). Pruébense los siguientes resultados.
a) (Ecuación de Clairaut). Si la ecuación tiene la forma u = xux + yuy +
f (ux , uy ) entonces u = αx + βy + f (α, β) es una integral completa.
b) La ecuación de la forma uy = f (ux ) admite una integral completa de la
forma u = λx + f (λ)y + µ.
c) Si la ecuación es ∫de la forma ux = f (x, uy ) admite una integral completa
x
de la forma: u = a f (s, λ) ds + λy + µ.
d) Considérese la ecuación ux = f (u, uy ) y supóngase que la identidad p =
f (z, λp) define a p = P (λ, z). Pruébese que dicha ecuación admite una
integral completa de la forma:
∫ u
ds
= x + λy + µ.
a P (λ, s)
e) Para f1 (x, ux ) = f2 (y, uy ):
∫ x
∫
u=
ϕ1 (s, λ) ds +
a
y
ϕ2 (s, λ) ds + µ,
b
es una integral completa.
26. Hállese una integral completa de las ecuaciones:
p + q = pq
zpq = p + q
zpq = p2 (p2 + xq) + q 2 (q 2 + yp)
px5 − 4q 3 x2 + 6x2 z = 2
p2 z 2 + q 2 = 1
qz = (p2 + q 2 )y
c2 (p2 + q 2 ) = 1
2(z + xp + pq) = yp2 .
74
27. Hállese la (o las soluciones) de los problemas de Cauchy:
a) ux uy = u, pasando por la curva Γ definida por x = 0, y 2 = z.
b) xu2x + yuy = u, pasando por Γ dada por y = 1, x − z = 0.
c) u2x − u2y = u, pasando por 4z + x2 = 0, y = 0.
d) u2x + u2y = 1, pasando por la curva definida por y = 1, z 2 − x2 = 1.
28. Resuélvanse los problemas de Cauchy:
a)


 pq + 1 − u = 0
u = 2x + 1


y = 2,
b)


 pq − 3xy − 2u = 0
u = 15y


x = 5,
c)
 2
2

 p + q − 4u = 0
u = y2


x = 0.
Capítulo 3
Problema de Cauchy.
Teorema de
Cauchy–Kowlevski
3.1.
Funciones analíticas reales
Se revisan en el Anexo los conceptos básicos de diferenciabilidad en varias
variables. Se presenta asimismo una introducción a las series múltiples. Se muestran allí ejemplos no triviales de la siguiente clase de funciones.
Definición 3.1. Se dice que una función u : Ωabto. ⊂ Rn → R es analítica en
x0 ∈ Ω si existe un entorno N (x0 ) ⊂ Ω de x0 y una familia de coeficientes {cα }
tales que1 :
∑
u(x) =
cα (x − x0 )α , ∀x ∈ N (x0 ).
α
Se dice que u es analítica en Ω si lo es en cada uno de los puntos x ∈ Ω.
Propiedad 3.2. Si u : Ω → R es analítica en Ω entonces u es de clase C ∞ en
Ω y para cada x0 ∈ Ω se tiene que
u(x) =
∑ 1
∂ α u(x0 )(x − x0 )α
α!
α
x ∈ N (x0 ) ,
siendo N (x0 ) un entorno de x0 en Ω. Además, para cada x0 existen M, r > 0
tales que:
|α|!
(3.1)
|∂ α u(x)| ≤ M |α| , ∀x ∈ N (x0 ), α ∈ Nn .
r
Observación 3.1. Las estimaciones locales (3.1) de las derivadas caracterizan la
analiticidad de una función u, supuesta de clase C ∞ en Ω.
1 Obsérvese
que la convergencia ya conlleva convergencia absoluta (véase el Anexo).
75
76
CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DE CAUCHY
Propiedad 3.3. Sea u : Ωabto. ⊂ Rn → R de clase C ∞ . Entonces, u es analítica
sí y sólo sí para cada K ⊂ Ω compacto existen constantes M, r > 0 que sólo
dependen de K tales que:
|∂ α u(x)| ≤ M
|α|!
,
r|α|
∀x ∈ K, α ∈ Nn .
∑
α
Definición
3.4. Se dice que la serie de potencias
es mayorada por
α cα x ∑
∑
∑
a
α
α
α aα x si |cα | ≤ aα para cada α. Se denotará:
α cα x ≪
α aα x .
Para r = (r1 , . . . , rn ) ∈ Rn+ , x0 = (x0i ) ∈ Rn , designaremos por D(x0 , r) =
{x/|xi − x0i | < ri , 1 ≤ i ≤ n}.
Se tienen las siguientes propiedades.
∑
α
Propiedad 3.5. ∑
Si
es analítica en un entorno
α aα x ∑
∑D(0, r̄) de x = 0,
α
r̄ = (r, . . . , r), y α cα x ≪ α aα xα entonces c(x) = α cα xα también es
analítica en D(0, r̄).
∑
de x = 0. EnPropiedad 3.6. Sea c(x) = α cα xα analítica en un entorno
∑
tonces existen M, r > 0 tales que la serie ϕM,r (x) = M α r−|α| xα mayora a
la serie c(x).
Nótese que:
ϕM,r (x) =
M rn
,
(r − x1 ) . . . (r − xn )
∑ |α|! −|α| α
∑
en ∥x∥∞ < r mientras que la serie α r−|α| xα es mayorada por α
r
x .
α!
Luego ésta última serie también puede utilizarse para mayorar a la serie de la
∑ |α|! −|α| α
propiedad anterior. Obsérvese que α
r
x converge en ∥x∥1 < r a la
α!
función:
Mr
ψM,r (x) =
.
r − (x1 + · · · + xn )
Nótese asimismo que si cα = 0 para α = 0, es decir la serie no tiene término de
orden cero, entonces se puede tomar como mayorante a:
ψM,r (x) =
M (x1 + · · · + xn )
.
r − (x1 + · · · + xn )
Teorema 3.7 (Regla de la Cadena). Sean f : Ωabto. ⊂ Rn → Rp , f =
(f1 (x), . . . , fp (x)), g : Ωabto.
⊂ Rp → R, g = g(u) funciones analíticas. En1
tonces, para cada x ∈ Ω donde f (x) ∈ Ω1 se tiene que g ◦ f = g(f (x)) es
analítica en x.
Demostración. La función g ◦ f es C ∞ en Ω luego basta con demostrar que la
serie de Taylor converge a la función en un entorno adecuado de cada punto
x0 ∈ Ω. Sin pérdida de generalidad puede asumirse que x0 = 0 y que f (0) = 0.
3.1. FUNCIONES ANALÍTICAS
77
Se necesita información precisa sobre la relación entre los coeficientes de los
desarrollos en serie de las funciones fi , g y g ◦ f . A tal fin ponemos:
∑
fi =
aiα xα , 1 ≤ i ≤ p,
α̸=0
y
g=
∑
bβ uβ ,
u = (u1 , . . . , up ).
β
Representemos la serie formal de Taylor de g ◦ f como:
∑
g(f (x)) =
cγ xγ .
γ
Obsérvese que los coeficientes cγ son calculables y responden a una expresión
de la forma:
(
)
cγ = Pγ,|γ|+1 (a1α )|α|≤|γ| , . . . , (apα )|α|≤|γ| , (bβ )|β|≤|γ|
(
)
donde Pγ,k (yα1 )|α|≤|γ| , . . . , (yαp )|α|≤|γ| (zβ )|β|≤|γ| es un polinomio con coeficientes positivos y grado k en las variables:
((yα1 )|α|≤|γ| , . . . , (yαp )|α|≤|γ| , (zβ )|β|≤|γ| ) ∈ RNn (|γ|) × . . . RNn (|γ|) × RNp (|γ|) ,
y donde Nn (k) = card {α ∈ Nn : |α| ≤ k}. Es importante subrayar que tales
polinomios Pγ,k son universales en el sentido de que no dependen de las funciones
f y g. De esta relación se sigue que si mayoramos las fi y g, la serie formal
correspondiente a la composición de las mayorantes, mayora a la serie formal de
g ◦ f.
Nótese ahora que:
fi ≪
M rs
r−s
i = 1, . . . , p s =
∑
xi ,
pues f (0) = 0. Por otro lado,
g≪
Mr
r−σ
luego
g◦f ≪
σ=
∑
uj ,
r−s
M
r 1 − pMr2+r s
siendo ésta última analítica en |s| < r2 /(pM + r) luego analítica en |x1 | + · · · +
|xn | < r2 /(pM + r). Como corolario, g ◦ f es analítica.
Observación 3.2. La función:
)n
∞ (
∞
∑
∑
r−s
pM + r
n
= (r − s)
s =r+
cn sn ,
r2
1 − pMr2+r s
n=0
n=1
78
donde
cn =
Luego:
pM
r
(
r + Pm
r2
)n−1
n ≥ 1.
∑
r−s
|α|! α
=
c|α|
x .
pM +r
α!
1 − r2 s
α
Esto prueba la afirmación de analiticidad formulada más arriba
La siguiente propiedad se conoce como el principio de prolongación analítica
(compárese con el caso de una variable compleja).
Propiedad 3.8. Supongamos que f, g : Ω → R son analíticas en un dominio
Ω ⊂ Rn y que ∃x0 ∈ Ω tal que ∂ α f (x0 ) = ∂ α g(x0 ) para cada α ∈ Nn . Entonces
f (x) = g(x) para todo x ∈ Ω.
Demostración. El conjunto {x ∈ Ω : ∀α ∂ α f (x) = ∂ α g(x)} es no vacío, cerrado
y abierto.
Teorema 3.9 (Teorema de la Función Implícita [11]). Sean
f:
U abierto ⊂ Rn × Rm
(x, y)
−→
7−→
Rm
f (x, y),
una función real analítica, (x0 , y0 ) ∈ U tales que:
i) f (x0 , y0 ) = 0,
∂f
ii)
(x0 , y0 ) ∈ Mm×m (R) es no singular.
∂y
Entonces existe un entorno de (x0 , y0 ) en el que las soluciones de la ecuación
f (x, y) = 0,
son exactamente de la forma (x, y) = (x, h(x)) donde h : V ⊂ Rn → Rm es una
función real analítica, x0 ∈ V y h(x0 ) = y0 .
Demostración. La existencia y unicidad de h, con h de clase C ∞ en un cierto
entorno de x0 es consecuencia de la versión estándar del teorema de la función
implícita. Se trata de probar que la serie formal de Taylor de h
∑
h(x) =
cα (x − x0 )α ,
α
converge en un entorno de x0 .
Para probar este extremo suponemos sin pérdida de generalidad que x0 = 0
∂f
e y0 = 0. Llamando L0 =
(x0 , y0 ) escribimos la ecuación en la forma:
∂y
y = g(x, y),
3.2. EL PROBLEMA GENERAL DE CAUCHY
donde
79
∂g
(0, 0) = 0.
∂y
g(0, 0) = 0
Basta tomar g(x, y) = y − L−1
0 f (x, y). Se tiene ahora que:
cα = Pα ((∂xβ ∂yγ g(0, 0))|α|+|β|≤|α| , (cθ )|θ|<|α| ),
en donde Pα es una función vectorial polinómica de todos sus argumentos cuyos
coeficientes son positivos. Esto implica que si g(x, y) ≪ G(x, y), e
(3.2)
y = G(x, y)
define y = H(x) donde H es analítica, entonces h ≪ H y h es analítica en un
cierto entorno de x = 0 que es lo que se busca. Bien, se toma como mayorante:
Gi (x, y) =
σ
rM
− M − M := ψ(s, σ)
r−s−σ
r
i = 1, . . . , m,
donde s = x1 + · · · + xn , σ = y1 + · · · + ym . Para esta elección las ecuaciones:
yi = ψ(s, σ)
⇒
σ = mψ(s, σ)
⇒
σ = h1 (s),
con h1 (s) analítica y h1 (0) = 0, por tanto la solución de (3.2) cerca de (x, y) =
(0, 0) es yi = ψ(s, h1 (s)) que es una función analítica y hemos terminado.
Observación 3.3. Una expresión explícita de h1 es:


√(
)2

2
2
1
r
r
4M r 
h1 (s) =
−s−
−s −
s .
2  mM + r
mM + r
M +r 
Para comprobar que es analítica cerca de cero es útil recordar el desarrollo
binomial:
(1 + x)α =
∞
∑
α(α − 1) . . . (α − k + 1)
k!
k=0
3.2.
xk
(α ∈ R).
El problema general de Cauchy
Recordemos que N (k) = card {α ∈ Nn /|α| ≤ k} y RN (k) = {(yα )/|α| ≤ k},
donde los índices α se toman con el orden que ya se introdujo. Asimismo, sea
F0 :
Ω × RN (k)
(x, (yα ))
−→
7−→
R
F0 (x, (yα )
una función continua.
Consideremos una superficie simple S ⊂ Ω de clase C k+1 en un dominio
Ω ⊂ Rn , S = {x = g(s) : s ∈ U}, siendo U ⊂ Rn−1 un dominio abierto y
80
g ∈ C k+1 (U, Rn ) y una familia de k funciones φ0 (x), . . . , φk−1 (x) definidas2
en S tales que φi ∈ C k−i (S). Fijemos en S uno cualquiera de los dos campos
unitarios normales ν(x) de clase C k . Se dice que una función u(x) ∈ C k (U),
donde U es un entorno abierto de S en Ω, es una solución local del problema de
Cauchy con datos φ0 (x), . . . , φk−1 (x):

α
 F0 (x, (∂ u)|α|≤k ) = 0, x ∈ U ⊂ Ω
i
(3.3)
 ∂ u (x) = φi (x), x ∈ S, 0 ≤ i ≤ k − 1,
i
∂ν
si F (x, u(x), (∂ α u(x))|α|≤k ) = 0 en U y si
di
∂iu
(x)
=
u(x + tν(x))|t=0 = φi (x),
∂ν i
dti
(3.4)
en S, 0 ≤ i ≤ k − 1. La elección de las k primeras derivadas normales ∂ i u/∂ν i ,
0 ≤ i ≤ k − 1 en S no es caprichosa. En efecto, se puede considerar el problema
de Cauchy más general
{
F0 (x, (∂ α u)|α|≤k ) = 0, x ∈ U ⊂ Ω
(3.5)
∂ α u(x) = φα (x), x ∈ S, 0 ≤ |α| ≤ k − 1,
que consiste fijar como datos en S todas las derivadas de u de orden α con
|α| ≤ k − 1; es decir:
∂uα (x) = φα (x),
x ∈ S,
|α| ≤ k − 1,
(3.6)
siendo cada una de las φα (x) de clase C k−|α| en S. En las líneas que siguen se
prueba que tales problemas son esencialmente equivalentes. En efecto, conocer
las φα en (3.6) permite calcular las φi en (3.4). Sin embargo, las φα no se pueden
dar de manera independiente: deben cumplir condiciones de compatibilidad que
las hacen depender de las k derivadas normales en (3.4) (ver (3.10)).
También se definirán las condiciones de caractericidad que deben ser satisfechas por ecuaciones y datos en los problemas problemas a considerar. Por otra
parte, como los métodos de existencia de soluciones que siguen se apoyan en
argumentos locales, es decir se basan en construir soluciones u(x) de (3.3) en
un cierto entorno V de cada punto x0 ∈ S, vamos a estudiar transformaciones
locales de (3.3) que lo van a normalizar y, de paso, permitirán introducir el
concepto de caractericidad más conveniente.
Como se sabe del Capítulo 2, cerca de cada x0 = g(s0 ) ∈ S se tiene la
existencia de entornos V0 = {|x − x0 | < ε} en Rn y U0 = {|s − s0 | < ε} × (−ε, ε)
en Rn−1 × R tales que la aplicación:
H:
2 φ(x)
U0
(s, t)
−→
7−→
∈ C l (S) si ∃Φ(x) de C l en Rn tal que φ = Φ|S .
V0
x
81
definida por:
(3.7)
x = g(s) + tν(g(s))
es C k con inversa C k :
s = S(x),
t = T (x),
x ∈ V0 .
Pues bien, en V0 el problema (3.3) es equivalente al problema:

β γ
 F1 (s, t, U, (∂s ∂t U )|β|+γ≤k ) = 0, (s, t) ∈ U0
i
 ∂ U (s, 0) = φ̂i (s),
∂ti
x ∈ S,
0 ≤ i ≤ k − 1,
(3.8)
φ̂i (s) := φi (g(s)), donde U (s, t) = u(g(s)+tν(g(s))) y, como puede comprobarse:
∂iu
∂iU
(s,
0)
=
(g(s)),
∂ti
∂ν i
para cada 0 ≤ i ≤ k − 1. En efecto, nótese que aplicando la regla de la cadena
se tiene:
∑
aβγ (x)∂sβ ∂tγ U.
∂αu =
|β|+γ≤|α|
Obsérvese que los coeficientes aβγ (x) dependen de α. Veamos ahora que si se
conocen las k derivadas normales de (3.4) también se conocen todas las derivadas
de (3.6) sobre S. En efecto,
∂sβ ∂tγ U (s, 0) = ∂sβ φ̂γ (s),
de donde,
∂αu =
∑
|β| + γ ≤ k − 1,
aβγ (x)∂sβ φγ .
|β|+γ≤|α|
Por el contrario, si se conocen todas las derivadas ∂ α u = φα de (3.6) entonces
se obtienen inmediatamente todas las derivadas normales (3.4) pues:
φi (x) =
∑ 1
∑ 1
∂iu
(x) =
∂ α u(x)ν α =
φα ν α ,
i
∂ν
α!
α!
|α|=i
0 ≤ i ≤ k − 1.
(3.9)
|α|=i
Sin embargo las φα deben estar sujetas a condiciones de compatibilidad que
impiden que se puedan tomar arbitrariamente. Teniendo en cuenta (3.9) y las
relaciones de más arriba, las condiciones de compatibilidad son:
∑
φα (x) = ∂ α u =
aβγ (x)∂sβ φγ ,
|β|+γ≤|α|
para cada |α| ≤ k − 1, x ∈ S. Es decir, las condiciones (3.6) se relacionan con
las (3.4) mediante:
φα (x) = Pα (x, (φi (x))i≤|α| ).
(3.10)
82
En conclusión, bajo las condiciones de compatibilidad (3.10), los problemas
(3.3) y (3.5) son equivalentes. Por otra parte (3.8) es el equivalente local de
ambos problemas. Esta es la razón por la que en el problema general de Cauchy
(3.3) sólo se impusieron datos sobre las derivadas normales.
En virtud del cambio (3.7) sólo consideraremos de aquíen adelante el problema (3.3) en su versión (3.8):

β γ
 F1 (s, t, (∂s ∂t u)|β|+γ≤k ) = 0, (s, t) ∈ U0
i
 ∂ u (s, 0) = φi (s), x ∈ S, 0 ≤ i ≤ k − 1,
∂ti
(3.11)
en donde hemos escrito u(s, t) en lugar de U (s, t) y φi en vez de φ̂i .
Vamos ahora a introducir el concepto de no caractericidad. En líneas generales, diremos que (3.11) es no característico si en la ecuación se puede despejar
la derivada ∂tk u(s, t) en términos de las restantes derivadas de orden inferior:
∂tk u = F2 (s, t, (∂sβ ∂tγ u)|β|+γ≤k,γ<k ).
La definición precisa es como sigue:
Definición 3.10. Se dice que el problema de Cauchy (3.11) es no característico con respecto a los datos φ0 (s), . . . , φk−1 (s) si existen funciones reales y
continuas:
(
)
G = G s, t, (yβ,γ )|β|+γ≤k,γ<k ,
ψ = ψ(s),
definidas en s ∈ U0 , |t| < ε,
y ∈ Q := {(yβ,γ )|β|+γ≤k,γ<k : |yβ,γ − ∂sβ φγ (s)| < ε1 , |β| + γ ≤ k, γ < k}
para ciertos ε, ε1 positivos, cumpliendo:
ψ(s) = G(s, 0, (∂sβ φγ (s))|β|+γ≤k,γ<k ),
junto con:
∂F1
(s, 0, (∂sβ φγ (s))|β|+γ≤k,γ<k , ψ(s)) ̸= 0,
∂y0,k
(
)
de forma que la única solución s, t, (yβ,γ )|β|+γ≤k de la ecuación:
(3.12)
(
)
F1 s, t, (yβ,γ )|β|+γ≤k = 0,
con s ∈ U0 , |t| < ε, y ∈ Q, |y0,k − ψ(s)| < ε2 se escribe en la forma:
(
)
y0,k = G s, t, (yβ,γ )|β|+γ≤k .
Observación 3.4. Que el problema (3.11) es no carcaterístico significa que la
ecuación es de orden k con respecto a la variable t cuando se la observa “cerca”
de los datos.
83
Observación 3.5. En la práctica se busca una solución z = ψ(s) de la ecuación:
F1 (s, 0, (∂sβ φγ (s))|β|+γ≤k,γ<k , z) = 0,
que cumpla la condición de transversalidad (3.12). El teorema de la función
implícita permite entonces obtener la función G.
Si en el contexto del problema original (3.3), F0 , S y los datos son analíticos
el problema local (3.12) da lugar a F1 y datos correspondientes que son analíticos. Si en ese caso, F1 cumple la condición (3.12) para cierta ψ, la función G
resultante también es analítica (Teorema 3.9).
Ejemplo 3.6. Consideremos la ecuación de orden 2 en dos variables:
F (s, t, u, us , ut , uss , ust , utt ) = 0,
donde:
F (s, t, y00 , y10 , y01 , y20 , y11 , y02 ) = F (s, t, Y, y02 ),
siendo Y = (y00 , . . . , y11 ), y donde:
2
+ 2b(s, t, Y )y02 + c(s, t, Y ),
F = a(s, t, Y )y02
en donde se considera que a(s, t, Y ) ̸= 0 y b2 − ac > 0. Si u(s, 0) = φ0 , ut (s, 0) =
φ1 entonces:
√
−b ± b2 − ac
G=
,
a
mientras que los candidatos a ψ(s) son:
√
−b ± b2 − ac
ψ=
,
a
donde en la última ecuación las funciones están evaluadas en t = 0 y en las
condiciones iniciales.
Definición 3.11. Se dice que el problema (3.3) es no característico cuando el
problema transformado (3.11) es no característico.
Observación 3.7. Que (3.3) es no característico significa que la ecuación es de
orden k en la dirección de la normal y que dicha derivada se puede despejar en
términos de las restantes derivadas, cerca de la superficie S y de los datos de
Cauchy.
A partir de ahora nos centraremos en el estudio de problemas de Cauchy de
la forma:
 k
β γ
 ∂t u = F (s, t, (∂s ∂t u)|β|+γ≤k,γ<k ), s ∈ U, |t| < ε
i
(3.13)
 ∂ u (s, 0) = φi (s), 0 ≤ i ≤ k − 1, s ∈ U,
∂ti
donde U ⊂ Rn−1 es un dominio y ε > 0. Sin embargo conviene recordar que
(3.13) es siempre la versión local -tras una transformación de coordenadas del
tipo (3.7)- del problema de Cauchy general (3.3), cuando éste es no característico.
84
3.3.
Teorema de Cauchy-Kowalevski
En lo que sigue se supone que:
F : U × (−ε, ε) × RN (k)−1
(s, t, (yα ))
→
R
→ F (s, t, (yα ))
con U ⊂ Rn−1 un dominio, es una función analítica. Asimismo se supondrá
que las funciones φ0 (s), . . . , φk−1 (s) son anlíticas en U. Tenemos entonces el
siguiente resultado:
Teorema 3.12 (Teorema de Cauchy-Kowalevski). Bajo las hipótesis precedentes el problema de Cauchy (3.13) admite una única solución local analítica
(u, Ω), donde Ω es un entorno abierto y conexo de {(s, 0) : s ∈ U} en Rn .
La unicidad debe entenderse en el sentido siguiente: si (u1 , Ω1 ) es otra solución
local analítica entonces u = u1 en la componente conexa de Ω ∩ Ω1 que contiene
a U × {0}. Más aún se tiene que u(x) extiende u1 (x) de Ω ∩ Ω1 a Ω.
Observaciones 3.8.
a) La propiedad de unicidad anunciada sólo concierne a soluciones analíticas.
Es consecuencia de la propiedad de continuación para funciones analíticas y
del hecho de que, para cada (s0 , 0), s0 ∈ U, el desarrollo de Taylor de cualquier
solución analítica es el mismo. En consecuencia cualquier solución analítica u(x)
en (s0 , 0) está definida en un entorno de “seguridad” V0 = {|s| < ε, |t| < ε}, o es
prolongable a dicho entorno. Además, todas las soluciones analíticas, definidas
en V0 deben coincidir en tal entorno. Por contraste a las ecuaciones diferenciales
ordinarias es muy complicado aquí clarificar que podría significar la noción de
solución analítica no continuable.
b) La demostración consiste en construir, para cada (s0 , 0), s0 ∈ U una solución
local analítica (v0 (x), V0 ) siendo V0 de la forma V0 = {|s| < ε0 , |t| < ε0 }. Como,
por el principio de prolongación analítica, v1 (x) = v2 (x) en V1 ∩ V2 si se da
el caso
∪ de que V1 ∩ V2 ̸= ϕ, entonces la solución (u, Ω) se obtiene haciendo
Ω = σi ∈U Vi y definiendo u(x) en Ω de forma que u|Vi = vi para cada Vi . Por
eso basta con demostrar el siguiente resultado.
Proposición 3.13. Supongamos que F (s, t, (yβ,γ )|β|+γ≤k,γ<k ) es analí tica,
mientras que las funciones φ0 (s), . . . , φk−1 (s) son analí ticas en un entorno de
(s, t) = (0, 0). Entonces (3.13) admite una única solución analítica u(x) definida
en un entorno V = {|s| < ε, |t| < ε} de (s, t) = (0, 0).
La demostración de la proposición previa se deduce de la siguiente propiedad.
Proposición 3.14. En las condiciones de la Proposición 1 existen n − 1 funciones matriciales m × m, analíticas A1 = A1 (s, Y ), . . . , An−1 = An−1 (s, Y ),
Y ∈ Rm , y una función vectorial analítica B = B(s, Y ) ∈ Rm , de forma que la
existencia de una solución analítica (u, V) en las condiciones de la Proposición
3.3. TEOREMA DE CAUCHY-KOWALEVSKI
85
1 equivale a la existencia de una solución (Y, V), Y = Y (s, t) = (yj (s, t))1≤j≤m
del sistema m × m,

∑

Ai (s, Y )Ysi + B(s, Y )
 Yt =
i=1,n−1

 Y (s, 0) = 0.
A su vez, la prueba de tal proposición se reduce a la del siguiente caso sencillo,
cuya demostración es la generalización inmediata del método de la mayorante
para ecuaciones diferenciales ordinarias de Briot-Bouquet y Cauchy.
Proposición 3.15. Supongamos que a = a(s, u), b = b(s, u) son analíticas en
un entorno de (s, u) = (0, 0), (s, u) ∈ R2 . Entonces el problema:
{
ut = a(s, u)us + b(s, u)
u(s, 0) = 0,
admite una única solución analítica definida en un entorno (s, t) ∈ (−ε, ε) ×
(−ε, ε).
Observaciones 3.9.
a) El teorema de Cauchy-Kowalevski se puede extender, sin alterar la demostración, al caso en que u(s, t) toma valores complejos. Habremos de suponer
entonces que:
F :
U × (−ε, ε) × CN (k)−1
(s, t, (yα ))
−→
7−→
C
F (s, t, (yα ))
es analítica 3 . Análogamente, sin apenas cambios en la demostración, el resultado es cierto para sistemas de ecuaciones, e. d., la función u(s, t) toma valores
vectoriales.
b) El teorema de Cauchy-Kowalevski es falso si se intenta relajar “analítica” por
clase C ∞ . En efecto si tomamos el problema:
uxx + uyy = 0, x2 + y 2 < ε
u(x, 0) = f (x)
uy (x, 0) = g(x),
la existencia de una solución C 2 en un entorno de (0, 0) conlleva -lo que no es
inmediato- la analiticidad de f y g en x = 0. El problema carecerá pues de
soluciones si f o g son C ∞ y no anlí ticas en x = 0. Más notable es el siguiente
resultado -que tampoco es en absoluto inmediato- de Lewy (1957) (véase el
Folland). Si F (t) es C ∞ pero no analítica en un entorno de t = 0 la ecuación de
primer orden:
ux + iuy − 2(x + iy)ut = F (t),
carece de soluciones C 1 en un entorno de (x, y, t) = (0, 0, 0) ∈ R3 .
3 Es más estético suponer que F es analítica en (s, t, (y
n−1 × C × CN (k)−1 , |s| <
β,γ )) ∈ C
ε, |t| < ε, restringiendo después s ∈ Rn−1 , t ∈ R
86
c) El teorema de Cauchy–Kowalevski requiere para su validez que la superficie
S, datos y ecuación en (3.3) sean no cacrteísticos, o si se quiere, que en (3.13)
hayamos despejado la derivada del orden de la ecuación en la variable t y en
el segundo miembro no aparezcan derivadas en t de orden superior (es decir,
precisamente en el formato en el que se ha escrito (3.13)). En efecto, el problema
de Cauchy,
ut = uxx
x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = f (x) ,
con f analítica en x = 0 carece en general de soluciones analí ticas en un entorno
completo |x| < ε, |t| < ε de (x, t) = (0, 0) (véase la sección de problemas). Ello
se debe a que el problema no es legítimamente de orden dos en t.
d) El teorema de Cauchy–Kowalevskii sólo afirma la unicidad de soluciones analíticas para (3.13). Sin embargo no queda excluida la existencia de otras posibles
soluciones no analíticas. Un teorema debido a Holmgren (v. el libro de Fritz
John [11]) asegura que si F es lineal en (3.13), es decir,
∑
 k
∂
u
=
aβγ (s, t)∂sβ ∂tγ u + f (s, t) s ∈ U, |t| < ε

t


|β|+γ≤k,γ<k
(3.14)
i


 ∂ u (s, 0) = φ (s), 0 ≤ i ≤ k − 1, s ∈ U,
i
∂ti
entonces tal problema sólo admite la solución analítica. De hecho, lo que se
demuestra es que si los coeficientes aβγ son analíticos entonces (PL) admite a
lo más una solución clásica para f ∈ C(U) y φi ∈ C k−i (U ∩ {t = 0}).
e) Finalmente, otra imperfección del resultado es la no dependencia continua en
los datos. Asílo prueba el siguiente ejemplo de Hadamard,
uxx + uyy = 0
u(x, 0) = 0
uy (x, 0) =
1
sen kx ,
k
k ∈ N. La solución del problema (vía separación de variables) es
uk (x, y) =
1
(sen kx)(senh ky) .
k2
Mientras los datos decrecen exponencialmente a 0, cualquiera que sea (x0 , y0 )
tan próximo al eje 0x como se desee, x0 ̸= 0 (mod. Z), la sucesión uk (x0 , y0 )
siempre contiene subsucesiones uk′ (x0 , y0 ) tales que |uk′ (x0 , y0 )| → +∞.
3.4.
Ejercicios
En los problemas que siguen α, β, γ ∈ N∗ n son multiíndices mientras que
x, y ∈ Rn son vectores.
3.4. EJERCICIOS
87
1. (Teorema Binomial). Demuéstrese que:
(x + y)α =
∑
β,γ,β+γ=α
α! β γ
x y .
β!γ!
2. (Desarrollo de Taylor para un polinomio en Rn ). Sea f (x) un polinomio
de grado m, x ∈ Rn , pruébese que:
f (x) =
∑ 1
∂ α f (0)xα .
α!
|α|≤m
3. (Teorema Multinomial). Para cualquier m ∈ N, y x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,
pruébese que:
∑ m!
(x1 + · · · + xn )m =
xα .
α!
|α|=m
4. (Teorema de Leibnitz). Sean f y g funciones de clase C m . Pruébese que:
∂ α (f g) =
∑
β,γ,β+γ=α
α! β g
∂ f ∂ g,
β!γ!
∀α, |α| ≤ m.
5. Demuéstrese que para cada multiíndice α ∈ Nn se tiene:
α! ≤ |α|! ≤ n|α| α!.
6. Prúebese que ∂ β xα =
α!
si α ≥ β y ∂ β xα = 0 en otro caso.
(α − β)!xα−β
7. Prúebese que si f : Rn → R es C m , x, y ∈ Rn , t ∈ R, entonces:
∑ |α|!
dm
f (x + ty) =
∂ α f (x + ty)y α .
m
dt
α!
|α|=m
∑ + ∑ −
∑
8. Sean
cα y
cα las partes positiva y negativa de
cα (es decir c+
α =
∑
1
1
−
(cα + |cα |), cα = − (cα − |cα |)). Demuéstrese que
cα converge sí y
2
∑ +2 ∑ −
∑
∑ + ∑ −
sólo sí convergen
cα . Demuéstrese
α−
∑ cα y cα , siendo: cα = c∑
asimismo que
cα converge sí y sólo sí converge
|cα |.
9. Demuéstrese que para α, β ∈ Nn , máx1≤i≤n |xi | < 1:
∑
α≥β
β!
α!
xα−β =
.
β
+1
1
(α − β)!
(1 − x1 )
. . . (1 + xn )βn +1
88
Análgomente:
∑
α≥β
|α|!
|β|!
xα−β =
,
(α − β)!
(1 − x1 − · · · − xn )1+|β|
siempre que |x1 | + . . . |xn | < 1.
10. (Método de la Mayorante, ecuaciones diferenciales ordinarias). Sea f =
f (t, x) real y analítica en un entorno de (t, x) = (0, 0). Pruébese que el
problema de Cauchy:
{
x′ = f (t, x)
x(0) = 0
admite una solución analítica en un entorno {|t| < ε} de t = 0. En 1889,
H. Poincaré introdujo una mejora del resultado precedente que establece
la dependencia analítica con respecto a parámetros y datos iniciales. Más
precisamente, se supone que:
f = f (t, x, λ),
es analítica cuando t ∼ t0 , x ∼ x0 , λ ∼ λ0 . Se representa por:
x = x(t, τ, ξ, λ),
la solución (única y, según se sabe ya, analítica en t ∼ t0 ) del problema:
{
x′ = f (t, x, λ)
x(τ ) = ξ.
Pruébese que x = x(t, τ, ξ, λ) es analítica en (t, τ, ξ, λ) ∼ (t0 , t0 , x0 , λ0 ) es
decir, x = x(t, τ, ξ, λ) se puede describir mediante la serie de potencias:
∑
x(t, τ, ξ, λ) =
cα (t − t0 )α1 (τ − t0 )α2 (ξ − x0 )α3 (λ − λ0 )α4 ,
α
donde α = (α1 , α2 , α3 , α4 ) y la serie converge absolutamente en un cierto
entorno de (t0 , t0 , x0 , λ0 ) en R4 .
11. (Método de la mayorante, ecuaciones en derivadas parciales de primer
orden I ). Sean a = a(s, u), b(s, u) reales y analíticas en un entorno de
(s, u) = (0, 0) en R2 . Demuéstrese que:
ut = a(s, u)us + b(s, u)
u(s, 0) = 0
admite una solución analítica u(s, t) definida en un entorno {|s|, |t| < ε}
de (0, 0).
3.4. EJERCICIOS
89
12. Supongamos que u = u(s1 , . . . , sn−1 , z) es analítica en un entorno del
punto:
(s1 , . . . , sn−1 , z) = (0, . . . , 0, 0) ∈ Rn−1 × R.
Demuéstrese que existen constantes positivas M, ε tales que si u(s, z) =
∑
α k
α,k cαk s z (s = (s1 , . . . , sn−1 )) entonces:
∑
cαk sα z k ≪
α,k
en donde:
∑
ĉαk sα z k ,
α,k
∑
ĉαk sα z k = ϕ(s, z),
α,k
donde:
ϕ=
ε2 M
,
(ε − s1 − . . . sn−1 )(ε − z)
siempre que |s1 | + · · · + |sn−1 | < ε, |z| < ε.
13. (Método de la mayorante, ecuaciones en derivadas parciales de primer
orden II ). Sean a = a(s, u), b = b(s, u), s = (s1 , . . . , sn−1 ), reales y
analíticas en un entorno de (s, u) = (0, 0) en Rn−1 ×R (s = (s1 , . . . , sn−1 )).
Demuéstrese que:
ut = a1 (s, u)us1 + . . . an−1 (s, u)usn−1 + b(s, u),
u(s, 0) = 0
admite una solución analítica u(s, t) definida en un entorno {|s1 |, . . . , |sn |, |t| <
ε} de (0, 0) ∈ Rn−1 × R.
Indicación. Al mayorar, ténganse en cuenta los Ejercicios 10 y 12.
14. Sean A = A(s, u) ∈ Mm×m y B = B(s, u) ∈ Rm analíticas en un entorno
de (0, 0) ∈ R2 . Consideremos el sistema:
Ut = A(s, U )Us + B(s, U )
U (s, 0) = 0.
Demuéstrese que admite un sistema mayorante de la forma:
Ût = Â(s, U )Ûs + B̂(s, Û )
(3.15)
Û (s, 0) = 0,
ε2 M
(ε − s)(ε − u)
para ciertos M ≥ 0, ε > 0. Pruébese que el sistema mayorante admite una
única solución analítica, definida cerca de (0, 0).
donde Â = (âij ), B̂ = (b̂i ) y âij = b̂i = φ(s, u), siendo φ =
90
15. Supóngase que en el Ejercicio 12 tomamos la variable z ∈ Rm y que u(s, z)
es analítica cerca de (0, 0) ∈ Rn−1 × Rm . Pruébese ahora que si
∑
u(s, z) =
cαk sα z β ,
α,β
entonces se puede construir una serie mayorante:
∑
u(s, z) =
ĉαk sα z β ,
α,β
cuya suma, para |s1 | + . . . |sn−1 | < ε, |z1 | + . . . |zm | < ε, ε > 0 suficientemente pequeño, viene dada por:
ϕ=
ε2 M
,
(ε − s1 − . . . sn−1 )(ε − z1 − . . . zm )
M ≥ 0.
16. Sean A = A(s, U ) ∈ Mm×m y B = B(s, U ) ∈ Rm analíticas en un entorno
de (0, 0) ∈ Rn−1 × Rm . Consideremos el sistema:
Ut =
n−1
∑
A(si , U )Usi + B(s, U )
i=1
U (s, 0) = 0.
Como en casos anteriores, demuéstrese que admite un sistema mayorante
de la forma:
n−1
∑
Ût =
Â(si , Û )Ûsi + B(s, Û )
i=1
Û (s, 0) = 0.
donde Â = (âij (s, U ), B̂ = (b̂i (s, U )) y donde âij = b̂i = ϕ(s, U ), siendo
φ=
ε2 M
(ε − s1 − · · · − sn−1 )(ε − U1 − . . . Um )
para ciertos M ≥ 0, ε > 0. Pruébese que el sistema mayorante admite una
única solución analítica, definida cerca de (0, 0).
17. Soluciones analíticas de la ecuación del calor. Se considera el problema de
Cauchy:
ut = uxx
(3.16)
u(x, 0) = f (x),
donde suponemos que f = f (x) es par y analítica en un entorno de x = 0 y,
1
∑
por tanto, f (x) =
a2k x2k , para |x| < ρ donde 0 < ρ−1 = lim {|a2n |} 2n
(ρ es el radio de convergencia de la serie). Demuéstrese que basta con
que (3.16) admita una solución analítica local en todo un entorno {|x| <
3.4. EJERCICIOS
91
ε, |t| < ε} de (x, t) = (0, 0) para que necesariamente f (x) sea analítica en
todo R (es decir entera) 4 . Demuéstrese que además f (x) ha que satisfacer
la estimación:
2
|f (x)| ≤ ea|x| ,
(3.17)
para cierta constante positiva a > 0. ¿Contradice este hecho al teorema
de Cauchy-Kowalevski ? ¿Qué se puede decir si f (x) impar? ¿Y en el caso
general?
Indicación. La analiticidad de u(x, t) cerca de (0, 0) implica la de u(0, t) =
∑ (2k)!
a2k tk . Si ρ1 es el radio de convergencia de ésta última serie, pruék!
bese que ρ1 > 0 implica ρ = +∞.
18. Hállese la solución analítica del problema:
utt + uss = 0
u(s, t) = 0, s ∈ R, k ∈ N
ut (s, 0) = ke−k/2 sen kx
s ∈ R, k ∈ N.
Indicación. Una forma alternativa es hallar soluciones en forma de producto u(s, t) = S(s)T (t).
19. Sea Ω ⊂ R2 un dominio simétrico con respecto al eje Ox1 que corta a
dicho eje en un intervalo abierto I. Sea u(x1 , x2 ) una función armónica en
Ω (es decir ∆u = 0 en Ω) que satisface u(x1 , 0) = 0. Demuéstrese que u
es impar en y es decir: u(x, −y) = −u(x, y) en Ω.
Indicación. Dése por conocido el resultado que más se demostrará y
que afirma que si u ∈ C 2 (Ω) es armónica en Ω es también analítica en Ω
(Capítulo 9).
20. Sea u(x, y, t) una solución de la ecuación de las ondas:
utt = ∆u,
(n = 2).
Considérense los datos de Cauchy:
u(x, y, t) = f (x, y, t),
ut (x, y, t) = g(x, y, t),
sobre la superficie
t = ϕ(x, y).
(3.18)
Suponiendo que f, g, ϕ son analíticas y que (3.18) satisface una condición
adecuada de “no caractericidad”, redúzcase dicho problema a otro normalizado en el que S se transforme en el plano t = 0
4 Se mostrará en el Capítulo 5 que la fórmula de Poisson proporciona, bajo condiciones
adecuadas, soluciones analíticas de (3.17) en t > 0 . Aquí se consideran soluciones analíticas,
no en t > 0 sino también en −ε < t, con ε > 0.
92
21. (*) Sea u(x, y) una solución de ∆u = 0 expresada en coordenadas polares
x = r cos θ, y = r sen θ. En el círculo unidad r = 1 tómense los datos de
Cauchy:
u = f (θ), ur = g(θ),
donde f y g son reales analíticas y periódicas de periodo 2π. Demuéstrese
que existe una solución analítica definida para todo θ real y |r − 1| suficientemente pequeño. Prúbese que si f y g son polinomios trigonométricos
(es decir, de la forma p(cos θ, sen θ) donde p es un polinomio) entonces las
soluciones existen en todo R2 \{0}.
Indicación. Utilícense soluciones especiales de la forma einθ r±n .
Capítulo 4
Clasificación de ecuaciones
lineales. Ecuación de ondas
4.1.
Clasificación de ecuaciones lineales
Como se dijo en el Capítulo 1, un operador diferencial (lineal) de orden m y
coeficientes en Ω es una aplicación:
L:
−→
7−→
C m (Ω)
u
donde,
Lu =
∑
C(Ω)
Lu,
aα (x)∂ α u,
|α|≤m
con los coeficientes aα ∈ C(Ω). Se define la parte principal de L como el operador:
∑
aα (x)∂ α u.
L0 u =
|α|=m
La forma característica en el punto x del operador L se define como el polinomio
homogéneo de grado m dado por:
∑
σx (L, ξ) = σx (ξ) =
aα (x)ξ α .
|α|=m
Un vector ξ ∈ Rn \ 0 se dice característico para L si se tiene que:
σx (ξ) = 0.
(4.1)
La variedad característica carx (L) de L en x se define como el conjunto de los
ξ ∈ Rn que cumplen (4.1).
Finalmente, una noción que nos encontramos en el Capítulo 3 es la de superficie característica. Se dice que una superficie C 1 , S es “no característica” (r.
93
94
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS
“característica”) si para cada x ∈ S se tiene que σx (ν(x)) = 0 (r. σx (ν(x)) ̸= 0),
con ν(x) un campo normal a S.
Ejercicio 4.1. Demuéstrese que si ξ es no característico para L en x entonces
L es de orden m en la dirección de ξ en el sentido de que una transformación,
digamos lineal, x → x′ que lleve la dirección de ξ al eje x′1 transformará el
operador en otro donde aparece la derivada pura de orden m en la variable
x′1 , afectada de un coeficiente que no se anula en las proximidades del punto
x′ = x′ (x).
Ejercicio 4.2. Sea L0 la parte principal del operador L. Pruébese que:
L0 (e⟨x,ξ⟩ ) = σ(ξ)e⟨x,ξ⟩ ,
donde hemos suprimido la referencia a x tanto en L0 como en σ y
⟨x, ξ⟩ =
n
∑
xi ξi .
i=1
Ejemplo 4.1. Los operadores que siguen tienen las variedades características
señaladas:
1. Lu = ∂1 u, carx (L) = {ξ1 = 0} en Rn .
2. Lu = ∆u (operador Laplaciano), carx (L) = {0} en Rn .
3. Lu = ∂n+1 u − ∆u (operador del calor), carx (L) = {ξ1 = · · · = ξn = 0} en
Rn+1 .
2
2
=
u − ∆u (operador de ondas), carx (L) = {ξn+1
4. Lu = ∂n+1
n+1
R
.
∑n
2
i=1 ξi }
en
5. Lu = ∂1 u + i∂2 u (operador de Cauchy-Riemann), carx (L) = {0} en R2 .
6. Lu = ∆2 u (operador biarmónico), carx (L) = {0}.
La siguiente definición es crucial en la teoría de ecuaciones en derivadas
parciales lineales.
Definición 4.1. Se dice que un operador diferencial lineal L es elíptico en Ω
si carece de vectores característicos en todo x ∈ Ω. En otros términos, si para
todo x ∈ Ω
∑
aα (x)ξ α = 0 ⇒ ξ = 0.
|α|=m
4.2. TRANSFORMACIÓN DE OPERADORES DE SEGUNDO ORDEN 95
4.2.
Transformación de operadores de segundo
orden
Un operador general de segundo orden tiene la forma:
∑
∑
Lu =
aij ∂ij u +
ai ∂i u + a0 u,
i,j=1,...,n
i=1,...,n
donde podemos suponer, al ser u ∈ C 2 (Ω), que aij = aji pues el grupo:
aij ∂ij + aji ∂ji u =
1
1
(aij + aji ) ∂ij u + (aij + aji ) ∂ji u = a′ij ∂ij + a′ji ∂ji u,
2
2
donde ahora a′ij = a′ji .
Si para sendos dominios Ω, Q de Rn se tiene un difeomorfismo C 2
g:
Ω
x
−→
7−→
Q
y = g(x),
es decir un cambio de las coordenadas x por las y entonces el operador sufre
una transformación:
L(∂x )u = L̃(∂y )ũ,
donde ũ(y) = u(g −1 (y)) y
L̃(∂y )ũ =
∑
ãij ∂ij u +
i,j=1,...,n
∑
ãi ∂i u + ã0 u.
i=1,...,n
Se trata de establecer la relación entre los nuevos coeficientes (los de L̃) y los
antiguos (los de L). Ahora:
∂xi u =
∑ ∂u ∂yk
∑ ∂yk
=
∂y u
∂yk ∂xi
∂xi k
k
k
∑ ∂yk ∂yl
∑ ∂ 2 yk
∂x i x j u =
∂yk yl u +
∂y u
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj k
k,l
k
(( )
)α
t
∑
∂y
α
∂x u =
∂y u
+
bβ ∂yβ u,
∂x
|β|<|α|
de forma que en la última igualdad entendemos



∂x1 y1
∂x 1 u
( )t
∂y



∂y u =  ...
∂x u =  ...  =
∂x
∂xn y1
∂xn u
que:
...
..
.
...


∂x1 yn
∂y1 u
..   ..  ,
.  . 
∂xn yn
∂yn u
y en el primer sumando, las derivadas de y con respecto a x se multiplican, las
derivadas con respecto a y se iteran.
96
Definiendo la forma bilineal característica (por abuso de notación repetimos
la notación de la forma característica):
Rn × Rn
(v, w)
σx :
dada por:
σx (v, w) =
−→
7−→
∑
R
σx (v, w),
aij (x)vi wj ,
i,j
tenemos que:
L(∂x )u =
∑
i,j=1,...,n
∑
aij ∂ij u +
ai ∂i u + a0 u
i=1,...,n

2
∑
∂y
∂y
∂
y
k
l
k
=
aij 
∂yk yl u +
∂yk u
∂x
∂x
∂x
∂x
i
j
i
j
i,j=1,...,n
k=1,...,n
k,l=1,...,n


∑ ∂yk
∑
ai 
+
∂yk u + a0 u
∂x
i
i=1,...,n
k=1,...,n


∑
∑
∂y
∂y
k
l

 ∂yk yl u
=
aij
∂x
∂x
i
j
k,l=1,...,n i,j=1,...,n


2
∑
∑
∑
∂
y
∂y
k
k
 ∂yk u + a0 u

+
aij
+
ai
∂xi ∂xj i=1,...,n ∂xi
i,j=1,...,n
k=1,...,n
∑
∑
(L1 yk ) ∂yk u + a0 u,
σx (∇yk , ∇yl )∂yk yl u +
=
∑

∑
k,l=1,...,n
k=1,...,n
donde el operador L1 es el resultado de suprimir de L el término de orden cero
en u, es decir:
∑
∑
L1 u =
aij ∂ij u +
ai ∂i u.
i,j=1,...,n
i=1,...,n
Por tanto,
ãkl (y) = σg−1 (y) (∇yk , ∇yl )
ãk (y) = L1 yk .
Ejemplo 4.2.
1) Laplaciano en coordenadas polares. En coordenadas polares,
{
x = r cos θ
y = r sen θ,
r > 0, 0 < θ < 2π, se tiene:
˜ r + ẽuθ ,
∆u = ãurr + 2b̃urθ + c̃uθθ + du
4.2. TRANSFORMACIÓN DE OPERADORES DE SEGUNDO ORDEN 97
donde:
ã = ⟨∇r, ∇r⟩ = 1
b̃ = ⟨∇r, ∇θ⟩ = 0
1
c̃ = ⟨∇θ, ∇θ⟩ = 2
r
1
d˜ = ∆r =
r
ẽ = ∆θ = 0.
Por tanto,
∆u = urr +
1
1
uθθ + ur .
r2
r
2) Laplaciano en coordenadas cilíndricas. Cuando:


x = r cos θ
y = r sen θ


z = z,
r > 0, 0 < θ < 2π, z ∈ R, el Laplaciano toma la forma:
∆u = urr +
1
1
uθθ + uzz + ur .
r2
r
3) Laplaciano en coordenadas esféricas. Ahora,


x = r sen ϕ cos θ
y = r sen ϕ sen θ


z = r cos ϕ,
r > 0, 0 < ϕ < π, 0 < θ < 2π. Un poco de geometría, por ejemplo, nos
lleva a que:
⟨∇r, ∇θ⟩ = ⟨∇r, ∇ϕ⟩ = ⟨∇θ, ∇ϕ⟩ = 0.
Como ϕ = arccos (z/r):
1
(x, y, z)
r
1
∇θ =
(− sen θ, cos θ, 0)
r sen ϕ
1
∇ϕ = √
(zx, zy, −x2 − y 2 )
2
r x2 + y 2
∇r =
2
r
∆θ = 0
∆r =
∆ϕ =
cos ϕ
,
(r2 sen ϕ)
con lo que |∇ϕ|2 = 1/r2 , con lo que:
∆u = urr +
1
1
2
cos ϕ
uθθ + 2 uϕϕ + ur + 2
uϕ .
r2 sen2 ϕ
r
r
r sen ϕ
Equivalentemente,
∆u = urr +
1
1
2
uθθ + 2
(sen ϕ uϕ ) ϕ + ur .
r2 sen2 ϕ
r sen ϕ
r
98
4.3.
4.3.1.
Clasificación de ecuaciones lineales
Operadores en el plano
En el caso del plano tenemos un operador de segundo orden L con coeficientes
continuos y definidos en un dominio plano Ω ⊂ R2 ,
Lu = a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y)ux + e(x, y)uy + f (x, y)u
= L0 u + d(x, y)ux + e(x, y)uy + f (x, y)u.
Nos proponemos encontrar nuevas coordenadas (ξ, η) en las que la parte principal L0 de L adopte la forma más sencilla posible. En otras palabras, hallar
funciones:
{
ξ = ξ(x, y)
η = η(x, y),
que simplifiquen la expresión de L̃0 . Los coeficientes de L̃0 son:
ã = σ(∇ξ, ∇ξ) = a(x, y)ξx2 + 2b(x, y)ξx ξy + c(x, y)ξy2
b̃ = σ(∇ξ, ∇η) = a(x, y)ξx ηx + b(x, y)(ξx ηy + ξy ηx ) + c(x, y)ξy ηy
c̃ = σ(∇η, ∇η) = a(x, y)ηx2 + 2b(x, y)ηx ηy + c(x, y)ηy2 .
Nada más natural que estudiar la edp de primer orden:
a(x, y)ϕ2x + 2b(x, y)ϕx ϕy + c(x, y)ϕ2y = 0.
(4.2)
Como las construcciones que siguen son locales, trabajaremos en entornos adecuados de puntos P0 = (x0 , y0 ) ∈ Ω. Por otra parte supondremos que:
a, b, c ∈ C 1 (Ω).
Admitiremos que a(P0 ) ̸= 0. Caso contrario tendríamos b(P0 ) ̸= 0, salvo que a
y b se anulen en un entorno U de P0 . En ese caso:
L0 = 2b(x, y)ux,y
en U.
Entonces, como la forma característica es:
σ(v, w) = b(v1 w2 + v2 w1 ),
para el cambio:
{
x1 = x + y
y1 = x − y
tendremos: ã = 2b = −c̃, b̃ = 0 y (3) toma la forma:
L̃0 u = 2b{ux1 x1 − uy1 y1 }.
Luego (3) no es otra cosa que el operador de ondas (módulo b).
(4.3)
4.3. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES
99
Por tanto, supondremos que a ̸= 0 cerca de P0 ∈ Ω. La ecuación (2) se
escribe entonces:
( )2
ϕx
ϕx
a
+ 2b
+ c = 0.
(4.4)
ϕy
ϕy
Cabe considerar tres opciones.
Caso hiperbólico. El discriminante:
d = b2 − ac > 0,
en Ω. La ecuación (4) equivale al par de ecuaciones:
√
−b ± d
ϕx
=
(:= λ± ),
ϕy
a
también:
ϕx − λ± ϕy = 0.
(4.5)
Hallar soluciones de (5) es hallar integrales primeras de:

dx


=1

dt

dy


= −λ± .
dt
A tal fin, resolvemos:


 dy = −λ±
dx

y(x ) = ξ,
0
y en la solución y = Y (x, ξ) despejamos –cerca de P0 – ξ = ξ(x, y) (habrá un
par ξ, η correspondientes a los dos valores λ± de λ).
En efecto, consideramos:
H(x, y, ξ) = 0,
(4.6)
con H(x, y, ξ) = y − Y (x, ξ) y (6) se cumple en (x0 , y0 , y0 ) mientras
Hξ (x0 , y0 , y0 ) = −1.
Basta entonces aplicar el teorema de la función implícita. Es importante observar
que:
1 − Yξ (x, ξ)ξy = 0,
luego ξy (P0 ) = 1 (luego ξx = λ± ). Por otro lado,
√
d
∂(ξ, η) ξx ξy =
=
ξ
η
(λ
−
λ
)
=
2ξ
η
.
y y +
−
y y
ηx ηy ∂(x, y)
a
√
El valor del jacobiano es 2 d/a en P0 , luego cerca de tal punto (ξ, η) define
un genuino cambio de variable. Las coordenadas ξ, η se llaman coordenadas
100
características del operador L (terminología que es coherente con los Capítulos
2 y 3, en particular ξ(x, y) = c1 y η(x, y) = c2 serán curvas características).
Bajo esta elección de coordenadas la parte principal del operador transformado es:
L̃0 u = 2b̃uξη ,
donde,
b̃ = a(x, y)ξx ηx + b(x, y)(ξx ηy + ξy ηx ) + c(x, y)ξy ηy
2d
= {aλ+ λ− + b(λ+ + λ− ) + c}ξy ηy = − ξy ηy .
a
Resumiendo, en el caso hiperbólico la nueva parte principal es,
L̃0 u = −
4d
ξy ηy uξη .
a
Como mayor conclusión todo L hiperbólico en Ω puede escribirse localmente
como el operador de ondas.
Ejemplos 4.3.
1) Para el operador de ondas:
c u = utt − c2 uxx ,
la ecuación de las curvas características es:
ϕ2t − c2 ϕ2x = 0,
es decir
ϕt ∓ cϕx = 0,
luego una elección de las coordenadas características es:
ξ = x + ct
η = x − ct.
Así(d = c2 ):
c u = −4c2 uξη .
2) La ecuación:
uxx − 2 sen xuxy − cos2 xuyy − cos xuy = 0,
se escribe:
−2uξη = 0
en las coordenadas: ξ = y − cos x + x, ξ = y − cos x − x. Nótese que d = 1,
λ± = sen x ± 1, la ecuación que da las características es: dy/dx = − sen x ∓ 1,
mientras L(ξ) = L(η) = 0.
101
Caso parabólico. Es el correspondiente a:
d = b2 − ac = 0,
en Ω.
Tenemos una sola raíz:
b
a
de aλ2 + 2bλ + c = 0, y eligiendo una solución como en el caso anterior de:
λ=−
ϕx − λϕy = 0,
es decir, de:
b
ϕx + ϕy = 0,
a
(con ξy =
̸ 0 cerca de P0 ) y tomando por ejemplo:
η = x,
llegamos a que:
ã = 0
b̃ = aξx + bξy = 0
c̃ = a,
con lo que la nueva forma principal es:
L̃0 u = auηη .
Finalmente,
∂(ξ, η) ξx
=
ηx
∂(x, y)
ξy = ξy ̸= 0,
ηy por lo que tenemos un verdadero cambio de variable local.
Ejemplo 4.4.
1) La ecuación del calor L(u) = ut − uxx es el ejemplo por antonomasia de
operador parabólico.
2) La ecuación:
x2 uxx − 2xyuxy + y 2 uyy + xux + yuy = 0,
es parabólica con:
d = x2 y 2 − x2 y 2 = 0,
con lo que una elección de ξ sale de la solución general de dy/dx = −y/x es
decir ξ = yx. Con η = x la ecuación transformada es
ηuηη + uη = 0,
pues L(ξ) = 0, L(η) = η. Las soluciones son de la forma: u = F (ξ)+G(ξ) log η =
F (xy) + G(xy) log x.
102
Caso elíptico 1 . Cuando:
d = b2 − ac < 0
en Ω –caso denominado elíptico 2 – la ecuación (2) carece de soluciones reales.
La función:
√
−b(x, y) + b2 (x, y) − a(x, y)c(x, y)
λ=
,
a(x, y)
toma valores complejos. Supondremos que λ = λ(x, y) puede extenderse a una
función C 1 en C2 (una condición necesaria y suficiente es que a, b, c sean analíticas reales en (x, y)).
El problema:

 dy
= −λ(x, y)
dx
y(x ) = ξ,
0
admite una solución compleja y = Y (x, ξ) que es C 1 en la variable (x, ξ) ∈ C2 de
donde se puede despejar ξ = ϕ(x, y), ϕ una función compleja y C 1 que cumple:
aϕ2x + 2bϕx ϕy + cϕ2y = 0.
Poniendo ϕ = ξ + iη la ecuación lleva a las igualdades:
a(ξx2 − ηx2 ) + 2b(ξx ξy − η − xηy ) + c(ξy2 − ηy2 ) = 0
aξx ηx + b(ξx ηy + ξy ηx ) + cξy ηy = 0.
Por tanto b̃ = 0 mientras ã = b̃. La nueva expresión de la forma principal será:
L̃0 = ã{uξξ + uηη }.
Es decir, y módulo un factor multiplicativo, el caso elíptico es localmente el
operador Laplaciano (en los términos de orden superior).
Ejemplo 4.5. La ecuación de Tricomi:
yuxx + uyy = 0,
√
tiene d = −y. Es hiperbólica en y < 0. En este caso tenemos: λ± = ∓1/ −y
que dan posibles ξ, η bajo la forma:
2
2
ξ = x + (−y)3/2
η = x − (−y)3/2 ,
3
3
√
mientras L(ξ) = −L(η) = 1/(2 −y), b̃ = 2y. En la región y < 0 la ecuación de
Tricomi adopta la forma:
uξη −
1 Ver
1
(uξ − uη ) = 0.
8(−y)3/2
[25]
2 Terminología
coherente con la de la Sección 4.1.
La ecuación es elíptica en y > 0 con λ =
√i .
y
103
√
Integrando dy/dx = −i/ y
obtenemos como candidatas a ξ, η las funciones: ξ = 2/3y 3/2 , η = x con lo
√
que ã = y. Asímismo L(ξ) = 1/(2 y), L(η) = 0. La ecuación en coordenadas
características adopta la forma:
3
uξξ + uηη + uξ = 0.
ξ
4.3.2.
Operadores con coeficientes constantes
Cuando los coeficientes de la parte principal L son constantes, aún en el caso
n-dimensional L0 puede simplificarse considerablemente usado álgebra lineal. Se
recuerda el siguiente resultado.
Teorema 4.2 (Teorema Espectral). Sea A una matriz real simétrica n × n.
Existe entonces una matriz ortogonal P (P −1 = P t ) tal que:

λ1 0 . . .

n+ )
n− )
 0 λ2 . . .
P t AP = P −1 AP = diag (λ1 → . . . λn+ → . . . λn+ +n− 0 . . . 0) =  .
.. . .
 ..
.
.
0
0
...
donde λ1 , . . . , λn+ son los autovalores positivos de A, λn+ +1 , . . . , λn+ +n− son los
correspondientes autovalores negativos mientras r = n+ + n− es exactamente el
rango de A.
Si representamos:
P = col (P1 . . . Pn )
e introducimos el cambio de variable:
yi = gi (x) = Pit X =
∑
pli xl ,
l=1,...,n
es decir Y = P t X tenemos:
σ(∇gi , ∇gj ) = Pit APj = λi δij ,
por lo que:
∑
L̃u =
λi
i=1,...,n
∑
∂2u
∂u
+ ã0 (y)u,
+
ãi (x)
2
∂yi
∂yi
i=1,...,n
en donde ãi = ⟨(ai (x)), Pi ⟩, 1 ≤ i ≤ n.
Concluimos asíque:
L̃0 u =
∑
i=1,...,n+
λi
∂2u
+
∂yi2 i=n
∑
+ +1,...,n+ +n−
λi
∂2u
.
∂yi2
0
0
..
.
λn





104
√
√
haciendo el cambio ηi = yi / λi si 1 ≤ i ≤ n+ , ηi = yi / −λi si n+ + 1 ≤ i ≤
n+ + n− , yi = ηi si se da el caso en que el rango r = n+ + n− < n, L̃0 toma
finalmente la forma:
L̃0 u =
∑
i=1,...,n+
∂2u
−
∂yi2 i=n
∑
+ +1,...,n+ +n−
∂2u
.
∂yi2
(4.7)
De acuerdo con las cuentas efectuadas tenemos la siguiente clasificación de operadores con coeficientes constantes.
El operador L se dice
• elíptico si r = n+ + n− = n mientras n+ = n o n− = n. Es este caso
L̃0 = ±∆n ,
• estrictamente hiperbólico si r = n+ + n− = n mientras n+ = n − 1 o
n− = n − 1. En este caso L̃0 = ∆n−1 − ∂ 2 /∂x2n o L̃0 = ∂ 2 /∂x21 − ∆n−1 ,
• ultrahiperbólico si r = n+ + n− = n pero 2 ≤ n+ , n− (n ≥ 4),
• parabólico si r = n+ + n− = n − 1 mientras n+ = n − 1 o n− = n − 1. En
este caso L̃0 = ±∆n−1 .
Observación 4.6. Cuando r = n se dice que L es no degenerado (degenerado en
caso contrario).
Los números n+ , n− y r sólo dependen de la matriz A. En caso de coeficientes
variables A = A(x) = (aij (x)) se dice que el operador L es elíptico, parabólico o
hiperbólico en x ∈ Ω si A(x) lo es. Por la continuidad del espectro con respecto
a los coeficientes, si éstos son continuos y A es no degenerada, las propiedades
de elipticidad e hiperbolicidad se mantendrán en las proximidades de un punto
de referencia.
Ejercicio 4.3. Comprobar que para n = 2 y coeficientes constantes las definiciones de elíptico, parabólico e hiperbólico coinciden con las ya dadas.
Ejercicio 4.4. Pruébese que L es elíptico en x ∈ Ω (se suponen coeficientes
variables) si y sólo si:
∑
2
a
(x)ξ
ξ
ij
i j ≥ λ(x)|ξ| ,
i,j=1,...,n
para alguna constante positiva λ(x) > 0 y todo ξ ∈ Rn .
Observación 4.7. Se probó en el plano la reducción de la parte principal L̃0 a
los tres tipos:


{uξξ + uηη }
L̃0 = µ(x, y) {uξξ }


{uξξ − uηη },
4.4. ECUACIÓN DE ONDAS UNIDIMENSIONAL
105
en los casos elíptico, parabólico e hiperbólico. En coeficientes variables no es
posible en general reducir L para llegar a una parte principal:


 ∑
2
∂ u 
L̃0 u = µ(x)
εi 2 ,

∂yi 
i=1,...,n
donde los εi ’s toman valores ±1 y 0. Ello nos llevaría a buscar n funciones
g = gi (x) satisfaciendo por un lado:
⟨∇gi , ∇gj ⟩ = 0
1 ≤ i < j ≤ n,
(4.8)
((n − 1)n/2 ecuaciones) junto con,
⟨∇gi , ∇gi ⟩ = ⟨∇gi0 , ∇gi0 ⟩
i ̸= i0 ,
(n − 1 ecuaciones adicionales). Como:
(n − 1)(n + 2)
≤ n,
2
sólo si n ≤ 2 tendremos para n ≥ 3 más ecuaciones que incógnitas lo que no
hará factible en general la resolubilidad del correspondiente sistema.
4.4.
4.4.1.
Ecuación de ondas unidimensional
El problema de valor inicial
Basados por ejemplo en el modelo de la cuerda vibrante, nos planteamos en
primer lugar el estudio del problema de valor inicial:

2

x ∈ R, t > 0
utt = c uxx
(4.9)
u(x, 0) = f (x) x ∈ R


ut (x, 0) = g(x) x ∈ R .
Usaremos la notación del operador D’Alambertiano:
c u = utt − c2 uxx
para representar en algunos casos el operador de ondas.
Teorema 4.3 (Fórmula de D’Alambert).
problema de valor inicial (4.9):

2

utt = c uxx
u(x, 0) = f (x)


ut (x, 0) = g(x)
Para cada f ∈ C 2 (R), g ∈ C 1 (R) el
x ∈ R, t > 0
x∈R
x ∈ R.
admite como única solución clásica a:
u(x, t) =
1
1
{f (x + ct) + f (x − ct)} +
2
2c
∫
x+ct
g(s) ds.
x−ct
(4.10)
106
Observaciones 4.8.
a) Las posibles soluciones de (P) pueden extenderse a t ∈ R. De hecho la ecuación
es reversible en t en el sentido de que es invariante frente al cambio t → −t.
b) Es conveniente representar por u = u(x, t, t0 , f, g) a la solución del problema:

2

x ∈ R, t > t0
utt = c uxx
u(x, t0 ) = f (x) x ∈ R


ut (x, t0 ) = g(x) x ∈ R .
Tal solución viene dada en términos de la del problema en t = 0 como sigue:
u(x, t, t0 , f, g) = u(x, t − t0 , 0, f, g) .
Demostración del Teorema 4.3. La introducción de las coordenadas características:
ξ = x + ct
η = x − ct,
permite escribir:
c u = −4c2 uξη .
Toda solución de c u = 0 en t ≥ 0 adopta entonces la forma:
u = F (ξ) + G(η).
(4.11)
Cálculos elementales llevan a que:
∫
1
1 ξ
{f (ξ) +
g(s) ds} + C
2
c 0
∫
1 η
1
g(s) ds} − C ,
G(η) = {f (η) −
2
c 0
F (ξ) =
(4.12)
con C una constante arbitraria. Esta construcción lleva implícita tanto la existencia como unicidad de soluciones clásicas.
Observación 4.9. La expresión (4.11), (4.12) asegura que la solución de (4.9) es la
superposición de dos ondas viajeras con velocidades de propagación respectivas
dadas por ±c.
4.4.2.
Velocidad de propagación finita de las perturbaciones
Dado el punto (x̄, t̄) con t̄ > 0 las rectas características:
ξ = ξ¯
η = η̄,
con ξ¯ = x̄ + ct̄, η̄ = x̄ − ct̄ delimitan las regiones donde “el pasado"de la solución,
t ≤ t̄, influye sobre el valor de u en (x̄, t̄) y donde el valor u(x̄, t̄) influirá sobre
107
los valores futuros de la solución. Tales son respectivamente el cono pasado de
luz:
¯ η ≥ η̄},
Γ− (x̄, t̄) = {(x, t) : ξ ≤ ξ,
y el cono futuro de luz:
¯ η ≤ η̄},
Γ+ (x̄, t̄) = {(x, t) : ξ ≥ ξ,
por el punto (x̄, t̄). En efecto para t̄ > 0 y según (1):
u(x̄, t̄) =
1
¯ + f (η̄)} + 1
{f (ξ)
2
2c
∫
ξ̄
g(s) ds
η̄
Luego la solución usa la información en Γ− (x̄, t̄) ∩ {t = 0}. Alternativamente,
para cualquier t0 < t̄ la solución puede observarse como la que tomó datos
iniciales u y ut en t = t0 . Usando la notación precedente:
u(x, t) = u(x, t, t0 , u(·, t0 , 0, f, g), ut (·, t0 , 0, f, g)),
que dice que u(x̄, t̄) también se construye usando la información de la propia u
confinada en Γ− (x̄, t̄) ∩ {t = t0 }.
Un argumento simétrico muestra que Γ+ (x̄, t̄) es la región donde la información en el punto (x̄, t̄) afectará a la solución u. Por eso a Γ+ (x̄, t̄) también se le
llama la “región de influencia"del punto (x̄, t̄).
El mismo género de argumentos geométricos llevan al siguiente resultado.
Teorema 4.4. Sean f ∈ C 2 (R), g ∈ C 1 (R) funciones con somporte compacto.
Entonces la solución de (P) es tal que u(·, t) tiene soporte compacto para cada
t. Además, cualquiera que sea el intervalo [a, b] cumpliendo:
sop f ∪ sop g ⊂ [a, b],
se tendrá que sop u(·, t) ⊂ [a(t), b(t)] con a(t) = a − ct, b(t) = b + ct.
Observaciones 4.10.
a) Nótese que el soporte se expande con velocidad c, eso
justifica la terminología de velocidad de propagación finita de las perturbaciones.
b) Es muy formativo el estudio de los casos particulares: f con soporte compacto, g = 0, f = 0, g con soporte compacto, respectivamente.
4.4.3.
Soluciones generalizadas. Propagación de discontinuidades
La fórmula de D’Alambert requiere muy poca regularidad en los datos f y
g para dar sentido al segundo miembro de (4.10). Si f y g no son tan regulares
como en el Teorema 4.3 podemos decir que la fórmula de D’Alambert define una
solución generalizada de (??). Puede justificarse la definición por el artificio de
aproximar f y g por fn y gn regulares. Bajo condiciones muy generales en
108
los límites fn → f , gn → g se tiene un → u y se concluye que la solución
generalizada u es límite de soluciones clásicas. Por ejemplo si los límites de fn ,
gn son uniformes o uniformes sobre compactos, un → u uniformemente sobre
compactos de R2 .
Una segunda intuición que se hace evidente es que la ecuación de ondas
preserva las discontinuidades, que se propagan con velocidad constante c a través
de las características ξ = ξ0 , η = η0 .
Para uso posterior es conveniente fijar la siguiente definición.
Definición 4.5. Diremos que f es de clase C k a trozos si existen a1 < . . . < aN
y existen N +1 funciones fi ∈ C k (R) tales que f (x) = f1 (x) para x < a1 , f (x) =
fN +1 (x) en x > aN , f (x) = fi (x) en ai < x < ai+1 para cada i ∈ {1, . . . , N −1}.
Resumiendo, tales funciones f junto con sus derivadas hasta el orden k admiten a lo más discontinuidades de salto en los puntos x = ai . Representaremos
por,
σf (l) (ai ) = f (l) (ai +) − f (l) (ai −),
el salto de la derivada l-ésima de f en x = ai .
Admitamos ahora que f y g son respectivamente C 2 y C 1 a trozos e investiguemos dónde dejan de ser regulares la solución generalizada u de (P) y sus
derivadas hasta el orden dos. No se pierde generalidad si se supone que los ai ’s
son los mismos para f y g.
Recordando que:
u=
1
1
{f (ξ) + f (η)} +
2
2c
∫
ξ
g(s) ds,
η
tenemos,
ux =
uxx =
ut =
utt =
uxt =
1
1 ′
{f (ξ) + f ′ (η)} + {g(ξ) − g(η)}
2
2c
1 ′′
1
{f (ξ) + f ′′ (η)} + {g ′ (ξ) − g ′ (η)}
2
2c
c ′
1
{f (ξ) − f ′ (η)} + {g(ξ) + g(η)}
2
2
c2 ′′
c
{f (ξ) + f ′′ (η)} + {g ′ (ξ) + g ′ (η)}
2
2
c ′
1 ′
′
{f (ξ) − f (η)} + {g (ξ) + g ′ (η)} .
2
2
Considerando cada una de las derivadas como una función de x para cada t fijo
109
tenemos para x∓
i (t) = ai ∓ ct,
1
σf (ai )
2
1
1
σux (x∓
σg (ai )
i (t)) = σf ′ (ai ) ±
2
2c
1
1
σuxx (x∓
σg′ (ai )
i (t)) = σf ′′ (ai ) ±
2
2c
c
1
σut (x∓
i (t)) = ± σf ′ (ai ) + σg (ai )
2
2
c
c
∓
σutt (xi (t)) = σf ′′ (ai ) ± σg′ (ai )
2
2
c
1
∓
σuxt (xi (t)) = ± σf ′′ (ai ) + σg (ai ) .
2
2
σu (x∓
i (t)) =
∓
+
−
siempre que x∓
i (t) ̸= xj (t) cuando i ̸= j. Si para ai < aj tenemos xi = xj (en
ese caso t = (aj − ai )/2c) entonces:
σu (x+
i (t)) =
σux (x+
i (t)) =
σuxx (x+
i (t)) =
σut (x+
i (t)) =
σutt (x+
i (t)) =
σuxt (x+
i (t)) =
1
(σf (ai ) + σf (aj ))
2
1
1
(σf ′ (ai ) + σf ′ (aj )) + (σg (aj ) − σg (ai ))
2
2c
1
1
(σf ′′ (ai ) + σf ′′ (ai )) + (σg′ (aj ) − σg′ (ai ))
2
2c
1
c
(σf ′ (aj ) − σf ′ (ai )) + (σg (aj ) + σg (ai ))
2
2
c
c
(σf ′′ (aj ) + σf ′′ (ai )) + (σg′ (aj ) − σg′ (ai ))
2
2
1
c
(σf ′′ (aj ) − σf ′′ (ai )) + (σg (aj ) + σg (ai )) .
2
2
Resumiendo, las discontinuidades “circulan” a través de las características, con
velocidad constante y manteniendo la magnitud del salto. Este hecho es típico
de las ecuaciones hiperbólicas (ver [11] para más información).
4.4.4.
Soluciones simétricas
La propiedad de unicidad de soluciones permite transvasar las simetrías de
los datos a la solución. Diremos que f = f (x) es
• periódica de período T si f (x + T ) = f (x) para todo x ∈ R,
• par (impar) con respecto a x0 si f (x′ ) = f (x) (f (x′ ) = −f (x)) para todo
x ∈ R, donde x′ = 2x0 − x.
Teorema 4.6. Supongamos que f ∈ C 2 (R), g ∈ C 1 (R).
1. Si f , g son impares con respecto a x0 , u(·, t) es impar con respecto a x0
para todo t ∈ R.
110
2. Si f , g son pares con respecto a x0 , u(·, t) es par con respecto a x0 para
todo t ∈ R.
3. Si f , g son T-periódicas, u(·, t) es T-periódica para todo t ∈ R.
4.4.5.
El problema no homogéneo
Suponemos ahora que F (x, t) y Fx (x, t) son continuas en R × [0, +∞). Nos
proponemos resolver el problema perturbado:

2

utt = c uxx + F (x, t) x ∈ R, t > 0
(4.13)
u(x, 0) = f (x)
x∈R


ut (x, 0) = g(x)
x ∈ R.
Como se sabe basta con hallar la solución u0 (x, t) de:

2

utt = c uxx + F (x, t) x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = 0
x∈R


ut (x, 0) = 0
x ∈ R.
(4.14)
Lo más difícil es dar con el candidato a u0 . En la ecuación de ondas se dispone
de diversas opciones para determinar u0 .
A) Fórmula de variación de las constantes de Lagrange. Es común a todos los
problemas lineales. Si A es un operador lineal en RN la solución de
du
= Au
dt
u(0) = ξ0 ,
es u = eAt ξ0 que puede visualizarse como una acción lineal sobre ξ0 que depende
del tiempo t. La fórmula de variación de las constantes de Lagrange proporciona
la solución u0 de:
du
= Au + F (t)
u(0) = 0,
dt
en la forma:
∫
t
eA(t−τ ) F (τ ) dτ.
u0 =
0
Estas ideas se aplican inmediatamente a nuestro caso y al de todos los problemas
lineales concebibles.
En efecto, (P) se puede interpretar como:
dw
= Aw
dt
w(0) = w0 ,
donde w = (w1 , w2 ) = (u, ut ), w0 = (f, g), el operador A:
A:
C 2 (R) × C 1 (R)
w
−→
7−→
C 1 (R) × C(R)
.
Aw = (w2 , c2 w1xx )
(4.15)
111
La solución de (P) se puede escribir como:
w = Φ(t)w0 = (Φ1 (t)w0 , Φ2 (t)w0 ),
con:
Φ1 (t)w0 = Φ1 (t)(f, g) =
1
1
{f (ξ) + f (η)} +
2
2c
∫
ξ
g(s) ds.
η
Una manera abstracta de interpretar (5) es considerar:
dw
= Aw + (0, F(t))
dt
donde:
F:
R
t
−→
7−→
w(0) = 0,
(4.16)
C 1 (R)
F(t) = F (·, t).
Una solución formal de (6) es, según la fórmula de variación de las constantes
de Lagrange,
∫ t
wp (t) =
Φ(t − τ )(0, F(τ )) dτ.
0
Si seleccionamos la primera componente wp1 de wp tenemos que:
wp1 (t)
1
=
2c
∫ t∫
·−c(t−τ )
F (s, τ ) dsdτ.
0
·+c(t−τ )
Precisamente wp1 es la candidata a solución u0 de (5). Una espresión más razonable es:
∫∫
1
u0 (x, t) =
F (s, τ ) dsdτ.
2c
Γ− (x,t)∩{t≥0}
La región Γ− (x, t) ∩ {t ≥ 0} se llama triángulo característico con vértice en
(x, t).
B) Coordenadas características. El problema (4.14) en coordenadas características adopta la forma:

1

uξη = − 4c2 F̄ (ξ, η)
(4.17)
u(ξ, ξ) = 0


uξ (ξ, ξ) = uη (ξ, ξ),
con F̄ (ξ, η) = F ((ξ + η)/2, (ξ − η)/2c). La solución de (4.17) resulta ser,
)
∫ ξ (∫ η
1
F̄ (s1 , s2 ) ds2 ds1 .
(4.18)
u = φ(ξ) + ψ(η) − 2
4c 0
0
Un cálculo elemental revela que:
)
∫ ξ (∫ s1
1
φ(ξ) = 2
F̄ (s1 , s2 ) ds2 ds1 + α
4c 0
0
)
∫ η (∫ s2
1
ψ(η) = 2
F̄ (s1 , s2 ) ds1 ds2 − α.
4c 0
0
112
Al substituir en (4.18) tenemos (obsérvense con cuidado los distintos recintos
de integración implicados):
∫∫
1
u(ξ, η) = 2
F̄ (s1 , s2 )ds1 ds2 ,
4c
T̄
donde T̄ es el triángulo característico:
T̄ = {(s1 , s2 ) : s1 > s2 , s1 < ξ, s2 > η},
con ξ = x + ct, η = x − ct. Si efectuamos el cambio de variable:
s1 − s2
s1 + s2
τ=
,
2
2c
en la integral doble obtenemos de nuevo la expresión para u0 ,
∫∫
1
F (s, τ ) dsdτ.
u0 (x, t) =
2c
Γ− (x,t)∩{t≥0}
s=
C) Método de Duhamel. Una tercera técnica para construir la solución de (4.14)
es el llamado método de Duhamel que se desarrolla en los Ejercicios 24 y 25 de
este capítulo.
Resumiendo, hemos probado el siguiente resultado.
Teorema 4.7. Sean f ∈ C 2 (R), g ∈ C 1 (R),
la solución del problema perturbado:

2

utt = c uxx + F (x, t)
u(x, 0) = f (x)


ut (x, 0) = g(x)
tiene como única solución a:
1
1
u = {f (x + ct) + f (x − ct)} +
2
2c
4.5.
∫
x+ct
x−ct
F, Fx ∈ C(R × [0, +∞)). Entonces,
x ∈ R, t > 0
x∈R
x ∈ R,
1
g(s) ds +
2c
∫ t∫
x−c(t−τ )
F (s, τ ) dsdτ.
0
x+c(t−τ )
Problemas de contorno
El problema físico que genera el modelo de la ecuación de ondas sugiere que
la unicidad de soluciones sólo se podrá conseguir cuando además de condiciones
iniciales se impongan condiciones de contorno si se trabaja en un dominio con
frontera no vacía (un intervalo con alguno de sus extremos finito). En esta
sección trataremos con intervalos finitos Ω = (0, l) (relegamos Ω = (a, +∞) a la
sección de ejercicios).
Nos ocuparemos de estudiar los problemas:

utt = c2 uxx + F (x, t)
0 < x < l, t > 0




u(x, 0) = f (x)
0≤x≤l
(4.19)

ut (x, 0) = g(x)
0≤x≤l



B0 u = α(t) Bl u = β(t) t > 0 ,
4.5. PROBLEMAS DE CONTORNO
113
donde Bx0 representa el operador de contorno en la frontera {a, b} de un intervalo
Ω = (a, b), es decir x0 = a o x0 = b. La condición de contorno se dirá de tipo:
• Dirichlet si Bx0 u = u(x0 , t),
• Neumann si Bx0 u = ν ∂u
∂x (x0 , t) donde ν = −1 si x0 = a, ν = 1 si x0 = b
∂
(el operador ν ∂x
se llama derivada normal exterior).
• Robin si Bx0 u = ν ∂u
∂x (x0 , t) + bu(x0 , t) con b ≥ 0.
El problema (4.19) se dirá de tipo Dirichlet, Neumann o Robin si, respectivamente, ambas condiciones en (4.19) son Dirichlet, Neumann o Robin. Si en cada
extremo hay condiciones distintas hablaremos de problema mixto.
Diremos que u = u(x, t) es una solución clásica de (4.19) si u ∈ C 2 ([0, l] ×
[0, +∞)). Nuestro primer resultado es de unicidad. La elección del coeficiente
procede de la deducción física (Capítulo 1).
Teorema 4.8. El problema de contorno y valor inicial:

utt = c2 (x)uxx + F (x, t)



u(x, 0) = f (x)

ut (x, 0) = g(x)



B0 u = α(t) Bl u = β(t)
0 < x < l, t > 0
0≤x≤l
0≤x≤l
t > 0,
con c2 (x) = T0 /ρ(x), ρ ∈ C[0, l], ρ(x) > 0 para x ∈ [0, l], admite a lo más una
solución clásica.
Demostración. Si u es solución de:
utt = c2 (x)uxx + F (x, t),
entonces:
ρutt − T0 uxx = ρF
ρutt ut − T0 uxx ut = ρF ut
ρutt ut + T0 ux uxt − (T0 uxx ut + T0 ux uxt ) = ρF ut
1
(ρu2t + T0 u2x )t − T0 (ux ut )x = ρF ut .
2
Integrando de 0 a l con respecto a x:
1
2
∫
∫
l
(ρu2t + T0 u2x )t dx − T0 ux ut |l0 =
0
l
ρ(s)F (s, t)ut (s, t) ds.
0
Escribamos,
E(t) =
1
2
∫
l
(ρu2t + T0 u2x ) dx.
0
(4.20)
114
Integrando (4.20) con respecto a t entre t = 0 a t = t̄ llegamos a:
(∫
)
t̄
T0
E(t̄) − E(0)−
(ux (l, τ )ut (l, τ ) − ux (0, τ )ut (0, τ )) dτ
2
0
∫ t̄ ∫ l
=
ρ(s)F (s, τ )ut (s, τ ) dsdτ.
0
0
Si u1 , u2 son dos soluciones clásicas del problema, la diferencia v = u1 − u2
satisface un problema donde F , f , g, α y β son nulos, con lo que se llega a que:
1
2
∫
l
(ρu2t + T0 u2x ) dx = 0,
0
para cada t, de donde se deduce fácilmente que v(x, t) = 0 en (x, t) ∈ [0, l] ×
[0, +∞).
Observación 4.11. Si en el problema de contorno las fuerzas exteriores son cero
(F = 0) junto con las condiciones de contorno (α = β = 0), de los cálculos
anteriores se deduce:
∫
∫
1 l
1 l
(ρu2t (s, t) + T0 u2x (s, t)) dx =
(ρg(s)2 + T0 (f ′ (s))2 ) dx.
2 0
2 0
En otras palabras, se conserva la energía total del proceso.
Región de influencia 3 sobre un punto (x̄, t̄). En la demostración del teorema
precedente hemos probado que cuando f = g = 0, si además F , α, β son nulas
en t < t̄ entonces u = 0 en R = [0, l] × [0, t̄]. Comprobaremos cómo hay una
región más pequeña que R y con vértice en cada (x̄, t̄), 0 ≤ x̄ ≤ l, donde se
observa el mismo fenómeno.
Supondremos que la tal región de influencia P está limitada por dos curvas
t = Q1 (x), t = Q2 (x) incidentes en (x̄, t̄) con Qi (x) ≤ t̄, Q1 definida en [0, x̄],
Q2 en [x̄, l] (ver Figura 9). En P se tiene, según hemos visto,
1
(ρu2t + T0 u2x )t − T0 (ux ut )x = 0.
2
(4.21)
Si definimos por t = Q(x) la unión de las dos curvas e integramos (4.21) sobre
P tenemos:
∫∫
∫ ∫
1
1 l Q(s)
(ρu2t + T0 u2x )t dsdτ =
(ρu2t + T0 u2x )t dsdτ
2
2
P
0
0
∫
1 l
=
(ρu2t (s, Q(s)) + T0 u2x (s, Q(s))) ds.
2 0
3 Ver
[26]
115
Figura 4.1: Dominio de influencia sobre el punto (x̄, t̄)
Por otro lado:
∫∫
∫ t̄ ∫
l2 (τ )
(ux ut )x dsdτ =
P
(ux ut )x dsdτ
0
∫
l1 (τ )
t̄
(ux (l2 (τ ), τ )ut (l2 (τ ), τ ) − ux (l1 (τ ), τ )ut (l1 (τ ), τ )) dτ,
=
0
donde si t1 = Q1 (0), t2 = Q2 (l) se tiene l1 = 0 en τ ≤ t1 , l2 = l para t ≤ t2 .
Si por simplicidad suponemos condiciones Dirichlet o Neumann resulta que:
∫∫
(ux ut )x dsdτ =
∫
P
t̄
∫
−1
ux (Q−1
2 (τ ), τ )ut (Q2 (τ ), τ )
t̄
dτ −
t2
−1
ux (Q−1
1 (τ ), τ )ut (Q1 (τ ), τ ) dτ.
t1
Haciendo el cambio s = Q−1
i (τ ),
∫∫
∫
l
ux ut Q′2 (s) ds −
(ux ut )x dsdτ = −
P
x̄
∫
l
=−
ux ut
0
Por tanto:
dQ
ds = −
ds
∫
x̄
ux ut Q′1 (s) ds
0
l
ux ut
0
∫
dt
dx.
dx
∫∫
1
{ (ρu2t + T0 u2x )t − T0 (ux ut )x } dsdτ
P 2
]
∫ l[
1 2 1
dt
2
=
ρu + T0 ux + T0 ux ut
dx = 0,
2 t 2
dx
0
entendiéndose en la última integral que t = Q(x). Recordando que c2 = T0 /ρ(x)
116
resulta que:
∫ l
∫
0
l
0
[
]
1
dt
2
2 2
2
ρ ut + c ux + 2c ux ut
dx =
2
dx
{[
[
]2
( )2 ]}
1
dt
1
dt
2
4 2
ρ ut + c ux
+ c ux 2 −
dx = 0.
2
dx
c
dx
Si:
(
dt
dx
)2
=
(4.22)
1
,
c2
tendremos, si tenemos en cuenta que P ⊂ {t ≤ t̄}, las expresiones de t = Qi (x),
i = 1, 2:

∫ x̄ 1

ds 0 < x < x̄
t̄ − x
c(s)
t(x) =
(4.23)
∫
1

t̄ − x̄x
ds x̄ < x < l.
c(s)
De (4.22) y (4.23) se deduce que ut = ux = 0 en (x̄, t̄) y con el mismo argumento
se tiene que ux = ut = 0 en P . De ahí, u = 0 en P si F , α, β son nulas en P , a
parte de f = g = 0 en [0, l].
4.5.1.
Problemas de Dirichlet y Neumann homogéneos
Supongamos que el problema de Dirichlet homogéneo:

2
0 < x < l, t > 0

utt = c uxx

u(x, 0) = f (x)
0≤x≤l
ut (x, 0) = g(x)
0≤x≤l



u(0, t) = u(l, t) = 0 t > 0 ,
(4.24)
admite una solución clásica u. Entonces f y g, supuestas C 2 y C 1 respectivamente en [0, l], han de satisfacer las condiciones de compatibilidad siguientes:
{
f (0) = f (l) = f ′′ (0) = f ′′ (l) = 0
(4.25)
g(0) = g(l) = 0.
Análogamente, para el problema de Neumann,

utt = c2 uxx
0 < x < l, t > 0



u(x, 0) = f (x)
0≤x≤l

u
(x,
0)
=
g(x)
0
≤x≤l
t



ux (0, t) = ux (l, t) = 0 t > 0 ,
habrá de tenerse:
{
f ′ (0) = f ′ (l) = 0
g ′ (0) = g ′ (l) = 0.
(4.26)
(4.27)
117
Así pues (4.25) y (4.27) son condiciones necesarias para la existencia de soluciones clásicas.
Ahora unas consideraciones elementales de simetría. Si f = f (x) ∈ C(R)
es impar con respecto a x = 0 y 2l-periódica entonces f es también impar con
respecto a x = l. En efecto,
f (2l − x) = f (−x) = −f (x).
Por tanto, f (0) = f (l) = 0. Supongamos por otra parte que f ∈ C 2 [0, l] satisface
(4.25). Si efectuamos la extensión impar a [−l, l] y después la extensión 2lperiódica a R obtenemos además una función f¯, de clase C 2 , que es impar con
respecto a x0 = 0. En efecto, si x ∈ R, x = x0 + 2kl para k ∈ Z, x0 ∈ [−l, l]. Si
x0 ∈ [0, l]:
f¯(x) = f¯(x0 + 2kl) = f (x0 ) = −f¯(−x0 ) = −f¯(−x0 − 2kl) = −f¯(−x).
Si x0 ∈ [−l, 0] resulta:
f¯(x) = f¯(x0 + 2kl) = f¯(x0 )
= −f (−x0 ) = −f¯(−x0 ) = −f¯(−x0 − 2kl) = −f¯(−x).
Análogamente, f = f (x) ∈ C(R), par con respecto a x = 0 y 2l-periódica
implican que f es también par con respecto a x = l. Si, por otro lado, f ∈ C 2 [0, l]
satisface (4.27), la extensión par a [−l, l] primero y 2l-periódica después a R dan
lugar una función C 2 , f¯, que es par con respecto a x0 = 0.
Teorema 4.9. Sean f ∈ C 2 [0, l], g ∈ C 1 [0, l] funciones que satisfacen las condiciones (4.25). Entonces el problema de Dirichlet (4.24) admite una única solución clásica u ∈ C 2 ([0, l] × [0, +∞)). La misma conclusión se obtiene para el
problema de Neumann (4.26) bajo datos f ∈ C 2 [0, l], g ∈ C 1 [0, l] satisfaciendo
(4.27).
Demostración. Para (4.24) efectuamos las extensiones impares y 2l-periódicas
f¯, ḡ de f y g y resolvemos el problema de valor inicial:

2

x ∈ R, t > 0
utt = c uxx
¯
u(x, 0) = f (x) x ∈ R


ut (x, 0) = ḡ(x) x ∈ R .
Su solución u = ū(x, t) da la única solución del problema de Dirichlet. Análogas
consideraciones llevan a la solución del problema de Neumann (4.26).
Ejercicio 4.5 (Condiciones mixtas). Sea f ∈ C 2 [0, l] tal que f (0) = f ′ (0) = l.
Efectuamos sucesivamente: la extensión impar a [−l, 0], la extensión par con
respecto a x0 = l a [l, 3l] y la extensión 4l-periódica a R. Pruébese que tal
extensión f¯ es C 2 , impar en x0 = 0 y par en x0 = l. Probar, bajo condiciones
118
de compatibilidad adecuadas, la existencia de una única solución clásica del
problema mixto:

utt = c2 uxx
0 < x < l, t > 0




u(x, 0) = f (x)
0≤x≤l
(4.28)

u
(x,
0)
=
g(x)
0≤x≤l
t



u(0, t) = ux (l, t) = 0
t > 0.
4.5.2.
Oscilaciones libres
Es conveniente recordar el siguiente,
Ejercicio 4.6. Sea g ∈ C(R) T-periódica. Entonces G(t) =
∫T
si y sólo si 0 g = 0.
∫t
0
g es T -periódica
El próximo resultado evidencia la existencia de oscilaciones libres en el problema de la cuerda vibrante bajo diversas condiciones de contorno.
Teorema 4.10. Sean f ∈ C 2 [0, l], g ∈ C 1 [0, l]. Entonces,
1. La solución u de (4.24) (respectivamente, (4.28)), f , g cumpliendo las
condiciones de compatibilidad (4.25) (r. las correspondientes condiciones
2l
4l
de compatibilidad) es -periódica (r. -periódica) en t.
c
c
2. La solución u de (4.26), f , g cumpliendo las condiciones de compatibilidad
∫l
2l
(4.27) es -periódica en t si y sólo si 0 g = 0.
c
Ejercicio 4.7 (Propagación de discontinuidades). Usar el teorema precedente
para probar que si f y g son, respectivamente, C 2 y C 1 a trozos (esto incluiría posiblemente la violación de alguna de las condiciones de compatibilidad)
entonces las discontinuidades se propagan con velocidad c en los dos sentidos,
mantienen la magnitud del salto y se reflejan en los bordes x = 0, x = l.
4.5.3.
Problemas de Dirichlet y Neumann no homogéneos
Consideramos ahora los problemas,

utt = c2 uxx



u(x, 0) = f (x)
ut (x, 0) = g(x)



u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t)
y

utt = c2 uxx




u(x, 0) = f (x)

ut (x, 0) = g(x)



ux (0, t) = α(t),
0 < x < l, t > 0
0≤x≤l
0≤x≤l
t > 0,
0 < x < l, t > 0
0≤x≤l
0≤x≤l
ux (l, t) = β(t) t > 0 .
(4.29)
(4.30)
119
La búqueda de soluciones clásicas requiere en cada caso las condiciones de compatibilidad:

β(0) = f (l)

 α(0) = f (0)


y,
α′ (0) = g(0)
′′
β ′ (0) = g(l)
2 ′′
α (0) = c f (0)
{
α(0) = f ′ (0)
α′ (0) = g ′ (0)
′′
(4.31)
2 ′′
β (0) = c f (l)
β(0) = f ′ (l)
β ′ (0) = g ′ (l),
(4.32)
respectivamente.
Por simplicidad vamos a construir la solución a (4.29). La hallaremos bajo
la forma:
u = F (ξ) + G(η).
Las condiciones iniciales nos dan F , G en [0, l] como:
∫ ξ
1
1
f (ξ) +
g
2
2c 0
∫ η
1
1
g.
G(η) = f (η) −
2
2c 0
F (ξ) =
La validez de la condición de contorno en x = 0 nos lleva a:
α(t) = F (ct) + G(−ct).
Esto permite definir G en [−l, 0] como:
η
G(η) = α(− ) − F (−η).
c
(4.33)
La condición en x = l:
β(t) = F (l + ct) + G(l − ct),
permite definir F en el intervalo [l, 3l] en la forma:
F (ξ) = β(
ξ−l
) − G(2l − ξ).
c
(4.34)
En definitiva, las relaciones (4.33), (4.34) permiten extender F y G de forma que
u define la solución de (4.29). Las condiciones (4.30) aseguran la regularidad de
las extensiones. Para (4.31) (y condiciones de contorno adecuadas) se procede
de la misma forma. En todos los casos, G debe extenderse a η ≤ 0, F a ξ ≥ l.
Ejercicio 4.8. Calcúlense algunas etapas de la construcción de F y G para las
condiciones u(0, t) = α(t), ux (l, t) + bu(l, t) = β(t), b ≥ 0.
Ejercicio 4.9. En el problema de Dirichlet, comprobar la regularidad de G en
η = 0 y la de F en ξ = l.
120
4.5.4.
Problemas de contorno perturbados
Considérese a título de ejemplo el problema

2

utt = c uxx + F (x, t)

u(x, 0) = f (x)
ut (x, 0) = g(x)



u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t)
de Dirichlet:
0 < x < l, t > 0
0≤x≤l
0≤x≤l
t > 0,
(4.35)
en el que se supone que F, Fx ∈ C([0, l] × [0, +∞)). Una manera de proceder es
extender primero F a una F̄ de suerte que F̄ , F̄x ∈ C(R × [0, +∞)). Después
resolver el problema:

2

utt = c uxx + F̄ (x, t) x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = 0
x∈R


ut (x, 0) = 0
x ∈ R,
con solución ū que al restarla de la de (4.35) nos lleva a:

vtt = c2 vxx
0 < x < l, t > 0



u(x, 0) = f (x) − ū(x, 0)
0≤x≤l
ut (x, 0) = g(x) − ūt (x, 0)
0≤x≤l



u(0, t) = α(t) − ū(0, t), u(l, t) = β(t) − ū(l, t) t > 0 ,
problema del que se ha tratado.
Ejercicio 4.10. Considérese una distribución de densidad de fuerzas de clase C 1
en [0, l] que cumple F (0) = F (l) = 0. Demuéstrese que la solución de:

utt = c2 uxx + F (x)
0 < x < l, t > 0



u(x, 0) = f (x)
0≤x≤l

u
(x,
0)
=
g(x)
0
≤x≤l
t



u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t > 0 ,
es también 2l/c-periódica en t.
4.6.
Problemas semilineales
4.6.1.
Problemas de valor inicial
Las ideas precedentes se aplican –apoyándonos en las ecuaciones diferenciales
ordinarias– al estudio de la existencia y unicidad de soluciones locales para el
problema semilineal:

2

utt = c uxx + F (x, t, u, ux , ut ) x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = f (x)
x∈R


ut (x, 0) = g(x)
x ∈ R,
4.6. PROBLEMAS SEMILINEALES
121
donde por brevedad supondremos que F = F (x, t, y1 , y2 , y3 ) es de clase C 1 en
R5 . La idea es fabricar una solución local (u, U), u ∈ C 1 (U), U un abierto que
contiene al eje x.
La versión del problema en coordenadas características es:

1

uξη = − 2 F̄ (ξ, η, u, uξ , uη )


4c
(4.36)
u(ξ, ξ) = f (ξ)




uξ (ξ, ξ) − uη (ξ, ξ) = g(ξ),
donde F̄ se deduce de manera obvia a partir de F .
Si fijamos x0 toda posible solución de (4.36) cerca de ξ = η = x0 ha de
satisfacer la identidad de punto fijo:
∫ ξ ∫ s1
1
u = u0 + 2
F̄ (s1 , s2 , u, uξ , uη ) ds2 ds1 ,
(4.37)
4c η η
∫ξ
1
con u0 = 12 {f (ξ) + f (η)} + 2c
g(s) ds.
η
Para δ > 0 llamamos Qδ = [x0 − δ, x0 + δ] × [x0 − δ, x0 + δ]. Si fijamos δ0 ,
R0 , números positivos y
K = {(ξ, η, z, p, q) ∈ R5 : (ξ, η) ∈ Qδ ,
|z − u0 (ξ, η)|, |p − u0ξ (ξ, η)|, |q − u0η (ξ, η)| ≤ R0 },
definimos:
L=
|F̄ | + |F̄ξ | + |F̄η |.
sup
(ξ,η,z,p,q)∈K
Para resolver la ecuación de punto fijo (4.37) cerca de (x0 , x0 ) tomamos δ, δ1
menores que δ0 y R0 , respectivamente, construimos:
Xδ,δ1 = {u ∈ C 1 (Qδ ) : |u − u0 |1 ≤ δ1 }.
Definimos el operador:
T :
−→
7−→
Xδ,δ1
v
donde:
1
T (v) = u0 + 2
4c
∫
η
ξ
∫
s1
C 1 (Qδ )
,
T (v)
F̄(s1 , s2 , v) ds2 ds1 ,
(4.38)
η
siendo F(s1 , s2 , v) = F̄ (s1 , s2 , v, vξ , vη ).
Se pueden elegir δ y δ1 de forma que T sea contractivo de Xδ,δ1 sobre si
mismo. En efecto:
∫ ξ
1
F̄(ξ, s2 , v) ds2
T (v)ξ = u0ξ + 2
4c η
∫ ξ
1
T (v)η = u0η − 2
F̄(s1 , η, v) ds1 ,
4c η
122
con lo que, para cada v ∈ Xδ,δ1 :
Lδ 2
c2
Lδ
|T (v)ξ − u0ξ | ≤ 2
2c
Lδ
|T (v)η − u0η | ≤ 2
2c
|T (v) − u0 | ≤
mientras:
Lδ 2
|v1 − v2 |1
c2
Lδ
|T (v1 )ξ − T (v2 )ξ | ≤ 2 |v1 − v2 |1
2c
Lδ
|T (v1 )η − T (v2 )η | ≤ 2 |v1 − v2 |1 .
2c
Una elección adecuada de δ > 0 permite probar la invariancia de Xδ,δ1 junto
con la contractiviad de T en Xδ,δ1 .
Hemos probado asíel siguiente resultado.
|T (v1 ) − T (v2 )| ≤
Teorema 4.11. Sea F = F (x, t, y1 , y2 , y3 ) una función de clase C 1 . Entonces
para cada f ∈ C 2 (R), g ∈ C 1 (R) el problema de valor inicial:

2

utt = c uxx + F (x, t, u, ux , ut ) x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = f (x)
x∈R


ut (x, 0) = g(x)
x ∈ R,
admite una única solución local (u, U).
◦
Demostración. Basta con asociar a cada x0 ∈ R la solución local (ux0 , Qδ (x0 ))
◦
◦
que hemos construido con unicidad. Como ux0 = ux′0 si Qδ (x0 ) ∩ Qδ (x′0 ) ̸= ∅
resultará que:
◦
U = ∪x0 ∈R Qδ (x0 ).
Observación 4.12. Las dimensiones del dominio de existencia U de las posibles
soluciones locales están sometidas esencialmente a las mismas condiciones de
variabilidad y finitud que en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias. En
el ejemplo:

2
α

x ∈ R, t > 0
utt = c uxx + (α + 1)u
u(x, 0) = u0
x∈R


ut (x, 0) = 0
x ∈ R,
donde α > 1 y se toma u0 > 0 constante. La solución explota uniformemente
cuando t → T + donde:
∫ +∞
ds
1
√
.
T =√
2 u0
uα+1 − uα+1
0
4.7. ECUACIÓN DE ONDAS N -DIMENSIONAL
4.6.2.
123
Problemas de contorno
Las resultados de la sección se aplican al problema de contorno semilineal:

utt = c2 uxx + F (u) x ∈ (0, l), t > 0




u(x, 0) = f (x)
x ∈ [0, l]

u
(x,
0)
=
g(x)
x[0, l],
t



u(0, t) = u(l, t) = 0,
con tal que F sea C 1 e impar en u (F (−u) = −F (u)) (f ∈ C 2 [0, l], g ∈ C 1 [0, l]
cumpliendo las condiciones de compatibilidad (4.25)). En efecto basta extender
f , g a R como en el problema de Dirichlet y probar que u detenta las simetrías
adecuadas.
4.7.
4.7.1.
Ecuación de ondas n-dimensional
Unicidad de soluciones para el problema de valor
Las superficies carcterísticas del operador de ondas c u = utt − ∆x u son
ϕ(x, t) = 0, (x, t) ∈ R × Rn , donde
ϕ2t + |∇ϕ|2 = 0.
El caso más importante de tales superficies son los “conos de luz”. Para (x0 , t0 ) ∈
Rn × R la unión de las rectas:
x = x0 + cū(τ − t0 )
t=τ
τ ∈ R,
con ū ∈ Rn , |ū| = 1, constituyen los conos de luz Γ− (τ ≤ t0 ) y Γ+ (τ ≥ t0 ). La
sección de Γ+ con t = τ ≥ t0 es el lugar geométrico de los puntos que se han
alejado rectilíneamente de x = x0 a una velocidad c (típicamente, la velocidad
de la luz). La ecuación de los conos de luz es:
Γ(x0 , t0 ) = {(x, t) : |x − x0 |2 = c|t − t0 |}.
(Γ+ corresponde por ejemplo a t ≥ t0 ).
El primer resultado fundamental es el siguiente (prueba inspirada en la de
[24] para n = 3).
Teorema 4.12 (Unicidad). Sea u ∈ C 2 (Rn × R) una solución clásica del problema de valor inicial:

2
n

utt = c ∆u (x, t) ∈ R × R
n
u(x, 0) = 0 x ∈ R


ut (x, 0) = 0 x ∈ Rn .
124
Entonces u(x, t) = 0 para todo (x, t) ∈ Rn
f (x), g = g(x), F = F (x, t) el problema:

2

utt = c ∆u + F (x, t)
u(x, 0) = f (x)


ut (x, 0) = g(x)
× R. En particular, para cada f =
(x, t) ∈ Rn × R
x ∈ Rn
x ∈ Rn .
admite a lo más una solución clásica.
Demostración. Tenemos, para u ∈ C 2 (Rn × R):
2ut c u = 2ut utt − c2
∑
2ut uxi xi
∑
∑
= 2ut utt − c2
(2ut uxi xi + 2utxi uxi ) + c2
2utxi uxi
∑
= (u2t + |∇u|2 )t − 2c2
(ut uxi )xi
= (u2t + |∇u|2 )t − 2c2 div (ut ∇u).
Para P0 = (x0 , t0 ), t0 > 0, tomamos (comparar con el triángulo característico):
T (P0 ) = {(x, t) : t ≥ 0 , c2 (t0 − t) ≥ |x − x0 |},
cuya superficie lateral llamaremos por abuso de notación Γ− (P0 ).
Como ut c u = 0 integrando en T (P0 ) y aplicando el teorema de la divergencia:
∫
0=
(−2c2 ut ∇u, u2t + c2 |∇u|2 ).(0, −1) dx
|x−x0 |≤ct0
∫
1
x − x0
+√
(−2c2 ut ∇u, u2t + c2 |∇u|2 ).(
, c) dS
2
|x − x0 |
1 + c Γ−
∫
1
x − x0
=√
−2c2 ut ∇u
+ c(u2t + c2 |∇u|2 ) dS
2
|x
− x0 |
−
1+c Γ
∫
c
x − x0
=√
u2t + c2 |∇u|2 − 2c2 ∇uut
dS
|x − x0 |
1 + c2 Γ−
2
∫ x − x0
c
=√
ut
− c∇u dS.
2
|x − x0 |
−
1+c
Γ
Concluimos que sobre Γ− (P0 ) (de ecuación c(t − t0 ) = |x − x0 |) se tiene:
ut
x − x0
= c∇u(x).
|x − x0 |
Para cualquier curva en Γ− (P0 ):
x = x(s)
1
t = − |x − x0 | + t0 ,
c
125
se cumple que:
d
1
u(x(s), t0 − |x − x0 |) =
ds
c
(
)
1 x − x0
∇u − ut
x′ (s)
c |x − x0 |
(
)
1
x − x0
=
c∇u − ut
x′ (s) = 0.
c
|x − x0 |
Por tanto u se conserva sobre la superficie lateral Γ− (P0 ) y como en la base es
cero se tiene en particular u(P0 ) = 0. Como P0 es arbitrario, u = 0.
Un corolario inmediato de la demostración es la propiedad de velocidad de
propagación finita de las perturbaciones.
Teorema 4.13. Sea u ∈ C 2 (Rn × R) una solución del problema:

2

utt = c ∆u
u(x, 0) = f (x)


ut (x, 0) = g(x)
(x, t) ∈ Rn × R
x ∈ Rn
x ∈ Rn .
en la que f y g tienen soporte compacto. Entonces u(·, t) tiene soporte compacto
para todo t ∈ R.
4.7.2.
Medias esféricas
Una aplicación lineal T L(Rn ) se dice ortogonal si T −1 = T t . O(Rn ) denotará
el conjunto de tales transformaciones. Es un ejercicio probar que si u es solución
de la ecuación de ondas c u = 0 entonces todas sus rotaciones uT (x, t) =
u(T x, t) también satisfacen la ecuación de ondas.
Sea h ∈ C(Rn ), r > 0 y Sr (x) = {y : |y − x| = r} la esfera de centro x y
radio r (ωn = área (S1 )). Representamos por:
∫
∫
1
1
Mh (x, r) =
h(y)
dS
=
h(x + rw) dSw ,
y
ωn rn−1 Sr (x)
ωn S1
la media de h sobre Sr (x) (es un promedio de las “rotaciones” de h alrededor de
x y a una distancia r > 0).
Propiedad 4.14. Sea h ∈ C(Rn ) entonces:
1. Mh (x, r) se puede extender de forma par a todo r ∈ R: Mh (x, −r) =
Mh (x, r) con lı́mr→0 Mh (x, r) = h(x).
2. Si h ∈ C s (Rn ) entonces Mh (x, r) es C s en (x, r): Mh ∈ C s (Rn × R).
Observación 4.13. Si h es C 1 , Mh es también C 1 en r y por tanto ∂Mh /∂r(x, 0) =
0.
126
Lema 4.15. Sea h ∈ C 2 (Rn ). Entonces:
∂
1
Mh (x, r) = n−1 ∆x
∂r
r
(∫
)
r
n−1
ρ
Mh (x, ρ) dρ .
0
En particular:
∂
∂r
(
rn−1
)
∂
Mh (x, r) = rn−1 ∆x Mh (x, r).
∂r
Es decir
∂2
n − 1 ∂Mh
= ∆x Mh (x, r).
Mh +
∂r2
r
∂r
(4.39)
Observación 4.14. Se conoce a (4.39) como la ecuación de Darboux.
Lema 4.16. Si u = u(x, t) ∈ C 2 (Rn ×R) satisface la ecuación de ondas c u = 0
entonces, para x ∈ Rn fijo:
∂2
Mu (x, r, t) = c2
∂t2
(
∂2
n−1 ∂
+
∂r2
r ∂r
)
Mu (x, r, t).
(4.40)
Consecuencia de los Lemas 4.15 y 4.16 es el siguiente resultado.
Corolario 4.17. Sea u = u(x, t) ∈ C 2 (Rn × R) una solución del problema de
valor inicial:

2

(x, t) ∈ Rn × R
utt = c ∆u
u(x, 0) = f (x) x ∈ Rn


ut (x, 0) = g(x) x ∈ Rn .
Entonces, para cada x ∈ Rn fijo se tiene que:
( 2
)
 2
∂
n−1 ∂
∂

2

M
(x,
r,
t)
=
c
+
Mu (x, r, t)

u
 ∂t2
∂r2
r ∂r
r ∈ R, t > 0

Mu (x, r, 0) = Mf (x, r)



(Mu )t (x, r, 0) = Mg (x, r)
r∈R
r ∈ R.
(4.41)
Observación 4.15. La ecuación (4.40) es la ecuación de ondas para una función
radial. La media Mu resuelve, como función radial, el problema de valor inicial
correspondiente a las medias de los datos iniciales.
Demostración del Lema 4.15. Tenemos:
Mh (x, r) =
1
ωn
∫
|ξ|=1
h(x + rξ) dSξ .
127
Por tanto:
∫
∑
∂Mh
1
(x, r) =
∂i h(x + rξ)ξi dSξ
∂r
ωn |ξ|=1
∫
∑
1
=
∂ξi (∂i h(x + rξ)) dξ
ωn |ξ|≤1
∫
1
r∆x h(x + rξ) dξ
=
ωn |ξ|<1
)
(∫
r1−n
=
h(y) dy
∆x
ωn
|y−x|<r
(∫ [
]
)
∫
r
1
1−n
n−1
=r
∆x
h(x + ρw)ρ
dSw dρ
ωn |w|=1
0
(∫ r
)
= r1−n ∆x
ρn−1 Mh (x, ρ) dρ .
0
4.7.3.
El problema de valor inicial en el caso n = 3
Supongamos que u = u(x, t) es una solución clásica del problema (n = 3):
{
utt = c2 ∆u
x ∈ R3 , t > 0
(4.42)
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x)
x ∈ R3 .
La media alrededor de x, ū(r, t) = Mu (x, r, t) satisface:
(
)
2
2
ūtt = c ūrr + ūr ,
r
mientras ū(r, 0) = Mf (x, r), ūt (r, 0) = Mg (x, r). En particular:
(rū)tt = c2 (rū)rr .
Por tanto v(r, t) := rū(r, t) resuelve el problema de valor inicial,

2

r ∈ R, t > 0
vtt = c vrr
v(r, 0) = rMf (x, r)


vt (r, 0) = rMg (x, r).
Entonces,
rū(r, t) =
1
(r + ct)Mf (x, r + ct)+
2
∫ r+ct
1
1
(r − ct)Mf (x, r − ct) +
sMg (x, s) ds.
2
2c r−ct
128
De la paridad de Mf en r:
Mu (x, r, t) =
(r + ct)Mf (x, ct + r) − (ct − r)Mf (x, ct − r)
1
+
2r
2cr
=
1
2r
∫
r+ct
sMg (x, s) ds
r−ct
)
(
1
∂Mf
(x, ct)r + o(r) +
η(r)Mg (x, η(r))2r,
2rMf (x, ct) + 2ct
∂r
2rc
con ct − r < η(r) < ct + r. Al hacer tender r a cero:
∂Mf
ct
(x, ct) + Mg (x, ct)
∂r
c
∂
= tMg (x, ct) +
(tMf (x, ct)) .
∂t
Se ha obtenido entonces el siguiente resultado.
u(x, t) = Mf (x, ct) + ct
Teorema 4.18 (Fórmula de Kirchhoff). Si u ∈ C 2 (R3 × R) es la solución del
problema (4.42) entonces u = u(x, t) se puede representar en la forma:
(
)
∫
∫
1
∂
1
u(x, t) =
(4.43)
g(y) dSy +
f (y) dSy
4πc2 t Sct (x)
∂t 4πc2 t Sct (x)
Asímismo podemos concluir el recíproco.
Teorema 4.19. Para f ∈ C 3 (R3 ), g ∈ C 2 (R3 ) (regularidad que es precisa para
que el segundo miembro de (4.43) sea C 2 ), la identidad (4.43) proporciona la
solución clásica de (4.42).
Demostración. Escribiendo (4.43) como u = u1 + u2 basta con probar que u1
cumple (4.42) con f = 0. En efecto, si g es suficientemente regular u2 = u1t
cumple u2 = 0 y u2 = g, u2t = 0 en t = 0.
Ahora,
∫
t
u1 =
g(x + ctw) dSw ,
4π |w|=1
luego,
∆u1 =
t
4π
mientras,
u1t =
=
=
=
u1
t
u1
t
u1
t
u1
t
+
+
+
+
∫
|w|=1
∆g(x + ctw) dSw ,
∫
t
c∇g(x + ctw)w dSw
4π |w|=1
∫
1
∇g(x + ctw)w dSct
4πct Sct (x)
∫
1
∆g(y) dy
4πct Bct (x)
1
I(t),
4πct
con I(t) =
∫
Bct (x)
u1tt
129
∆g(y) dy. Asímismo,
1
=
t
(
u1
1
+
I
t
4πct
)
−
u1
1
1 ′
1 ′
−
I+
I =
I.
t2
4πct2
4πct
4πct
Sin embargo,
′
(∫
ct
(∫
)
∆g dSρ
I =
0
Sρ (x)
)′
dρ
∫
=c
∆g dSct
Sct (x)
∫
= c(ct)2
|w|=1
∆g(x + ctw) dSw .
Luego u1tt = ∆u1 . Por otra parte está claro que u1 satisface las condiciones
iniciales.
Ejercicio 4.11. Sea f continua en Rn . Prúebese que:
(∫
) ∫
d
f (x) dx =
f (x) dSx .
dr
|x−x0 |≤r
|x−x0 |=r
Principio de Huygens
La identidad de Kichhoff (4.43) encierra una interesante propiedad de la
propagación de perturbaciones en el espacio. A tal efecto, supongamos que f y
g tienen soporte compacto en (4.42) y sea K = sop f ∪ sop g.
Tomemos un punto del espacio x0 inicialmente en reposo, x0 ∈
/ K. Podemos
definir:
d := dist (x0 , K)
D := sup{|x0 − y| : y ∈ K}.
De la fórmula (4.43) se sigue que la solución u(x0 , t) = 0 para t < t0 := d/c, es
decir la perturbación emplea d/c unidades de tiempo en alcanzar x0 , mientras de
nuevo u(x0 , t) = 0 para t > D/c, es decir el medio “recupera” el reposo al cabo
de un tiempo finito. Este efecto se conoce como principio fuerte de Huygens. Una
lectura posible: en el espacio podemos distinguir los sonidos porque las diversas
señales acústicas tras perturbar un punto se dejan unas a otras el medio “limpio”
de excitaciones. Alternativamente: la estela de las ondas desaparece en tiempo
finito.
Por otro lado, el conjunto:
Γt = {x ∈ R3 : dist (x, K) = ct},
es claramente la “interfaz” que va señalando en el tiempo la frontera entre la
zona perturbada y la zona sin perturbar. Se llama a Γt el frente de ondas. Una
reinterpretación de la fórmula de Kirchhoff revela que cada punto del espacio
alcanzado por el frente de ondas se convierte a su vez en un emisor con las
mismas características que los datos iniciales.
130
4.7.4.
Propagación de ondas en el plano n = 2
Si en la fórmula de Kirchhoff (4.43) los datos inciales f y g no dependen de
x3 , por ejemplo, entonces la solución u tampoco. Se resuelve así el problema de
valor inicial en el plano:

2

(x1 , x2 ) ∈ R2 , t > 0
utt = c ∆u
(4.44)
u(x1 , x2 , 0) = f (x1 , x2 )
(x1 , x2 ) ∈ R2


2
ut (x1 , x2 , 0) = g(x1 , x2 )
(x1 , x2 ) ∈ R ,
en los siguientes términos. Ponemos x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) y f˜(x1 , x2 , x3 ) =
f (x) y se tiene:
∫
∫
2ct
1
˜(y, y3 ) dS(y,y ) = 1
√
f
f (y) dy
3
4πc2 t Sct ((x,x3 ))
4πc2 t Bct (x)⊂R2 c2 t2 − |y − x|2
∫
1
f (y)
√
=
dy.
2πc Bct (x)⊂R2 c2 t2 − |y − x|2
Por tanto, si f ∈ C 3 (R2 ), g ∈ C 2 (R3 ) podemos concluir que la solución del
problema (6) es:
1 ∂
u(x1 , x2 , t) =
2πc ∂t
(∫
)
f (y)
Bct (x)
√
dy +
c2 t2 − |y − x|2
1
2πc
∫
Bct (x)
g(y)
√
dy. (4.45)
2
2
c t − |y − x|2
Observación 4.16. El principio de Huygens falla en el plano. En efecto, supongamos que g tiene soporte compacto K en el segundo sumando ug de (4.45).
Para t ≥ t0 con t0 el máximo teniendo K ⊂ Bct (x) resulta que:
∫
1
g(y)
√
ug (x, t) =
dy → 0,
2
2
2πc K c t − |y − x|2
cuando t → +∞. Más aún:
ug (x, t) ∼
1
2πc2 t
∫
g(y) dy
t → +∞.
K
Análogamente,
1
uf (x, t) ∼ −
2πc2 t2
∫
f (y) dy
t → +∞.
K
En conclusión cuando una perturbación inicial localizada afecta a un punto P0
(después de que lo alcance el frente de ondas Γt ), dicha perturbación se mantiene
típicamente para todos los valores futuros del tiempo. Sin embargo, la amplitud
de la perturbación tiende a cero cuando t → +∞.
4.8. EL CASO N -DIMENSIONAL
131
Transformaciones de Lorentz
Son las transformaciones lineales T ∈ L(Rn × R) que dejan invariante el
operador de ondas c 4 . Como es natural, tales transformaciones forman necesariamente un grupo.
Si ponemos c = 1 para simplificar, y escribimos
u = ux1 x1 − ux2 x2 − · · · − uxn xn ,
la forma característica es
σ(ξ, η) = ξ1 η1 − ξ2 η2 − · · · − ξn ηn .
Las ecuaciones de T serán:
ξi =
∑
fij xj ,
j
donde:
2
−
1 = f11
n
∑
2
f1j
j=2
0 = f11 fl1 −
−δkl = fk1 fl1 −
n
∑
j=2
n
∑
f1j flj
fkj flj
2 ≤ k, l ≤ n.
j=2
Un caso particular de tales transformaciones es:

±1 0
...0
 0 f22 . . . f2n

(fij ) =  .
..
..
 ..
.
.
0
fn2
...



..  ,
. 
fnn
donde (fkl )2≤k,l≤n es ortogonal. Una discusión completa de todas las transformaciones de Lorentz se relega a la sección de ejercicios (Ejercicio 29).
4.8.
El caso n-dimensional
4.8.1.
Dimensiones impares
Ya sabemos que la media M (r, t) = Mu (x, r, t) de una solución clásica de la
ecuación de ondas satisface la ecuación de Euler-Darboux-Poisson:
Mtt = c2 {Mrr −
4 cf.
[12].
n−1
Mr }.
r
132
Para φ = φ(r) consideramos el operador:
(
Lk (∂r )φ =
1 ∂
r ∂r
)k−1
k ∈ N.
(r2k−1 φ(r))
Se tienen entonces las relaciones (Ejercicio 33, [9]):
∂2
Lk (∂r )φ =
∂r2
(
Lk (∂r )φ =
1 ∂
r ∂r
k−1
∑
)k
(r2k
∂φ
(r)),
∂r
cj rj+1 φ(j) ,
j=0
donde
c0 = (2k − 1)!!
y además, Lk (∂r )φ es impar si φ es par.
La observación importante es que cuando la dimensión n es impar, n = 2k+1,
entonces v(r, t) = Lk (∂r )M (r, t) cumple la ecuación de ondas unidimensional
(pondremos c = 1 para simplificar):
(
(Lk M )rr =
(
=
1 ∂
r ∂r
1 ∂
r ∂r
)k
(r2k Mr )
)k−1 (
)
2k
2k−1
r
{Mrr +
Mr }
r
= (Lk M )tt .
Por tanto, si u es la solución del problema
{
utt = ∆u
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x)
(x, t) ∈ Rn × R
x ∈ Rn ,
(4.46)
entonces,
1
1
1
Lk M (r, t) = ψ(r + t) + ψ(r − t) +
2
2
2
∫
r+t
ϕ(s) ds,
(4.47)
r−t
con ψ = Lk Mf , ϕ = Lk Mg . Diviendo en (4.47) por r y haciendo tender r → 0:
c0 u(x, t) = ψ ′ (t) + ϕ(t),
es decir,
u(x, t) =
1 ∂
c0 ∂t
(
1 ∂
t ∂t
)k−1
t2k−1 Mf (x, t) +
1
c0
(
1 ∂
t ∂t
)k−1
t2k−1 Mg (x, t).
4.8. EL CASO N -DIMENSIONAL
133
En otras palabras, si n = 2̇ + 1, n ≥ 3,
u(x, t) =
1
∂
(n − 2)!! ∂t
(
1 ∂
t ∂t
) n−3
2
tn−2 Mf (x, t)
1
+
(n − 2)!!
(
1 ∂
t ∂t
)n − 3
2
tn−2 Mg (x, t). (4.48)
La validez de (4.48) requiere que f sea de clase C (n−1)/2 y g de clase C (n−3)/2 .
Tenemos, por otro lado, el siguiente resultado.
n−3
Teorema 4.20. Sean n = 2̇ + 1, n0 = máx{2,
}, f ∈ C n0 +1 (Rn ), g ∈
2
C n0 (Rn ). Entonces u = u(x, t) definida por (4.48) es la solución de (4.46).
Demostración. Poniendo n = 2k + 1,
u1 = Lk (∂t )Mg (x, t) =
1
c0
(
1 ∂
t ∂t
)k−1
t2k−1 Mg (x, t),
basta con demostrar que u1 define la solución de la ecuación de ondas con u = 0
y ut = g en t = 0.
Como Mg (x, t) es par en t se tiene entonces que u1 (x, 0) = 0. La validez de
la segunda condición inicial es inmediata.
Por otro lado:
)
(
)k−1 ( 2k−1 ∫
1 1 ∂
t
∆u1 =
∆g(x + tw) dSw ,
c0 t ∂t
ωn |w|=1
mientras,
u1tt
1
=
c0
=
1
c0
=
1
c0
=
1
c0
)k (
(
))
∫
1
t
g(x + tw) dSw
ωn |w|=1
t
)
(
)k−1 (
)(
∫
1 ∂
1 ∂
1
2k
∇g(x + tw)wt dSw
t ∂t
t ∂t
ωn |w|=1
)
(
)k−1 (
)(
∫
1 ∂
1 ∂
1
∆g(y) dy
t ∂t
t ∂t
ωn Bt (x)
)
(
)k−1 ( 2k−1 ∫
1 ∂
t
∆g(x + tw) dSw
t ∂t
ωn |w|=1
(
1 ∂
t ∂t
2k
= ∆u1 .
Se he empleado que:
(∫
)
(∫
∫
t
∆g(y) dy =
ρ2k
Bt (x)
|w|=1
0
∫
t
=t
)
2k
|w|=1
∆g(x + ρw) dSw dρ
∆g(x + tw) dSw .
t
134
Esto concluye la demostración.
4.8.2.
Método del descenso de Hadamard
Escribiendo x′ = (x1 , . . . , xn−1 ) supongamos que u = u(x′ , xn , t) resuelve:
{
utt = c2 ∆x′ u + c2 uxn xn
(4.49)
u(x′ , xn , 0) = f (x′ ), ut (x′ , xn , 0) = g(x′ ).
Entonces u no depende de xn pues para todo a ∈ R, ua (x, t) = u(x′ , xn + a, t)
es también solución de (4.49). Por tanto u = ua que implica uxn = 0.
Supongamos ahora que n = 2̇. Entonces n + 1 = 2̇ + 1. Si g = g(x), x ∈ Rn ,
es suficientemente regular, definimos ḡ(x, xn+1 ) = g(x).
Ponemos,
(
) n−2
2
1
1 ∂
ū1 (x, xn+1 , t) =
(tn−1 Mḡ (x, xn+1 , t)).
(n − 1)!! t ∂t
Tendremos que ū1 no depende de xn+1 y


utt = ∆u
u(x, 0) = 0


ut (x, 0) = g(x)
u1 (x, t) = ū1 (x, 0, t) es solución de:
x ∈ Rn t ∈ R
x ∈ Rn
x ∈ Rn ,
donde ahora n es par. El paso de ū1 a u1 se llama método del descenso. Para la
forma explícita de u1 observamos:
ū1 (x, xn+1 , t) =
(
)
(
) n−2
∫
2
tn−1
1
1 ∂
ḡ(x + tw, twn+1 ) dS(w,wn+1 )
(n − 1)!! t ∂t
ωn+1 |(w,wn+1 )|=1
(
)
(
) n−2
∫
2
1 ∂
tn−1
1
g(x + tw) dS(w,wn+1 )
=
(n − 1)!! t ∂t
ωn+1 |(w,wn+1 )|=1
(
)
(
) n−2
∫
2
1 ∂
2tn−1
g(x + ty)
1
√
dy
=
(n − 1)!! t ∂t
ωn+1 |y|≤1 1 − |y|2
(
)
(
) n−2
∫
2
2
1 ∂
g(z)
n−1
√
=
t
dy ,
ωn+1 (n − 1)!! t ∂t
t2 − |z − x|2
Bt (x)
pues,
dy
dS(w,wn+1 ) = √
y ∈ Rn |y| ≤ 1.
2
1 − |y|
Por tanto la solución de:


x ∈ Rn t ∈ R
utt = ∆u
u(x, 0) = f (x) x ∈ Rn


ut (x, 0) = g(x) x ∈ Rn ,
4.9. EJERCICIOS
135
es, cuando n es par,
(
)
) n−2
∫
2
g(z)
1 ∂
n−1
√
t
dy
t ∂t
t2 − |z − x|2
Bt (x)
(
)
(
) n−2
∫
2
2
∂ 1 ∂
f (z)
n−1
√
t
dy ,
ωn+1 (n − 1)!! ∂t t ∂t
t2 − |z − x|2
Bt (x)
2
u(x, t) =
ωn+1 (n − 1)!!
(
supuesto que g ∈ C (n+2)/2 (Rn ) y f ∈ C (n+4)/2 (Rn ).
4.9.
Ejercicios
1. (Ecuaciones hiperbólicas). Se considera la ecuación de segundo orden lineal:
auxx + 2buxy + cuyy = 0,
donde a, b, c son constates que satisfacen b2 − ac > 0, a ̸= 0. Hágase un
cambio de variables:
ξ = ξ(x, y)
η = η(x, y),
para obtener una nueva ecuación en las variables ξ, η de la forma:
âuξξ + 2b̂uξη + ĉuηη ,
determinando los nuevos coeficientes: â, b̂, ĉ. Pruébese que existen dos
valores αi , i = 1, 2 tales que haciendo ξ = x + α1 y, η = x + α2 y se llega a
una ecuación en donde â = ĉ = 0, es decir, a la ecuación:
uξη = 0.
2. Pruébese que toda solución u de clase C 2 en R2 de uxy = 0 se puede
escribir en la forma u = F (x) + G(y).
3. Expresar las siguientes ecuaciones en coordenadas carcterísticas:
uxx + 2uxy − 3uyy + 2ux + 6uy = 0
uxx + 4uxy + 5uyy + ux + 2uy = 0
uxx − 2uxy + uyy + αux + βuy + cu = 0
uxx − 2 cos xuxy − (3 + sen2 x)uyy − yuy = 0
tag2 x uxx − 2ytag xuxy + y 2 uyy + tag3 xux = 0
yuxx + uyy = 0
(ecuación de Tricomi)
x uxx + 2xyuxy − 3y 2 uyy − 2xux + 4yuy + 16x4 u = 0
2
(1 + x2 )uxx + (1 + y 2 )uyy + xux + yuy = 0
sen2 xuxx − 2y sen xuxy + y 2 uyy = 0
uxx + yuyy + αuy = 0.
136
4. Se considera la ecuación de ondas de coeficientes variables
utt − c2 (x)uxx = 0,
donde c = c(x) es positiva y de clase C 1 . Escríbase en coordenadas caracaterísticas.
∫x
Indicación. Es conveniente introducir la función Γ(x) = 0 1/c(s) ds.
En ese casos una posible elección de las coordenadas características es
ξ = Γ(x) + t, η = Γ(x) − t.
5. Hallar la forma general de las soluciones de las ecuaciones siguientes:
uxx − 2 sen xuxy − cos2 xuyy − cos xuy = 0
x2 uxx − 2xyuxy + y 2 uyy + xux + yuy = 0
( 2 )
∂
2
∂x x ux = x uyy
(x − y)uxy − ux + uy = 0
x2 uxx + 2xyuxy + y 2 uyy + 2yzuyz + z 2 uzz + 2zxuzx = 0
utt = a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy , con aij > 0, a11 a22 = a212 .
uxxxx − 2uxxyy + uyyyy = 0.
6. Entre todas las ecuaciones lineales y homogéneas de segundo orden y coeficientes constantes,
auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + f u = 0,
prúebese que las únicas invariantes frente a rotaciones son las de la forma:
â∆u + fû = 0.
7. Redúzcase la ecuación elíptica:
uxx + 3uyy − 2ux + 24uy + 5u = 0,
a la forma vxx +vyy +cv = 0 mediante un cambio de la forma: u = veαx+βy
y después un cambio de escala: y ′ = γy.
8. Se considera la ecuación de segundo orden:
(Lu =)a11 uxx − 2a12 uxy + a22 uyy + b1 ux + b2 uy = 0,
donde d = a212 −a11 a22 > 0. Se dice que u = u(x, y) es una solución funcionalmente invariante de la ecuación si F (u) también es solución, cualquiera
que sea F , F ∈ C 2 (R). Estúdiense las condiciones necesarias y suficientes
para la existencia de soluciones funcionalmente invariantes, aprovechando
los resultados para formular una solución general de dicha ecuación.
4.9. EJERCICIOS
137
9. Sea L como en el Ejercicio 8. Demuéstrese que si,
a11 b22 + 2a12 b1 b2 + a22 b21 + 4dc = 0,
entonces la ecuación lineal de segundo orden:
L(u) + cu = 0,
admite la solución general:
u(x, y) = e(kx+my)/2d [ϕ1 (α1 x − y) + ϕ2 (α2 x − y)] ;
donde ϕ1 , ϕ2 son funciones arbitrarias, k = a22 b1 − a12 b2 , m = a11 b2 −
a12 b1 , y α1 , α2 son las raíces de la ecuación:
a11 α2 − 2a12 α + a22 = 0.
10. Hállese la solución de los problemas de Cauchy:
utt = c2 uxx ,
u(x, 0) = f (x),
ut (x, 0) = g(x),
para las parejas de datos iniciales: a) (f, g) = (ex , sen x), b) (f, g) =
(log(1 + x2 ), 4 + x).
11. En el problema
utt = c2 uxx ,
u(x, 0) = f (x),
ut (x, 0) = g(x),
se toma f = 0, g = φ, donde φ(x) = 1 si −a ≤ x ≤ a, φ(x) = 0 en
otro caso. Dése una descripción de u(·, t) para los valores de t siguientes:
a a 3a 2a 5a
t = 2c
, c , 2c , c , c .
12. Hállese la solución de los problemas de Cauchy:
utt = c2 uxx + F (x, t),
u(x, 0) = f (x),
ut (x, 0) = g(x),
para los siguientes juegos de funciones: a) (f, g, F ) = (0, 0, xt), b) (f, g, F ) =
(0, 0, eax ), c) (f, g, F ) = (sen x, 1 + x, cos x).
13. Dedúzcase la solución general del problema
u(x, 0) = f (x),
ut (x, 0) = g(x),
en las condiciones de regularidad estándar: f ∈ C 2 , g ∈ C 1 , F ∈ C 1 , en
x ∈ R, t ≥ 0, usando las coordenadas características ξ = x + ct, η = x − ct.
14. Dedúzcase la existencia de soluciones para los problemas de Dirichlet y
Neumann en la semirrecta:
utt = c2 uxx ,
x > 0, t ≥ 0
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x),
u(0, t) = α(t),
x≥0
138
y
utt = c2 uxx , x > 0, t ≥ 0
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x),
ux (0, t) = β(t).
x≥0
Para ello supóngase que f, g, α, β tienen la regularidad necesaria y cumplen adecuadas condiciones de compatibilidad. Demuéstrese también la
unicidad de soluciones del problema.
15. Hállese la solución de utt = 4uxx en 0 < x < ∞, u(0, t) = 0, u(x, 0) = 1,
ut (x, 0) = 0. Localícense las singularidades de la solución.
16. Hállese la solución de utt = c2 uxx , 0 < x < ∞, donde u(x, 0) = 0,
ut (x, 0) = V , y donde:
ut (0, t) + aux (0, t) = 0,
siendo a, V constantes positivas, a > c.
17. Para la solución u(x, t) de utt = uxx en 0 < x < 1, u(x, 0) = x2 (1 − x),
ut (x, 0) = (1 − x)2 , u(0, t) = u(1, t) = 0, t ≥ 0, hállense u( 23 , 2), u( 14 , 27 ).
18. Hállese la solución de utt = 9uxx en 0 < x <
0, ux (0, t) = 0, u( π2 , t) = 0.
π
2,
u(x, 0) = cos x, ut (x, 0) =
19. Resuélvase utt = c2 uxx en 0 < x < l, u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = x, u(0, t) =
u(l, t) = 0.
20. Cualquier paralelogramo ordenado A, B, C, D con sus lados paralelos a las
líneas carcaterísticas ξ = c1 , η = c2 se llamará característico.
Sea Ω ⊂ R2 un abierto convexo y sea u ∈ C 2 (Ω). Pruébese la siguiente
propiedad: “u(x, t) es una solución de la ecuación de las ondas utt = c2 uxx
en Ω sí y solamente sí u(A) + u(C) = u(B) + u(D) cualquiera que sea el
paralelogramo característico A, B, C, D contenido en Ω”.
Utilícese la propiedad precedente para describir un procedimiento geométrico que permita hallar la solución del problema:
utt = c2 uxx , 0 < x < ∞, t ≥ 0,
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x),
u(0, t) = α(t),
t ≥ 0,
bajo condiciones adecuadas de regularidad, así como de compatibilidad
para los datos f, g, α. Procédase de la misma manera con el problema de
Dirichlet no homogéneo:
utt = c2 uxx ,
0 < x < l, t ≥ 0,
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x), 0 < x < l
u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t ≥ 0,
4.9. EJERCICIOS
139
nuevamente, bajo las condiciones de regularidad y compatibilidad requeridas a los datos f, g, α, β.
21. Ondas Esféricas. Una onda esférica u(r, t) es una solución de la ecuación
de ondas tridimensional utt = c2 ∆u que sólo depende de la distancia al
origen r y del tiempo t. Pruébese que:
)
(
2
2
utt = c urr + ur .
r
Efectúese el cambio de variables v = ru para obtener la ecuación de ondas
unidimensional vtt = c2 vrr . Para funciones φ(r) ∈ C 2 , ϕ(r) ∈ C 1 , ámbas
pares, hállese la solución del problema:
utt = c2 ∆u,
x ∈ R3 , t ≥ 0,
u(x, 0) = φ(r),
ut (x, 0) = ϕ(r).
22. Considérese el modelo de la cuerda vibrante en las condiciones del Ejercicio 22. Los desplazamientos u = u(x, t) de la cuerda, sometida a las
condiciones de contorno u(0, t) = u(l, t) = 0 satisfacen:
t > 0,
0 < x < l,
donde c2 = T0 /ρ(x), T0 es la tensión en equilibrio, ρ ∈ C([0, l]), ρ > 0
la densidad. Por simplicidad vamos a suponer que u es C 2 en t ≥ 0,
0 ≤ x ≤ l. Las energías cinética K(t) y potencial P (t) en el instante t se
definen respectivamente como:
∫
∫
1 l 2
T0 l 2
K=
ρut dx P =
u dx,
2 0
2 0 x
mientras que la energía total se define como E(t) = K(t) + P (t). Prúebese
que:
∫ t∫ l
∫
∫
1 l 2
T0 l ′ 2
ρF dx dt.
E(t) =
ρg dx +
f dx +
2 0
2 0
0
0
En el caso de la membrana vibrante, si suponemos que Ω = [a, b] × [c, d]
(un rectángulo), que la densidad ρ ∈ C(Ω̄), ρ > 0 y que, por tanto, el
movimiento u = u(x, y, t) satisface el problema:

T0



 utt = ρ(x, y) ∆u + F (x, y, t), (x, y) ∈ Ω, t > 0
u(x, y, 0) = f (x, y), ut (x, y, 0) = g(x, y)




u(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0,
que por simplicidad supondremos C 2 en Ω̄×[0, +∞), dénse entonces definiciones naturales para K y P (la energía total será obviamente E = K +P )
que lleven al valor explícito de E(t) en términos de F .
140
23. Prúebese la unicidad de soluciones clásicas u ∈ C 2 ([0, l] × [0, +∞)) del
problema de contorno y valor inicial,

2
0 < x < l, t > 0

 utt = c (x)uxx + F (x, t),
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x),
0<x<l


− ux (0, t) + bu(0, t) = α(t), ux (l, t) + bu(l, t) = β(t),
t > 0,
en donde f ∈ C 2 [0, l], g ∈ C 1 [0, l], α, β ∈ C 2 [0, +∞), F ∈ C([0, l] ×
T0
[0, +∞)) y c2 (x) = ρ(x)
, con T0 > 0, ρ ∈ C[0, l], ρ(x) > 0. Utilícese para
ello el principio de conservación de la energía.
Si, para t̄ > 0, x̄ ∈ [0, l], P = (x̄, t̄) estúdiese el dominio T (P ) del plano
en el que F = 0 en T (P ) implica, si f = g = 0 y α = β = 0 para t ≤ t̄,
que u(P ) = 0, junto con u = 0 en T (P ).
24. (Método de Duhamel). Tratamos aquí de resolver, por un tercer camino
alternativo, el problema,
utt = c2 uxx + F (x, t)
u(x, 0) = f (x)
(4.50)
ut (x, 0) = g(x).
Como sabemos basta con calcular la solución que corresponde a f = g = 0.
En este caso procedamos como sigue. Suponemos que F y ∂F/∂u son
continuas en t ≥ 0 y, para cada τ ≥ 0 llamamos w(x, t, τ ) a la solución
(única) del problema:
utt = c2 uxx
u(x, τ ) = 0
ut (x, τ ) = F (x, τ ).
Prúebese entonces que
∫
u(x, t) =
t
w(x, t, τ ) dτ,
0
es la solución de (4.50) para f = g = 0 (obsérvese que w se puede hallar
explícitamente).
25. Extender el método de Duhamel a varias dimensiones. Para ello supóngase
que el PVI:
utt = c2 ∆u + F (x, t)
x ∈ Rn , t > 0
(4.51)
u(x, 0) = f (x)
x ∈ Rn
ut (x, 0) = g(x)
x ∈ Rn .
tiene la propiedad de unicidad de soluciones, mientras que admite una
solución siempre que F = 0 y f y g sean suficientemente regulares 5 (ver
5 Cuando n ≥ 2, f ∈ C 2 , g ∈ C 1 no es la regularidad suficiente para tener soluciones
clásicas. Ver [11], Part. Diff. Equs. 4a Edición.
4.9. EJERCICIOS
141
Ejercicios 36 y 37 del presente capítulo). Siguiendo la idea del Ejercicio 24
hállese una expresión para la solución de (4.51) supuesto que F es continua
y de clase C 2 en x ∈ Rn .
26. Consideremos el PVI semilineal,
utt = c2 uxx + F (x, t, u, ux , ut )
u(x, 0) = f (x)
ut (x, 0) = g(x)
que escrito en coordenadas características ξ = x − ct, η = x + ct es
1
F (ξ, η, u, uξ , uη )
4c2
u(ξ, ξ) = f (ξ)
uξη = −
(4.52)
uξ (ξ, ξ) − uη (ξ, ξ) = c−1 g(ξ).
Introduciendo (u, v, w) = (u, uξ , uη ) pruébese que (4.52) es equivalente al
sistema de primer orden,
uη = w
1
F (ξ, η, u, v, w)
4c2
1
wξ = − 2 F (ξ, η, u, v, w),
4c
vη = −
junto con las condiciones iniciales u|B = f , v|B =
1
1
′
2 (f − c g), siendo B la primera bisectriz ξ = η.
(4.53)
1
′
2 (f
+ 1c g), w|B =
Pruébese también que toda solución clásica de (4.53) satisface la identidad
de punto fijo,
∫
u = f (ξ) −
ξ
w(ξ, s) ds
η
v=
1 ′
1
1
(f (ξ) + g(ξ)) + 2
2
c
4c
1
1
1
w = (f ′ (η) − g(η)) − 2
2
c
4c
∫
ξ
F (ξ, s, u, v, w) ds
(4.54)
η
∫
ξ
F (s, η, u, v, w) ds.
η
Si, en coordenadas ξ, η, Qδ = [x0 − δ, x0 + δ] × [x0 − δ, x0 + δ] para x0 fijado
y δ > 0, utilícese (4.54) para construir un operador T en X = C(Qδ , R3 )
cuyos puntos fijos den las soluciones de (4.53). Pruébese que si F es de
clase C 1 en R5 puede encontrarse una bola en X (δ pequeño) en la que
el problema tiene una única solución (reprodúzcase el desarrollo análogo
presentado en el capítulo).
142
27. Consideremos la solución del u = u(x, t) del problema de Dirichlet
utt = c2 uxx
u(x, 0) = f (x)
ut (x, 0) = g(x)
0 < x < l, t > 0
0≤x≤l
0≤x≤l
u(0, t) = u(l, t) = 0
t > 0,
donde f , g son suficientemente regulares y satisfacen las correspondientes
condiciones de compatibilidad. Prúebese que u es periódica en t de periodo
2l/c. ¿Qué sucede en el caso del problema de Neumann?
28. En base a las ideas de extensión y simetría constrúyase la solución del
problema “mixto”
utt = c2 uxx
0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f (x)
0≤x≤l
ut (x, 0) = g(x)
0≤x≤l
u(0, t) = ux (l, t) = 0
t > 0,
estableciendo las condiciones de regularidad y compatibilidad que deben
satisfacer los datos f y g del problema.
29. Se considera la ecuación de ondas n-dimensional (c = 1),
ux1 x1 − ux2 x2 − · · · uxn+1 xn+1 = 0 .
Estúdiese la forma de todas las transformaciones lineales que la dejan
invariante, probando que forman un grupo (transformaciones de Lorentz,
ver [12]).
En el caso particular n = 1,
ux1 x1 − ux2 x2 = 0,
hállense explícitamente todas esas transformaciones.
Indicación. En el último caso, efectúese el giro preliminar ξ =
η = √12 (x + y), para trabajar con la ecuación 2uξη = 0.
30. Prúebese que la solución del problema de Cauchy (n = 3),
utt = c2 ∆u
u(x, 0) = f (x)
x ∈ R2 , t ∈ R
ut (x, 0) = g(x)
con f ∈ C 3 , g ∈ C 2 es
u = tMg (x, ct) +
∂
(tMf (x, ct)),
∂t
√1 (x−y),
2
4.9. EJERCICIOS
143
donde Mh (x, r) es el promedio de h sobre la esfera {y : |y − x| = r}:
∫
1
Mh (x, r) =
h(y) dSy ,
ωn rn−1 |y−x|=r
ωn el área de la esfera unidad en Rn .
31. Aplíquese el método del descenso de Hadamard para probar que la solución
del problema de Cauchy bidimensional,
x ∈ R2 , t ∈ R
utt = c2 ∆u
u(x, 0) = f (x)
ut (x, 0) = g(x)
es
1
u=
2πc
∫
g(y)
∂
√
+
2
2
2
∂t
c t − |x − y|
(
1
2πc
∫
f (y)
)
√
.
c2 t2 − |x − y|2
(4.55)
Tomar como punto de partida la solución general del problema de Cauchy
en el caso tridimensional.
Bct (x)
Bct (x)
Procediendo de nuevo con el método del descenso, hállese la solución del
problema de Cauchy unidimesional a partir de la del bidimensional (4.55).
32. Supongamos que u(x, t) satisface la ecuación de ondas n-dimensional,
utt = c2 ∆u .
Prúebese que su media esférica Mu (x, r, t) (abreviada M (r, t)) cumple, con
respecto a la variables (r, t), la ecuación de Euler-Darboux-Poisson,
{
}
n−1
Mtt = c2 Mrr +
Mr .
r
33. Sea φ = φ(r) una función regular de r, y consideremos el operador diferencial
(
)k−1
( 2k−1
)
1 ∂
Lk (∂r )φ =
r
φ(r) ,
k ∈ N.
r ∂r
Pruébese la relación
(
)k
( 2k ∂φ )
∂2
1 ∂
L
(∂
)φ
=
r
(r) .
k
r
∂r2
r ∂r
∂r
Análogamente, establézcase que,
Lk (∂r )φ =
k−1
∑
cj rj+1 φ(j) ,
j=0
con los cj constantes y c0 = (2k − 1)!!.
Finalmente, pruébese que si φ(r) es par, entonces Lk (∂r )φ(r) es una función impar de r.
144
34. Sea M = M (r, t) una solución clásica de la ecuación de Euler-DarbouxPoisson. Defínase (supuesta M suficientemente regular)
v(r, t) = Lk (∂r )M (r, t),
donde Lk (∂r ) es el operador diferencial del Ejercicio 33. Demuéstrese que
v = v(r, t) es una solución de la ecuación de ondas unidimesional,
vtt = c2 vrr ,
siempre que n = 2k + 1 (compárese con el caso tridimensional).
35. Sea u = u(x, t) ∈ C 2 (Rn × R) la solución del problema de Cauchy,
utt = c2 ∆u
x ∈ Rn , t ∈ R
(4.56)
u(x, 0) = f (x)
ut (x, 0) = g(x) ,
donde n es un número impar, n = 2k + 1. Sean asimismo M (r, t) =
Mu (x, r, t) mientras v(r, t) = Lk (∂r )M (r, t), φ(r) = Lk (∂r )Mf (x, r),
ϕ(r) = Lk (∂r )Mg (x, r),
donde Lk (∂r ) es el operador diferencial del Ejercicio 33. Prúebese que,
v=
}
1{
1
φ(ct + r) − φ(ct − r) +
2
2c
∫
ct+r
ϕ(s) ds .
(4.57)
ct−r
(Recuérdese que φ y ϕ son, en este caso, impares). Dedúzcase de (4.57)
que la solución clásica de (4.56) satisface
1
1
∂
(Lk (∂t )(Mg (x, ct))) +
(Lk (∂t )(Mf (x, ct)))
(n − 2)!!
(n − 2)!! ∂t
(
)
∫
( 1 ∂ )(n−3)/2 tn−2
1
=
g(x + cty) dSy
(n − 2)!! t ∂t
ωn |y|=1
{
(
)}
∫
1
∂ ( 1 ∂ )(n−3)/2 tn−2
+
f (x + cty) dSy
(n − 2)!! ∂t
t ∂t
ωn |y|=1
(4.58)
Nota. En (4.58) las actuaciones del operador Lk (∂t ) se entienden sobre
las funciones compuestas de t, Mg (x, ct) y Mf (x, ct). Asimismo en (4.58)
se hace necesario suponer que f y g son suficientemente regulares: f ∈
C (n+3)/2 , g ∈ C (n+1)/2 .
u(x, t) =
36. Supongamos que f ∈ C (n+3)/2 , g ∈ C (n+1)/2 , con n impar (como en el
Ejercicio 35). Pruébese entonces que la u(x, t) es efectivamente solución
del problema de Cauchy n-dimensional (4.56).
4.9. EJERCICIOS
145
37. Aplíquese el método del descenso para establecer, partiendo de (4.58), que
si n = 2̇ la solución del problema de Cauchy (4.56) adopta la forma,
(∫
)
( 1 ∂ )(n−2)/2
2
g(y)
√
u = n−1
dy+
c
ωn+1 (n − 1)!! t ∂t
c2 t2 − |x − y|2
Bct (x)
2
∂
n−1
c
ωn+1 (n − 1)!! ∂t
)
}
{
(∫
( 1 ∂ )(n−2)/2
f (y)
√
dy .
t ∂t
c2 t2 − |x − y|2
Bct (x)
Supóngase para ello que f ∈ C (n+4)/2 , g ∈ C (n+2)/2 .
38. (Ondas Planas). Consideremos que en el problema de Cauchy (4.56) los
datos iniciales f (x) y g(x) tienen la propiedad de que:
f (x) = F (w · x)
g(x) = G(w · x) ,
∑n
donde w ∈ Rn , |w| = 1, w · x =
i=1 wi xi . Pruébese entonces que la
solución del problema (4.56) tiene la forma siguiente:
u(x, t) =
1
1
(F (w · x + ct) + F (w · x − ct)) +
2
2c
∫
w·x+ct
g(s) ds .
w·x−ct
Nota. Toda función de la forma u(x, t) = U (w · x + δt) se denomina onda
plana con velocidad de propagación δ, vector número de onda w y fase
θ = w · x + δt.
146
Capítulo 5
La ecuación del calor
5.1.
Problema de valor inicial
Nos ocuparemos en primer lugar del estudio del problema de valor inicial:
{
ut = uxx
x∈R t>0
(5.1)
u(x, 0) = f (x)
x ∈ R.
Las consideraciones de similaridad que siguen llevan al candidato a solución
de (5.1).
Primeramente obsérvese que si u(x, t) resuelve,
ut = uxx ,
1
(5.2)
entonces,
v = u(±x + y, t + τ ),
es también solución cualesquiera que sean y, τ ∈ R.
Análogamente,
√
vλ = u( λx, λt)
λ > 0,
(5.3)
también es solución de (5.2) para todo λ > 0.
Si θ = θ(x) es la función de Heaviside, θ(x) = 1 para t ≥ 0, θ(x) = 0 para
t < 0 un problema básico que se puede plantear (descartando los casos triviales)
es,
{
ut = uxx
x∈R t>0
(5.4)
u(x, 0) = θ(x)
x ∈ R.
Como θ es invariante frente a cambios de escala, θ(x) = θ(λx), (5.3) y la hipotética unicidad de soluciones nos llevan a conjeturar,
√
∀λ > 0.
(5.5)
u( λx, λt) = u(x, t)
1 Más tarde se comprobará que salvo restricciones en la clase de las soluciones a tratar,
(5.1) carece de la propiedad de unicidad de soluciones clásicas.
147
148
CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR
Eligiendo λ = 1/t en (5.5) llegamos a
x
u(x, t) = u( √ , 1),
t
que nos sugiere buscar soluciones de (5.4) de la forma,
( )
x
u(x, t) = ϕ √ .
t
√
Poniendo ζ = x/ t llegamos fácilmente a:
ζ
ϕ′′ + ϕ′ = 0,
2
bajo las condiciones,
lı́m ϕ(ζ) = 0
lı́m ϕ(ζ) = 1.
ζ→−∞
ζ→+∞
Teniendo en cuenta el valor de la integral gaussiana
1
ϕ(ζ) = √
4π
∫
ζ
2
− s4
e
−∞
1
ds = √
π
∫
∫
e−s ds =
2
R
ζ/2
√
π obtenemos,
e−z dz,
2
−∞
alternativamente,
ϕ(ζ) =
1 1
ζ
+ Erf ( ),
2 2
2
donde Erf es la función error,
2
Erf (ζ) = √
π
∫
ζ
e−z dz.
2
0
Por tanto, un candidato a solución de (5.4) es,
1
1
uθ (x, t) = + √
2
π
∫
√
x/ 4t
e−z dz.
2
0
Propiedad 5.1. uθ ∈ C ∞ {t > 0}, resuelve (5.2) y
{
0 x<0
lı́m
u(x, t) =
t→0+,x→x0
1 x > 0.
Ejercicio 5.1. Pruébese que para cada τ ∈ [0, 1] existe una curva Γ en t > 0 tal
que:
lı́m
u = τ.
P →(0,0),P ∈Γ
5.1. PROBLEMA DE VALOR INICIAL
149
Sea ahora I = [a, b], χI su función característica. Es inmediato que una
solución de (1) para el dato f = cχI es,
u = c{uθ (b − x, t) + uθ (x − a, t) − 1},
es decir,
c
u= √
π
∫
√
(x−a)/ 4t
√
(x−b)/ 4t
e−z dz.
2
Por otra parte, si f ∈ C[a, b] y la consideramos extendida por 0 a R podemos
dar una aproximación poligonal de la forma,
fn (x) =
n
∑
f (ȳi )χIi (x),
i=1
con yi = a + ih, h = (b − a)/n, ȳi ∈ Ii . Una solución correspondiente a fn es
un (x, t) =
=
n
∑
i=1
n
∑
i=1
=
n
∑
√
i=1
f (ȳi )uχIi (x, t)
f (ȳi )
√
π
√
(x−yi−1 )/ 4t
∫
√
(x−yi )/ 4t
e−z dz
2
2
1
f (ȳi )e−(x−ỹi ) /4t h,
4πt
con ỹi ∈ Ii . Para t > 0 fijado, el teorema de Bliss nos dice que,
un ∼
n
∑
i=1
2
1
√
f (ȳi )e−(x−ȳi ) /4t h,
4πt
cuando n → ∞. Tomando límites en (5.6) cuando n → +∞ obtenemos:
∫
2
1
u(x, t) = √
e−(x−y) /4t f (y) dy.
4πt R
(5.6)
(5.7)
Nada más natural que proponer (5.7) –fórmula de Poisson– como candidato a
solución de (5.1). Por otro lado, y usando las ideas de separación de variables
(ejercicio unas líneas más abajo), si f ∈ C(Rn ) un posible candidato a solución
del problema n-dimensional:
{
ut = ∆u
x ∈ Rn t > 0
(5.8)
u(x, 0) = f (x)
x ∈ Rn ,
es,
1
u(x, t) = √
( 4πt)n
∫
R
e−|x−y|
2
/4t
f (y) dy.
(5.9)
150
Ejercicio 5.2. Si u1 (x1 , t), . . . , un (xn , t) son soluciones de (5.2) verfíquese que
u(x, t) = u1 (x1 , t) . . . un (xn , t)
es solución de ut = ∆u.
Conviene fijar las notaciones:
Cbk (Rn ) = {f ∈ C k (Rn ) : sup |∂ α f (x)| < ∞ |α| ≤ k},
C k,k/2 (Rn × R+ ) = {u ∈ C(Rn × R+ ) : ∂xα ∂tj u ∈ C(Rn × R+ ) |α| + 2j ≤ k}.
Teorema 5.2. Para f ∈ Cb (Rn ) representemos por
∫
2
1
u = Kf (x, t) = √
e−|x−y| /4t f (y) dy.
n
( 4πt) R
Entonces
1. u ∈ C ∞ (Rn × R+ ) ∩ C(Rn × [0, +∞)) define una solución clásica de (5.8),
es decir,
lı́m
u(x, t) = f (x0 ).
(x,t)→(x0 ,0)
2. (Conservación de la energía) Si además f ∈ L1 (Rn ) entonces:
∫
∫
u(x, t) dx =
f (x) dx
t > 0.
Rn
Rn
3. (Comparación con el dato inicial)
ı́nf f ≤ u(x, t) ≤ sup f
x ∈ Rn , t > 0.
k,k/2
4. Si f ∈ Cbk (Rn ) entonces u ∈ Cb
(Rn × [0, +∞)). Más aún, para |α| +
j
2j ≤ k, v = ∂xα ∂t u resuelve,
{
vt = ∆v
x ∈ Rn t > 0
v(x, 0) = ∂xα (∆j f (x))
x ∈ Rn .
Demostración. Nos limitaremos a las ideas principales. Denotemos por,
√
2
K(x, y, t) = ( 4πt)−n e−|x−y| /(4t)
al núcleo del calor. Fijemos (x0 , t0 ), t0 > 0 y ε > 0 pequeño. Para todo α, j se
tiene,
2
1
∂xα ∂tj K(x, y, t) = P ( , x − y)e−|x−y| /(4t)
t
donde P = P (τ, z) es un cierto polinomio,
∑
P (τ, z) =
ar,β τ r z β .
r,β
5.1. PROBLEMA DE VALOR INICIAL
De ahí,
|∂xα ∂tj K(x, y, t)| ≤
∑
|ar,β |
r,β
151
2
1
|x − y||β| e−|x−y| /(4t) .
r
t
Cuando |t − t0 |, |x − x0 | ≤ ε, tenemos,
∑
r,β
∑
∑ (|β|)
1
1
|β|
|ar,β |
(|x0 | + ε)|β|−s |y|s .
|ar,β | r |x − y| ≤
t
(t0 − ε)r
s
r,β
s≤|β|
Por otro lado, para todo ν < 1, ν ∼ 1, existe δ > 0 tal que,
|y − x|2 ≥ |y|2 − 2(|x0 | + ε)|y| ≥ ν|y|2 − δ
y ∈ Rn .
Por lo tanto,
e−|x−y|
2
/(4t)
≤ eδ/(4(t0 +ε)) e−ν|y|
2
/(4(t0 +ε))
.
De ahí, para un cierto polinomio de coeficientes positivos Q,
∫
∫
2
|∂xα ∂tj K(x, y, t)||f (y)| dy ≤
Q(|y|)e−ν|y| /(4(t0 +ε)) dy < ∞.
Rn
(5.10)
Rn
Esto prueba la regularidad de u. Los demás resultados se dejan como ejercicio
(cf. [11]).
Observación 5.1. Si f es medible y
2
|f (x)| ≤ M ea|x| ,
(5.11)
a > 0, se sigue de (5.10) que u = Kf define una solución clásica de (5.8) en
0 < t < 1/(4a) cumpliendo:
lı́m
(x,t)→(x0 ,0)
u(x, t) = f (x0 ),
(5.12)
en los puntos de continuidad x0 de f . Probémoslo. En efecto, |f (y)−f (x0 )| ≤ ε/2
para |y − x0 | ≤ δ. Así,
∫
2
1
ε
e−|y−x| /(4t) |f (y) − f (x0 )| dy,
|u(x, t) − f (x0 )| ≤ + √
2 ( 4πt)n |y−x|≥δ/2
siempre que |x − x0 | ≤ δ/2 (el primer sumando corresponde a una integración
2
sobre Bδ/2 (x)). Podemos ahora acotar |f (y) − f (x0 )| ≤ M1 ea|y| , con lo que la
segunda integral se estima en la forma,
∫
√
2
2
M
√ 1n
e(4ta−1)|z| +2a 4t|z|+|x| dz
√
( π) |ζ|≥δ/(2 4t)
2 ∫
2
1
M1 e(|x0 |+δ/2)
√ n
e− 2 |z| +|z| dz → 0,
≤
√
( π)
|ζ|≥δ/(2 4t)
cuando t → 0+.
152
Observación 5.2. Es inmediato comprobar que si en (5.8), f tiene soporte compacto, f ≥ 0, por ejemplo (f ̸= 0) entonces u = Kf (x, t) > 0, para todo x en
t > 0. Comprobaremos que lo mismo ocurre cuando tratamos con problemas de
contorno (donde hay unicidad). Esto significa que las perturbaciones iniciales se
propagan con velocidad infinita.
Ejercicio 5.3. Pruébese la estimación:
( n )n/2
1
|K(x, y, t)| ≤
.
2πe
|x − y|n
5.2.
El problema perturbado
Si consideramos el problema,
{
ut = ∆u + F (x, t)
u(x, 0) = 0
x ∈ Rn t > 0
x ∈ Rn ,
(5.13)
el método de variación de las constantes (ver Capítulo 4) nos lleva a que un
candidato a solución de (P) es:
∫ t
∫
2
1
u(x, t) =
e−|x−y| /(4(t−τ )) F (y, τ ) dydτ.
(5.14)
n
0 (4π(t − τ ))
Rn
Justificar que (5.14) es una solución clásica de (5.13) es más delicado y requiere
cierta regularidad de F en x. La demostración del siguiente teorema se omite
(cf. [16]).
Teorema 5.3. Sean F, ∂x F ∈ C(Rn × [0, ∞)) ∩ L∞ (Rn × [0, ∞)). Entonces
(5.14) define una solución del problema (5.13).
Observación 5.3. Sobre la existencia de las derivadas parciales hasta el orden
2 véase el Ejemplo 9.13 del Capítulo 9. La derivabilidad de F en x se puede
relajar a continuidad Hölderiana. Sin embargo, la solución puede no existir si F
es meramente continua (véase [16]).
5.3.
No unicidad de soluciones
Resulta sorprendente que el problema de valor inicial:
{
ut = uxx
x∈R t∈R
u(x, 0) = 0 x ∈ R.
(5.15)
admite una una solución no trivial. La construcción que describimos a continuación se debe a Tychonoff ([11]). Ver [27] para otra clase de ejemplos. Buscamos
una solución de


(x, t) ∈ R2
uxx = ut
u(0, t) = g(t) t ∈ R


ux (0, t) = 0
t ∈ R,
5.3. NO UNICIDAD DE SOLUCIONES
en la forma:
u=
∞
∑
153
gj (t)xj .
j=0
Una substitución formal en la ecuación lleva a:
u=
∞
∑
1
g (m) (t)x2m .
(2m)!
m=0
(5.16)
Para darle validez a (5.16) como solución elegimos:
{
exp{−t−α } t > 0
g(t) =
0
t ≤ 0,
con α > 1. La analiticidad de g en t > 0 y la fórmula de Cauchy prueban
(Ejercicio 11) la existencia de θ > 0 tal que:
|g (k) (t)| <
k! − 1 t−α
e 2
(θt)k
t > 0,
para todo k ≥ 0. En particular,
( ∞
)
∞
∑
∑ 1 ( |x|2 )m
|x|2
1 −α
1 −α
1
(m)
2m
|g (t)||x| ≤
e− 2 t ≤ e θt − 2 t , (5.17)
(2m)!
m!
θt
m=0
m=0
para t > 0. La estimación (5.17) dice que la serie en (5.16) converge uniformemente sobre compactos de t > 0 y que dicha serie converge uniformemente a
cero para x en compactos cuando t → 0+ (u es trivialmente 0 en t ≤ 0).
Apelando a los cálculos hechos en el Capítulo 3, la serie (5.16) puede ser
derivada término a término infinitas veces con respecto a x de forma que el
resultado converge uniformemente en (x, t) , para |x| ≤ M y todo t ∈ R. Eso se
debe a que:
∞
∑
|M |2
1 −α
1
|g (m) (t)||x|2m ≤ e θt − 2 t ≤ K < ∞,
(2m)!
m=0
para |x| ≤ M , t > 0. En efecto obtenemos la estimación uniforme de los coeficientes de la serie,
1
K
|g (m) (t)| ≤ 2m .
(2m)!
M
De aquí, las derivadas de la serie en x convergen uniformemente en (x, t) siempre
que x esté acotado. Al derivar (5.16) término a término j veces con respecto a
t uno descubre que el resultado es la serie de ∂x2j u. Como ésta converge uniformemente en (x, t) resulta que:
∂tj u = ∂x2j u.
Por la misma razón ∂tj ∂xα u = ∂x2j+α u con lo que u ∈ C ∞ (R2 ), define una solución
no trivial de (5.15) que se anula en t ≤ 0.
154
5.4.
Soluciones analíticas de la ecuación del calor
La solución de Poisson,
1
u = Kf (x, t) = √
( 4πt)n
∫
e−|x−y|
2
/(4t)
f (y) dy,
Rn
pongamos, para f ∈ L∞ (Rn ), es automáticamente C ∞ en t > 0. Más aún, puede
prolongarse analíticamente a x ∈ Cn , t ∈ C con ℜ(t) > 0 ([11]). En efecto, basta
dar valores x ∈ Cn en la expresión:
n
∑
(xi − yi )2 ,
i=1
poniendo t ∈ C. Más precisamente, para t = σ + iτ , x = ξ + iη, ξ, η ∈ Rn se
tiene:
−|x−y|2 /(4t) √1
( 4πt)n e
)
(
)
(
n/4
−1
2
2 −1
2
1
τ2
−|(ξ+τ σ η−y| /(4(σ+τ σ ))
e|η| /4σ
= 1+ 2
√
ne
σ
( 4π(σ + τ 2 σ −1 )
(
)n/4
2
τ2
= 1+ 2
e|η| /4σ K(ξ + τ σ −1 η, y, σ + τ 2 σ −1 ).
σ
Estimando la integral de Poisson y la de sus derivadas se obtiene que u es C 1
en Cn × {ℜ(z) > 0}. En particular, u = u(x, t) es real analítica.
Observación 5.4. La analiticidad real de la solución del problema de valor inicial
(P) se gana inmediatamente para t > 0. Podría pensarse que si f es real analítica
u también lo es para |t| < ε, aunque ε varíe de punto a punto. Un contraejemplo
debido a la propia S. Kowalevski –precisamente el Ejercicio 17 del Capítulo 3 –
demuestra que esto en general no sucede.
5.5.
Problemas de valor inicial y contorno
El modelo físico que da lugar a la ecuación del calor sugiere plantearse el
problema de contorno y valor inicial:


0 < x < l, t > 0
ut = uxx + F (x, t)
u(x, 0) = f (x)
0<x<l


B0 u = α(t), Bl u(t) = β(t) t > 0,
donde B0 , Bl son los operadores de contorno de Dirichlet, Neumann o Robin
(cf. Capítulo IV). La regularidad hasta la frontera precisará también de condiciones de compatibilidad adecuadas. En versión n-dimensional, si Ω ⊂ Rn es un
5.5. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y CONTORNO
dominio acotado de Rn el problema es,


ut = ∆u + F (x, t)
u(x, 0) = f (x)


Bu = α(x, t)
donde en este caso Bu = u (Dirichlet), Bu =
x ∈ Ω, t > 0
x∈Ω
x ∈ ∂Ω, t > 0,
155
(5.18)
∂u
∂u
(Neumann), Bu =
+b(x, t)u
∂ν
∂ν
(Robin, b ≥ 0).
El siguiente resultado admite la correspondiente contrapartida unidimensional (donde es posible introducir condiciones mixtas). Debe resaltarse la regularidad que se impone a las soluciones.
Teorema 5.4. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado y C 1 de Rn . Entonces el
problema de valor inicial y de contorno (5.18) admite a lo más una solución
clásica u ∈ C 2 (Ω × [0, T )).
Demostración. Basta con estudiar el comportamiento de la integral,
∫
u2 (x, t) dx .
Ω
Usando las ideas de simetría el problema de Dirichlet homogéneo


0 < x < l, t > 0
ut = uxx
u(x, 0) = f (x)
0<x<l


u(0, t) = u(l, t) = 0 t > 0,
(5.19)
admite una solución clásica u siempre que f sea mínimamente regular. Basta
extender f de forma impar y 2π periódica f¯ a R y después aplicar la fórmula
de Poisson:
∫ +∞
(x−y)2
1
ū = √
e− 4t f¯(y) dy.
4πt −∞
Si f ∈ C[0, π], la restricción de ū a 0 < x < l define una solución C ∞ en t > 0 de
forma que u → f cuando t → 0+ en uniformemente sobre compactos de (0, l).
En realidad, ū está definida en R × (0, +∞). Las condiciones de compatibilidad
f (0) = f (l) = 0 implican que u es una solución clásica que ajusta uniformemente
con el dato f cuando t → 0+. En el caso Neumann,


0 < x < l, t > 0
ut = uxx
(5.20)
u(x, 0) = f (x)
0<x<l


ux (0, t) = ux (l, t) = 0 t > 0,
basta tener f ∈ C 1 [0, l] y las condiciones de compatibilidad f ′ (0) = f ′ (l) = 0
para tener una solución clásica única que es C 1 en t ≥ 0 (siempre es C ∞ en
t > 0.
156
5.6.
Principios del máximo para la ecuación del
calor
Para Ω ⊂ Rn , T > 0 usaremos la siguiente notación. QT = Ω × (0, T ) ⊂
R × R. Por otro lado ΓT = (Ω × {0}) ∪ (∂Ω × [0, T ]) (la frontera parabólica de
QT ). En los enunciados que siguen y para abreviar escribiremos Lu = ut − ∆u
para representar el operador del calor.
n
Teorema 5.5 (Principio del máximo débil). Sea u ∈ C 2,1 (QT )∩C(QT ) tal que:
Lu ≤ 0
en QT . Entonces,
sup u ≤ sup .
QT
ΓT
Una consecuencia importante del teorema es el llamado principio de comparación.
Corolario 5.6. Sean u, v ∈ C 2,1 (QT ) ∩ C(QT ) tales que:
Lu ≤ Lv
para (x, t) ∈ QT
u≤v
en cada (x, t) ∈ ΓT .
Entonces:
u≤v
(x, t) ∈ QT .
En particular, para cada F , f y α el problema de Dirichlet:


ut = ∆u + F (x, t) x ∈ Ω, t > 0
u(x, 0) = f (x)
x∈Ω


u(x, t) = α(x, t)
x ∈ ∂Ω, t > 0,
admite a lo más una solución clásica u ∈ C 2,1 (QT ) ∩ C(QT ).
Observación 5.5. Nótese que se ha mejorado, para el problema de Dirichlet, la
regularidad exigida a las soluciones a los efectos de la unicidad.
El principio débil del máximo puede refinarse al extremo de que una solución clásica u de Lu = 0 en QT sólo puede tomar los extremos en la frontera
parabólica, salvo que sea constante (cf. [18]). En las propiedades que siguen
E ⊂ Rn × R designa un dominio mientras Lu = ut − ∆u.
Teorema 5.7 (Principio Fuerte del Máximo). Sea u ∈ C 2 (E) tal que:
Lu ≤ 0
(x, t) ∈ E,
en tanto que u ≤ M en E para cierta constante M . Si existe P1 = (x1 , t1 ) ∈ E
tal que u(x1 , t1 ) = M entonces u = M para todos los hiperplanos t = t0 que
puedan conectarse en E por segmentos verticales x = x0 con la componente
conexa en E de {t = t1 } ∩ E que contiene a P1 .
5.6. PRINCIPIOS DEL MÁXIMO
157
La demostración se fracciona en tres lemas (cf. [18]).
Lema 5.8. Supongamos que u ∈ C 2 (E) satisface u ≤ M en E mientras que B
es una bola B ⊂ B̄ ⊂ E de forma que:
1. u < M en B,
2. ∃P ∈ ∂B tal que u(P ) = M .
Entonces, necesariamente, el hiperplano tangente a B en P adopta la forma
t = constante.
El Lema 5.8 afirma que el máximo sólo puede tomarse en lo más alto o lo
más bajo de la bola.
La propiedad siguiente es válida para toda función continua u ∈ C(E) que
satisfaga la tesis del Lema 5.8.
Lema 5.9. Supongamos, como en el Lema 1, que Lu ≤ 0 en E, mientras u ≤ M
en E. Si u(P0 ) < M para algún P0 = (x0 , t0 ) ∈ E entonces u < M en toda la
componente conexa de {t = t0 } que pasa por P0 .
Lema 5.10. Sea u ∈ C 2 (E) tal que Lu ≤ 0 y u ≤ M en E. Supongamos
que u < M en {t0 < t < t1 } ∩ E (o en una cualquiera de las componentes
conexas C de dicho conjunto). Entonces u(P ) < M en todo P ∈ E, P = (x1 , t1 )
(respectivamente, que además cumpla P ∈ C̄).
Observación 5.6.
a) Cuando E = Ω × (0, T ), Ω ⊂ Rn un dominio y se permite además que u sea
regular hasta t = T , es decir u ∈ C 2,1 (QT ∪ {t = T }) entonces que u(x, T ) = M
en algún (x, T ), x ∈ Ω, implica que u ≡ M .
b) La conclusión del principio fuerte del máximo sigue siendo válida si el operador
del calor se substituye por otros operadores parabólicos más generales (cf. [18],
Ejercicios 13-20). En particular para:
Lu = ut − ∆u +
n
∑
bi (x, t)∂i u + h(x, t)u,
i=1
donde los coeficientes bi y h son, por ejemplo, continuos y acotados en E ⊂
Rn × R, el coeficiente del término de orden cero cumple:
h≥0
en E,
mientras al supremo se le impone la restricción de signo:
M ≥ 0.
Véanse más detalles en la sección de problemas.
158
c) Supongamos que M = supE u mientras que u(P ) = M para cierto P ∈ ∂E.
Si ν es cualquier dirección exterior a E en P se cumple (supuesta la existencia
de la derivada) que:
∂u
(P ) ≥ 0.
∂ν
Un teorema de A. Friedman, que generaliza un resultado análogo de Hopf para
ecuaciones elípticas afirma que bajo las condiciones del principio fuerte:
∂u
(P ) > 0,
∂ν
siempre que u < M cerca de P , que dicha derivada exista y que ν sea una
dirección exterior no paralela al eje t. La segunda condición puede relajarse
reemplazando la derivada por una derivada inferior de Dini.
Es conveniente precisar con detalle tal resultado.
Teorema 5.11. Sea L un operador en las condiciones de la Observación 5.6–b)
mientras P ∈ ∂E es un punto donde:
1. Existe una bola B ⊂ E tal que P ∈ ∂B (una bola interior a E tangente a
∂E en P ).
2. u < M en B, donde M = u(P ), M ≥ 0.
Entonces, para toda dirección exterior ν al dominio E en P se tiene:
∂u
(P ) > 0,
∂ν
si es que tal derivada existe (la derivada puede reemplazarse por una derivada
de Dini adecuada).
Un corolario inmediato del principio fuerte del máximo es el llamado principio de comparación fuerte (problema de Dirichlet).
Teorema 5.12 (Principio de comparación fuerte). Sea Ω ⊂ Rn un dominio
acotado, T > 0, u, v ∈ C 2,1 (QT ) ∩ C(QT ) tales que:
Lu ≤ Lv
en QT ,
junto con,
u≤v
sobre ΓT .
Entonces se da una y sólo una de las siguientes opciones: o bien u = v en QT
o bien u(x, t) < v(x, t) para todo (x, t) ∈ QT .
Tenemos también el siguiente resultado para el problema de Dirichlet unidimensional.
159
Teorema 5.13. Sea f ∈ C[0, l] tal que f (0) = f (l) = 0. Entonces el problema de
Dirichlet para la ecuación del calor ut = uxx admite una única solución clásica
u ∈ C 2,1 ((0, l) × (0, +∞)) ∩ C([0, l] × [0, +∞)). Si además f ≥ 0 entonces o bien
u ≡ 0 o bien u > 0 en (0, l) × (0, +∞).
El siguiente resultado es un principio de comparación para todas las condiciones de contorno B consideradas al principio de la sección.
Teorema 5.14 (Principio general de comparación). Sea Ω ⊂ Rn un dominio
acotado y C 2 de Rn mientras u, v ∈ C 2,1 (QT ∪ {t = T }) ∩ C 1,0 (QT ) satisfacen:
Lu ≤ Lv
u≤v
Bu ≤ Bv
en QT
en t = 0
en (x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ].
Entonces u ≤ v en QT .
Demostración. El caso Dirichlet ya se ha tratado. Consideremos los otros dos
problemas de contorno. Si
w = u − v,
todo consiste en probar que M = sup w ≤ 0. Caso contrario M > 0 y tendríamos
u(Pm ) = M,
sólo en algún Pm ∈ ΓT . En efecto u(P1 ) = M con P1 ∈ QT ∪ {t = T } lleva a
u = M en QT que no es posible.
Caben dos opciones. Primero que en el operador de contorno,
Bu =
∂u
+ bu,
∂ν
tengamos b(x, t) > 0 en cada (x, t) ∈ ΓT con t > 0. En ese supuesto se tiene:
∂w
(Pm ) ≤ −b(Pm )u(Pm ) = −b(Pm )M < 0,
∂ν
lo que no puede ser. En un máximo en la frontera como Pm siempre se ha de
∂w
tener
(Pm ) ≥ 0.
∂ν
Si b llega a anularse total o parcialmente en ∂Ω × (0, T ] (el primer caso
corresponde a condiciones de Neumann) habremos de proceder con más cuidado.
En primer lugar, afirmamos (véase ejercicio al final de la prueba) la existencia
de ϕ ∈ C 2 (Ω), ϕ > 0 en Ω tal que:
ϕν = γϕ,
sobre ∂Ω y γ es una constante prefijada arbitraria. Hacemos,
w = e−λt ϕv,
160
obteniendo,
(
)
vt ≥ ∆v + 2ϕ−1 ∇ϕ∇v + λ + ϕ−1 ∆ϕ v
v≤0
vν + (γ + b)v ≤ 0
(x, t) ∈ QT ∪ {t = T }
x ∈ Ω, t = 0
x ∈ ∂Ω.
Ahora, γ y λ pueden elegirse, sucesivamente, para que se tengan las condiciones,
γ + b > 0 en ∂Ω ,
λ + ϕ−1 ∆ϕ > 0 en QT .
Aplicando la primera parte concluimos que v ≤ 0, luego w ≤ 0 que es lo que se
deseaba probar.
Ejercicio 5.4. Constrúyase ϕ en los casos Ω = (0, l) un intervalo, Ω = BR (0)
una bola en Rn .
Observaciones 5.7.
a) La construcción de ϕ en un dominio general Ω se apoya en la función distancia
a la frontera ∂Ω, d = d(x),
d:
{x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) < ε}
x
−→
7−→
R
d(x) = dist (x∂Ω),
que es tan regular como ∂Ω, en este caso C 2 . Ver [13], Capítulo XIV, para una
discusión detallada de la función distancia d en términos de la geometría de la
frontera.
b) El teorema de comparación proporciona la unicidad para condiciones de contorno generales y menos regularidad, a saber: u ∈ C 2,1 (QT ∪Ω×{T })∩C 1,0 (QT ).
Ejercicio 5.5. En las condiciones de regularidad del teorema de comparación
sea u una solución clásica del problema:
ut = ∆u
u=f
Bu = 0
x ∈ Ω, t > 0
t=0
x ∈ ∂Ω.
Demuéstrese que:
|u(x, t)| ≤ sup |f |.
Ω
5.7.
Principios del máximo en dominios no acotados
El siguiente teorema señala una clase de funciones en la que es posible garantizar la unicidad de soluciones para el problema de Cauchy.
161
Teorema 5.15. Supongamos que u ∈ C 2,1 (0 < t < T ) ∩ C([0, T ]) satisface:
ut ≤ ∆u
u(x, 0) = f (x)
x ∈ Rn , 0 < t < T
x ∈ Rn ,
que satisface la condición de crecimiento exponencial:
2
u(x, t) ≤ M ea|x| .
Entonces,
u(x, t) ≤ sup f .
Una consecuencia del teorema es la siguiente propiedad de unicidad. Si u1 ,
u2 son soluciones del problema de valor inicial
x ∈ Rn , 0 < t < T
ut = ∆u
x ∈ Rn ,
u(x, 0) = f (x)
(5.21)
satisfaciendo la condición de crecimiento
2
|u(x, t)| ≤ M ea|x| ,
(5.22)
quizás para diferentes a’s y M ’s, entonces u1 = u2 . En particular (5.21) sólo
admite, si f ∈ Cb (Rn ), una solución acotada: la solución de Poisson. Como regla
general, para problemas en dominios no acotados, condiciones de crecimiento
como (5.22) juegan el papel de condiciones de contorno en “el infinito”.
Demostración. Primeramente introducimos la solución especial,
v(x, t) =
2
∗
1
e|x−y| /4(T −t) ,
(4π(T ∗ − t))n/2
que se obtiene –esencialmente– haciendo el cambio t → −t, x → ix el la ecuación
del calor, en la que observamos a y ∈ Rn como un parámetro. Fijamos Q =
BR (y) × (0, T ) e intentamos aplicar el principio del máximo a:
w = u − µv
(µ > 0).
El claro que w ≤ f en t = 0 mientras en |x − y| = R,
2
w(x, t) ≤ M ea(|y|+R) −
2
∗
µ
eR /4T .
(4πT ∗ )n/2
El segundo miembro tiende a −∞ cuanto R → +∞, previa suposición de que:
a<
1
4T ∗
es decir T ∗ < 1/4a mientras se ha admitido implícitamente que T < T ∗. Luego
no hay problema si T < 1/4a. El principio débil del máximo nos permite concluir
que:
u(y, t) ≤ sup f ≤ sup f,
BR (y)
162
y como y es arbitrario conseguimos la tesis. Si, por contra, 1/4a ≤ T , fraccionamos el intervalo de tiempo en un número finito de intervalos de extremos
0 < T1 < · · · TN −1 < T y longitud menor que 1/4a donde aplicamos el teorema
anterior. Esto concluye la prueba.
Observación 5.8. Un resultado más débil que el teorema previo pero igualmente
eficaz para probar la unicidad de soluciones clásicas u bajo la condición de
crecimiento (5.22) es el siguiente. Supóngase que Lu ≤ 0 mientras u ≤ 0 en
t = 0. Vamos a probar que u ≤ 0 en 0 ≤ t ≤ T .
Consideramos la solución especial,
v(x, t) =
2
1
eA|x| /(1−4At) ,
(1 − 4At)n/2
e intentamos aplicar el principio del máximo a:
w = u − M (R)v
en Q = BR (0) × (0, T ). Para tener,
2
M eaR ≤
2
M (R)
eAR /(1−4At) ,
n/2
(1 − 4At)
2
basta con elegir M (R) = M e(a−A)R y suponer que T < 1/4A o bien A < 1/4T .
Con esta elección tendremos w ≤ 0 en Q. Para (x0 , t0 ) fijo y R grande
tenemos:
2
M (R)
u(x0 , t0 ) ≤
eA|x0 | /(1−4At0 ) .
(1 − 4At0 )n/2
Si elegimos A de forma que a < A < 1/4T resultará que el segundo miembro de
la desigualdad se anula cuando R → +∞. Luego u(x0 , t0 ) ≤ 0. Es decir u ≤ 0.
Sin embargo se ha supuesto que a < 1/4T . Si éste no fuera el caso se procede
como en la última demostración y volvemos a concluir que u ≤ 0.
Ejercicio 5.6. Sin apelar a los resultados expuestos pruébese directamente que
el problema:
ut = ∆u + F (x, t)
u(x, 0) = f (x),
admite a lo más una solución clásica u ∈ C 2,1 ({0 < t < T }) ∩ C({0 ≤ t ≤ T })
y acotada.
Indicación. Usar la función auxiliar ([17]),
v(x, t) = M
(
)
|x|2
2t +
.
n
5.8. SOLUCIONES POSITIVAS
5.8.
163
Soluciones positivas del problema de valor
inicial
Hemos presentado contraejemplos a la unicidad de soluciones clásicas u ∈
C 2,1 ({0 < t < T }) ∩ C({0 ≤ t ≤ T }) del problema de valor inicial:
{
ut = uxx
x∈R 0<t<T
(5.23)
u(x, 0) = f (x) x ∈ R.
Un notable teorema de Widder ([27], [11]) afirma que en la clase de las soluciones
no negativas (5.23) sólo admite una solución. Una variación trivial dice que
la solución es única en la clase de las soluciones acotadas inferiormente. La
novedad del teorema consiste entonces en que la unicidad es consecuencia de
una condición de tipo “unilateral”.
Con mayor precisión.
Teorema 5.16. El problema (5.23) admite a lo más una única solución clásica
u ∈ C 2,1 ({0 < t < T }) ∩ C({0 ≤ t ≤ T }) y no negativa u ≥ 0 (obviamente,
f ∈ C(R), f ≥ 0).
Más aún, si tal solución u existe ésta es real analítica en 0 < t < T y puede
representarse mediante la fórmula de Poisson:
∫
u(x, t) =
K(x, y, t)f (y) dy.
(5.24)
R
Observación 5.9. Lo notable de (5.24) es que se desconocen a priori condiciones
de crecimiento sobre f en el infinito.
Demostración. Es delicada y consta de las siguientes etapas.
a) Usando el principio del máximo se demuestra que u queda por encima de
la solución formal de Poisson (5.24):
∫
0 ≤ v(x, t) :=
K(x, y, t)f (y) dy ≤ u(x, t).
R
Consideraciones estándar en la teoría de funciones analíticas permiten entonces
probar –con cuidado– que v(x, t) es efectivamente una solución clásica de (5.23)
que es analítica en 0 < t < T .
b) Se toma la diferencia w = u − v. Es una solución no negativa de (5.23)
con f = 0 (lo que supone la reducción al caso de dato inicial nulo). El objetivo
es probar que w = 0. Por razones técnicas se introduce:
∫ t
W (x, t) =
w(x, s) ds.
0
Aunque las derivadas wx , wxx pudieran diverger o no existir en t = 0 se demuestra (cf. [11]) que W es una solución clásica de (5.23) con dato f = 0. La
tesis del teorema se deduce de que W = 0.
164
c) Usando la convexidad de W y algunas cuentas delicadas se establece la
estimación:
2
W (x, t) ≤ M ea|x| ,
en 0 ≤ t ≤ T − ε. Los teoremas previos nos llevan en este caso a que W = 0 en
0 ≤ t ≤ T − ε. Iterando el argumento completamos a W = 0 en toda la franja
0 ≤ t ≤ T . Esto concluye la demostración.
5.9.
Ejercicios
1. Se define la función error como sigue:
∫ x
2
2
Erf(x) = √
e−y dy.
π 0
Utilizando dicha función dése una solución de los problemas de Cauchy
para la ecuación del calor ut = uxx en R con datos iniciales: a) f (x) = 1
si |x| < l y f (x) = 0 si |x| > l, b) f (x) = 1 si x > 0, f (x) = 3 si x < 0,
c) f (x) = χI , e. d., la función característica de un intervalo arbitrario
I = [a, b].
2. Sea f = f (x) una función continua en Rn para la que existen M ≥ 0 y
2
a > 0 de forma que: |f (x)| ≤ M ea|x| en Rn . Demuéstrese que la fórmula
de Poisson:
∫
|x−y|2
1
− 4t
u(x, t) = K(f )(x, t) =
f (y) dy,
e
(4πt)n/2 Rn
1
1
define una solución en C 2 (Rn × (0, 4a
)) ∩ C(Rn × [0, 4a
)) del problema de
Cauchy:
1
ut = ∆u x ∈ Rn , 0 < t <
4a
u(x, 0) = f (x) x ∈ Rn .
3. Sea Ω un dominio acotado de R3 y supongamos que Ω está aislado térmicamente y posee una fuente calorífica con densidad −f (x), x = (x1 , x2 , x3 ).
La evolución de la temperatura u(x, t) vendrá dada por la solución del
problema:
∂u
= ∆u − f (x), x ∈ Ω, t > 0,
∂t
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,
∂u
= 0, x ∈ ∂Ω,
∂ν
siendo u0 (x) la temperatura inicial. Las configuraciones estacionarias de
la temperatura cumplirán entonces el problema de contorno:
∆u = f (x), x ∈ Ω,
∂u
= 0, x ∈ ∂Ω.
∂ν
(5.25)
5.9. EJERCICIOS
165
¿Serán únicas las soluciones del problema (5.25)?. Admitamos que f ∈
C(Ω) y supongamos que todas las soluciones u(x) de (5.25) están en
C 1 (Ω) ∩ C 2 (Ω). Demuéstrese que una condición necesaria para que (5.25)
admita una solución es que:
∫
f dx = 0.
Ω
4. Hállense las soluciones estacionarias del problema:
{
cρut = kuxx + αu, t > 0, 0 < x < l,
u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0.
¿ Para qué valores de α serán únicas las soluciones? En todo momento se
supondrá que las soluciones del problema son C 2 en [0, l].
5. Supongamos que las soluciones del problema:


 cρAut = kAuxx − µP (u − T0 ), t > 0, 0 < x < l,
u(x, 0) = u0 (x), 0 ≤ x ≤ l,


ux (0, t) = ux (l, t) = 0, t ≥ 0,
son C 2 en [0, l] y t ≥ 0. Demuéstrese que la temperatura u(x, t) se estabiliza en media cuadrática en torno al valor T0 , es decir:
∫
t→+∞
l
(u(x, t) − T0 )2 dx = 0.
lı́m
0
¿Cuántas soluciones estacionarias admite el problema? ¿Cuántas soluciones homogéneas (e. d., no dependientes de x) admite el problema?
6. Estúdiese la forma genérica de las soluciones de la ecuación del calor:
ut = uxx ,
x ∈ R,
que tienen la forma u(x, t) = X(x)T (t). En particular, calcúlense todas
las soluciones de la forma exp(αx + βt), α, β ∈ C. A partir de esta familia
de soluciones, calcúlense otras familias, por derivación e integración de
familias uniparamétricas.
7. Se dice que vn es un polinomio calórico de grado n si tal función es el
zn
en el desarrollo de exp(xz + tz 2 ). En otras palabras,
coeficiente de
n!
exp(xz + tz 2 ) =
∑
n≥0
vn (x, t)
zn
.
n!
166
a) Demuéstrese que
vn (x, t) = n!
[n/2] k
∑
k=0
t xn−2k
,
k! (n − 2k)!
donde [·] es la función parte entera.
b) Demuéstrese que
vn (x, 0) = xn ,
v2n (0, t) =
2n! n
t ,
n!
v2n+1 (0, t) = 0.
c) Demuéstrese que los vn (x, t) satisfacen la ecuación del calor ut = uxx .
8. Hállese una solución del problema de Cauchy para la ecuación del calor
unidimensional con dato inicial u(x, 0) = x2 . Una guía para hacerlo es
la que sigue. Prúebese que si u(x, t) es una hipotética solución entonces
uxxx (x, t) también satisface la ecuación del calor con dato g(x) ≡ 0. Conclúyase de aquí (¡ilegalmente !) que uxxx (x, t) ≡ 0 lo que lleva a una posible
forma general de la solución.
9. La misma cuestión que en el problema anterior con el dato f (x) = e−x .
10. Resuélvase el problema de Cauchy para la ecuación del calor: ut = kuxx −
bt2 u, u(x, 0) = ϕ(x) ∈ Cb (R). Para ello hágase un cambio adecuado de la
forma u(x, t) = h(t)v(x, t).
11. Sea f (x) acotada y continua a trozos en R, e. d., exiten x1 < . . . , < xN
tales que f|(−∞,x1 ) , f|(x1 ,x2 ) , . . . f|(xN −1 ,xN ) , f|(xN ,+∞) son continuas, siendo
los límites (que supondremos existen) f (xi −), f (xi +) finitos. Si:
∫ +∞
|x−y|2
1
e− 4t f (y) dy,
u(x, t) = K(f )(x, t) = √
4πt −∞
hállense los límites:lı́mt→0+ u(xi , t).
Indicación. Estúdiese con detalle el caso en que f (x) = θ(x) = 1 si x ≥ 0,
θ(x) = 0 si x < 0.
12. Calcúlese la solución del problema:
ut = ∆u t > 0, x ∈ Rn
2
u(x, 0) = eα|x| ,
x ∈ Rn ,
que se obtiene por medio de la fórmula de Poisson.
13. Sea f (x) ∈ Cb (Rn ) una función radialmente simétrica, es decir f (x) =
h(|x|), x ∈ Rn . Prúebese entonces que la función:
∫
|x−y|2
1
e− 4t f (y) dy,
u(x, t) = K(f )(x, t) =
n/2
(4πt)
Rn
es también radialmente simétrica con respecto a x.
5.9. EJERCICIOS
167
14. Sea f (x) ∈ Cbk (Rn ), Cbk (Rn ) = {f : Rn → R/∂ α f (x) ∈ Cb (Rn )para |α| ≤
k}. Pruébese que si u(x, t) = K(f )(x, t) entonces ∂xα ∂tj u ∈ Cb (Rn ×[0, +∞)
siempre que 2j + |α| ≤ k.
−x2
1
15. (Transformación de Apell). Sea K(x, t) = √4πt
e 4t el núcleo del calor en
una dimensión. Demúestrese que si u(x, t), x ∈ R, t ∈ R es una solución
de la ecuación del calor ut = uxx entonces:
x 1
v(x, t) = K(x, t)u( , − ), t > 0,
t
t
es también una solución de dicha ecuación para t > 0.
16. Sea α > 0 un número real positivo y designemos por g : R → R la función
definida por:
g(t) = exp (−t−α ),
para t > 0,
g(t) = 0,
si t ≤ 0.
Pruébese la existencia de una constante θ = θ(α), 0 < θ < 1 de forma que:
|g (k) (t)| ≤
k!
1
exp ( t−α ),
(θt)k
2
para cada t > 0.
Indicación. Utilícese el hecho de que g(z) es holomorfa en ℜ(z) = t > 0
para aplicar la fórmula de Cauchy:
∫
k!
g(ζ)
g (k) (t) =
dζ,
2πi Γ (ζ − t)k+1
Donde, para t > 0, Γ es la circunferencia de centro t y radio r = θt
eligiéndose 0 < θ < 1 de forma que ℜ(z −α ) > 12 t−α para todo z ∈ Γ.
17. (Decaimiento de la Energía en la Ecuación del Calor). Sean ui (x, t) ∈
C 2,1 ([0, l] × [0, +∞)), i = 1, 2 soluciones del problema de Dirichlet:
ut = uxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f (x) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = α(t),
u(l, t) = β(t).
Pruébese la identidad u1 = u2 . Para ello consideérese la diferencia w(x, t) =
u1 (x, t) − u2 (x, t) y pruébese que la función:
∫ l
w(ξ, t)2 dξ,
E(t) =
0
es no creciente para t ≥ 0.
18. Sean a(x, t), b(x, t) ∈ L∞ (QT ), a(x, t) ≥ k > 0 en QT , L u = ut −
a(x, t)uxx + b(x, t)ux . Si u ∈ C 2,1 (QT ∪ {t = T }) satisface Lu ≤ 0 en
QT ∪ {t = T } pruébese que
sup u ≤ sup u .
QT
ΓT
168
19. Sea L el operador del problema 13 y sea E ⊂ R2 un dominio del plano x-t
en donde u ∈ C 2,1 (E) cumple Lu ≤ 0, mientras u ≤ M para una cierta
constante M .
a) Si B ⊂ B̄ ⊂ E es una bola donde u < M en B mientras u(P ) = M
para algún P ∈ ∂B. Demostrar que P = (x0 , t0 ) es tal que t0 toma
el valor máximo o el valor mínimo posible en ∂B.
b) Si P = (x1 , t1 ) ∈ E es tal que u < M en una componente conexa C
de E ∩ {t0 < t < t1 } tal que P ∈ ∂C pruébese que u(P ) < M
20. Demostrar el principio fuerte del máximo para el operador L en las condiciones del problema 13. Demuéstrese asimismo el principio del máximo
de Hopf para dicho operador.
21. Sean bi (x) ∈ L∞ (Ω),
∑n 1 ≤ i ≤ n y considérese el operador parabólico:
Lu = ut − ∆u + i=1 bi (x)∂i u en un dominio E ⊂ Rn × R del espacio
x-t. Demuéstrense los principios débil y fuerte del máximo para dicho
operador. Pruébese también el principio del máximo de Hopf.
22. Sean aij (x), bi (x) ∈ L∞ (Ω), Ω ⊂ Rn un dominio acotado, aij = aji de
forma que el operador
Lu = −
n
∑
aij ∂ij u +
i,j=1
n
∑
bi (x)∂i u ,
i=1
es elíptico en Ω, es decir, existe una función λ = λ(x) > 0 en Ω tal que
n
∑
aij (x)ξi ξj ≥ λ(x)|ξ|2
para cada ξ ∈ Rn .
(5.26)
i,j=1
Supóngase además que o bien los aij son continuos (con lo que λ(x) será
continua) o bien que λ(x) ≥ λ(K) > 0 sobre cada compacto K ⊂ Ω.
Demuéstrese que si u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω̄) cumple Lu ≤ 0 en Ω entonces
supΩ u ≤ sup∂Ω u.
Indicación. Para ε > 0 razonar en Ωε = {x ∈ Ω : d(x, ∂Ω) > ε} introduciendo u = v − ηϕ, η > 0 pequeño, η ∼ 0, ϕ = exp{α|x − x0 |2 } con
α > 0, x0 ̸∈ Ω. Para α > 0 suficientemente grande es posible conseguir que
L(ϕ) < 0 en Ωε . Uno concluye así que supΩε u ≤ sup∂Ωε u. Para obtener
supΩ u ≤ sup∂Ω u basta con hacer ε → 0+ (haciendo las comprobaciones
pertinentes).
23. Supongamos que el operador L del problema anterior es fuertemente elíptico en el sentido de que la función λ(x) en (5.26) satisface la siguiente
condición de positividad fuerte:
λ(x) ≥ λ0 > 0
x ∈ Ω.
5.9. EJERCICIOS
169
Pruébese entonces el principio del máximo de Hopf. Es decir, sea u ∈
C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω̄), B ⊂ Ω es una bola interior a Ω que es además tangente a
∂Ω en un P ∈ ∂Ω, de forma que u < M en B mientras u(P ) = M . Si ν es
la normal unitaria exterior a Ω en P entonces
∂u
(P ) > 0 .
∂ν
Nótese que no supone novedad alguna el que ∂u/∂ν(P ) ≥ 0.
24. Principios del máximo y términos de orden cero I) . Demuéstrese que el
operador Lu = −u′′ − u no cumple el principio del máximo.
25. Principios del máximo y términos de orden cero II). Sea h = h(x, t) ∈
L∞ (E), una función continua y no negativa en E, con E un dominio de
Rn × R. Considérese el operador Lu = ut − ∆u + h(x, t)u, que como
bien se ve se diferencia de todos los aquí tratados en el término en u
(véase el problema anterior). Sea asimismo u ∈ C 2,1 (E) tal que u ≤ M
en E. Pruébese2 que si P ∈ E y además u(P ) = M con la condición
adicional M ≥ 0 entonces se obtienen las conclusiones del principio fuerte
del máximo y del principio de Hopf (supuesto en el último caso que u llega
C 1 hasta la frontera ∂E). Búsquese un contraejemplo si h < 0.
26. Probar el principio de comparación: si u y v son soluciones de la ecuación
del calor, u ≤ v en t = 0 y x = 0, l entonces u ≤ v. Pruébese que si
vt − vxx ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π, t > 0, v(0, t) ≥ 0, v(π, t) ≥ 0, v(x, 0) ≥ sen x,
entonces v(x, t) ≥ e−t sen x.
27. (Sub y supersoluciones para la ecuación del calor). Sea Ω ⊂ Rn un dominio
acotado y, para T > 0, definamos QT = {(x, t)/x ∈ Ω, 0 < t < T }. Sea
C 2,1 (QT ) = {u ∈ C(QT )/ut , ∂xα u ∈ C(QT ), para |α| ≤ 2}. Se dice que
v(x, t) ∈ C(Q̄T )∩C 2,1 (QT ) (respectivamente w(x, t)) es una supersolución
(r. subsolución) del problema:
ut = ∆u (x, t) ∈ QT
u(x, 0) = f (x) x ∈ Ω
u(x, t) = g(x, t) x ∈ ∂Ω, 0 ≤ t < T,
(5.27)
si vt ≥ ∆v (r. ≤ ) en QT , v(x, 0) ≥ f (x), x ∈ Ω (r. ≤) y v(x, t) ≥ g(x, t)
(r. ≤) para x ∈ Ω, 0 ≤ t < T .
Demuéstrese que si u(x, t) ∈ C(QT ) ∩ C 2,1 (QT ) es la única solución de
(5.27) entonces:
w(x, t) ≤ u(x, t) ≤ v(x, t).
En el caso Ω = (0, l) y f (x) ∈ C 1 ([0, l]), f (x) ≥ 0, g(x, t) ≡ 0, demuéstrese que u(x, t) ≥ 0 para todo t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l y que u(., t) tiende
exponencialmente a 0 cuando t → +∞.
2 En realidad basta con cerciorarse de que los pasos claves, a saber, los Lemas 5.8 y 5.10
(el Lema 5.9 es consecuencia inmediata del Lema 5.8), siguen siendo válidos en las nuevas
condiciones.
170
28. Se considera la solución 1 − x2 − 2t de la ecuación del calor ut = uxx .
Localícense sus máximos en QT .
29. Sea u una solución de ut = uxx en 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, y sean M (T ) =
supQT u, m(T ) = ı́nf QT u. Estúdiense las propiedades de crecimiento y
decrecimiento en T de tales funciones.
30. Sea u la solución de ut = uxx con u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = x(1 − x).
a) Probar que u > 0 en 0 < x < 1, t > 0.
b) Para t > 0, sea µ(t) = sup u(·, t). Probar que µ es no creciente. Para
ello supóngase que si µ(t) = u(X(t), t), entonces X(t) es diferenciable.
c) Pruébese que u(x, t) = u(1 − x, t).
d ) Pruébese que 0 < u < 1
∫1
e) Prúebese que 0 u2 dx es decreciente en t.
31. El siguiente ejercicio establece que el principio del máximo no es cierto
para la ecuación ut = xuxx , −2 < x < 2. Verificar que u = −2xt − x2 es
una solución. Hállese su máximo en el dominio [−2, 2] × [0, 1].
32. Comprúebese que u = 1 − x2 − 2kt satisface la ecuación del calor: ut =
kuxx . Estúdiese la localización de sus máximos y mínimos en QT para
Ω = (0, 1).
33. Considérse el problema de Dirichlet homogéneo:
ut = uxx
0 < x < 1, t > 0
u(x, 0) = 4x(1 − x) 0 < x < 1
u(0, t) = u(1, t) = 0 t > 0,
y admitamos que admite una solución u ∈ C 2,1 ((0, 1)×(0, +∞)∩C([0, 1]×
[0, +∞)). Pruébese que 0 < u(x, t) < 1 para todo t > 0. Pruébese que
u(x, t) = u(1 − x, t) para todo (x, t).
34. (cf. [10]) Se considera el operador del calor unidimensional Lu = ut − uxx
definido en el dominio:
E = {x2 + t2 < R2 ,
t < γ1 x ,
t < γ2 x},
donde γ2 < 0 < γ1 . Se considera:
u(x, t) = (t − γ1 x)(γ2 x − t) + 1,
Demuéstrese que:
a) Lu ≤ 0 en D
b) u(P ) < u((0, 0)) en D.
5.9. EJERCICIOS
171
Sin embargo, falla la tesis del teorema de Hopf enunciado en el §6 ¿Cuál
es la explicación?
35. La ecuación de Korteweg-de Vries (KdV):
ut − δuux + uxxx = 0,
se usa para describir la propagación de “ondas de agua”. Emular la deducción autosimiliar de la fórmula de Poisson para dar una solución del
problema de valor inicial para KdV con dato:
u(x, 0) = θ(x)
x ∈ R,
para llegar a un problema de comportamiento asintótico de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
172
Capítulo 6
Series de Fourier
6.1.
Series de Fourier: introducción
En el Capítulo 7 sobre separación de variables se plantea de forma muy
natural el siguiente problema. Dada una función f : [−π, π] → R determinar
coeficientes {an }, {bn } tales que,
f (x) = a0 +
∞
∑
an cos nx + bn sen nx.
(6.1)
n=1
Como se espera o desea que (6.1) se satisfaga puntualmente es natural que supongamos siempre que f es 2π-periódica. Usaremos C k (T ), L2 (T ) para representar a las funciones 2π-periódicas que son C k o que pertenecen a L2 (−π, π).
Que (6.1) sea verosímil requiere resolver primero una cuestión fundamental:
la determinación de los coeficientes en términos de f . Las identidades:
∫ π
sen nx sen mx dx = πδnm
−π
∫ π
cos nx cos mx dx = πδnm
−π
∫ π
sen nx cos mx dx = 0,
−π
(n, m ∈ N cualesquiera) son cruciales a este respecto. Multiplicando ambos
miembros de (6.1) por 1 = cos 0x, cos nx y sen nx, respectivamente, integrando
en [−π, π] y permutando formalmente la integral y la serie, obtenemos:
∫ π
1
a0 =
f (x) dx
2π −π
∫
1 π
an =
f (x) cos nx dx
π −π
∫
1 π
bn =
f (x) sen nx dx.
π −π
173
174
CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER
La forma de calcular los coeficientes tiene mucho que ver con el cómputo de las
coordenadas de un vector x en un espacio euclídeo (E, ⟨·, ·⟩) de dimensión N
con respecto a una base ortonormal {e1 , . . . , eN }. En efecto:
N
∑
x=
x n en ,
n=1
donde xn = ⟨x, en ⟩. En el caso de las series de Fourier debemos considerar un
espacio (de dimensión infinita) con producto escalar,
∫
⟨f, g⟩ =
π
f (x)g(x) dx,
−π
mientras el sistema ortonormal es
√
√
√
{1/ 2π, {1/ π cos nx}n∈N , {1/ π cos nx}n∈N }.
Para poner en orden estas ideas desarrollamos a continuación algunos hechos
básicos sobre espacios de Hilbert, la versión infinitodimensional de los espacios
euclídeos.
Ejercicio 6.1. Hallar la serie de Fourier de la función f (x) = x.
6.2.
Espacios de Hilbert
Sea H un espacio vectorial (real o complejo). Un producto escalar (real) en
H es una aplicación bilineal b : H × H → R tal que:
1) ∀x ∈ H : b(x, x) ≥ 0 y b(x, x) = 0 si y sólo si x = 0.
2) ∀x, y ∈ H : b(x, y) = b(y, x) (b es simétrica).
En el caso complejo b toma valores complejos, ∀x ∈ H, b(·, x) y b(x, ·) son
lineales y se dice que b es sesquilineal (= 1 + 21 lineal) 1 . En este caso 6.2) se
mantiene mientras 6.2) se reemplaza por,
2’) ∀x, y ∈ H : b(x, y) = b(y, x) (b es hermítica).
Se suele representar b(x, y) = ⟨x, y⟩. Dos vectores x, y se dicen ortogonales si
⟨x, y⟩ = 0. Se introduce la longitud (módulo) |x| de x como:
|x| =
√
⟨x, x⟩.
1 En un espacio vectorial complejo, aplicaciones “semilineales” f son las que cumplen f (x +
y) = f (x) + f (y) mientras f (λx) = λ̄f (x) para escalares λ ∈ C.
6.2. ESPACIOS DE HILBERT
175
Se tienen inmediatamente los teoremas del coseno, de pitágoras y las identidades
del paralelogramo y de polarización (x, y son arbitrarios en H)
|x ± y|2 = |x|2 + |y|2 ± 2ℜ⟨x, y⟩
|x + y|2 = |x|2 + |y|2
si y sólo si
⟨x, y⟩ = 0
|x + y| + |x − y| = 2|x| + 2|y|
1
ℜ⟨x, y⟩ = {|x + y|2 − |x − y|2 }
4
1
ℑ⟨x, y⟩ = {|ix − y|2 − |ix + y|2 },
4
2
2
2
2
(ℜz, ℑz las partes real e imaginaria de z ∈ C). Otra consecuencia de las propiedades del producto escalar es la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
|⟨x, y⟩| ≤ |x||y|,
(6.2)
para x, y arbitrarios. En efecto, descartamos los casos triviales x = 0, ⟨x, y⟩ = 0 y
suponemos que |x| = 1. Hallamos una base ortonormal de span{x, y}. Llamamos
u1 = x, u2 = (y − ⟨x, y⟩x)/|y − ⟨x, y⟩x| y fácilmente obtenemos:
y = ⟨x, y⟩u1 + |y − ⟨x, y⟩x|u2 ,
de donde,
|y|2 = |⟨x, y⟩|2 + |y − ⟨x, y⟩x|2 ,
que implica (6.2).
De la desigualdad de Cauchy-Schwarz se deduce la de Minkowsky,
|x + y| ≤ |x| + |y|.
Por tanto, todo espacio H con un producto interior b = ⟨·, ·⟩ es un espacio
normado con respecto al módulo | · |. H es un espacio de Hilbert si es completo
con respecto a | · |.
El ejemplo fundamental de espacio de Hilbert es:
∑
l2 = {{xn } :
|xn |2 < +∞},
donde
las {xn } pueden ∑
ser reales o complejas. En este caso ⟨{xn }, {yn }⟩ =
∑
xn yn (⟨{xn }, {yn }⟩ = xn ȳn en el caso complejo).
Un segundo ejemplo importante es L2 (Ω) para Ω ⊂ Rn medible:
L2 (Ω) = {u : Ω → R (resp. C) : u es medible,
|u|2 es integrable-Lebesgue}.
Se hace la identificación f = g si las funciones sólo difieren en un conjunto de
medida cero. El producto escalar es:
)
(
∫
∫
⟨f, g⟩ =
f (x)g(x) dx
resp.
f (x)g(x) dx .
Ω
Ω
Conviene ahora recordar algunas propiedades elementales.
176
Proposición
6.1. Si H es un espacio de Hilbert, entonces una serie
∑
la que
|xn | converge es también convergente y:
∑
∑
|
xn | ≤
|xn |.
∑
xn para
Tal serie se dirá absolutamente convergente. ∑
Si tenemos una serie convergente en H,
xn = x ∈ H, entonces:
∑
∑
⟨x, y⟩ = ⟨
xn , y⟩ =
⟨xn , y⟩,
para cada y ∈ H.
Nuestro objetivo más inmediato es dar sentido a la serie de Fourier de una
función 2π-periódica f . Un primer resultado en esta dirección es el siguiente.
Teorema 6.2 (Teorema de la proyección). Sea H un espacio de Hilbert, M ⊂ H
un subespacio cerrado, M ̸= H. Entonces, para cada x ∈ H existe un único
y ∈ M tal que:
|x − y| = dist (x, M ).
(6.3)
Además
1. x − y ∈ M ⊥ donde M ⊥ = {z : ∀y1 ∈ M , ⟨z, y1 ⟩ = 0}
2. La aplicación π : H → H que a x → y := π(x) es lineal y continua con
∥π∥ = 1.
Demostración. Cualquier y que resuelva el problema (A) de la mejor aproximación cumple x − y ∈ M ⊥ . En efecto, para y1 ∈ M se tiene:
|x − y|2 ≤ |x − y + ty1 |2 = |x − y|2 + t2 |y1 |2 + 2⟨x − y, y1 ⟩t,
es decir (hemos supuesto el espacio real para simplificar):
0 ≤ t2 |y1 |2 + 2⟨x − y, y1 ⟩t,
para todo t ∈ R. Por tanto ⟨x − y, y1 ⟩ = 0.
En particular, la solución del problema de aproximación es única. Para otra
solución y ′ ∈ M se tendría:
y − y′ = y − x + x − y′ ∈ M ⊥ ,
que lleva a y − y ′ = 0.
Para la existencia de y sea d = dist (x, M ) > 0. Existe {yn } ⊂ M con
|x − yn | → d. De la identidad del paralelogramo se tiene:
4|x −
yn + ym 2
| + |yn − ym |2 = 2|x − yn |2 + 2|x − ym |2 .
2
Por ello,
|yn − ym |2 ≤ 2(|x − yn |2 − d2 ) + 2(|x − ym |2 − d2 ) → 0
6.2. ESPACIOS DE HILBERT
177
cuando n, m → ∞. Esto prueba existencia de y.
La aditividad de π se prueba así,
|(x1 + x2 ) − y|2 = |(x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) − y + y1 + y2 |2 =
|(x1 + x2 ) − (y1 + y2 )|2 + |y − (y1 + y2 )|2 ,
donde hemos puesto yi = π(xi ). Más abajo veremos que hubiese bastado con
ver que (x1 + x2 ) − (y1 + y2 ) ∈ M ⊥ .
El resto de la demostración se deja como ejercicio.
Observaciones 6.1.
a) El teorema asegura la existencia de la “mejor aproximación"y = π(x) de x por
elementos de y. π(x) se llama la proyección ortogonal de x sobre M .
b) Si M es finitodimensional, M = span{e1 , . . . , eN } con {e1 , . . . , eN } ortonormal
∑N
no es difícil comprobar que y = π(x) = i=1 xi ei , xi = ⟨x, ei ⟩. En efecto, para
escalares arbitrarios {yi } se tiene:
|x −
N
∑
xi ei |2 ≤ |x −
i=1
N
∑
x i ei | 2 + |
i=1
= |x −
N
∑
i=1
x i ei | 2 +
i=1
= |x −
N
∑
N
∑
(xi − yi )ei |2
N
∑
|xi − yi |2
i=1
y i ei | 2 .
i=1
La diferencia entre
último y el primer término de la cadena de desigualdades
∑el
N
es precisamente: i=1 |xi − yi |2 . Se hace mínimo (método de los mínimos cuadrados) para la elección xi = yi . Obsérvese que x−π(x) es obviamente ortogonal
a M y por eso se tiene:
|π(x)|2 =
N
∑
|xi |2 ≤ |π(x)|2 + |x − π(x)|2 = |x|2 .
i=1
c) Hemos probado que para cualquier subespacio cerrado M ⊂ H, H admite la
descomposición:
H = M ⊕ M ⊥,
siendo la suma directa topológica ([1]).
Una consecuencia de la observación b) es la siguiente propiedad general.
Proposición 6.3 (Método de los mínimos cuadrados). Sea M un subespacio
cerrado propio de H, x ∈ H. Entonces, y ∈ M satisface:
|x − y| = dist (x, M ).
si y sólo si x − y ∈ M ⊥ .
178
Demostración. Para y1 ∈ M se tiene:
|x − y1 |2 = |(x − y) + (y − y1 )|2 = |x − y|2 + |y − y1 |2 ≥ |x − y|2 .
Proposición 6.4 (Desigualdad de Bessel). Sea {ei }i∈I ⊂ H una familia ortonormal, es decir, ⟨ei , ej ⟩ = 0 si i ̸= j, |ei | = 1 para cada i. Entonces, para cada
x ∈ H la familia:
∑
∑
x̄ =
x i ei =
⟨x, ei ⟩ei ,
i∈I
i∈I
es sumable en H. x̄ se llama la serie de Fourier de x y xi es el i-ésimo coeficiente
de Fourier de x con respecto a dicha familia. Además:
∑
|x̄|2 =
|xi |2 ≤ |x|2 .
(6.4)
i∈I
Demostración. Sea J ⊂ I cualquier parte finita. Resulta que:
∑
|x|2 = |x − SJ |2 + |SJ |2 ≥ |SJ |2 =
|xi |2 ,
i∈J
con SJ =
∑
i∈J
xi ei . Se deduce de ahíque:
∑
|xi |2 ≤ |x|2 .
i∈I
Como:
|SJ |2 =
∑
∑
|xi |2 ,
i∈J
y la familia i∈I |xi | < +∞ se tiene la convergencia de la familia propuesta a
un valor x̄ que cumple (3). De hecho,
∑
|x̄|2 =
|xi |2 .
2
i∈I
Probaremos a continuación que el subespacio generado por una familia ortonormal {ei }i∈I coincide con el de todas las series de Fourier de los elementos
x ∈ H con respecto a dicha familia.
Proposición 6.5. Sea {ei }i∈I una familia ortonormal en H y M el subespacio
generado por la familia, es decir,
M = span{{ei }i∈I }.
Entonces,
∑
∑
M ={
xi ei :
|xi |2 < +∞}.
i∈I
i∈I
(6.5)
6.3. SERIES DE FOURIER: PRIMERAS PROPIEDADES
179
Más aún, para cada x ∈ H se tiene que:
∑
π(x) = x̄ =
⟨x, ei ⟩ei .
i∈I
Demostración. Resulta obvio que x − x̄ ∈ M ⊥ y que x̄ ∈ M , por eso se tiene
que x̄ = π(x) donde x̄ es la serie de Fourier de x.
Asímismo, el segundo miembro M1 de (4) cumple claramente M1 ⊂ M . Para
probar el contenido contrario sea x ∈ M arbitrario, x̄ su serie de Fourier y sea:
x = lı́m SJn ,
con Jn ⊂ I finito y SJn =
tiene entonces:
∑
(n)
i∈Jn
xi ei . Pongamos x̄n =
∑
i∈Jn ⟨x, ei ⟩ei .
Se
|x − x̄n |2 = |(x − x̄) + (x̄ − x̄n )|2 = |x − x̄|2 + |x̄ − x̄n |2 ≥ |x − x̄|2 ,
puesto que x − x̄ ∈ M ⊥ . Ahora, ya sabemos que:
|x − x̄n |2 ≤ |x − SJn |2 .
Eso quiere decir que |x − x̄| = 0.
Observación 6.2. Sea {ei }i∈I ortonormal y M como en la proposición. Para
x ∈ H, x̄ ∈ M su serie de Fourier en {ei }i∈I . Nos preguntamos a cuántos otros
x′ les corresponde la misma serie de Fourier x̄ que a x. Obviamente el conjunto
de tales x’s es:
x + M ⊥.
Los elementos de H vendrán caracterizados por su serie de Fourier sólo cuando
M ⊥ = {0}, es decir M = H. En este caso especial se tiene la siguiente definición.
Definición 6.6. Un sistema ortonormal {ei }i∈I se dice completo en H, también
una base de Hilbert para H, si M = H.
Proposición 6.7. Un sistema ortonormal {ei }i∈I es completo si, para x arbitrario en H, de la propiedad:
∀i ∈ I
⟨x, ei ⟩ = 0,
se sigue:
x = 0.
6.3.
Series de Fourier: primeras propiedades
La forma de calcular los coeficientes de la serie de Fourier de una función f
ha llevado al espacio L2 (T ), que es un espacio de Hilbert. La familia:
√
√
√
{1/ 2π, {1/ π cos nx}n∈N , {1/ π cos nx}n∈N }
es ortonormal. Comprobaremos más tarde que es además completa. La siguiente
propiedad es un caso particular de los resultados de la sección previa.
180
Proposición 6.8. Para f ∈ L2 (−π, π) su serie de Fourier converge en f ∈
L2 (−π, π) a una función f¯,
f¯ = a0 +
∞
∑
n=1
Además,
|f¯|22 = π{2a20 +
∑
a2n + b2n }.
Si g ∈ L2 (−π, π) es otra función con serie Fourier,
ḡ = α0 +
∞
∑
αn cos nx + βn sen nx,
n=1
entonces,
⟨f¯, ḡ⟩2 = π{2a0 α0 +
∑
an αn + bn βn }.
Observación 6.3. Si f¯ es la serie de Fourier de f ∈ L2 (−π, π), con suma parcial
N -ésima SN , entonces (desigualdad de Cauchy–Schwarz)
√
|f¯ − SN |L1 = ⟨|f¯ − SN |, χ[−π,π] ⟩2 ≤ 2π|f¯ − SN |2 ,
luego lı́m SN = f¯ en L1 lo que significa que la serie de Fourier f¯ de f puede ser
integrada término a término y, para cada a, x ∈ [−π, π], se tiene:
∫
x
f¯(x) dx = a0 (x − a) +
a
∞
∑
n=1
−
an
bn
(cos nx − cos na) +
(sen nx − sen na).
n
n
En la Sección 6.6 se demuestra el siguiente resultado que enunciamos ahora
a los efectos de establecer el teorema de completitud.
Teorema 6.9. Sea f ∈ C(T ) continua tal que existe la derivada f ′ excepto
quizás en un número finito de puntos, con f ′ ∈ L2 (T ) (por ejemplo, f es C 1 a
trozos). Entonces,
f = a0 +
∞
∑
an cos nx + bn sen nx
(uniformemente),
n=1
f′ =
∞
∑
nbn cos nx − nan sen nx
(en L2 ).
n=1
Teorema 6.10 (Teorema de Completitud). Si f ∈ L2 (T ), entonces f es la
suma de su serie de Fourier. En particular, para todo par de funciones f , g ∈
L2 (−π, π) con desarrollos de Fourier,
f = a0 +
∞
∑
n=1
an cos nx + bn sen nx,
6.4. RESULTADOS DE CONVERGENCIA PUNTUAL
g = α0 +
∞
∑
181
αn cos nx + βn sen nx,
n=1
se tienen (identidades de Parseval):
|f |22 = π{2a20 +
⟨f, g⟩2 = π{2a0 α0 +
∑
∑
a2n + b2n },
an αn + bn βn }.
Demostración. Por la acción combinada de los teoremas de Lusin (véase la Sección 6.8) y Weierstrass tenemos que
f = lı́m fn
(L2 ),
con fn un polinomio. Si p = p(x) es, por ejemplo un polinomio, y definimos:

p(ε − π)


(x + π)
−π ≤ x ≤ −π + ε



ε

−π + ε < x < π − ε
pε (x) = p(x)



 p(π − ε)


(π − x)
π − ε ≤ x ≤ π,
ε
entonces pε → p en L2 cuando ε → 0+. Esto significa que podemos suponer que
los fn son C 1 a trozos, 2π-periódicos y su serie de Fourier converge uniforme(n)
mente. Sea SN la suma parcial N -ésima de la serie de Fourier de fn . Tenemos
que para ε > 0 arbitrario:
ε
|f − fnε |2 ≤ ,
2
para cierto nε . Asímismo,
(n )
|fnε − SN ε |2 ≤
ε
,
2
para N ≥ Nε .
Si SN designa la suma parcial N -ésima de la serie de Fourier de f se tiene,
(n )
(n )
|f − SN |2 ≤ |f − SN ε |2 ≤ |f − fnε |2 + |fnε − SN ε |2 ≤ ε,
para N ≥ Nε , lo que prueba la parte principal del teorema.
6.4.
Resultados de convergencia puntual
El primer resultado se debe esencialmente a Riemann y es básico para presentar una de sus contribuciones más importantes a la teoría: que la convergencia
de la serie de Fourier en un punto sólo depende de la estructura local de la
función en dicho punto.
182
Lema 6.11 (Lema de Riemann-Lebesge). Sea f ∈ L1 (−π, π). Entonces:
∫ π
∫ π
lı́m
f (x) cos nx dx = lı́m
f (x) sen nx dx = 0.
(6.6)
−π
−π
Demostración. Si f ∈ L2 (−π, π) el resultado es obvio. Por otra parte, si f ∈ L1
(los coeficientes en (6.6) tienen sentido) se tiene que:
f (x) = lı́m fA (x)
A→+∞
∀ c. t. x ∈ (−π, π),
donde fA = χ{|f (x)|>A} f . En efecto, el límite falla en los puntos donde |f | toma
el valor +∞, que es de medida cero:
|{|f (x)| > A}| ≤
|f |1
A
A > 0.
Por otra parte,
|aA
n
∫ π
1
− an | = (fA (x) − f (x)) cos nx dx
π −π
∫
1 π
≤
|fA (x) − f (x)| dx
π −π
∫
1
|f | → 0,
=
π {|f (x)|>A}
uniformemente en n cuando A → +∞. Como,
|an | ≤ |aA(ε)
| + |aA(ε)
− an | ≤ ε,
n
n
para A(ε) suficientemente grande y para n ≥ n(ε) como para que el primer
sumando sea inferior a ε/2, resulta que an → 0. Se procede con bn de manera
análoga.
Sea ahora f ∈ L1 (−π, π) una función 2π-periódica cuya serie de Fourier
tiene suma parcial N -ésima SN (x). Entonces:
1
SN (x) =
π
∫
1 ∑
f (t){ +
cos n(x − t)} dt.
2
−π
1
π
N
(
Se tiene:
1
sen N +
N
1 ∑
2
+
cos ny =
1
2
1
2 sen y
2
En efecto si S es el primer miembro,
(
)
y
.
y)
1
y ∑
1
1
1
1
sen
S = sen +
sen(n + ) − sen(n − ) = sen(N + ).
2
2
2
2
2
2
2
1
N
6.4. RESULTADOS DE CONVERGENCIA PUNTUAL
183
Se llama núcleo de Dirichlet de orden N a la expresión:
(
)
1
sen N +
y
2
DN (y) =
.
1
2π sen y
2
Proposición 6.12. El núcleo de Dirichlet presenta las siguientes propiedades,
1. DN = DN (y) es C ∞ y 2π-periódico.
1
2. Dn (y) = DN (−y), DN (y) > 0 en |y| < π/(N + ), se anula en los puntos
2
1
1
1
yk = kπ/(N + ), k ≤ N , del intervalo (0, π), mientras DN (y) ∼ (N + )
2
π
2
cuando y → 0.
3. Se tiene que:
∫
π
−π
DN (y) dy = 1.
Obsérve que la suma parcial SN de la serie de f se puede escribir:
∫ π
SN (x) =
DN (x − t)f (t) dt = DN ∗ f (x).
−π
Por otra parte, no es difícil probar que si f es T -periódica, f ∈ L1 (0, T ), entonces
∫ a+T
f es constante para todo a ∈ R. Por ello,
a
∫ π
SN (x) =
DN (x − t)f (t) dt
−π
∫ π
=
DN (t − x)f (t) dt
∫
−π
π−x
∫
−π−x
π
=
=
−π
DN (z)f (x + z) dz
DN (z)f (z + x) dz.
Podemos ya demostrar el siguiente resultado.
Teorema 6.13 (Convergencia puntual). Sea f ∈ L1 (−π, π) una función 2πperiódica, mientras x0 ∈ [−π, π] es tal que:
f (t + x0 ) − f (x0 )
|t|
(6.7)
con t ̸= 0 está en L1 (−π, π) (condición de Dini). Entonces la serie de Fourier
de f converge a f (x0 ) en x = x0 , es decir,
f (x0 ) = a0 +
∞
∑
n=1
an cos nx0 + bn sen nx0 .
184
Observaciones 6.4. Observaciones Cualquiera de las siguientes condiciones implican la validez de (6.7) en x = x0 :
1. f Hölder continua en x = x0 de exponente 0 < α < 1:
|f (x) − f (x0 )| ≤ C|x − x0 |α ,
para x ∼ x0 , C > 0.
2. f Lipschitz continua en x = x0
|f (x) − f (x0 )| ≤ L|x − x0 |,
para x ∼ x0 , L > 0.
3. f es derivable en x = x0 .
Las tres condiciones implican también la continuidad de f en x = x0 . Sin
embargo no es cierto que la sola continuidad de f en x = x0 garantiza la
convergencia de la serie de Fourier de f a f (x0 ) en x = x0 (ver el contraejemplo
unas líneas más abajo). Por otra parte, nótese que la Lipschtzianidad de f en
x = x0 es equivalente a la finitud de los cuatro números de Dini: D± f (x0 ±),
donde, por ejemplo,
D+ f (x0 ) = lim
x→x0 +
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
Demostración del Teorema 6.13. Tenemos,
∫ π
SN (x0 ) − f (x0 ) =
DN (z)(f (z + x0 ) − f (x0 ) dz
−π
∫ π
f (z + x0 ) − f (x0 )
1
z
sen(N + )z dz → 0,
=
z
2
−π sen(z/2)
cuando N → ∞ en virtud del lema de Riemann-Lebesge.
Una consecuencia de la demostración es lo que se conoce como el principio
de localización de Riemann que viene a asegurar que la convergencia de la serie
de Fourier en x = x0 es una propiedad local.
Proposición 6.14. Si f ∈ L1 (T ) y existe ε > 0 tal que f = 0 ∀ c. t. x ∈
(x0 − ε, x0 + ε) entonces:
a0 +
∞
∑
an cos nx0 + bn sen nx0 = 0.
n=1
Para aplicar los resultados sobre series de Fourier, por ejemplo a funciones
continuas f en [−π, π], se extiende primero f como una función 2π-periódica a
R (v.g. f (x) = ex ). Es entonces natural que aparezcan discontinuidades en la
extensión (si f (−π) ̸= f (π)). El siguiente resultado, debido a Dirichlet, tiene
que ver con ese tipo de situaciones.
6.5. CUESTIONES COMPLEMENTARIAS
185
Teorema 6.15. Sea f ∈ L1 (T ) satisfaciendo que las funciones
f (x0 + t) − f (x0 −)
χ{t < 0}
t
f (x0 + t) − f (x0 +)
χ{t > 0},
t
(6.8)
(t ̸= 0) son localmente integrables. Entonces,
∞
∑
f (x0 −) + f (x0 +)
= a0 +
an cos nx0 + bn sen nx0 .
2
n=1
La demostración es una variante de la del teorema anterior. Nótese que si f
es por ejemplo C 1 a trozos se cumple (6.8) en los puntos de discontinuidad.
6.5.
Algunas cuestiones adicionales sobre la convergencia de las series de Fourier
El siguiente ejemplo de Fejér (1910) (cf. [23]) muestra que la continuidad no
basta para la convergencia puntual. Un primer ejemplo en esta dirección había
sido dado ya por Du Bois-Reymond en 1876.
Se consideran los grupos ordenados de números:
Gn = {
1
1
, . . . , 1, −1, . . . , −
},
2n − 1
2n − 1
a los que se asocian (r un parámetro) las funciones:
ϕ(n, r, x) =
cos(r + 1)x
cos(r + 2n)x
+ · · · + cos(r + n)x − cos(r + n + 1)x − · · · −
2n − 1
2n − 1
n
n
∑
∑
cos(r + n − ν + 1)x
cos(r + n + ν)x
=
−
.
2ν
−
1
2ν − 1
ν=1
ν=1
La familia ϕ(n, r, ·) está uniformemente acotada. En efecto,
1 ∑ sen(ν − 12 )x
ϕ(n, r, x) = 2 sen(r + n + )x
2 ν=1 2ν − 1
{ 2n
}
n
∑ sen( λ )x 1 ∑
1
sen
λx
2
= 2 sen(r + n + )x
−
,
2
λ
2
λ
n
λ=1
λ=1
mientras las expresiones,
SN (x) =
N
∑
sen kx
1
se mantienen acotadas.
k
,
186
Basta escribir:
∫ x
SN (x) =
(cos t + · · · + cos nt) dt
0
∫
(N +1/2)x
=
0
∫
sen u
du +
u
x
0
(
1
1
t −
t
2 sen 2
)
1
x
sen(n + )t dt − ,
2
2
de donde se deduce la acotación uniforme de SN , primero en [0, π], después en
[−π, 0] (refelexión), y después por periodicidad a todo R.
Ejercicio 6.2. Efectuar un estudio detallado de
∫ x
sen u
du,
u
0
en R+ .
Ahora consideramos una sucesión creciente de enteros λ1 < λ2 < · · · y la
sucesión ordenada de coeficientes {αn } que se deduce de la unión:
eλ ∪ G
eλ ∪ · · ·
G
1
2
e λ son los de Gλ multiplicados por 1/n2 . Debe notarse
donde los elementos de G
n
n
que para cada n:
∑
αn = 0.
eλ
αn ∈ G
n
Finalmente construimos la serie formal:
∞
∑
αn cos nx.
(6.9)
n=1
Se observa que:
∑
αn cos nx =
eλ
αn ∈G
n
1
ϕ(λn , 2λ1 + · · · 2λn−1 , x)
n2
e λ ocupa el número de orden 2λ1 +· · · 2λn−1 ,
pues el primer elemento del grupo G
n
el último 2λn unidades más.
La serie (6.9) puede sumarse por “paquetes” en el sentido de que:
∑ ∑
∑ 1
f (x) =
αn cos nx =
ϕ(λn , 2λ1 + · · · 2λn−1 , x),
n2
n
n
eλ
αn ∈G
n
y es inmediato que dicha serie converge uniformemente a una función continua
f (x). Su m-ésimo coeficiente de Fourier se halla haciendo:
∫ 2π
∑ ∫ 2π 1
f (x) cos mx dx =
ϕ(λn , 2λ1 + · · · 2λn−1 , x) cos mx dx
n2
0
0
n
= παm .
6.6. CONVERGENCIA UNIFORME
187
Por lo tanto, (6.9) es exactamente la serie de Fourier de f . Veamos que dicha
serie no converge en x = 0 (la razón es que para sumar dicha serie hay que
“desempaquetarla"lo que causa la no convergencia). En efecto, si sn es la suma
parcial n-ésima de
∞
∑
αn ,
n=1
entonces la subsucesión:
s2λ1 +···+2λn−1 +λn
1
= 2
n
{
}
1
1
log λn
1 + + ··· +
∼
,
3
2λn − 1
2n2
2
n
cuando n → ∞. Si elegimos λn adecuadamente,
∑∞ v. g. λn = n es claro que tal
subsucesión diverge como log n y la serie n=1 αn diverge.
Observaciones 6.5.
a) Usando el principio de acotación uniforme se puede probar (cf. [19], Capítulo
5) la existencia un subconjunto denso E ⊂ C(T ) de forma que la serie de Fourier
de cada f ∈ E diverge sobre un conjunto denso en [−π, π].
b) Carleson probó en 1966 que la serie de Fourier de cada f ∈ L2 (T ) converge a
f , ∀ c. t. x ∈ (−π, π). Eso dice que el conjunto de divergencia de las funciones
f ∈ E de a) debe ser necesariamente de medida cero.
6.6.
Convergencia uniforme
Un primer resultado elemental es el siguiente.
Proposición 6.16. Si f ∈ C 2 es 2π periódica, f es la suma uniforme de su
serie de Fourier.
El resultado se sigue de la identidades (en L2 ),
f = a0 +
∞
∑
an cos nx + bn sen nx
n=1
f′ =
∞
∑
nbn cos nx − nan sen nx
n=1
′′
f =−
∞
∑
n2 an cos nx + n2 bn sen nx.
n=1
En particular:
1
|f ′′ |1 ,
πn2
que prueba la convergencia absoluta y uniforme de la serie de Fourier.
Supongamos más sencillamente que f ∈ C 1 (T ). Una integración por partes
establece que:
a′n = nbn
b′n = −nan ,
|an |, |bn | ≤
188
por lo que
∑∞
n=1
n2 a2n + n2 b2n < ∞. Para estimar la convergencia escribimos:
|SM (x) − SN (x)|2 ≤ 2{
M
M
∑
∑
1
}{
n2 a2n + n2 b2n },
n2
n=N
n=N
y se deduce la convergencia uniforme.
Con un poco más de generalidad, si f ∈ C(T ), f ′ existe excepto quizás en
un número finito de puntos {ai } con f ′ ∈ L2 (−π, π) entonces:
∫
π
′
f (x) cos nx dx =
−π
∑∫
ai
′
f (x) cos nx dx =
−ai−1
i
∫
∑
ai
=n
{f sen nx|ai−1 −
∫
i
lı́m {
ε→0+
ai −ε
f ′ (x) cos nx dx}
−ai−1 +ε
ai
f (x) sen nx dx}
−ai−1
i
= −n
∫
∑
π
f (x) sen nx dx.
−π
Luego, como antes tenemos a′n = −nbn y, por el mismo razonamiento, b′n = nan .
Más aún si f ∈ C(T ) es absolutamente continua, luego:
∫ x
f (x) = f (a) +
g,
a
para alguna g ∈ L1 (T ) y cualquier a ∈ [−π, π], una cuidadosa aplicación del
teorema de Fubini demuestra (cf. [19]), una vez más, que se tienen las relaciones:
∫ π
∫ π
g(x) cos nx dx = −n
f (x) sen nx dx
−π
−π
∫ π
∫ π
g(x) sen nx dx = n
f (x) cos nx dx,
−π
−π
por tanto, a′n = −nbn , b′n = nan . Si además g ∈ L2 (g
en casi
∑ es2 la2 derivada
todo punto de f ) se tendrá la convergencia de la serie
n an + n2 b2n .
Podemos finalmente enunciar nuestro resultado de convergencia uniforme.
Teorema 6.17. Sea f ∈ C(T ) satisfaciendo alguna de las condiciones precedentes. Entonces,
∞
∑
f = a0 +
n=1
uniformemente. Más aún,
v
v
u M
u M
∑
√ u∑
1u
t
sup |SM (x) − SN (x)| ≤ 2t
n2 a2n + n2 b2n .
2
n
[−π,π]
n=N
Observaciones 6.6.
n=N
6.6. CONVERGENCIA UNIFORME
189
a) Haciendo M → +∞ en la última ecuación tenemos la estimación uniforme
del error,
v
v
u∫ π
√ u
N
N
u
2
∑
∑
2 tπ
1u
t
′ 2 − π{
sup |f (x) − SN (x)| ≤
−
f
n2 a2n + n2 b2n }.
π
6
n2
[−π,π]
−π
1
1
Hemos usado que:
∞
∑
1
π2
=
.
2
n
6
n=1
Para probarlo consideramos f (x) = x en [−π, π]. Su serie de Fourier es:
f (x) = 2
de lo que, al ser,
∫
∞
∑
1
(−1)n+1 ,
n
n=1
π
x2 dx =
−π
se tiene:
2π 3
,
6
∞
∑
2π 3
1
= 4π
,
2
6
n
n=1
de donde el resultado.
b) Puede ser de utilidad observar que si f ∈ C k−1 (T ), con f (k−1) C 1 a trozos,
la serie de Fourier de f :
f = a0 +
∞
∑
n=1
se puede derivar k − 1 veces término a término siendo las series resultantes
uniformemente convergentes, mientras:
f (k) =
∞
∑
an (cos nx)(k) + bn (sen nx)(k) ,
n=1
en L2 (T ). Por otro lado,
∞
∑
n=1
para 0 ≤ l ≤ k.
n2l {a2n + b2n } < +∞,
190
6.7.
Convergencia uniforme sobre compactos: fenómeno de Gibb
Cuando una función f presenta una discontinuidad de salto en un punto
x = x0 y es relativamente regular cerca de x = x0 , las sumas parciales SN
de la serie de Fourier desarrollan cuando N → +∞ un tipo característico de
efecto de capa límitite en x = x0 conocido como fenónmeno de Gibb. Mientras
lo describimos probaremos que la serie de Forier de una función C 1 a trozos
converge uniformemente sobre compactos del conjunto de continuidad.
Vamos a comenzar analizando un caso especial: f (x) = 12 signo(x) (cf. [22]).
En este caso:
( ∫ 0 ∫ π)
sen M (x − y) dy
SN (x) = −
+
,
4π
sen( x−y
−π
0
2 )
1
con M = N + . Hacemos θ = M (x − y), mientras llamamos:
2
φ(θ) =
sen θ
,
θ
M sen( 2M
)
y tenemos:
( ∫
SN (x) = −
∫
Mx
(∫
(−1)φ(θ)
Mx
∫
M x+M π
M x−M π
∫
∫
−M x
(∫
M x−M π
∫
Mx
−M x
−
∫
Mx
=
−M x
−
dθ
4π
)
M x+M π
−
+
−M x
dθ
4π
φ(θ)
Mx
=
)
Mx
+
Mx
=
(∫
)
+
M x+M π
( ∫
= −
M x−M π
φ(θ)
Mx
∫
Mx
−M x+M π
M x+M π
M x+M π
)
−
)
φ(θ)
Mx
φ(θ)
−M x+M π
dθ
4π
dθ
4π
dθ
4π
= I1 − I2 .
Vamos ahora a estudiar el comportamiento de la suma parcial cerca de x = 0.
Para ello supongamos que:
|M x| ≤ K.
Tenemos:
∫
Mx
I1 = 2
0
dθ
sen θ
∼
θ
M sen( 2M ) 4π
∫
0
Mx
sen θ dθ
∼
θ 4π
∫
K
0
sen θ dθ
,
θ 4π
6.7. FENÓMENO DE GIBB
191
Figura 6.1: Fenómeno de Gibb
cuando N → +∞. Por otra parte,
∫
M π+M x
I2 =
M π−M x
dθ
sen θ
=
θ
M sen( 2M ) 4π
∫
Mx
−M x
sen(M π + s) ds
π
s 4π .
M sen( +
)
2
2M
Como |M x| ≤ K la integral I2 tiende a cero cuando N → +∞.
Por tanto para M x = K > 0 tenemos que:
∫
K
SN (x) ∼
0
sen θ dθ
,
θ 2π
1
cuando N → ∞ (M = N + ). El valor máximo de SN (x) corresponderá a
2
valores de K que hagán máxima la integral. A este respecto, dicha integral es
positiva para K > 0 y el máximo se alcanza en K = π. Por tanto en los puntos:
x=
π
,
M
SN (x) alcanza su valor asintótico máximo que viene dado por:
π
1
SN ( ) ∼
M
2π
∫
0
π
sen θ dθ ′
0 59 = 0′ 50 + 0′ 09.
θ ∼
La suma parcial N -ésima desarrolla entonces un “pliegue"que tiene de alto 0′ 59,
un total de un 9 % más que el valor de convergencia puntual en x > 0 que
π
es exactamente 0′ 5. La situación simétrica ocurre en x = − . La Figura 6.1
M
ilustra gráficamente dicho comportamiento. La Figura 6.2, cortesía de MATLAB,
corresponde a la suma parcial S17 (x) de la serie de la función signo(x).
En realidad hemos probado un resultado más general.
192
Teorema 6.18. Sea f 2π-periódica y C 1 a trozos. Sea a un punto de discontinuidad donde el valor del salto es σ = f (a+) − f (a−). Entonces, para
(
x±
N =a±
π
1
N+
2
),
se tiene que la suma parcial N -ésima de la serie de Fourier satisface que:
SN (x±
N ) ∼ σI +
siendo I =
1
2π
∫π
0
sen θ
θ
f (a−) + f (a+)
2
dθ.
Vamos a estudiar por último la convergencia uniforme sobre compactos de
la serie de una función C 1 a trozos. Para ello, basta con estudiar el ejemplo de
1
f (x) = signo (x). Sean,
2
0 < x1 < x2 < π,
se tiene,
(∫
SN (x2 ) − SN (x1 ) = 2
∫
M x2
M x2 +M π
+
)
φ(θ)
M x1
M x1 +M π
dθ
.
4π
Tras un cambio de variable, la primera integral toma la forma:
1
2π
∫
x2
x1
sen M s
ds =
sen 2s
∫ x2
s x2
s
1
{− cos M s cosec |x1 +
cos M s cosec′ ( ) ds} → 0,
2πM
2
2
x1
uniformemente en 0 < ε ≤ x1 < x2 ≤ π − ε cuando N → +∞.
La segunda integral se puede escribir como:
∫
M x2
M x1
sen(M π + s) ds
=
π
s 4π
M sen( + 2M
2
∫
x2
x1
sen(M (π + s) ds
,
π
sen( + 2s 4π
2
y una cuenta como la de arriba prueba la convergencia uniforme a cero de la
integral en 0 < ε ≤ x1 < x2 ≤ π − ε cuando N → +∞.
Hemos probado por tanto el siguiente resultado.
Teorema 6.19. Si f es C 1 a trozos y 2π-periódica entonces su serie de Fourier
converge a f uniformemente sobre compactos del conjunto de continuidad de f .
6.8. TEOREMA DE LUSIN
193
1.5
f(t)
s17(t)
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura 6.2: Suma parcial de orden 17 de la función signo(x)
6.8.
Teorema de Lusin
La aproximación de funciones integrables por funciones continuas es consecuencia del siguiente resultado general (cf. [19]).
Teorema 6.20 (Teorema de Lusin). Sea Ω ⊂ Rn medible, |Ω| < ∞. Si f es
medible en Ω (f ∈ M (Ω)), para cada ε > 0 existe gε ∈ C0 (Rn ) cumpliendo
sup |g| ≤ sup |f | tal que:
|{x ∈ Ω : f ̸= gε }| < ε.
Se tiene como consecuencia.
Corolario 6.21. Si f ∈ M (Ω), |Ω| < +∞, |f | ≤ 1, existe una sucesión gn ∈
C0 (Rn ), |gn |∞ ≤ 1 tal que:
lı́m gn (x) = f (x)
∀ c. t. x ∈ Ω.
Demostración. Escogemos gn tal que |An := {f ̸= gn }| ≤ 2−n . Entonces, y
∀ c. t. x ∈ Ω cada x ∈ Ω está a lo más en un número finito de An ’s (Ejercicio).
Ejercicio 6.3. Sea An ⊂ RN una sucesión de conjuntos medibles tal que:
∑
|An | < ∞.
n
194
∑
Usando la integrabilidad de n χAn (x) pruébese que ∀ c. t. x ∈ RN , x ∈ RN
está a lo más en un número finito de An ’s.
Corolario 6.22. Sea f ∈ Lp (Ω), |Ω| < +∞, 1 ≤ p ≤ +∞. Entonces existe una
sucesión gn ∈ C0 (Rn ) verificando:
en Lp (Ω).
lı́m gn (x) = f (x)
6.9.
Ejercicios
1. Sea f ∈ L2 (0, π). Prúebese que f puede desarrollarse en la forma:
f = a0 +
∞
∑
an cos nx,
n=1
o bien en la forma,
f=
∞
∑
bn sen nx,
n=1
siendo ambos desarrollos convergentes en L2 (0, π) ¿ Qué se podrá decir
de la convergencia puntual? Análogamente, si f ∈ L2 (a, b) demuéstrese
que f puede expresarse como la suma en L2 (a, b) de una serie de senos
adecuada, o de una serie de cosenos, o mediante una serie que involucra simultáneamente a senos y cosenos. Analizar también la convergencia
puntual.
2. Sea f ∈ L2 (T, C) compleja. Determínense cuáles han de ser los coeficientes
complejos {cn }n∈Z para que:
f (x) =
∑
cn einx .
n∈Z
en L2 (T, C). Pruése que si f ∈ L2 (T, C) y usamos tales cn la serie converge
en L2 (T, C) a una función f˜ ∈ L2 (T, C) que cumple:
|f˜|2 ≤ |f |2 .
3. En el presente ejercicio vamos a probar que toda f ∈ L2 (T, C) es la suma
en L2 de su serie de Fourier:
f=
+∞
∑
cn einx .
−∞
Para ello seguiremos los siguientes pasos.
6.9. EJERCICIOS
195
a) El teorema de Stone-Weierstrass permite probar que los polinomios
trigonométricos,
p(x) = a0 +
N
∑
n=1
son densos en C(T ). Prúebese que los polinomios trigonométricos
complejos,
N
∑
p(x) =
cn einx ,
n=−N
también son densos en C(T, C).
b) Demuéstrese que si f ∈ C(T, C), f es la suma en L2 de su serie de
Fourier.
c) Usando los resultados del Capítulo demuétrese que C(T, C) es denso
en L2 (T, C). Si SN es la suma parcial N -ésima de la serie de Fourier
de f ∈ L2 (T, C), verifíquese la desigualdad:
|f − SM |22 ≤ |f − SM |22 + |SM − SN |22 = |f − SN |22 ,
válida para todo M ≥ N . Combinar esta desigualdad con (2) para
concluir que SN → f en L2 (T, C).
4. Usar el método de ortonormalización de Schmidt para obtener una base
ortonormal en el subespacio P2 (x) ⊂ L2 (0, 1) de los polinomios de grado
menor o igual que dos. Hállese la mejor aproximación con respecto a la
norma de L2 (0, 1) de la función f (x) = ex por polinomios de grado menor
o igual que dos.
5. Sea f (x) = |x| en el intervalo (−π, π). Elegir los coeficientes en:
f2 (x) =
1
a0 + a1 cos x + b1 sen x + a2 cos 2x + b2 sen 2x,
2
para minimizar el error en L2 (−π, π).
6. Hállese la serie de Fourier en senos de f = 1 en (0, π).
7. Calcúlese la suma de la serie:
∞
∑
1
.
(2n
−
1)2
n=1
8. Usar series de Fourier y la función f (x) = x2 para determinar la suma de
la serie:
∑ 1
.
n4
196
9. Pruébese que:
∫
π
lı́m
log x sen x dx = 0.
0
10. Sea f ∈ L2 (T ). Denotemos por SN (x) la suma parcial N-ésima de su serie
de Fourier:
∞
∑
SN (x) = a0 +
n=1
a) Pruébese que:
1
SN (x) =
2π
donde DN (τ ) =
que:
∫
π
−π
f (x + τ )DN (τ ) dτ,
sen(N + 12 )τ
(Núcleo
sen τ2
1
2π
∫
de Dirichlet). Pruébese además
π
−π
DN (τ ) dτ = 1.
b) Sea f ∈ L2 (−π, π). Pruébese que si la función fx0 = f (x+x0x)−f (x0 ) ∈
L1 (−π, π) entonces la serie de Fourier de f converge a f (x0 ) en x = x0
(criterio de Dini).
c) Si f ∈ L2 (−π, π) es derivable en x = x0 se tiene convergencia de la
serie de Fourier de f en x0 al valor f (x0 ).
11. Hállense las series de Fourier de ex , x, sen3 x en (−π, π). Calcular la suma
de la serie de Fourier de ex en x = π.
12. Sea f una función C 2 y 2π-periódica en R. Demúestrese que la serie de
Fourier converge uniformemente a f .
13. (Teorema de Localización). Como consecuencia del teorema de RiemannLebesgue pruébese que si f ∈ L1 (−π, π) se anula en un entorno de x0
entonces su serie de Fourier converge a 0 en dicho punto. Si dos funciones
f, g ∈ L1 coinciden en algún entorno de un punto x0 , ¿ Qué se puede decir
de sus series de Fourier en tal punto?
14. Sea f ∈ L2 (−π, π) una función 2π-periódica en R que es derivable en
(−π, π) excepto quizás en un número finito de puntos. Supóngase que f
es continua en [−π, π] y que la derivada f ′ ∈ L2 (−π, π).
a) Pruébese que para −π ≤ a ≤ x ≤ π se tiene:
∫ x
f (x) = f (a) +
f ′ (t) dt.
a
b) Prúebese que la serie de Fourier de f converge uniformemente a f
6.9. EJERCICIOS
197
Indicación. Úsese el siguiente resultado que puede consultarse en el libro
de Rudin [19] (Capítulo VII): Si f (x) es diferenciable en todo el intervalo
[a, b] con derivada f ′ ∈ L1 (a, b) entonces
∫ x
f (x) = f (a) +
f ′ dt,
a
para todo x.
15. (Teorema de Completitud). Admitiendo que el conjunto de las funciones de clase C ∞ en (−π, π) con soporte compacto contenido en dicho
intervalo (clase de funciones que se representa por C0∞ (−π, π)) es denso en L2 (−π, π) 2 , demuéstrese que la serie de Fourier de cualquier
f ∈ L2 (−π, π) converge a f en la norma de L2 (−π, π).
16. Una consecuencia del teorema de Lusin (cf. [19] o el Anexo) es que las
funciones continuas con soporte compacto en (−π, π) son densas en Lp .
Utilizar este hecho para probar que toda f ∈ L2 puede aproximarse en L2
por funciones fn que satisfacen las condiciones del problema 9 y deducir
de ahíel teorema de completitud.
17. Se considera el problema de Dirichlet homogéneo para la ecuación del
calor:
ut = duxx 0 < x < π, t > 0
u(x, 0) = f (x) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = u(π, t) = 0,
t ≥ 0,
y su solución “formal":
u(x, t) =
∞
∑
bn e−dn t sen nx,
2
(6.10)
n=1
obtenida por el método de separación de variables; donde:
f (x) =
∞
∑
bn sen nx
(6.11)
n=1
∫π
con bn = π2 0 f (x) sen nx dx, es el desarrollo en serie de Fourier en senos de f (x). Admitamos que f ∈ C 2 ([−π, π]) satisface las condiciones de
compatibilidad:
f (0) = f (π) = f ′′ (0) = f ′′ (π) = 0.
a) Pruése que ∃c > 0 tal que |bn | ≤ c para todo n. Dedúzcase de ahí que
u(x, t) definida por (1) es de clase C ∞ en t > 0, 0 < x < π. Pruébese
que u(x, t) es efectivamente solución de la ecuación del calor.
2 Véase
el libro de W. Rudin [19].
198
b) Pruébese que la serie de Fourier en senos de f , (2), converge uniformemente en [0, π].
c) Designemos por uN (x, t) la suma parcial N -ésima de la serie (6.10),
siendo fN (x) la correspondiente suma parcial de la serie (6.11). Pruébese que uN (x, 0) = fN (x). Utilícese el principio del máximo para
demostrar que:
máx
0≤t<T,0≤x≤π
|uN (x, t) − uM (x, t)| ≤ máx |fN (x) − fM (x)|,
0≤x≤π
cualquiera que sean M ≤ N ∈ N y T > 0. Conclúyase que (6.10) es
una solución clásica del problema de Cauchy, e. d., C 2 en 0 < t, 0 <
x < π y continua en 0 ≤ t, 0 ≤ x ≤ π 3 .
3 cf.
[26], Sección 22.
Capítulo 7
Separación de Variables
El objetivo del capítulo es revisar las soluciones de algunos problemas conocidos mediante el método de separación de variables, de larga tradición en la
física matemática desde finales del siglo XVIII. Supondremos que el intervalo de
variación de la variable espacial es (0, π). Esto no reviste pérdida de generalidad
en los problemas que se estudiarán.
7.1.
Ecuación del calor
El problema de contorno y valor inicial,


0 < x < π, t > 0
ut = uxx
u(x, 0) = f (x)
0<x<π


u(0, t) = u(π, t) = 0 t > 0,
(7.1)
puede tratarse ensayando soluciones de la forma:
u = X(x)T (t),
que llevan a la ecuación
T′
X ′′
=
.
T
X
De la igualdad resulta el problema de contorno:
{
X ′′ + λX = 0 0 < x < π
X(0) = X(π) = 0.
(7.2)
La existencia de soluciones no triviales requiere que λ = −n2 , n ∈ N junto con
2
Xn = Bn sen nx mientras que Tn = Bn′ e−n t . La combinación,
u=
N
∑
bn e−n t sen nx,
2
n=0
199
200
CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
permite resolver (7.1) con f ’s de la forma,
f=
N
∑
bn sen nx.
n=1
Esta clase –finitodimensional– de datos iniciales es claramente insuficiente por
lo que parece sobradamente razonable preguntarse cuánto es de grande la clase
de datos representables bajo la forma:
f=
∞
∑
bn sen nx,
(7.3)
n=1
para después proponer,
u=
∞
∑
bn e−n t sen nx,
2
n=1
al menos como solución formal. Sobre la representabilidad de f en la forma
(7.1) tratamos largamente en el Capítulo ??. Sabemos, por ejemplo que si
f ∈ L∫2 (0, π), (1) converge en L2 (0, π) bajo la elección de coeficientes bn =
π
(2/π) 0 f (x) sen nx dx. Se tiene el siguiente resultado.
Teorema 7.1. Sea f ∈ C[0, π], f (0) = f (π) = 0, ∃f ′ (x) para x ∈ (0, π) con
f ′ ∈ L2 (0, π) entonces:
u=
∞
∑
bn e−n t sen nx ∈ C ∞ {t > 0} ∩ C{t ≥ 0},
2
(7.4)
n=1
define una solución clásica del problema (7.1).
Observaciones 7.1.
a) En el Capítulo ?? resolvimos (7.1) bajo menos regularidad para f . A saber
f ∈ C[0, π], f (0) = f (π) = 0.
b) Para que (7.33) sea C ∞ en t > 0 basta con que los coeficientes bn estén
acotados.
c) En la prueba de la continuidad de (7.33) hasta t = 0 el principio débil del
máximo juega un papel importante.
d) Con las técnicas de reflexión del Capítulo ?? se prueba que la versión “Neumann” del problema (7.1):


0 < x < π, t > 0
ut = uxx
(7.5)
u(x, 0) = f (x)
0<x<π


ux (0, t) = ux (π, t) = 0 t > 0,
admite una única solución clásica, u ∈ C 2 {t > 0} ∩ C 1 {t ≥ 0} cuando f ∈
C 1 [0, π], f ′ (0) = f ′ (π) = 0. Mediante separación de variables y un argumento
7.2. FUNCIÓN DE GREEN
201
simétrico si f ∈ C[0, π], f ′ ∈ L2 (0, π), (7.5) admite la solución clásica, u ∈
C 2 {t > 0} ∩ C{t ≥ 0} de la forma:
u = a0 +
∞
∑
an e−n t cos nx ∈ C ∞ {t > 0} ∩ C{t ≥ 0},
2
(7.6)
n=1
∫π
∫π
an = (2/π) 0 f (x) cos nx dx, a0 = (1/π) 0 f (x) dx. Las condiciones f ∈
C 1 [0, π], f ′ (0) = f ′ (π) = 0 junto con f ′′ ∈ L2 (0, π) bastan para justificar
que (7.6) define una solución clásica, C 1 hasta t = 0.
7.2.
Función de Green: problema de valor inicial
Supongamos que f ∈ L1 (0, π) entonces:
∫
∫
∞
∞
∑
2
2 π∑
2 π
−n2 t
f (ξ)e
sen nx sen nξ dξ =
f (ξ)e−n t sen nx sen nξ dξ.
u(x, t) =
π
π
0
0 n=1
n=1
En efecto, la ∑
serie permuta con la integral por ejemplo
∑∞ en virtud1 de que si
∞
1
1 (Ω) < +∞ entonces f =
|f
|
f∑
n
n ∈ L (Ω),
L
n=1 fn ∈ L (Ω), |f | ≤
n=1
∫
∑∞ ∫
∞
1 (Ω) ,
|f
|
f
=
f
.
En
nuestro
caso:
n
n
L
n=1
n=1 Ω
Ω
∞ ∫
∑
n=1
π
|f (ξ)e−n t sen nx sen nξ| dξ ≤
2
0
∞ ∫
∑
n=1
π
e−n t |f (ξ)| dξ < ∞.
2
0
Conviene introducir el núcleo (función de Green),
G(ξ, x, t) =
∞
2 ∑ −n2 t
e
sen nx sen nξ ∈ C ∞ {t > 0}.
π n=1
Nuestra solución se escribe entonces,
∫ π
u(x, t) =
G(ξ, x, t)f (ξ) dξ.
(7.7)
0
El siguiente resultado pone de manifiesto lo útil que es la representación (7.7) de
la solución. Debe notarse que en el Cap. V no se consideraron datos f ∈ L1 (0, π).
Teorema 7.2. Sea f ∈ L1 (0, π). Entonces u ∈ C ∞ {t > 0}. Si, por otra parte,
f ∈ L∞ (0, π), entonces u está acotada en t > 0 mientras lı́m(x,t)→(x0 ,0) u(x, t) =
f (x0 ) en los puntos de continuidad de x0 ∈ (0, π) de f .
Demostración. Lo primero que probaremos es:
G(ξ, x, t) ≥ 0,
para t > 0. La igualdad es obvia si ξ o x son cero módulo π. Por otro lado, si
G(ξ0 , x0 , t0 ) < 0,
202
en (ξ0 , x0 ) ∈ (0, π) × (0, π) entonces G < 0 en |ξ − ξ0 | < δ donde localizamos
una función f ∈ C01 [0, π], con sop f ⊂ {|ξ − ξ0 | < δ}, f positiva en su soporte.
Tenemos entonces para la solución uf de (7.1) con este dato:
u(x0 , t0 ) < 0,
que va contra el principio débil del máximo.
Por otro lado,
∫ π
G(ξ, x, t) dξ ≤ 1.
(7.8)
0
Esto es muy interesante porque si, por ejemplo, f ∈ C[0, π], f (0) = f (π) = 0 se
tiene la afirmación enunciada en el Ejercicio 7.1.
Por tanto, si un ∈ C{t ≥ 0} es la solución clásica de (7.1) con dato fn , u la
obtenida como:
∫ π
u=
G(ξ, x, t)f (ξ) dξ,
0
∫
resulta:
π
|u − un | ≤
G(ξ, x, t)|f − fn | dξ ≤ |f − fn |∞ .
0
Luego un → u uniformemente en t ≥ 0. Esto significa que u ∈ C{t ≥ 0} es la
solución clásica de (7.1).
Otra consecuencia inmediata de (7.8) es que si f ∈ L∞ (0, π) entonces u dada
por (G) es también una función acotada en t ≥ 0.
Probemos (7.8). Consideramos fn = 1 en [1/n, π − 1/n], fn el segmento
inclinado desde el valor 1 a los extremos del intervalo, mientras un es la solución
asociada. Resulta, del principio del máximo:
∫ π
G(ξ, x, t)fn (ξ) dξ ≤ 1.
0
Tomando límites se llega al resultado deseado.
Por otro lado se tiene que:
∫ π
G(ξ, x, t) sen ξ dξ = e−t sen x.
0
Esto permite escribir, 0 < x0 < π, la diferencia:
∫ x0 +δ ∫
sen ξ
u(x, t) − f (x0 ) = {
] dξ.
+
}G(ξ, x, t)[f (ξ) − f (x0 )et
sen x
x0 −δ
I\[x0 −δ,x0 +δ]
Mientras la primera integral se hace arbitrariamente pequeña con δ, para la
segunda hay que proceder con más cuidado. En efecto, el integrando de ésta
permanece acotado. Poniendo Iδ = [x0 − δ, x0 + δ] escogemos una función fδ ≥ 0
con soporte Iδ tal que fδ = 1 en Iδ/2 . Si uδ es la solución de (7.1) correspondiente
a fδ resulta que:
∫
G(ξ, x, t) dξ ≤ 1 − uδ .
I\Iδ
7.3. ECUACIÓN DE ONDAS
203
La integral tenderá uniformemente a 0 con x ∈ Iδ/2 cuando t → 0+. Esto prueba
la convergencia a cero de la segunda integral.
Ejercicio 7.1. Si f ∈ C[0, π], f (0) = f (π) = 0 entonces f = lı́m fn uniformemente, donde fn es continua, C 1 a trozos y fn (0) = fn (π) = 0.
Corolario 7.3. Si f ∈ C[0, π], f (0) = f (π) = 0, entonces
∫ π
u=
G(ξ, x, t)f (ξ) dξ,
0
es la solución cláscica de (7.1).
7.3.
Ecuación de ondas
El problema de Dirichlet para la ecuación de ondas,

utt = c2 uxx
0 < x < π, t > 0



u(x, 0) = f (x)
0<x<π

ut (x, 0) = g(x)
0<x<π



u(0, t) = u(π, t) = 0
t > 0,
(7.9)
puede tratarse con el método de separación de variables. El buscar soluciones
de la forma:
u = X(x)T (t),
nos lleva igualmente a la ecuación:
X ′′
1 T ′′
= 2
.
X
c T
Ésta a su vez al problema de contorno,
X ′′ + λX = 0
X(0) = X(π) = 0,
que proporciona los valores λn = n2 a los que corresponden soluciones Xn (x) =
An sen nx. Los mismos valores de λ = n2 permiten determinar las funciones de
t, Tn (t) = Bn cos nct + Cn sen nct. Alternativamente,
Xn Tn = (an cos nct + bn sen nct) sen nx
(n ∈ N).
Por este simple procedimiento podemos determinar la solución de la familia
finito dimensional de datos iniciales,
f=
N
∑
αn sen nx
n=1
g=
N
∑
n=1
βn sen nx.
204
Tal solución es,
uN (x, t) =
N
∑
(αn cos nct +
n=1
βn
sen nct) sen nx.
nc
De los resultados del Capítulo ?? sabemos que si f ∈ C 2 [0, π], g ∈ C 1 [0, π]
cumplen las condiciones de compatibilidad f (0) = f ′′ (0) = f (π) = f ′′ (π) = 0,
g(0) = g(π) = 0 entonces podemos representarlas,
f=
g=
∞
∑
n=1
∞
∑
αn sen nx
βn sen nx
n=1
∫ x
G=
g(s) ds =
0
∞
∞
∑
βn ∑ βn
−
cos nx.
n
n
n=1
n=1
siendo en todos los casos uniforme la convergencia. La serie, en principio formal,
u=
∞
∑
n=1
∞
∑
(αn cos nct +
βn
sen nct) sen nx
nc
∞
∑
βn
=
sen nct sen nx := u1 + u2 ,
αn cos nct sen nx +
nc
n=1
n=1
(7.10)
se puede reinterpretar en los términos siguientes,
u1 =
∞
∑
n=1
=
αn cos nct sen nx =
∞
∞
1∑
1∑
αn sen n(x + ct) +
αn sen n(x − ct)
2 n=1
2 n=1
1
{f (x + ct) − f (x − ct)},
2
luego u1 es C 2 –aunque no sea posible derivar dos veces la serie término a
término– y es la solución de (7.9) correspondiente a g = 0. Análogamente,
u2 =
=
∞
∞
∞
∑
∑
∑
1
βn
βn
βn
sen nct sen nx = {−
cos n(x + ct) +
cos n(x − ct)}
nc
2c
nc
nc
n=1
n=1
n=1
1
{G(x + ct) − G(x − ct)}.
2c
De nuevo, u2 es C 2 y define la solución de (7.9) con f = 0, aunque –como antes–
no estemos autorizados a derivar dos veces la serie. Por tanto, (7.10) representa
la solución a pesar de que las manipulaciones de diferenciabilidad término a
término de la serie no son en principio posibles 1 .
1 Este fenómeno también se observa en las ecuaciones de Poisson y del Calor (con término
de perturbación). Se obtiene una representación de la solución en la que no siempre es posible
derivar bajo el signo integral.
7.4. ECUACIÓN DE ONDAS AMORTIGUADA
205
En caso de condiciones Neumann,
ux (0, t) = ux (π, t) = 0,
(7.11)
junto con datos f ∈ C 2 [0, π], g cumpliendo las correspondientes condiciones de
compatibilidad se tienen las representaciones (uniformemente convergentes):
∞
∑
f = α0 +
g = β0 +
n=1
∞
∑
αn cos nx
βn cos nx
n=1
∫
x
g(s) ds = β0 x +
G=
0
∞
∑
βn
sen nx.
n
n=1
Aplicando el método de separación de variables como en la primera parte, llegamos a la siguiente expresión formal de la solución,
u = a0 + b0 t +
∞
∑
(an cos nct + bn sen nct) cos nx.
n=1
Teniendo en cuenta los datos los coeficientes que se obtienen son:
u = α 0 + β0 t +
∞
∑
(αn cos nct +
n=1
βn
sen nct) cos nx.
nc
(7.12)
En efecto, es otra vez fácil probar que:
u=
1
1
{f (x + ct) + f (x − ct)} + {G(x + ct) + G(x − ct)},
2
2c
que es la fórmula de D’Alambert del Capítulo ??.
7.4.
Ecuación de ondas amortiguada
Los mismos métodos nos permiten considerar problemas más complicados
como el correspondiente a la ecuación de ondas con fricción aerodinámica:

2
0 < x < π, t > 0

utt + 2aut = c uxx

u(x, 0) = f (x)
0<x<π
(7.13)
ut (x, 0) = g(x)
0<x<π



u(0, t) = u(π, t) = 0
t > 0,
con a > 0. Al usar separación de variables y considerar soluciones de la forma
u = X(x)T (t) llegamos a la ecuación:
X ′′
1 T ′′ + 2aT ′
=
= −λ.
c2
T
X
206
Las condiciones Dirichlet determinan λn = n2 junto con Xn = cn sen nx. Si, por
simplicidad, ponemos g = 0, las T ’s vienen determinadas por:
T ′′ + 2aT ′ + n2 cT = 0
T ′ (0) = 0,
y por ello,

√
√
a
a

senh a2 − n2 c2 t] n <
e−at [cosh a2 − n2 c2 t + √


2
2
2
c
a −n c



a
−at
n=
Tn (t) = e [1 + at]
c



√
√

a
a

e−at [cos n2 c2 − a2 t + √
sen n2 c2 − a2 t]
n> ,
c
n2 c2 − a2
donde Tn se ha normalizado para cumplir Tn (0) = 1. Si tomamos f ∈ L2 (0, π)
una expresión formal de la solución es:
u=
∞
∑
(7.14)
bn Tn (t) sen nx,
n=1
∑∞
con f = n=1 bn sen nx. A los efectos de estudiar la convergencia de la serie
podemos considerarla escrita en la forma:
∑
∑
bn Tn (t) sen nx.
bn Tn (t) sen nx +
u = u1 + u2 =
n>a/c
n≤a/c
Las estimaciones de la serie recaerán sobre la parte u2 . Si, por ejemplo, f ∈
C 2 [0, π], f (0) = f (π) = f ′′ (0) = f ′′ (π) = 0, f ′′ es derivable en todo (0, π) con
derivada f ′′′ ∈ L2 (0, π), entonces:
∞
∑
n6 b2n < ∞,
n=1
lo que nos da la convergencia uniforme de las derivadas de orden dos de la serie
7.14. Por ejemplo, la serie formal que corresponde a la derivada de orden dos
con respecto a x da lugar a:
|
M
∑
N
M
M
∑
∑
1
6 2
}{
−n bn Tn (t) sen nx| ≤ {
n bn
}.
n2
2
2
N
N
Esto prueba la convergencia uniforme en t ≥ 0 de la serie
∞
∑
−n2 bn Tn (t) sen nx.
n=1
Para las otras derivadas de orden 2 basta con observar que Tn (t) = O(1), Tn′ (t) =
O(n), Tn′′ (t) = O(n2 ) uniformemente en t ≥ 0 cuando n → ∞.
7.5. PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS: FUNCIÓN DE GREEN
207
Sin embargo, para que (7.14) represente una función C 2 y defina una solución
de (P), basta con menos regularidad en f , como en la ecuación de ondas. La
idea clave es que:
Tn (t) ∼ e−at cos nct,
cuando n → +∞. Usando esa referencia podemos observar la solución como,
u = e−at
∞
∑
bn cos nct sen nx +
n=1
=
e
−at
2
∞
∑
bn [Tn (t) − e−at cos nct] sen nx
n=1
{f (x + ct) + f (x − ct)} +
∞
∑
(7.15)
bn [Tn (t) − e
−at
cos nct] sen nx.
n=1
Se tiene, por otra parte se tiene que:
Tn − e−at cos nct = O(1/n)
(Tn − e−at cos nct)′ = O(1)
(Tn − e−at cos nct)′′ = O(n),
uniformemente en 0 ≤ t ≤ T , para ∑
cada T > 0, cuando n → +∞. En conse∞
cuencia, la convergencia de la serie n=1 n4 b2n basta para asegurar que (7.15)
se puede derivar término a término hasta el orden dos. Tal convergencia está
asegurada si f ∈ C 1 [0, π], f (0) = f (π) y existe f ′′ en (0, π) con f ′′ ∈ L2 (0, π).
Estas condiciones se cumplen sobradamente si f ∈ C 2 [0, π] y f (0) = f (π) = 0
(que de rebote es la condición necesaria y suficiente para que la primera parte de la solución sea C 2 ). Resulta llamativo observar que si f ′ es sólo C 1 a
trozos la serie es C 2 , pero la parte D’Alambert no. Las discontinuidades de la
derivadas segundas se propagan a través de la parte D’Alambert siguiendo las
características según se ha observado en el Capítulo ??.
7.5.
Problemas no homogéneos: función de Green
Consideraremos el operador lineal,
Lu = (pu′ )′ + qu,
donde u ∈ C 2 [a, b], p ∈ C 1 [a, b], p(x) ≥ p0 > 0 en [a, b], q ∈ C[a, b]. Definimos el
operador de contorno,
B:
C[a, b]
u
−→
7−→
por,
(
Bu =
m1
m2
n1
n2
p1
p2
q1
q2
)
R2
Bu,


u(a)
 u′ (a)


 u(b)  .
u′ (b)
El primer resultado recuerda el comportamiento de los sistemas lineales finito
dimensionales.
208
Teorema 7.4 (Teorema de la Alternativa). El problema,
{
Lu = f
a<x<b
Bu = h
(7.16)
para f ∈ C[a, b], h ∈ R2 ,
1) o bien admite una solución única u ∈ C 2 [a, b] para cada (f, h) ∈ C 2 [a, b] × R2 ,
2) o bien el problema homogéneo,
{
Lu = f
Bu = h
a<x<b
admite soluciones no triviales.
Demostración. La existencia de solución para cada (f, h) equivale a la unicidad
de soluciones. En efecto la existencia de soluciones dice que con f = 0, el
problema (7.16) admite solución para todo h ∈ R2 . Si {v1 , v2 } es un sistema
fundamental de soluciones, el sistema:
c1 B(v1 ) + c2 B(v2 ) = h,
admite soluciones para cada h ∈ R2 . Esto es equivalente a rango {B(v1 ), B(v2 )} =
2 (la condición no depende del sistema {v1 , v2 } elegido).
Recíprocamente, si rango {B(v1 ), B(v2 )} = 2 para resolver (7.16) tomamos
una solución cualquiera u = uf de Lu = f , ponemos:
u = c1 v1 + c2 v2 + uf ,
y determinamos c1 , c2 en el sistema,
c1 B(v1 ) + c2 B(v2 ) = h − B(uf ).
Tras esta discusión es claro que la opción 2) es la única alternativa a la opción
1) del teorema. Esto cierra la prueba.
Definición 7.5. Las condiciones de contorno definidas por B se dicen críticas
para L en [a, b] si se da la opción 2) del teorema. Se dirán no críticas en caso
contrario.
Observación 7.2. Si las condiciones de contorno son no críticas, la solución de
(7.16) se puede fragmentar en u = u1 + u2 donde
Lu1 = 0
Lu2 = f
B(u1 ) = h
B(u2 ) = 0.
El cálculo de u1 es un problema elemental cuando se conoce un sistema fundamental {v1 , v2 }. La del segundo se puede expresar mediante un operador lineal
209
K : C[a, b] → C[a, b], el operador solución, cuyas propiedades estudiaremos con
detalle. En particular probaremos la existencia de una función:
[a, b] × [a, b]
(x, t)
G:
−→
7−→
R
G(x, t),
la función de Green del problema de contorno, tal que:
∫ b
u(x) = Kf =
G(x, t)f (t) dt.
(7.17)
a
Teorema 7.6. Supongamos que las condiciones de contorno del problema (7.16)
son no críticas. Existe entonces una función única G ∈ C([a, b] × [a, b]) con las
siguientes propiedades (∆ = {(x, t) ∈ [a, b] × [a, b] : x = t}):
Gx ∈ C([a, b] × [a, b] \ ∆) con
1
.
p(t)
Gx (t+, t) − Gx (t−, t) =
Para cada t ∈ [a, b] tiene,
Lx G(·, t) = 0
x ∈ [a, b] \ t
B(G(·, t) = 0.
La solución de (7.16) con h = 0 se escribe en la forma (7.17).
A efectos de probar el teorema resulta conveniente disponer de una expresión
para la solución del problema,
Lu = f a < x < b
u(a) = u′ (a) = 0.
Si {v1 , v2 } es un sistema fundamental de soluciones, el clásico método de variación de las constantes consiste en hallar c1 , c2 tales que,
u = c1 v1 + c2 v2 ,
es la solución del problema (ci funciones de t). Ello nos lleva a considerar el
sistema,
c′1 v1 + c′2 v2 =
f
c′1 v1′ + c′2 v2′ = .
p
El determinante de la matriz de coeficientes es el Wronskiano de {v1 , v2 },
v1 v2 ̸= 0,
W = ′
v1 v2′ mientras,
∫
x
−
c1 =
a
v2 (t)f (t)
dt
p(t)W (t)
∫
c2 =
a
x
v1 (t)f (t)
dt.
p(t)W (t)
210
Podemos escribir entonces,
∫
v1 (x)v2 (t) − v1 (t)v2 (x)
f (t) dt =
p(t)W (t)
x
−
u=
a
donde,
∫
b
R(x, t)f (t) dt,
a

− v1 (x)v2 (t) − v1 (t)v2 (x)
p(t)W (t)
R(x, t) =

0
t≤x
t > x.
Debe observarse que p(x)W (x) se mantiene constante en [a, b]. Se llama a R
la función de influencia o función de Green unilateral. Debe notarse que R =
R(x, t) cumple:

Lx R(·, t) = 0
x≥t



R(·, t)|x=t = 0

1

Rx′ (·, t)|x=t =
.
p(t)
Si el problema de contorno,
Lu = f a < x < b
B(u) = 0,
es no crítico, la función de Green se puede calcular poniendo,
∫
b
u = c1 v1 + c2 v2 +
R(x, t)f (t) dt.
a
Las condiciones de contorno homogéneas se cumplen si,
∫
c1 B(v1 ) + c2 B(v2 ) = −
b
B(R(·, t))f (t) dt.
(7.18)
a
Si ponemos B(v) = (B1 (v), B2 (v)) la solución de (E) es:
∫b
c1 =
a
∫b
c2 =
a
[−B 1 (R(·, t))B2 (v2 ) + B2 (R(·, t))B 1 (v2 )]f (t) dt
,
B1 (v1 )B 2 (v2 ) − B 2 (v1 )B 1 (v2 )
[−B 1 (v1 )B 2 (R(·, t)) + B 2 (v1 ))B1 (R(·, t))]f (t) dt
.
B1 (v1 )B 2 (v2 ) − B 2 (v1 )B 1 (v2 )
Por tanto,
[−B 1 (R(·, t))B 2 (v2 ) + B 2 (R(·, t))B1 (v2 )]v1 (x)
B 1 (v1 )B2 (v2 ) − B 2 (v1 )B 1 (v2 )
[−B1 (v1 )B 2 (R(·, t)) + B 2 (v1 ))B 1 (R(·, t))]v2 (x)
+ R(x, t).
+
B 1 (v1 )B2 (v2 ) − B 2 (v1 )B 1 (v2 )
G(x, t) =
(7.19)
211
Es claro que G se ha construido para que,
∫
b
u=
(7.20)
G(x, t)f (t) dt,
a
sea la solución del problema Lu = f , B(u) = 0.
Demostración del Teorema 7.6. Que (7.20) define la solución del problema ya
lo hemos probado.
En la identidad (1) está el que G ∈ C([a, b] × [a, b]) pues la misma propiedad
es cierta para R. Por otro lado,
Rx (t + 0, t) − Rx (t − 0, t) =
1
,
p(t)
luego la misma identidad se cumple para G.
Por construcción se cumple que:
LG(·, t) = 0
x ∈ [a, b] \ t.
Finalmente, la propia construcción de G ya lleva también implícita la validez
de:
B(G·, t)) = 0
t ∈ [a, b].
La unicidad de la función de Green se deduce fácilmente de que, por ejemplo,
∫
∫
b
G(x, t)f (t) dt =
a
b
G1 (x, t)f (t) dt,
a
para toda f ∈ C[a, b].
7.5.1.
El problema de Dirichlet
En este caso B 1 (v) = v(a), B2 (v) = v(b). De (1) y en el caso x ≤ t tenemos,
para D = v1 (a)v2 (b) − v1 (b)v2 (a), lo siguiente:
DG(x, t) = R(b, t)v2 (a)v1 (x) − R(b, t)v1 (a)v2 (x).
Por tanto, si K = pW (v1 , v2 ) entonces,
KDG(x, t) = −[v1 (x)v2 (a) − v1 (a)v2 (x)][v1 (b)v2 (t) − v1 (t)v2 (b)].
Teniendo en cuenta, como puede comprobarse que G(x, t) = G(t, x) podemos
concluir que,
 1

[v1 (t)v2 (a) − v1 (a)v2 (t)][v1 (x)v2 (b) − v1 (b)v2 (x)] x > t

KD
G(x, t) =

 1 [v (x)v (a) − v (a)v (x)][v (t)v (b) − v (b)v (t)] x ≤ t .
1
2
1
2
1
2
1
2
KD
212
Naturalmente, la condición de existencia de la función de Green se resume en
que D ̸= 0.
Por otro lado, una solución completa del problema:
L(u) = f
u(a) = α u(b) = β ,
(7.21)
se puede obtener de una forma especial. Nótese –comprobando que las derivadas
invertidas son legítimas– que:
L(∂t G(·, t)) = 0 x ̸= t.
Por tanto v1 = ∂t G(·, a), v2 = ∂t G(·, b) son soluciones de la ecuación. Como
G(a, t) = G(b, t) = 0 se tendrá que ∂t G(a, t) = 0 en t > a, ∂t G(b, t) = 0 en
1
,
t < b. Entonces v1 (b) = v2 (a) = 0. Por otra parte, v1 (a) = ∂t G(a+, a) =
p(a)
1
v2 (b) = ∂t G(b−, b) = −
. La solución de (7.21) puede escribirse, usando el
p(b)
sistema fundamental de soluciones v1 /p(a), v2 /p(b), como,
∫
b
u=
G(x, t)f (t) dx +
a
α
β
∂t G(x, a) −
∂t G(x, b).
p(a)
p(b)
Esta identidad se conoce como identidad de Green (ver Capítulos 8 y 9). Si
tenemos en cuenta que f = Lu, tal expresión permite representar una función
C 2 arbitraria en [a, b] en términos de Lu y de sus valores frontera.
7.5.2.
Propiedades del operador solución
Si designamos por E = {u ∈ C 2 [a, b] : B(u) = 0} y las condiciones de
contorno son no críticas para el operador L, entonces L : E → C[a, b] se invierte mediante el operador solución (operador integral de núcleo G), Kf =
∫b
G(x, t)f (t) dt. En efecto:
a
L(Kf ) = f
f ∈ C[a, b].
Por otro lado, K(Lu) = u para todo u ∈ E en virtud de la unicidad de soluciones
del problema. Por tanto L : E → C[a, b] es invertible y su inverso es el operador
K : C[a, b] → C[a, b] cuyo rango es E. Nótese que la criticidad de las condiciones
de contorno se reduce a que el N (L) sea trivial o no.
Cuando se está interesado es la resolución del problema,
Lu = f,
f ∈ C[a, b], u ∈ E el estudio es más completo si a la vez se considera la familia
uniparamétrica de problemas:
Lu − λu = f,
(7.22)
213
λ ∈ R, u ∈ E, f ∈ C[a, b]. El teorema de la alternativa nos enseña que (7.22) es
resoluble para todo f si y sólo si N (L − λI) ̸= {0}, I : E → C[a, b] la inclusión.
Como estamos en la hipótesis de que N (L) = {0}, λ ̸= 0 y por tanto que
N (L − λI) ̸= {0} significa que existe u ̸= 0 con:
L(u) = λu
u∈E
(7.23)
es decir,
K(u) = µu,
(7.24)
1
con . Se llama a (7.23) y su homólogo (7.24) el problema de autovalores asoλ
ciado a L. Como K : C[a, b] → C[a, b], el problema (7.24) es mucho más natural
que el (7.23). El operador K puede extenderse de hecho a espacios más generales.
Por razones técnicas consideramos L2 (a, b).
Teorema 7.7. El operador solución K define un operador continuo, K : L2 (a, b) →
L2 (a, b). Además,
(∫ ∫
)1/2
b
∥K∥L(L2 ) ≤
b
G2 dxdt
a
.
a
Por otra parte, K(L2 ) ⊂ C 1 [a, b] siendo,
∫ b
′
(Kf ) =
G′x (x, t)f (t) dt.
a
En cuanto a la simetría de la función de Green tenemos la siguiente propiedad
útil.
Teorema 7.8. Las siguientes propiedades son equivalentes,
1) El operador K : L2 (a, b) → L2 (a, b) es autoadjunto, es decir ⟨Kf, g⟩L2 =
⟨f, Kg⟩L2 , para cualesquiera f , g ∈ L2 .
2) El operador L : E → L2 es simétrico en el sentido de que ⟨Lu, v⟩L2 =
⟨u, Lv⟩L2 , para u, v ∈ E cualesquiera.
3) Se tiene que p(u′ v − uv ′ )|ba = 0 para u, v ∈ E cualesquiera.
4) G(x, t) = G(t, x), para todo (x, t) ∈ [a, b] × [a, b].
Observación 7.3. En el caso de las denominadas condiciones de contorno separadas (Dirichlet, Neumann, Robin, Mixtas),
(
) (
)
m 1 n1 p 1 q 1
m1 n1 0 0
=
,
m 2 n2 p 2 q 2
0
0 p2 q2
o de las condiciones de contorno periódicas,
(
) (
m1 n1 p1 q1
1 0
=
m2 n2 p2 q2
0 1
−1
0
)
0
,
−1
(7.25)
con p(a) = p(b) se tiene que las funciones de Green correspondiente son simétricas.
214
Definición 7.9. Se dice que el problema de contorno (7.16) es autoadjunto si
se satisface la condición 1) del teorema precedente.
La siguiente es una propiedad característica de todos los problemas autoadjuntos.
Teorema 7.10. Todos los posibles autovalores λ de un problema autoadjunto,
{
L(u) = λu
B(u) = 0,
son reales. Por otra parte a dos autovalores distintos λ ̸= λ′ siempre corresponden autofunciones ϕ, ϕ′ ortogonales. Finalmente, en el caso de condiciones de
contorno separadas (7.25) todos los posibles autovalores λ son simples.
Un problema no elemental es el de la propia existencia de autovalores. Para
sugerir las ideas principales conviene revisar el caso finito dimensional. Si A es
una matriz real simétrica n × n se comprueba que,
µ1 = sup ⟨Ax, x⟩,
(7.26)
|x|=1
es el máximo autovalor de A y que si el máximo se alcanza en v, v es también un
autovector asociado a µ1 . Los operadores autoadjuntos K son la versión infinito
dimensional de las matrices simétricas.
Definición 7.11. Se dice que K : L2 [a, b] → L2 [a, b] es autoadjunto si cumple
la identidad 1) del teorema anterior.
En el problema variacional (7.26) la existencia de v está garantizada por la
compacidad de la esfera unidad. Nos ocupamos ahora de probar que lo mismo
ocurre cuando reemplazamos A por el operador solución K y trabajamos en el
espacio L2 (a, b). La falta de compacidad de la bola unidad en L2 la suple la
siguiente propiedad de compacidad del operador K. En lo que sigue abreviamos
C = C[a, b], L2 = L2 [a, b].
Lema 7.12. El operador solución K : L2 → C es compacto en el sentido de que
toda sucesión {Kun } admite una subsucesión convergente en C a condición de
que {un } esté acotada en L2 .
Demostración. No es√difícil comprobar que si L es la cota L2 de {un } entonces
|un (x) − un (y)| ≤ L b − a sup[a,b] |G(x, ·) − G(y, ·)|. La continuidad uniforme
de G implica la equicontinuidad de {Kun }. La tesis se sigue del teorema de
Ascoli-Arzela.
Un resultado clave es el siguiente.
Teorema 7.13. Si K : L2 → L2 es autoadjunto entonces
∥K∥ = sup |⟨Ku, u⟩| .
|u|=1
215
Demostración. Llamando η = sup|u|=1 |⟨Ku, u⟩| es obvio que η ≤ ∥K∥. Por otro
lado,
⟨K(u ± v), u ± v⟩ = ⟨Ku, u⟩ + ⟨Kv, v⟩ ± 2ℜ⟨Ku, v⟩,
mientras,
±⟨K(u ± v), u ± v⟩ ≤ η|u ± v|2 .
La combinación de las dos desigualdades resulta en,
4ℜ⟨Ku, v⟩ ≤ 2η(|u|2 + |v|2 ),
donde tomando |u| = 1, v = Ku/|u| resulta |Ku| ≤ η.
La existencia de autovalores se expresa en los siguientes términos.
Teorema 7.14. Si K : L2 → L2 es compacto y autoadjunto entonces admite un
autovalor µ0 que cumple |µ0 | = ∥K∥.
Demostración. La compacidad de K nos permite garantizar la existencia de una
solución u0 ̸= 0 del problema variacional,
|⟨Ku, u⟩|
.
|u|2
u̸=0
sup
Al formar
q(t) =
|⟨K(u0 + tv), (u0 + tv)⟩|
,
|u0 + tv|2
la condición q ′ (0) = 0 se lee ℜ⟨Ku0 , v⟩ = µ0 ℜ⟨u0 , v⟩ donde µ0 = ⟨Ku0 , u0 ⟩/|u0 |2 .
La misma cuenta cambiando v por iv da ℑ⟨Ku0 , v⟩ = µ0 ℑ⟨u0 , v⟩. Por tanto,
Ku0 = µ0 u0 ,
y u0 es un autovalor asociado a µ0 donde |µ0 | = ∥K∥.
Observación 7.4. Vamos a obtener la sucesión completa de autovalores de K.
Consideramos u0 como arriba con |u0 | = 1. Definimos K1 u = Ku − µ0 ⟨u, u0 ⟩u0 .
Resulta:
⟨K1 u, u0 ⟩ = 0,
para todo u. Como Ku = K1 u + ⟨u, u0 ⟩u0 resulta |Ku|2 = |K1 u|2 + |⟨u, u0 ⟩|2 .
Por otro lado, el operador K1 es también compacto y autoadjunto. Resulta pues
que
|µ1 | = ∥K1 ∥
es un autovalor con autovector normalizado u1 (|u1 | = 1). Es decir,
Ku1 = µ1 u1 .
De arriba, ⟨u1 , u0 ⟩ = 0. Por otro lado,
Ku1 = K1 u1 + ⟨u1 , u0 ⟩u0 = µ1 u1 .
216
Por tanto µ1 es también un autovector de K. Además,
|µ1 | = ∥K1 ∥ ≤ ∥K∥ = |µ0 |.
Procediendo de manera análoga se genera una sucesión de autovalores {µn } con
módulos decrecientes (las repeticiones son posibles) y que en el caso del operador
solución, del que suponemos que N (K) = {0}, es infinita. En efecto, la única
manera de parar el proceso es que Km = 0 lo que implica que
Kf =
m−1
∑
µi ⟨f, ui ⟩ui .
1
Al aplicar L,
f=
m−1
∑
⟨f, ui ⟩ui ,
1
para f continua y arbitraria lo que no puede ser. Esto garantiza la existencia
de un sistema ortonormal {un }.
Pasamos a establecer un resultado de suma importancia.
Teorema 7.15. Sea K el operador solución del problema autoadjunto
{
Lu = f
a<x<b
Bu = 0,
(7.27)
siendo {un } el correspondiente sistema ortonormal de autofunciones. Entonces,
para toda f ∈ E = {u ∈ C 2 [a, b] : Bu = 0} se tiene que la serie de Fourier
asociada a f converge uniformemente a f :
f=
∞
∑
⟨f, un ⟩un .
(7.28)
n=1
Demostración. De las conclusiones del Capítulo ?? sabemos (desigualdad de
Bessel) que la serie converge en L2 y
∞
∑
|⟨f, un ⟩|2 ≤ ∥f ∥2 .
n=1
Ahora,
∫
b
G(x, t)uk (t) dt = µk uk (x)
a ≤ x ≤ b.
a
Por tanto, para x fijo,
G(x, ·) ∼
∞
∑
n=1
µn un (x)un ,
por lo que
∞
∑
∫
b
|µn | |un (x)| ≤
2
217
|G(x, t)|2 dt,
2
a
n=1
que al integrar en [a, b] nos permite concluir,
∞
∑
µ2n ≤ (b − a)2 |G|2∞,Q ,
n=1
donde Q = [a, b] × [a, b]. Una conclusión muy importante es que la serie de los
cuadrados de los autovalores es convergente. Esto tiene dos consecuencias. La
primera, que ahora se sabe de manera efectiva que existen infinitos autovalores
de K (la sucesión {µn } no puede estabilizarse en un valor constante). La segunda,
que µn → 0.
Sabemos asimismo que ∥Km ∥ = |µm |. Es decir, para u ∈ C arbitraria,
|Ku −
m
∑
µk ⟨u, uk ⟩uk |2 ≤ ∥Km ∥|u| = |µm ||u| → 0,
1
cuando m → ∞. En particular,
Ku =
∞
∑
µk ⟨u, uk ⟩uk ,
(7.29)
1
en L2 .
Por otro lado, para M ≥ N arbitrarios, x ∈ [a, b],
|
M
∑
M
M
∑
∑
µk ⟨u, uk ⟩uk (x)| = |K( ⟨u, uk ⟩uk )| ≤ (b − a)1/2 ∥G∥∞ |
⟨u, uk ⟩uk (x)|2 .
N
N
N
Por tanto la convergencia en (7.29) es además uniforme. Sin embargo, para
u ∈ C la serie (7.29) se puede escribir en el formato:
Ku =
∞
∑
⟨Ku, uk ⟩uk ,
1
basta observar ahora que cualquier f ∈ E se puede escribir en como f = Ku
para concluir la prueba.
Un corolario inmediato es la siguiente generalización del teorema de completitud del capítulo anterior.
Teorema 7.16. Sea {un } una sucesión ortonormal de autofunciones del problema (7.23). Entonces,
∞
∑
f=
⟨f, un ⟩un ,
n=1
en L2 para toda f ∈ L2 .
218
Observación 7.5. Debe tenerse en cuenta que los autovalores de (7.23) son λn =
µ−1
n y que por tanto |λn | → +∞.
Ejemplo 7.6. Consideremos la ecuación del calor con término lineal de absorción:
ut = uxx − au
(a > 0),
0 < x < π, bajo condiciones mixtas,
u(0, t) = ux (π, t) = 0.
El método de separación de variables nos conduce al problema de autovalores,
X ′′ + aX = −λX
X(0) = X(π) = 0.
2n − 1 2
) y las correspondientes autofunciones
2
2n − 1
Xn = sen(
)x ,
2
Los autovalores son λn = a + (
n ∈ N. La solución formal por separación de variables es,
u(x, t) = e−at
∞
∑
bn e−(2n−1)
n=1
2
t/4
sen(
2n − 1
)x.
2
Cualquiera que sea f ∈ C [0, π] cumpliendo las condiciones de contorno da
lugar a una solución clásica si substituimos los bn∫ de la expresión superior por
π
los coeficientes de la serie de Fourier bn = (2/π) 0 f (x) sen(2n − 1)/2x dx de
f.
2
7.6.
Función de Green para la ecuación del calor
Del problema,


u(x, 0) = f (x)


u(0, t) = u(π, t)
0 < x < π, t > 0
0<x<π
t > 0,
la fracción de la solución correspondiente a F = 0 fue estudiada en la Sección
7.1. Se representó bajo la forma (7.7):
∫ t
u=
G(ξ, x, t) dξ.
0
2 ∑∞ −n2 t
con G =
e
sen nx sen nξ. Nos ocupamos ahora de la parte f = 0, es
π n=1
decir de


0 < x < π, t > 0
(7.30)
u(x, 0) = 0
0<x<π


u(0, t) = u(π, t)
t > 0.
7.6. FUNCIONES DE GREEN
219
Si se admite la existencia de una solución clásica u ∈ C 2 {0 ≤ x ≤ π, t > 0} con
F continua en 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0 podemos escribir (las convergencias se entienden
en L2 (0, π)),
∞
∑
u=
bn (t) sen nx
ut =
uxx =
F =
n=1
∞
∑
n=1
∞
∑
n=1
∞
∑
b′n (t) sen nx
−n2 bn (t) sen nx
Bn (t) sen nx,
n=1
∫π
con bn (t) = (2/π) 0 u(x, t) sen nx dx y donde, por ejemplo, el coeficiente de
Fourier b̃n o b̂n de uxx o ut se calculan integrando por partes para involucrar
a bn (¡no
∫ π se ha derivado término a término!). Por otro lado se tiene Bn (t) =
(2/π) 0 F (x, t) sen nx dx.
De la ecuación resulta que b′n + n2 bn = Bn junto con bn (0) = 0, lo que
conduce a la expresión explícita de bn :
∫
t
bn (t) =
e−n
2
(t−τ )
Bn (τ ) dτ.
0
Las bn ’s se estiman fácilmente en la forma siguiente,
|bn (t)|2 ≤
1
2n2
∫
t
Bn (τ ) dτ.
0
Se comprueba que
|
q
∑
p
∫ t∫ π
q
1 ∑ 1
bn (t) sen nx| ≤ {
}
F 2.
π p n2 0 0
2
Hemos probado así que toda solución clásica en las condiciones de regularidad
señaldas se puede representar por la serie uniformemente convergente en cada
banda 0 ≤ t ≤ T dada por,
u(x, t) =
∞ ∫
∑
n=1
t
e−n
2
(t−τ )
Bn (τ ) sen nx dτ.
(7.31)
0
Si F es suficientemente regular, por ejemplo F y Fx continuas en t ≥ 0, x ∈ [0, π],
F (0, t) = F (π, 0) = 0 mientras existe Fxx con Fxx ∈ L2 ((0, π) × (0, t)) para todo
t > 0 entonces la serie (7.31) define una función de clase C 2,1 que puede ser
derivada término a término.
220
Como observación final, un intercambio formal de las integrales involucradas
en (7.31) con la serie nos lleva a la representación de la solución:
∫ t∫
π
G(ξ, x, t − τ )F (ξ, τ ) dξdτ.
u(x, t) =
0
(7.32)
0
Ya sabemos que el núcleo es C ∞ en t > 0 y que cumple la ecuación del calor
con respecto a t. Puede demostrarse en realidad el siguiente resultado, que se
apoya directamente en la fórmula de representación (7.32).
Teorema 7.17. Supongamos que F y Fx son continuas en t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π.
Entonces (7.32) representa la solución clásica del problema perturbado (7.30).
Observación 7.7. La fórmula (7.32) puede deducirse formalmente a partir de
(7.7) por el método de variación de las constantes de Lagrange.
7.7.
Ejercicios
1. Hállense, por separación de variables, las soluciones de la ecuación del
calor ut = uxx bajo las condiciones que se indican:
a) u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = sen3 x, x ∈ (0, π).
b) ux (0, t) = ux (π, t) = 0, u(x, 0) = sen x, x ∈ (0, π).
c) u(a, t) = u(b, t) = 0, u(x, 0) = (x − a)(b − x), x ∈ (a, b).
2. Se considera el problema de Dirichlet para la ecuación de ondas,

2
0 < x < l, t > 0

 utt = c uxx

u(x, 0) = f (x)
0≤x≤l
u
(x,
0)
=
g(x)
0
≤x≤l

t


u(0, t) = u(l, 0) = 0
t ≥ 0,
para f de clase C 2 y g de clase C 1 en [0, l], satisfaciendo las correspondientes condiciones de compatibilidad. Pruébese que la solución puede
representarse en la forma,
u=
∞ (
∑
an cos
n=1
nπc
nπc )
nπ
t + bn sen
t sen
x.
l
l
l
La misma cuestión relativa al problema de Neumann y la expresión
u = a0 + b0 t +
∞ (
∑
n=1
an cos
nπc
nπc )
nπ
t + bn sen
t cos
x.
l
l
l
¿Cuándo es b0 = 0 y qué implica ello sobre la solución del problema?
7.7. EJERCICIOS
221
3. Estúdiese el problema de autovalores (ecuaciones diferenciales ordinarias):
{
− X” = X,
0<x<l
− X ′ (0) + a0 X(0) = 0,
X ′ (l) + al X(l) = 0.
Apróvechese la información para construir expresiones formales –bajo desarrollos en serie– de autofunciones de los problemas de contorno y valor
inicial

utt = c2 uxx
0 < x < π, t > 0




0≤x≤π
 u(x, 0) = f (x)
ut (x, 0) = 0
0≤x≤π


−u
(0,
t)
+
a
u(0,
t)
=
0,
t
≥ 0,

x
0


ux (l, 0) + al u(l, t) = 0
t ≥ 0,
así como:

ut = uxx



u(x, 0) = f (x)
−u

x (0, t) + a0 u(0, t) = 0,


ux (l, 0) + al u(l, t) = 0
0 < x < π, t > 0
0≤x≤π
t ≥ 0,
t ≥ 0.
4. Se considera el problema de Dirichlet y valor inicial para la ecuación de
ondas con amortiguamiento:

utt + 2aut = c2 uxx
0 < x < π, t > 0



u(x, 0) = f (x)
0≤x≤π
ut (x, 0) = 0
0≤x≤π



u(0, t) = u(π, 0) = 0
t ≥ 0,
donde a, c son constantes positivas. Supóngase que f ∈ C 3 en [0, π] y que
satisface las correspondientes condiciones de compatibilidad. Constrúyase
una solución en forma de serie por el método de separación de variables.
5. Analícese, bajo condiciones adecuadas, la solución del problema de contorno y valor inicial (ecuación de los telegrafístas):

2
0 < x < π, t > 0

 utt + 2aut + bu = c uxx

u(x, 0) = 0
0≤x≤π
ut (x, 0) = g(x)
0≤x≤π



u(0, t) = u(π, 0) = 0
t ≥ 0.
6. Estúdiese por separación de variables la solución del problema

0 < x < 1, t > 0
 ut = uxx
u(x, 0) = x
0≤x≤1

ux (0, t) = u(1, 0) = 0
t ≥ 0.
222
7. Demúestrese que la ecuación:
uxx + uxy + uyy = 0,
admite soluciones en la forma X(x)Y (y). Como indicación, hállese una
expresión para Y ”/Y que debe derivarse con respecto a x.
8. Se considera el operador L = (pu′ )′ + qu, p de clase C 1 y positiva en
[a, b], mientras q es continua en dicho intervalo. Si G(x, ξ) es la función de
Green bajo condiciones Dirichlet, prúebese que Gξ (·, a) y Gξ (·, b) forman
un sistema fundamental de Lu = 0. Prúebese también que la solución del
problema de Dirichlet:
{
Lu = f (x)
0<x<1
u(0) = α, u(1) = β,
se puede expresar en los siguientes términos:
∫ b
u=
G(x, ξ)f (ξ) dx + βp(b)Gξ (·, b) − αp(a)Gξ (·, a).
a
9. Si f es continua en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1, hállese la solución del problema:
{
((1 + x)2 u′ )′ − u = −f
0<x<1
u(0) = u(1) = 0.
10. (Funciones de Green, ecuaciones diferenciales ordinarias). Sea f continua
en 0 ≤ x ≤ 1, y sea Lu = u” − u. Hállese la solución de los problemas de
contorno:
{
{
Lu = −f
0<x<1
Lu = −f
0<x<1
′
′
u(0) = u(1) = 0,
u (0) = u (1) = 0,
{
{
Lu = −ex
0<x<1
Lu = − sen x
0<x<1
u(0) = u′ (1) = 0,
u(0) = α, u(1) = β.
11. En el espacio se considera el recinto esférico 0 < a < r < b, r2 = x2 + y 2 +
z 2 . Hállense las soluciones de los problemas:
{
{
∆u = 0
a<r<b
∆u = f
a<r<b
u(a) = A u(b) = B,
u(a) = A u(b) = B,
siendo f una función radial y continua.
12. En el recinto esférico 0 < a < r < b, r2 = x2 + y 2 + z 2 , se considera el
problema uxx +uyy +uzz = 1, bajo condiciones de contorno u = 0 en r = a,
∂u
∂n = 0 en r = b. Hállese su solución. ¿Se podría resolver explícitamente el
problema reemplazando la unidad en el segundo miembro por una función
continua y radial arbitraria f (r)?
7.7. EJERCICIOS
223
13. Considérese el recinto del problema anterior y supóngase que ha alcanzado
una temperatura estacionaria u(x, y, z) tras mantener la cara interior a
∂u
100o C mientras la exterior se refrigera a razón de un flujo ∂n
= −γ <
0, γ constante. Determínese entonces la temperatura, hallando su valor
máximo y mínimo. ¿Puede elegirse γ de forma que la temperatura de la
cara exterior sea de 20o C?
14. Se consideran los problemas de contorno:

n2

(ru′ )′ −
u = −r f (r) ,
r

u acotada cuando r → 0+,
0<r<a
u(a) = 0,
en donde n = 0, 1, . . . , siendo f continua. Prúebese entonces que las condiciones de contorno son no críticas, y que la solución se escribe en la
forma:
∫ a
(7.33)
Gn (r, ρ) f (ρ)ρ dρ,
u(r) =
0
donde,

1


(r/a)n ((a/ρ)n − (ρ/a)n )
2n
Gn (r, ρ) =

 1 (ρ/a)n ((a/r)n − (r/a)n )
2n
0<r≤ρ
ρ < r ≤ a,
para n ≥ 1 mientras
( )

a

 log
ρ
G0 (r, ρ) =
( )

 log a
r
0<r≤ρ
ρ < r ≤ a.
15. Hallar la solución formal del problema ut = uxx + F (x, t), 0 < x < π,
t > 0, u(x, 0) = 0 y condiciones de contorno mixtas u(0, t) = ux (π, t) = 0,
t > 0.
224
Capítulo 8
Ecuación de Laplace en el
plano
8.1.
Fórmula de Poisson. Funciones armónicas
Comenzamos con el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en el
círculo unidad B1 (0) del plano :
{
∆u = 0
(x, y) ∈ B1 (0)
(8.1)
u = f (x, y)
(x, y) ∈ ∂B1 (0).
Definimos como solución clásica u de (8.1) la que satisface u ∈ C 2 (B) ∩ C(B̄)
(escribiremos B en vez de B1 (0) para abreviar). Más generalmente, el problema
de Dirichlet n-dimensional en un dominio acotado Ω ⊂ Rn para soluciones
clásicas consiste en hallar u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) tal que:
{
∆u = 0
x∈Ω
(8.2)
u=f
x ∈ ∂Ω,
donde f ∈ C(∂Ω) es un dato.
La unicidad de soluciones para (8.2) es consecuencia del principio del máximo
débil. A saber.
Teorema 8.1 (Principio débil del máximo). Supongamos que u ∈ C 2 (Ω)∩C(Ω)
satisface:
−∆u ≤ 0
en Ω entonces,
sup u = sup u.
Ω
∂Ω
Observación 8.1. El correspondiente “principio del mínimo” se obtiene sin más
que cambiar el −∆u ≤ 0 por −∆u ≥ 0 en el enunciado.
225
226
CAPÍTULO 8. ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2)
Es conveniente introducir las siguientes definiciones.
Definición 8.2. Definición Se dice que u de clase C 2 es armónica (r. subarmónica, superarmónica) en un dominio Ω ⊂ Rn si −∆u = 0 (r. ≤ 0, ≥ 0) en
Ω.
Una consecuencia inmediata del principio del máximo es el principio de comparación.
Corolario 8.3. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado y u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω), tales
que −∆u ≤ −∆v en Ω mientras u ≤ v en ∂Ω. Entonces u ≤ v en Ω. En
particular, el problema:
{
∆u = F
x∈Ω
(8.3)
u=f
x ∈ ∂Ω,
admite a lo más una solución clásica para cada f ∈ C(∂Ω), F ∈ C(Ω).
Volvamos ahora a un problema más concreto como es garantizar la existencia de soluciones clásicas para (8.1). Escribiendo la ecuación de Laplace en
coordenadas polares (usamos otra vez el símbolo u(r, θ) para representar a u)
el problema se interpreta como resolver,
1
1
urr + ur + 2 uθθ = 0,
r
r
(8.4)
cumpliendo la condición de contorno
u(1, θ) = f (θ).
En principio suponemos que f es C 1 y 2π periódica (f ∈ C 1 (T )). Siguiendo
la estrategia del método de separación de variables, buscamos soluciones de la
forma:
u = R(r)Θ(θ),
donde tenemos en cuenta que R, Θ han de ser C 2 junto con las condiciones de
periodicidad:
Θ(θ + 2π) = Θ(θ)
θ ∈ R.
El correspondiente problema de contorno es,

′′

Θ + λΘ = 0
Θ(0) = Θ(2π)

 ′
Θ (0) = Θ′ (2π),
con lo que los autovalores son λn = n2 , n ∈ N∪{0} y Θn = ãn cos nθ + b̃n sen nθ.
La ecuación para R es,
r2 R′′ + rR − n2 R = 0.
Imponiendo la condición de que R es regular en r = 0 deducimos Rn = c̃n rn ,
n ∈ N ∪ {0}.
8.1. FÓRMULA DE POISSON
227
Una solución formal de (8.1) es por tanto,
u = a0 +
∞
∑
rn (an cos nθ + bn sen nθ),
(8.5)
n=1
donde naturalmente an , bn son los coeficientes de la serie de Fourier de f . De las
hipótesis sobre f la serie converge uniformemente en R. Usando el principio del
máximo se ve que (8.5) converge uniformemente en B. Por tanto u es continua.
Es inmediato comprobar que todas las posibles derivadas término a término
de (8.5), con respecto a r, θ, generan series uniformemente convergentes sobre
compactos de r < 1. Eso significa que u cumple la ecuación (8.4). Finalmente,
unas cuentas detalladas establecen que las derivadas cartesianas ux , uy , uxx ,
uxy , uyy están definidas, con ayuda de las derivadas de (8.5) término a término,
por series uniformemente convergentes sobre compactos de B. Por tanto ∆u es
continua. De ahí ∆u = 0 en B (pues esto ya era cierto en casi todo punto).
∑N
Observación 8.2. Se comprueba sin problemas que PN = a0 + 1 rn (an cos nθ+
bn sen nθ) es un polinomio en (x, y) de grado N . Es decir (8.5) es una serie de
potencias uniformemente convergente en B. Ello implica que u es en realidad
real analítica 1 en B. En cualquier caso (8.5) es la serie de Taylor de u centrada
en (0,0).
La identidad (8.5) se puede manipular para llegar a una expresión integral
de f . Esto permite relajar la regularidad de f de C 1 a continua. En efecto,
podemos escribir,
∫
N
1 π
1 ∑ n
u(r, θ) = lı́m
f (t){ +
r cos n(θ − t)} dt
N →∞ π −π
2
1
∫
∞
1 ∑ n
1 π
f (t){ +
r cos n(θ − t)} dt,
=
π −π
2 n=1
en virtud de la convergencia uniforme del integrando. Usando, por ejemplo, la
∑∞
1
parte real de la serie geométrica compleja 1 + n=1 (reiϕ )n =
se llega
1 − reiϕ
a que:
∞
1 ∑ n
1
1 − r2
+
r cos n(θ − t) =
.
2 n=1
2 r2 + 1 − 2r cos(θ − t)
Por tanto,
1 − r2
u(r, θ) =
2π
∫
π
−π
f (t)
dt.
r2 + 1 − 2r cos(θ − t)
En coordenadas cartesianas,
1 − r2
u(x̄) =
2π
∫
|ȳ|=1
f (ȳ)
dȳ.
|x̄ − ȳ|2
(8.6)
1 Una serie uniformemente convergente de polinomios es siempre una función real analítica
([11]).
228
Se conoce a (8.6) como fórmula de Poisson. Tiene perfecto sentido si f ∈ C(T )
(¡menos regularidad es posible!). En principio (8.6) da una representación de
toda solución clásica. En particular se tiene:
∫
1 − r2
1
1=
dȳ
x̄ ∈ B.
(8.7)
2π
|x̄
−
ȳ|2
|ȳ|=1
El siguiente resultado asegura que (8.6) proporciona todas las soluciones clásicas
de (8.1).
Teorema 8.4. Si f es continua en r = 1, (8.6) extendida con el valor f en
r = 1 define la única solución clásica de (8.1).
Es inmediato que la solución de (8.1) en la bola BR (P ) es exactamente,
∫
R2 − |x̄ − P |2
f (ȳ)
u(x̄) =
dSȳ .
(8.8)
2πR
|x̄
− ȳ|2
|ȳ−P |=R
En particular, si u ∈ C 2 (Ω) es armónica en Ω entonces se tiene:
∫
1
u(P ) =
f (ȳ) dSȳ ,
2πR |ȳ−P |=R
(8.9)
cualquiera que sea la bola B R (P ) ⊂ Ω. Esta es la propiedad de la media. Se
tiene además lo siguiente.
Teorema 8.5. Si u ∈ C 2 (Ω) es armónica y BR (P ) es como arriba entonces,
∫∫
1
u(P ) =
f (ȳ) dȳ.
(8.10)
πR2
|ȳ−P |≤R
Demostración. Se propone como ejercicio.
Del hecho de que toda función armónica en Ω se puede representar cerca de
cualquier punto P ∈ Ω en la forma (8.8) se tiene lo siguiente.
Teorema 8.6. Si u ∈ C 2 (Ω) es armónica en Ω entonces u ∈ C ∞ (Ω).
Demostración. Se propone como ejercicio.
Otra conclusión importante.
Teorema 8.7 (Principio fuerte del máximo). Sea Ω un dominio del plano donde
u es armónica con M = supΩ u < ∞. Si para algún x0 ∈ Ω, u(x0 ) = M entonces
u = M.
Por otro lado, la propiedad de la media caracteriza asimismo las funciones
armónicas.
Teorema 8.8. Supongamos que u ∈ C(Ω) satisface la propiedad de la media en
Ω, es decir, para toda bola B R (P ) ⊂ Ω se cumple la identidad (8.9). Entonces
u es armónica en Ω.
229
Como se ha dicho, la fórmula de Poisson permite datos más generales que
f ∈ C(T ). Por ejemplo f ∈ L1 (T ) ó f ∈ L∞ (T ). En este último caso (8.6) define
de nuevo una función u armónica y acotada (ver (8.7)) que cumple:
lı́m u(Q) = f (P ),
Q→P
si P ∈ ∂B es un punto de continuidad de f . Si f es continua a trozos en el
sentido de que sólo presenta un número finito de discontinuidades de salto (por
⌢
ejemplo la función característica de un arco RS), la fórmula de Poisson da una
solución acotada de (8.1) que ajusta con f en los puntos de continuidad. La
solución es además única en la clase de las funciones acotadas en B. Esto es
consecuencia del siguiente resultado.
Teorema 8.9 (Teorema de Phragmén-Lindelöf). Sea u armónica en un dominio acotado Ω ⊂ R2 , u ∈ L∞ (Ω) mientras u ∈ C(Ω \ {P1 , . . . , PN }) donde
{P1 , . . . , Pn } ⊂ ∂Ω. Entonces:
ı́nf
∂Ω\{P1 ,...,PN }
8.1.1.
u ≤ u(x) ≤
sup
u
∂Ω\{P1 ,...,PN }
x ∈ Ω.
Dominios simplemente conexos
En la sección de ejercicios se estudian las aplicaciones conformes del plano. Se
identifican éstas con las funciones holomorfas con derivada no nula. Se prueba
también que las aplicaciones conformes transforman funciones armónicas en
funciones armónicas. Por otra parte, un conocido teorema de Riemann (ver [19],
Cap. 14) establece que todo dominio simplemente conexo Ω del plano, Ω ̸= R2 ,
se puede transformar mediante un homeomorfismo conforme T ∈ H(Ω) en el
disco unidad B. Si Ω es acotado y de frontera ∂Ω simple en el sentido de que
todo punto P ∈ ∂Ω es el extremo de un arco Γ que cumple Γ \ P ⊂ Ω, entonces
la transformación conforme T ∈ H(Ω) se puede extender a un homeomorfismo
T : Ω → B (ver [19], Cap. 14).
Tenemos así un teorema general de existencia de soluciones.
Teorema 8.10. Sea Ω ⊂ R2 un dominio acotado y simplemente conexo del
plano con frontera simple. Entonces el problema de Dirichlet,
{
∆u = 0
en Ω
u=f
en ∂Ω,
admite, para cada f ∈ C(Ω), una única solución clásica.
Observación 8.3. Puede demostrarse más generalmente (ver por ejemplo [4],
Cap. X) que el problema de Dirichlet (8.1) es siempre resoluble en cualquier
dominio Ω del plano en el que R2 \ Ω carezca de componentes conexas que se
reduzcan a un punto (ver la Sección 8.3).
230
8.1.2.
Deducción geométrica de la fórmula de Poisson
La fórmula de Poisson se puede deducir a partir de argumentos geométricos
elementales apoyados en la función argumento θ = θ(x, y) (ver el Capítulo 1).
Primeramente obtenemos una solución del problema,
{
∆u = 0
(x, y) ∈ B
(8.11)
u = χAB
(x, y) ∈ ∂B
⌢
donde χAB es la función característica de un arco orientado AB correspondiente
a un ángulo central θ0 .
Definimos φ(P ) como el ángulo orientado con vértice en P y medido desde
el segmento P A al P B. Lo primero que debe observarse es que φ es constante
⌢
⌢
sobre cada uno de los arcos abiertos y orientados BA, AB en ∂B. De hecho:
⌢
⌢
φ = θ0 /2 sobre BA, φ = π + θ0 /2 en AB, mientras las curvas de nivel de φ
⌢
⌢
son arcos capaces sobre AB. Un arco capaz sobre AB es el lugar de los puntos
⌢
que observan AB bajo un ángulo constante. De hecho, se comprueba que dicho
lugar es un arco de circunferencia.
Por otro lado, una expresión analítica para φ es la siguiente,
φ(P ) = θ(P − B) − θ(P − A).
(8.12)
Si, por ejemplo, A y B están en x ≥ 0 φ es inmediatamente armónica en B.
Otras posiciones de A, B requieren emplear la función argumento con línea de
corte en el eje x ≤ 0.
θ0
1
La función ψ(P ) = {φ(P ) − } es pues la única solución acotada del
π
2
problema (8.11). De nuestra experiencia con la ecuación del calor sabemos que
esta solución básica permite llegar a soluciones muy generales.
En efecto, si f ∈ C(T ) y fraccionamos ∂B en n arcos, es decir el intervalo
(0,
2π)
en 0 ≤ θ1 ≤ · · · θn = 2π una aproximación poligonal de f es fn =
∑n
f
(
θ̃
)χ(θi−1 ,θi ) con θ̃i ∈ (θi−1 , θi ). Si ui es la solución correspondiente al
i
1
dato χ(θi−1 ,θi ) entonces,
ui (x, y) =
1
{h(θi−1 + ∆θ) − h(θi−1 )},
π
donde ∆θ = θi − θi−1 ,
(
h(θ) = arctag
y − sen θ θ
−
x − cos θ 2
)
.
Nótese que,
h′ (θ) =
2[r2
1 − r2
.
+ 1 + 2(x cos θ + y sen θ]
231
Si ufn es la solución acotada correspondiente a fn entonces,
ufn (x, y) =
n
1∑
f (θ̃i ){h(θi−1 + ∆θ) − h(θi−1 )}
π i=1
n
1 ∑
1 − r2
=
f (θ̃i )∆θ,
2π i=1 r2 + 1 + 2(x cos θ̂i + y sen θ̂i )
donde θ̃i , θ̂i ∈ (θi−1 , θi ) y ∆θ = θi − θi−1 . Cuando n → ∞ el valor límite de ufn
es,
∫
1 − r2 2π
f (θ)
dθ,
uf (x, y) =
2π
r2 + 1 + 2(x cos θ + y sen θ)
0
que es precisamente la fórmula de Poisson.
Observación 8.4. La construcción de la función φ en (8.12) muestra que
lı́m φ(r, α) = lı́m φ(r, β) =
r→1
r→1
1
(θ0 + π),
2
donde α, β son los ángulos correspondientes a A, B, θ0 = β − α. Este ejemplo
permite probar que para cada τ ∈ [θ0 /2, θ0 /2 + π] existe un arco Γ de círculo
que pasa por A y B donde φ|Γ = τ .
Más generalmente, se tiene lo siguiente.
Teorema 8.11. Sea u la solución acotada de (8.1) que corresponde a un dato
continuo a trozos f que exhibe una discontinuidad de salto en P0 = P0 (θ0 ).
Entonces, para todo τ intermedio a f (θ0 −) y f (θ0 +) existe un arco de círculo
que pasa por P donde lı́mP →P0 ,P ∈Γ u(P ) = τ . Además,
lı́m u(r, θ0 ) =
r→1−
1
{f (θ0 +) + f (θ0 −)}.
2
Observaciones 8.5.
a) La función
1 − r2
,
1 + r2 − 2r cos θ
es armónica en B y se anula en ∂B \ (1, 0). Sin embargo no es idénticamente
nula. Nótese que u(r, 0) crece sin límite cuando r → 1−.
u(r, θ) =
b) La demostración pone de manifiesto que la propiedad de acotación puede substituirse por la menos restrictiva de que u ∈ C(Ω \ P1 , . . . , PN ), {P1 , . . . , PN } ⊂
∂Ω, junto con
u(P )
=0
1 ≤ i ≤ N.
lı́m
P →Pi log |P − Pi |
c) Cuando el dato f es continuo a trozos y P ∈ ∂B es un punto de discontinuidad
de salto de f en P entonces u sufre un tipo de discontinuidad que ya observamos
en la ecuación del calor (ver la Sección 8.1.2).
232
8.1.3.
Problema de Dirichlet en un rectángulo
Consideremos el rectángulo Q = [0, π] × [0, A], A > 0 y el dato f˜ que es
cero en todos los lados de Q excepto en y = 0 donde f˜(x, 0) = f (x) ∈ C 1 [0, π],
función que cumple f (0) = f (π) = 0.
El método de separación de variables y el principio débil del máximo nos
llevan a que la solución clásica del problema,
{
∆u = 0
(x, y) ∈ Q
˜
u=f
(x, y) ∈ ∂Q,
viene expresada por:
u(x, y) =
∞
∑
bn
sen nx senh n(A − y),
senh nA
n=1
donde
bn =
2
π
∫
(8.13)
π
f (x) sen nx dx.
0
Si consideramos el núcleo,
∞
2∑
senh nA
G(ξ, x, y) =
sen nx sen nξ,
π n=1 senh n(A − y)
obtenemos una función C ∞ que es armónica en 0 < y < A. En efecto, la
serie junto con todas sus derivadas converge uniformemente sobre compactos de
0 < y < A. Bajo la hipótesis de acotación de f la serie (8.11) se puede escribir
como,
∫
π
u(x, y) =
G(ξ, x, y)f (ξ) dξ.
(8.14)
0
Usando los mismos argumentos que en la Sección ?? del Capítulo 7 se prueba
que:
G(ξ, x, y) ≥ 0
0 ≤ ξ ≤ π 0 ≤ x ≤ π 0 < y < A,
mientras,
∫
π
G(ξ, x, y) dξ ≤ 1
0≤x≤π
0 < y < A.
0
Por otro lado,
∫
π
G(ξ, x, y) sen ξ dξ =
0
es decir,
∫
π
G(ξ, x, y)
0
senh(A − y)
sen x,
senh A
senh A sen ξ
dξ = 1.
senh(A − y) sen x
8.2. ECUACIÓN DE POISSON
233
Si x0 ∈ I = (0, π) es un punto de continuidad de f ∈ L∞ (I), Iδ = [x0 −δ, x0 +δ],
entonces
∫
∫
|u(x, y) − f (x0 )| ≤ {
}G(ξ, x, y)|f (ξ) − f (x0 )
+
Iδ
I\Iδ
senh A sen ξ
| dξ.
senh(A − y) sen x
La primera integral puede hacerse tan pequeña como se quiera con tal que lo sea
δ. La segunda (Sección ?? del Capítulo 7) se hace pequeña si x ∼ x0 y t → 0.
Hemos probado así el siguiente resultado.
Teorema 8.12. Para f = f (x, y) continua y arbitraria, el problema de Dirichlet,
{
∆u = 0
(x, y) ∈ Q
u(x, y) = f (x, y)
(x, y) ∈ ∂Q,
admite una solución acotada u ∈ C 2 (Q) ∩ C(Q \ A, B, C, D), donde A, B, C y
D son los vértices de Q.
Observaciones 8.6.
a) La solución construída en el teorema por el método de separación de variables
se extiende por continuidad a todo Q pues coincide con la solución clásica que
se obtiene en virtud del teorema de la aplicación de Riemann.
b) Si en las consideraciones precedentes f ∈ L∞ tiene una discontinuidad de
salto en x0 ∈ (0, π) el comportamiento de la solución acotada u puede estudiarse
teniendo en cuenta la determinación del argumento θ1 (x − x0 , y), donde la línea
de corte de θ1 es el semieje y ≤ 0.
8.2.
Ecuación de Poisson
Nos ocupamos ahora de estudiar un tema más delicado como es problema
de Dirichlet para la ecuación de Poisson,
{
−∆u = F
u=0
en B
en ∂B.
(8.15)
Lo primero que hacemos es usar el método de separación de variables para producir una representación integral de la solución clásica. A tal efecto suponemos
que u ∈ C 2 (B) ∩ C(B) resuelve (8.15), en particular F ∈ C(B). Transformamos
(8.15) a coordenadas polares (r, θ) y para cada 0 < r < 1 representamos u(r, ·),
234
ur (r, ·), urr (r, ·), uθθ (r, ·) y F (r, ·) en serie de Fourier para tener,
u(r, ·) = a0 (r) +
ur (r, ·) = a′0 (r) +
urr (r, ·) = a′′0 (r) +
∞
∑
n=1
∞
∑
an (r) cos nθ + bn (r) sen nθ
a′n (r) cos nθ + b′n (r) sen nθ
n=1
∞
∑
a′′n (r) cos nθ + b′′n (r) sen nθ
n=1
uθθ (r, ·) = −
∞
∑
n2 an (r) cos nθ + n2 bn (r) sen nθ
n=1
F (r, ·) = A0 (r) +
∞
∑
An (r) cos nθ + Bn (r) sen nθ,
n=1
siendo las convergencias en L2 (0, 2π). La ecuación en derivadas parciales,
ur
uθθ
urr +
+ 2 = 0,
r
r
lleva a las ecuaciones para los coeficientes:
1
n2
u′′ (r) + u′ (r) − 2 u = −F (r)
0 < r < 1,
(8.16)
r
r
donde n = 0, 1, . . . . Los coeficientes a0 , an , bn quedan determinados como funciones C 2 en (0, 1) que se anulan en r = 1 mientras en el origen satisfacen la
propiedad de estar acotadas. El segundo miembro de (8.16) es en cada caso A0 ,
An y Bn , respectivamente.
El problema de contorno fundamental es pues,
{
2
(ru′ )′ − nr u = rF (r)
(8.17)
u(1) = 0 , u = O(1) para r → 0,
donde F ∈ C[0, 1]. Usando las ideas del Capítulo 7 (ver Ejercicios) la solución
de (8.17) se puede representar en forma integral como,
∫ 1
u(r) =
Gn (r, ρ)ρ dρ,
(8.18)
0
donde,
mientras,

1

log( ) r > ρ
r
G0 (r, ρ) =
1

log( ) r ≤ ρ,
ρ

1 −n


(r − rn ) ρn
2n
Gn (r, ρ) =

 1 (ρ−n − ρn ) rn
2n
r>ρ
r ≤ ρ,
235
para n ≥ 1. De (8.18) podemos estimar u como sigue,
|u(r)|2 ≤
∫ 1
∫ 1
1
2 2
4n
G
(r,
ρ)ρ
dρ}{
F 2 (ρ)ρ dρ}.
{
4n2 0
0
(8.19)
Por otro lado,
∫
1
∫
∫ 1
ρ
r
(1 − r2n )2 ( )2n ρ dρ +
(1 − ρ2n )2 ( )2n ρ dρ
r
ρ
0
r
∫ 1
∫ 1
r
= r2
u2n+1 du +
(1 − ρ2n )2 ( )2n ρ dρ
ρ
0
r
∫ 1
1
r 2n−1 1
2
≤
+r
( )
dρ
2n + 1
r
r ρ
∫ ∞
1
dz
≤
+
2n−1
2n + 1
z
1
2
≤
.
2n + 1
r
4n2 G2 (r, ρ)ρ dρ =
0
Concluimos entonces que la solución de (8.17) satisface la estimación,
|u(r)|2 ≤
∫ 1
1
{
F 2 (ρ)ρ dρ}.
4n2 (n + 12 ) 0
(8.20)
Recordamos ahora que cualquier solución clásica se se representa en la forma,
u(r, ·) = a0 (r) +
∞
∑
an (r) cos nθ + bn (r) sen nθ,
(8.21)
n=1
∫1
∫1
donde an = 0 Gn An ρ dρ, bn = 0 Gn Bn ρ dρ. Hemos supuesto que F ∈ C(B)
(bastaría para lo que sigue F ∈ C(B) ∩ L2 (B)). Comprobamos que la serie
converge además uniformemente en B. En efecto:
|
N
∑
M
∫ N
N
∑
1 1∑ 2
2
an (r) cos nθ + bn (r) sen nθ|2 ≤ {
}{
{An (ρ) + Bn2 (ρ)}ρ dρ}
n2 4 0
M
M
∫
∫ 2π
N
1
∑ 2
1
≤{
}{
F 2 (ρ, θ) dθρ dρ}
n2 4π 0 0
M
∫∫
N
∑
2
1
≤{
}{
F 2 dxdy}.
n2 4π
B
M
Vamos a mejorar ahora la expresión (8.21) para llegar a una representación
integral de la solución de (8.15). Si tenemos en cuenta la relación funcional
236
entre an , bn y F podemos escribir,
∫
1
u(r, θ) =
G0 (r, ρ)A0 (ρ)ρdρ+
0
∞ ∫
∑
n=1
1
Gn (r, ρ)(An (ρ) cos nθ + Bn (ρ) sen nθ)ρ dρ.
0
Permutando formalmente la serie con la integral con respecto a ρ, expresando An
y Bn en términos de F e intercambiando –ahora legítimamente– las integrales
con la serie llegamos a la expresión:
∫ 1 ∫ 2π
u(r, θ) =
G(r, θ, ρ, t)F (ρ, t)ρ dρdt,
(8.22)
0
0
en donde para r > ρ,
G(r, θ, ρ, t) =
∞
∑
1
1
1 −n
{log( ) +
(r − rn )ρn cos n(θ − t)},
2π
r
n
n=1
(8.23)
mientras que si r < ρ el valor de G se obtiene intercambiando los valores de r
y de ρ. Por otro lado, para ρ ̸= r la serie en (8.23) converge uniformemente con
respecto a t ∈ [0, 2π]. Asimismo, si 0 < z < 1 tenemos,
∫ z
∫ z∑
∞
∞
∑
zn
cos α − ζ
ζ n−1 cos nα dζ =
cos nα =
dζ
2
n
0 1 + ζ − 2ζ cos α
0 n=1
n=1
1
= − log[1 + z 2 − 2z cos α].
2
Al introducir estos resultados en (8.23) obtenemos tras algunas cuentas,
1
{− log[r2 + ρ2 − 2rρ cos(θ − t)] + log[1 + r2 ρ2 − 2rρ cos(θ − t)]}.
4π
(8.24)
Nótese que G es simétrica en el sentido de que no varía cuando se intercambian
entre sí (r, θ) y (ρ, t). En coordenadas cartesianas, si ȳ ∗ designa el simétrico de
ȳ con respecto a la circunferencia unidad, ȳ ∗ = ȳ/|ȳ|2 , la función G adopta la
forma,
1
G(x̄, ȳ) =
[− log |x̄ − ȳ| + log |ȳ||x̄ − ȳ ∗ |],
(8.25)
2π
mientras la representación en coordenadas cartesianas (8.22) toma la forma,
∫∫
u(x̄) =
G(x̄, ȳ)F (x̄, ȳ) dȳ.
(8.26)
G(r, θ, ρ, t) =
B
Se conoce a G = G(x̄, ȳ) como la función de Green del problema de Dirichlet en
el círculo. Debe observarse que G satisface G(x̄, ȳ) = G(ȳ, x̄), que para ȳ ∈ B,
∆x̄ G(·, ȳ) = 0 mientras que para cada ȳ ∈ B, G(x̄, ȳ) = 0 en |x̄| = 1. Otra
237
propiedad importante es que G ≥ 0. Es más, sólo se anula si |x| = 1 o |y| = 1.
En efecto,
(
)
1 + r2 ρ2 − 2rρ cos(θ − t)
G = log
.
1 + r2 ρ2 − 2rρ cos(θ − t)
Que el argumento sea mayor o igual que 1 equivale a que:
(1 − r2 )(1 − ρ2 ) ≥ 0.
La expresión,
1
log |x̄|,
2π
se denomina solución fundamental del Laplaciano ∆ en el plano.
Toda la discusión previa ha tenido como objetivo probar el siguiente resultado.
Γ2 (x̄) =
Teorema 8.13. Si F ∈ C 1 (B) ∩ L∞ (B) entonces
∫∫
u(x̄) =
G(x̄, ȳ)F (ȳ) dȳ.
(8.27)
B
define una solución clásica del problema (8.15).
La demostración del teorema es elaborada y consta de varias etapas. En
primer lugar observamos G = −Γ2 (x̄ − ȳ) + G2 (x̄, ȳ). El término:
∫∫
U (x̄) =
G2 (x̄, ȳ)F (ȳ) dȳ,
B
∞
es de clase C en B. En efecto, para x̄ en una bola B 0 ⊂ B tanto G2 como todas
sus posibles derivadas se mantienen uniformemente acotadas con ȳ ∈ B. El caso
más delicado es el de la continuidad. A tal efecto nótese que log(|ȳ|2 |x̄ − ȳ ∗ |2 ) =
log(1+|x̄|2 |ȳ|2 −2x̄ȳ) y que permanece acotada en valor absoluto si x̄ ∈ B 0 ⊂ B,
ȳ ∈ B. En particular, U es una función armónica en B.
El término,
∫∫
V (x̄) =
Γ2 (x̄ − ȳ)F (ȳ) dȳ,
B
es más delicado de manejar y a su estudio consagramos las siguientes líneas. Se
conoce a V como potencial logarítmico con densidad F .
Lema 8.14. Si F ∈ L∞ (B) el potencial logarítmico V con densidad F es C 1
en B y además
∫∫
∂xi V (x̄) =
∂xi Γ2 (x̄ − ȳ)F (ȳ) dȳ
i = 1, 2.
B
En particular, la función u definida por (8.27) es C 1 y,
∫∫
∂xi u(x̄) =
∂xi G(x̄, ȳ)F (ȳ) dȳ
i = 1, 2.
B
238
Demostración. Se considera η ∈ C ∞ (R) tal que η = 0 en t ≤ 1, η = 1 si t ≥ 2
mientras η ≥ 0. Para ε > 0 la función:
∫∫
Vε (x̄) =
Γ2 (x̄ − ȳ)η(|x̄ − ȳ|/ε)F (ȳ) dȳ,
B
es C ∞ en R2 mientras Vε → V , ∂xi Vε → Vi uniformemente en R2 cuando
ε → 0+, donde:
∫∫
∂xi Γ2 (x̄ − ȳ)F (ȳ) dȳ,
Vi (x̄) =
B
i = 1, 2. Esto prueba el Lema.
Consideramos ahora la solución clásica del problema:
{
−∆u = 1
en B
u=0
en ∂B.
Tal solución ha de ser radial por lo que es fácil de calcular y viene dada por
1
u = (1 − r2 ). Si se tiene en cuenta la forma del desarrollo en serie de G se
4
concluye que:
∫∫
1
(1 − r2 ) =
G(x̄, ȳ) dȳ.
4
B
En efecto la parte de la serie en los términos cos n(θ − t) desaparece y,
∫∫
∫ r
∫ r
1
1
1
1
G dȳ =
{2π
log( )ρ dρ + 2π
log( )ρ dρ} = (1 − r2 ).
2π
r
ρ
4
B
0
0
Del lema anterior,
xi
− =
2
∫∫
∂xi G(x̄, ȳ) dȳ
i = 1, 2.
B
Consideramos finalmente las funciones:
∫∫
xi
∂xi G(x̄, ȳ)(F (ȳ) − F (x̄)) dȳ,
ui (x̄) = ∂xi u + F (x̄) =
2
B
i = 1, 2. Usando el argumento del lema y la diferenciabilidad de F en B se tiene
que las funciones
∫∫
wi (x̄) =
∂xi G(x̄, ȳ)(F (ȳ) − F (x̄)) dȳ,
B
son C 1 con derivadas primeras,
∫∫
∫∫
∂xj wi (x̄) =
∂xi xj G(x̄, ȳ)(F (ȳ) − F (x̄)) dȳ −
∂xi G(x̄, ȳ)∂xj F (x̄) dȳ.
B
B
239
Se concluye entonces que, por un lado, ∂x1 v1 + ∂x2 v2 = ∆u + F (x̄) + x21 ∂x1 F +
x2
2 ∂x2 F , mientras que de ∆x̄ G(·, ȳ) = 0 para x̄ ∈ B \ ȳ se deduce ∂x1 v1 +∂x2 v2 =
x2
x1
2 ∂x1 F + 2 ∂x2 F . Por tanto −∆u = F en B.
Finalmente la función u definida en (8.27) satisface también la condición de
contorno pues,
∫∫
|F |∞,B
G dȳ ≤
(1 − r2 ) → 0,
|u| ≤ |F |∞,B
4
B
cuando r → 1−. Esto cierra la demostración del teorema
Una consecuencia de la demostración es el siguiente,
Corolario 8.15. Si F ∈ C 1 (B) ∩ L∞ (B) el correspondiente potencial logarítmico V :
∫∫
V (x̄) =
Γ2 (x̄ − ȳ)F (ȳ) dȳ
i = 1, 2.
B
2
es C en y satisface ∆V = F en B.
Con más generalidad se tiene lo siguiente.
Teorema 8.16. Sea Ω ⊂ R2 un dominio acotado mientras F ∈ C 1 (Ω)∩L∞ (Ω).
Entonces, el potencial logarítmico V con densidad F en Ω:
∫∫
V (x̄) =
Γ2 (x̄ − ȳ)F (ȳ) dȳ,
Ω
2
es C en Ω y satisface ∆V = F en Ω.
Demostración. Para ε > 0 pequeño y x0 ∈ Ω arbitrario, tomamos Fε ∈ C 1 (R2 )
donde Fε = F en |x̄ − x0 | ≤ ε/2 y Fε = 0 para |x̄ − x0 | ≥ ε. Si:
∫∫
Vε (x̄) =
Γ2 (x̄ − ȳ)Fε (ȳ) dȳ,
Ω
entonces V − Vε es armónica en |x̄ − x0 | < ε/2, mientras, por el corolario, Vε es
C 2 en |x̄ − x0 | < ε y ∆Vε = Fε . Por tanto V es C 2 en |x̄ − x0 | < ε/2 y ∆V = F
en dicha región.
Hemos fabricado la función de Green del problema de Dirichet para la ecuación de Poisson en la bola (se normalizó el radio a la unidad para simplificar).
En dominios generales Ω y en dimensiones superiores esta noción se extiende a
los efectos de obtener una representación integral del tipo (8.27) para la solución
del problema de Dirichlet. La definición adecuada a tales propósitos es la que
sigue.
Definición 8.17. Sea Ω ⊂ R2 un dominio. Se dice que:
G:
Ω×Ω
(x̄, ȳ)
−→
7−→
R
G(x̄, ȳ)
es una función de Green para el problema de Dirichlet en Ω si:
240
1. G = −Γ2 (x̄ − ȳ) + h(x̄, ȳ), donde h(·, ȳ) ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) para cada ȳ ∈ Ω.
2. Para cada ȳ ∈ Ω, u = h(·, y) es la solución clásica del problema,
∆x̄ u = 0
x̄ ∈ Ω
u(x̄) = Γ2 (x̄ − ȳ)
x̄ ∈ ∂Ω.
De la propia definición se desprende la unicidad de la función de Green sobre
Ω. Por otro lado, la función de Green que hemos obtenido en el caso del círculo
cumple los requisitos de la definición.
En el contexto n-dimensional exploraremos más aspectos de las funciones de
Green.
8.3.
Singularidades evitables
Uno de los objetivos de la sección es probar con un ejemplo que la continuidad
de F no es suficiente para asegurar la existencia de soluciones clásicas para el
problema:
{
−∆u = F
en Ω
(8.28)
u=0
en ∂Ω,
ni siquiera en el caso de la bola.
Para ello son necesarios algunos resultados de interés en sí mismos.
El primero describe singularidades evitables de las funciones armónicas.
Teorema 8.18. Sea u ∈ C 2 (Ω) armónica en Ω \ x1 , . . . , xN . Supóngase que
además,
u(x) = o(Γ2 (x − xi ))
x → xi ,
para i ∈ {1, . . . , N }. Entonces u admite una única extensión armónica a todo
Ω.
El resultado es consecuencia de la siguiente propiedad.
Lema 8.19. Supongamos que u es armónica en B \ 0, u = 0 en ∂B mientras
u = o(Γ2 (x)) cuando x → 0. Entonces u = 0 en B \ 0.
Demostración. Fijamos P0 ∈ B \ 0. Para ε > 0 arbitrario elegimos 0 < ρ < |P0 |
tal que:
|u(x)| < −ε log ρ
|x| = ρ.
Formamos el anillo Aρ = {ρ < |x| < 1} y tenemos que u < −ε log |x| y que
u > ε log |x| en ∂Aρ . Del principio de comparación concluimos que |u(x)| ≤
−ε log |x| en Aρ . En particular,
|u(P0 )| ≤ −ε log |P0 |,
para cada ε > 0. Por tanto u(P0 ) = 0.
8.4. EJERCICIOS
241
Una consecuencia indirecta del lema es lo siguiente.
Corolario 8.20. El problema de Dirichlet,
{
−∆u = 0
en Ω
u=f
en ∂Ω,
en general no es resoluble en Ω = B \ 0.
Demostración. En efecto, se trataría de resolver ∆u = 0 en B \ 0, con u ∈
C 2 (B \ 0) ∩ C(B) y valores u(0) = A, u = f en r = 1 prefijados de antemano.
Sin embargo, del lema, el único valor posible para A es precisamente,
∫
1
f (ȳ) dSȳ .
A=
2πR |ȳ|=R
En consecuencia A no puede prefijarse libremente con independencia de f .
Otra consecuencia importante del lema es el siguiente contraejemplo de existencia de soluciones clásicas para el problema de Dirichlet.
Teorema 8.21. El problema de Dirichlet,
[
]

2
2
∆u = x2 − x1 4(− log r)−1/2 + 1 (− log r)−3/2
2ρ2
2

u = (− log R)1/2 (x21 − x22 )
en BR
en r = R,
no admite soluciones clásicas.
Demostración. Consideramos u1 = (− log r)1/2 (x21 − x22 ). Se comprueba que u
es C 1 en B R pero no es C 2 . Por otro lado,
[
]
x2 − x2
1
∆u1 = 2 2 1 4(− log r)−1/2 + (− log r)−3/2 ,
2ρ
2
en BR \ 0. Si existiese una solución clásica u ∈ C 2 (BR ) ∩ C(B) tendríamos,
por el lema, que u = u1 en 0 < r < R lo que es imposible. Por tanto el
problema no admite soluciones clásicas. Debe observarse que el segundo miembro
F ∈ C(B R ).
8.4.
Ejercicios
1. Estúdiese por separación de variables la solución del problema de Dirichlet
para la ecuación de Laplace:
∆u = 0 x ∈ Ba
u = f x ∈ ∂Ba ,
donde Ba es la bola centrada en el origen y de radio a en el plano, y f (x, y)
es de clase C 1 en la circunferencia de radio a, ∂Ba .
242
2. Pruébese que si f en el problema anterior es sólo continua, la solución del
problema de Dirichlet en la bola
∆u = 0 x ∈ Ba
u = f x ∈ ∂Ba ,
existe y viene dada por la fórmula de Poisson,
∫
1
a2 − |x|2
u(x) =
dSy .
2πa |y|=a |y − x|2
3. Se considera el sector W = {0 < r < a, 0 < θ < β}. Estúdiese, por el
método de separación de variables la solución del problema de contorno
∆u = 0 en W , u = 0 en θ = 0, β, mientras que se impone u(a, θ) = f (θ)
donde f es, por ejemplo, continua en 0 ≤ θ ≤ β. Analícese el correspondiente problema reemplazando la condición Dirichlet, por la de Neumann
∂u
∂n (a, θ) = g(θ).
4. Analícese el problema de Dirichlet ∆u = 0 en el anillo plano a < r < b,
bajo condiciones de Dirichlet u = f en r = a, u = g en r = b, f y g
continuas. Utilícese el método de separación de variables.
5. Analícese por el método de separación de variables la solución del problema
exterior de Dirichlet plano: ∆u = 0 en r > a, u = f en r = a, f continua,
mientras que se impone la condición de que u esté acotada.
6. Si k es una constante positiva, hállense las soluciones radiales de la ecuación de Helmholtz uxx + uyy = k 2 u.
7. Hállese (separación de variables) la solución del problema plano ∆u = 0
en a < r < b, α < θ < β, u = 0 en θ = α, β, u = f en r = a, mientras
u = g en r = b, siendo f y g continuas.
8. Pruébese que si u es armónica en una región Ω del plano, entonces u es
C ∞.
9. Pruébese que si u es armónica en una región Ω del plano, entonces u cumple
el teorema de la media. Es decir, para toda bola cerrada B̄ = B̄R (x0 ) ⊂ Ω
se tiene,
∫
1
u(x0 ) =
u(y) dSy .
2πR |y−x0 |=R
Pruébese que también,
1
u(x0 ) =
πR2
∫∫
u(y) dy.
|y−x0 |≤R
10. Pruébese usando la fórmula de Poisson que toda función continua y periódica en R, f = f (θ) puede aproximarse uniformemente por polinomios
∑N
trigonométricos pn (θ) = a0 + 1 an cos nθ + bn sen nθ.
8.4. EJERCICIOS
243
11. Descríbase la estructura de los polinomios armónicos en el plano.
Indicación. Si u es un polinomio armónico cumple ∆u = 0 en la bola
unidad con un dato de frontera f (θ) de una clase especial.
12. Una aplicación biyectiva (P, Q) : Ω → Ω1 y C 1 entre dos dominos del plano
Ω, Ω1 se dice conforme si preserva los ángulos de curvas incidentes. ¿Qué
forma tienen tales transformaciones?. Pruébese que las transformaciones
conformes preservan las funciones armónicas.
13. (Desigualdad de Harnack). Sea u armónica en en |x| < a, continua hasta
|x| = a y no negativa. Pruébese que si |ξ| < a entonces,
(a + |ξ|)
(a − |ξ|)
u(0) ≤ u(ξ) ≤
u(0).
(a + |ξ|)
(a − |ξ|)
14. (Estimaciones del Gradiente). Sea Ω un dominio acotado de R2 , u armónica en Ω y sea B = BR (x0 ) ⊂ B̄ ⊂ Ω. Prúebese que,
|∂i u(x0 )| ≤
2
sup |u|,
R ∂B
para i = 1, 2. Utilícese para ello que ∂i u es también armónica, junto con
la propiead de la media y el teorema de la divergencia. Conclúyase que
|∂i u(x0 )| ≤
2
sup |u|.
d(x0 , ∂Ω) Ω
15. (Teorema de Liouville). Prúebese que si u es armónica y acotada en R2
es entonces constante (aplíquese el problema anterior a bolas con radio
creciendo a infinito).
16. Sea u ∈ C ∞ (Ω) con x0 ∈ Ω. La serie formal de Taylor de u en x0 se define
como
∑ 1
∂ α u(x0 )(x − x0 )α ,
α!
2
α∈N
donde α = (α1 , α2 ), α! = α1 !α2 ! y ∂ α u = ∂xα11 ∂ξα22 u.
Prúebese que si u es armónica en un dominio Ω, x0 ∈ Ω, entonces, si
B R (x0 ) ⊂ Ω,
∑ 1
u(x) =
∂ α u(x0 )(x − x0 )α ,
(8.29)
α!
2
α∈N
donde la serie converge absoluta y uniformemente en la tal bola |x − x0 | ≤
R. Puede suponerse para ello que x0 = 0 (¿Por qué?), recordar que u es
de clase C ∞ y que en virtud a la fórmula de Poisson, tenemos:
∑ ( r )n
(an cos nθ + bn sen nθ) ,
(8.30)
u(x) = a0 +
R
n≥0
244
que converge absoluta y unifermemente en |x| ≤ R. Utilícese que las sumas parciales de (8.30) son polinomios, junto con la caracterización del
polinomio de Taylor para concluir que (8.30) es en realidad la versión en
polares de (8.29).
17. (Principio del Máximo y términos gradiente). Sea u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω̄) una
solución de:
∑
∆u +
ai ∂i u = 0,
en Ω, donde se supone que los coeficientes ai (x) son acotados en Ω. Pruébese que:
mı́n u ≤ u(x) ≤ máx u.
∂Ω
∂Ω
18. (Teorema de Phragmén-Lindelöf). Sea Ω un dominio plano y acotado,
(x0 , y0 ) ∈ ∂Ω un punto de su frontera y sea u una función armónica en
Ω, continua en Ω̄ execpto quizás en (x0 , y0 ). Supóngase que u(x, y) ≤ M
para (x, y) ∈ ∂Ω, (x, y) ̸= (x0 , y0 ). Si se tiene:
{
}
/
2R2
lı́m
u(x, y) log
= 0,
((x − x0 )2 + (y − y0 )2 )
(x,y)→(x0 ,y0 )
{
}
donde R > 0 es tal que el dominio Ω ⊂ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < R2 .
Pruébese que también u(x, y) ≤ M en Ω.
Analícese con detalle el ejemplo:
u(x, y) =
1 − r2
,
1 + r2 − 2r cos θ
siendo r y θ las coordenadas polares de (x, y), 0 ≤ r < 1.
Indicación. Estúdiese la validez del principio del máximo para la función
auxiliar v(x, y) dada por la identidad:
u(x, y) = v(x, y) log
2R2
.
((x − x0 )2 + (y − y0 )2 )
19. ¿Es la función
ψ(r, θ) = cotag−1
(
2r sen θ
1 + r2 − 2r cos θ
)
,
armónica en el disco unidad? Véase Weimberger [26], Sección 25.
20. Sea Arg P la determinación del argumento con discontinuidad en el semieje real positivo. Sean A, B puntos de la circunferencia unidad ∂B1 .
Pruébese que ψ(P ) = Arg (P − B) − Arg (P − A) es armónica y acotada
en B1 . ¿Cuál es su comportamiento en la frontera? Estúdiese con detalle
los comportamientos en los puntos A y B.
8.4. EJERCICIOS
245
21. Resuélvase los problemas de contorno:
a)
urr + 1r ur +
1
r 2 uθθ
=0
0<r<1
3
u(1, θ) = sen θ + sen θ cos θ
0 ≤ θ ≤ 2π.
b)
urr + 1r ur +
u(1, θ) = 1,
1
r 2 uθθ
=0
0<r<1
0 < θ < π,
u(1, θ) = 0,
π < θ < 2π.
c)
(x, y) ∈ B4 (O)
∆u = 0
4
u(x, y) = x
x2 + y 2 = 16.
22. Sea Q el rectángulo 0 ≤ x ≤ l1 , 0 ≤ y ≤ l2 y considére una función
f = f (x, y) de clase C 1 definida en la frontera ∂Q que se anula en los
vértices del mismo. Construir la solución del problema de Dirichlet:
{
∆u = 0 x ∈ Q
u = f x ∈ ∂Q,
por el método de separación de variables.
23. Resolver el problema

∆u = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1




u(x, 1) = 0, 0 < x < 1

u(0, y) = u(1, y) = 0, 0 < y < 1



u(x, 0) = 1.
24. Hallar la solución del problema ∆u = y(1 − y) sen3 x en 0 < x < π,
0 < y < 1, bajo condiciones Dirichlet homogéneas.
25. (Función de Green en el rectángulo). Hallar la solución formal del problema
∆u = −F (x, y) en el rectángulo 0 < x < π, 0 < y < A y condiciones
Dirichlet homogéneas.
26. Sea G = G((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) la función de Green para el problema de
Dirichlet en el círculo unidad. Bajo las equivalencias obvias, comprobar
que se puede escribir en la forma,
G(z, z1 ) =
−1
1
log |z − z1 | +
log |1 − z z̄1 |
2π
2π
z, z1 ∈ C,
|z|, |z1 | < 1.
Si, por otra parte, z = g(ζ) es holomorfa en Ω, continua en Ω y aplica
biyectivamente Ω en el círculo unidad prúebese que
GΩ (ζ, ζ1 ) = G(g(ζ), g(ζ1 )),
es una función de Green para el problema de Dirichlet en Ω.
246
27. Prúebese que la función de Green Ga para el problema de Dirichlet en la
bola Ba (0) toma la forma:
Ga (x̄, ȳ) = G
donde ȳ ∗ = a2
|x̄| = a.
( x̄ ȳ )
1
ȳ
,
)=
[− log |x̄ − ȳ| + log | ||x̄ − ȳ ∗ |],
a a
2π
a
ȳ
es el simétrico de ȳ con respecto a la circunferencia
|ȳ|2
28. Estúdiese el comportamiento de la transformación bilineal
ζ =z+
a2
,
z
sobre el círculo |z| < b, b > a > 0. Usar el resultado para determinar la
función de Green del problema de Dirichlet en una elipse.
Capítulo 9
Ecuación de Laplace
n–dimensional
9.1.
Identidades de Green. Solución fundamental
Recordamos que un dominio acotado Ω ⊂ Rn de clase C k es un abierto y
conexo cuya frontera ∂Ω es una superficie de clase C k mientras Ω está localmente
de un sólo lado de la frontera (ver Anexo). Designamos por ν = ν(x) al campo
normal unitario exterior (“la normal exterior” para abreviar) a ∂Ω.
Lema 9.1. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado y C 1 mientras u, v ∈ C 2 (Ω).
Entonces (primera identidad de Green),
∫
∫
∫
∂v
u∆v = −
∇u∇v +
u .
∂ν
Ω
Ω
∂Ω
En consecuencia (segunda identidad de Green),
∫
∫
∂v
∂u
u∆v − v∆u =
u
−v .
∂ν
∂ν
Ω
∂Ω
Una propiedad característica del operador Laplaciano es su invariancia frente
a rotaciones en Rn . Es por ello natural estudiar sus soluciones radiales en Rn . Se
conoce como solución fundamental de −∆ a una elección normalizada u = Γn (x)
de dichas soluciones. Específicamente:

1


|x|2−n n ≥ 3
n(2
−
n)ω
n
Γn (x) =

 1 log |x|
n = 2,
2π
donde ωn =
2π n/2
es el volumen de la bola unidad en Rn .
nΓ(n/2)
247
248
CAPÍTULO 9. ECUACIÓN DE LAPLACE (RN )
Ejercicio 9.1. Pruébese que para x ∈ Rn \ 0 se tiene la estimación:
|∂ α Γn (x)| ≤ C(n, |α|)|x|2−n−|α| .
El siguiente resultado permite representar una función C 2 en términos de su
Laplaciano y diversas expresiones integrales que involucran la solución fundamental.
Teorema 9.2. Sea Ω un abierto acotado y C 1 mientras u ∈ C 2 (Ω). Entonces,
∫
∫
∂Γn (y − x)
∂u
{u(y)
− Γn (y − x) (y)} dSy +
Γn (y − x)∆u(y) dy.
u(x) =
∂ν
∂ν
∂Ω
Ω
(9.1)
Observación 9.1. Si Ω es un dominio C 1 puede probarse, usando que la función
distancia a la frontera d(x) es C 1 (ver [13], Cap. 14), que Ωε = {x ∈ Ω : d(x) >
ε} es un dominio C 1 para ε pequeño. Esto permite relajar en (9.1) la condición
u ∈ C 2 (Ω) por u ∈ C 1 (Ω) ∩ C 2 (Ω) junto con ∆u ∈ L1 (Ω). Basta para ello con
establecer (9.1) en Ωε y hacer ε → 0+.
Observación 9.2. Si Ω ⊂ Rn es un dominio acotado de clase C 1 y ρ0 = ρ0 (x) ∈
L1 (Ω) la función,
∫
V0 (x) =
Γn (x − y)ρ0 (y) dy,
Ω
se conoce como potencial de volumen o potencial Newtoniano con densidad ρ0 .
Si ρ1 ∈ L1 (∂Ω) la función:
∫
V1 (x) =
Γn (y − x)ρ1 (y) dSy ,
∂Ω
se denomina potencial de capa simple con densidad ρ1 mientras que,
∫
∂Γn
V2 (x) =
(y − x)ρ2 (y) dSy ,
∂Ω ∂ν
con ρ2 ∈ L2 (∂Ω) define el potencial de capa doble y densidad ρ2 .
Resulta inmediato comprobar que los potenciales de capa simple y capa doble
son funciones armónicas en Ω.
Proposición 9.3. Si u ∈ C 2 (Ω) es armónica en Ω entonces u es de clase C ∞
en Ω
Demostración. Tomamos cualquier bola B ⊂ B ⊂ Ω y escribimos,
∫
∂u
∂Γn
− Γn (y − x) (y)} dy,
u(x) =
{u(y)
∂ν
∂ν
B
con x ∈ B. Tal representación prueba que u ∈ C ∞ (B).
(9.2)
9.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE GREEN
249
Supongamos que u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) mientras ∆u ∈ L1 (Ω), o más sencillamente que u ∈ C 2 (Ω), donde naturalmente se supone que Ω es un dominio
acotado de clase C 1 .
Admitamos que existe una función h = h(x, y), h : Ω × Ω → R, h(·, y) ∈
C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) tal que u = h(·, y) resuelve:
{
∆x h(·, y) = 0
en Ω
(9.3)
h(· − y) = Γn (· − y)
en ∂Ω,
para cada y ∈ Ω, tenemos entonces de las identidades de Green que para cada
x ∈ Ω:
∫
∫
∂h
∂u
0=
{u(z) (z, x) − h(z, x) } dSz +
h(z, x)∆u(z) dz.
(9.4)
∂ν
∂ν
∂Ω
Ω
Combinando (9.1) y (9.4),
∫
∫
∂G
u(x) =
{−u(y)}
(y, x) dSy +
G(y, x){−∆u(y)} dy,
∂ν
∂Ω
Ω
(9.5)
donde hemos puesto,
G(x, y) = −Γn (x − y) + h(x, y).
Se conoce a G como la función de Green
el dominio Ω. Supuesto que u ∈ C 2 (Ω) ∩
problema,
{
−∆u = f (x)
u = g(x)
para el problema de Dirichlet en
C 1 (Ω) es una solución clásica del
en Ω
en ∂Ω,
(9.6)
donde, por ejemplo, f ∈ L1 (Ω), entonces la identidad (9.5) permite representar
la solución como,
∫
∫
∂G
u(x) = −
g(y)
(y, x) dSy +
G(y, x)f (y) dy
x ∈ Ω.
(9.7)
∂ν
∂Ω
Ω
La expresión sugiere cuál ha de ser el candidato a solución y en efecto (9.7)
proporciona la solución de (9.6) cuando concurren condiciones de regularidad
adecuadas sobre los datos. Debe observarse el rol que desempeña Γn en la construcción de la función de Green (de ahí el apelativo de solución fundamental).
A este respecto conviene revisar las conclusiones del caso del plano n = 2 en el
círculo.
9.2.
Propiedades de las funciones de Green
Algunas consecuencias importantes de la función de Green que se deducen
de la definición se reseñan a continuación.
250
Teorema 9.4. Sea Ω ⊂ Rn un dominio C 1 y G = G(x, y) la correspondiente
función de Green (del problema de Dirichlet). Entonces,
i) G(x, y) + Γn (x − y) ∈ C(Ω × Ω) o también G ∈ C((Ω × Ω) \ (x, y) : x = y).
ii) G(x, y) = G(y, x) para (x, y) ∈ Ω × Ω. En particular G ∈ C(Ω × Ω \
(x, y) : x = y).
iii) G > 0 para x, y ∈ Ω, x ̸= y.
iv) Para f ∈ L∞ (Ω) (Ω acotado) se tiene que:
∫
G(x, y)f (y) dy → 0
x → ∂Ω.
Ω
Demostración. Del principio del máximo se sigue que G(·, yn ) → G(·, ȳ) uniformemente en Ω si yn → ȳ en Ω lo que largamente prueba i).
A los efectos de ii) se considera el dominio “perforado” Ωε = Ω \ (B ε (x1 ) ∪
B ε (x2 )). Aplicando la segunda identidad de Green a la pareja de funciones
u(x) = G(x, x1 ), v(x) = G(x, x2 ) en Ωε obtenemos,
∫
−
{
∂G
G(x1 + εw, x1 )(−
)(x1 + ρw, x2 )|ρ=ε
∂ρ
|w|=1
}
∂G
− G(x1 + εw, x2 )(−
)(x1 + ρw, x1 )|ρ=ε dSw
∂ρ
∫
=
{
∂G
G(x2 + εw, x1 )(−
)(x2 + ρw, x2 )|ρ=ε
∂ρ
|w|=1
}
∂G
− G(x2 + εw, x2 )(−
)(x2 + ρw, x1 )|ρ=ε dSw
∂ρ
en donde al hacer tender ε → 0+ se deduce G(x1 , x2 ) = G(x2 , x1 ).
Para iii) basta aplicar el principio del máximo a u(x) = G(x, y) en Ω \ B ε (y)
con ε > 0 convenientemente pequeño.
Finalmente, se demostrará en la Sección 9.5 que el problema:
{
−∆u = 1
x∈Ω
u=0
x ∈ ∂Ω,
admite una solución clásica v en todo dominio acotado y C 1 . En particular
(v > 0 en Ω):
∫
sup
G(x, y) dy → 0,
dist(x,∂Ω)≤δ
Ω
cuando δ → 0+. De ahí se sigue inmediatamente iv).
9.3. ECUACIÓN DE LAPLACE EN LA BOLA
251
Observación 9.3. A los efectos de construir funciones de Green en algunos casos
prácticos es conveniente usar argumentos de simetría. Supongamos que se conoce
la función de Green GΩ (x, y) de un dominio Ω mientras Ω1 ⊂ Ω es un subdominio de Ω para el que existe una aplicación continua e inyectiva g : Ω1 → Ω tal
que g(Ω1 ) ∩ Ω1 = ∅, Ω = g(Ω1 ) ∪ Σ ∪ Ω1 con Σ = {x : g(x) = x}. Si,
GΩ (x, y) = GΩ (g(x), g(y)),
para x, y ∈ Ω, se comprueba fácilmente que,
G(x, y) = GΩ (x, y) − GΩ (x, g(y)),
es la función de Green para el dominio Ω1 .
Ejemplo 9.4. Aunque el dominio Ω = Rn no se ajusta estrictamente al formato
teórico que hemos desarrollado vamos a calcular la función de Green del semiespacio Ω1 = Rn+ = {xn > 0}. Para ello escribimos x = (x′ , xn ), x′ ∈ Rn−1 ,
Σ = {xn = 0} y g la simetría: g(x) = (x′ , −xn ). La función de Green –luego
precisaremos en qué contexto– para el semiespacio será:
G(x, y) = −Γn (x − y) + Γn (x − g(y)).
Véanse más ejemplos en la sección de Ejercicios.
9.3.
Ecuación de Laplace en la bola
La identidad (9.7) junto con las ideas del capítulo anterior nos llevarán a la
solución u de:
{
∆u = 0
en B
(9.8)
u = g(x)
en ∂B,
con B = {x : |x| < R}. El candidato natural a función de Green es:
G(x, y) = −Γn (x − y) + Γn (
|y|
(x − y ∗ )),
R
y
es el simétrico de y con respecto a la esfera {|y| = R}. Si
|y|2
e n (s) = (1/2π) log s para n = 2, Γ
e n (s) = (1/n(2 − n)ωn )s2−n cuando n ≥ 2
Γ
entonces una escritura conveniente para G es la que sigue:
√
√
e n ( |x|2 + |y|2 − 2xy) + Γ
e n ( (|x||y|/R)2 + R2 − 2xy).
G(x, y) = −Γ
donde y ∗ = R2
Nótese que G es simétrica.
La expresión para ∂G/∂ν es:
n
n
∑
∑
∂G
∂G
∂G
xi
(x, y)
(x, y)
(x, y)
.
=−
νi = −
|x|=R
|x|=R
|x|=R
∂ν
∂x
∂x
R
i
i
i=1
i=1
252
Por tanto (n ≥ 3):
∂G
1 R2 − |y|2
(x, y) = −
.
∂ν
nωn R |x − y|n
Si u ∈ C 2 (B) ∩ C 1 (B) es una solución clásica del problema de Dirichlet (9.8)
entonces u se puede representar como:
∫
R2 − |x|2
g(y)
u(x) =
dSy
x ∈ B.
(9.9)
n
nωn R
|y|=R |y − x|
Sin embargo, si u ∈ C 2 (B) ∩ C(B) (no llega C 1 hasta el borde) entonces para
|x| < R − ε con ε > 0 pequeño tenemos,
∫
(R − ε)2 − |x|2
u(y)
u(x) =
dSy
x ∈ B.
(9.10)
nωn R
|y
− x|n
|y|=R−ε
Volvemos a obtener (9.9) si hacemos ε → 0+ en (9.10). Más aún, (9.9) define la
solución clásica del problema de Dirichlet (9.8).
Teorema 9.5 (Fórmula de Poisson). Para g continua y arbitraria, la función
∫
R2 − |x|2
g(y)
u(x) =
dSy
x ∈ B,
n
nωn R
|y|=R |y − x|
extendida a ∂B con el valor g define la solución clásica del problema (9.8).
Observación 9.5. En la prueba hay dos hechos básicos para probar la continuidad de u hasta la frontera (es obvio que u en (9.9) es armónica en B). Primero,
−∂G/∂ν ≥ 0. Segundo, la unicidad de soluciones clásicas implica que:
∫
R2 − |x|2
dSy
1=
x ∈ B.
nωn R
|y
− x|n
|y|=R
9.4.
Funciones armónicas: propiedades
Se recuerda que u ∈ C 2 (Ω) es armónica (r. subarmónica, superarmónica) en
Ω si −∆u = 0 (r. ≤ 0, ≥ 0) en Ω. Como en el caso del plano se demuestra a partir
de la integral de Poisson que toda función armónica cumple las propiedades de
la media, es decir:
∫
1
u(x) =
u(y) dSy ,
nωn Rn−1 |y|=R
junto con:
u(x) =
Más generalmente, se tiene el,
1
ωn Rn
∫
u(y) dy.
|y|≤R
9.4. FUNCIONES ARMÓNICAS: PROPIEDADES
253
Teorema 9.6. Sea u ∈ C 2 (Ω) armónica (r. subarmónica, superarmónica) en
Ω. Entonces para toda bola B ⊂ Ω se tienen (respectivamente):
∫
1
u(x) = (≤, ≥)
u(y) dSy ,
nωn Rn−1 |y|=R
junto con,
u(x) = (≤, ≥)
1
ωn Rn
∫
u(y) dy.
|y|≤R
Una consecuencia inmediata es el siguiente resultado.
Teorema 9.7 (Principio fuerte del máximo). Si u ∈ C 2 (Ω) es subarmónica en
Ω, M = supΩ u y existe x0 ∈ Ω tal que u(x0 ) = M entonces u = M sobre la
componente conexa C de x0 en Ω.
Observación 9.6. De la prueba se deduce fácilemente que toda función continua
que satisfaga la propiedad de la media cumple también el principio fuerte del
máximo. Se tiene además la siguiente caracterización.
Proposición 9.8. Una función continua u ∈ C(Ω) en un abierto Ω es armónica
si y sólo si satisface la propiedad de la media.
El siguiente resultado es sumamente útil en muchas direcciones. Particularmente para demostrar que toda sucesión acotada de funciones armónicas define
una familia normal.
Teorema 9.9 (Estimaciones del gradiente). Si u ∈ C 2 (Ω) es armónica entonces,
(
)|α|
n|α|
|∂ α u(y)| ≤
sup u,
dy
Ω
con dy = dist (y, ∂Ω). En particular, para todo subdominio Ω′ ⊂ Ω′ ⊂ Ω se
tiene,
(
)|α|
n|α|
α
|∂ u(y)| ≤
sup u,
(9.11)
d
Ω
con d = dist (Ω′ , ∂Ω).
La observación siguiente podía haberse obtenido ya directamente de la representación (A) (9.2) de las funciones armónicas.
Teorema 9.10. Si u ∈ C 2 (Ω) es armónica en Ω entonces u es real analítica en
Ω.
Demostración. Tomamos B 2R (x0 ) ⊂ Ω, M una cota de |u| en dicha bola. La
serie de Taylor (u es C ∞ ) converge absolutamente en |x − x0 | ≤ θR si 0 < θ < 1
es pequeño. En efecto:
∞
∑ |α|! (nθ|α|)|α|
∑
∑ 1
mm 2 m
α
α
∂ u(x0 )(x − x0 ) ≪ M
=M
(n θ) .
α!
α!
|α|!
m!
α
α
m=0
254
Nótese que para cierto η > 0,
∞
∞
∑
∑
(n2 eθ)m
mm 2 m
√
(n θ) ≤ (1 + η)M
M
< +∞,
m!
2πm
m=m0
m=m0
supuesto que n2 eθ < 1. Por otro lado el resto de orden N en |x − x0 | ≤ θR se
comporta de la forma siguiente,
∑ 1
∑
(n2 eθ)N
NN
∂ α u(x0 + ζ(x − x0 ))(x − x0 )α ≪ M
∼ √
→ 0,
(n2 θ)N
α!
N!
2πN
|α|=N
|α|=N
cuando N → ∞, supuesto como arriba que n2 eθ < 1. Esto concluye la demostración.
Una consecuencia combinada del teorema de Ascoli-Arzela, de las estimaciones (9.11) y de un proceso diagonal de Cantor es el siguiente teorema de tipo
Montel.
Teorema 9.11. Si un ∈ C 2 (Ω) es una sucesión de funciones armónicas en un
abierto Ω con la propiedad de que supΩ |un | ≤ M para cierta constante M >
0 entonces un admite una subsucesión que converge en la topología compacta
abierta de Ω a una función u ∈ C 2 (Ω) que es también armónica en Ω.
El siguiente resultado se conoce como desigualdad de Harnack para funciones
armónicas.
Teorema 9.12. Sea u ∈ C 2 (Ω), u ≥ 0 una función armónica en Ω. Entonces,
para todo subdominio acotado Ω′ ⊂ Ω′ ⊂ Ω existe una constante C = C(Ω′ , Ω)
tal que:
sup u ≤ C ı́nf′ u.
Ω′
Ω
Una consecuencia del mismo es el siguiente resultado que también lleva asociado el nombre de Harnack.
Teorema 9.13. Sea un ∈ C 2 (Ω) una sucesión creciente de funciones armónicas
en Ω para la que existe y ∈ Ω tal que un (y) está acotada. Entonces un converge
en la topología compacta abierta de Ω a una función armónica u ∈ C 2 (Ω).
9.5.
Problema de Dirichlet: dominios generales
Queremos estudiar la existencia de soluciones clásicas de
{
∆u = 0
en Ω
u = g(x)
en ∂Ω,
(9.12)
donde Ω ⊂ Rn es un dominio acotado completamente general, salvo algunas
restricciones en la frontera. El método que vamos a describir requiere la introducción de una noción más general de función subarmónica (r. superamónica)
que el que se ha considerado.
9.5. MÉTODO DE PERRON
255
Definición 9.14. Una función continua u ∈ C(Ω) se dice subarmónica si para
toda bola B ⊂ Ω y toda función armónica h en B, h ∈ C 2 (B) ∩ C(B) con u ≤ h
en ∂B se tiene u ≤ h en B.
La noción de función superarmónica se establece invirtiendo las desigualdades.
Proposición 9.15. Sea u ∈ C(Ω) subarmónica en Ω. Entonces,
i) Para toda bola B ⊂ Ω se tiene u ≤ uB donde v = uB es la solución clásica
del problema de Dirichlet:
{
∆v = 0
en B
v=u
en ∂B.
ii) Para toda bola B = B R (x0 ) ⊂ Ω se tiene:
∫
1
u(x0 ) ≤
u(y) dy.
|Br (x0 )| BR (x0 )
En particular, toda función subarmónica cumple el principio fuerte del
máximo.
iii) Sean u, v ∈ C(Ω) funciones sub y superarmónicas en Ω tales que u ≤ v
en ∂Ω. Entonces, o bien u = v en Ω o bien u < v en Ω.
iv) Dada una función subarmónica u en Ω una bola arbitraria B ⊂ Ω y la
función uB considerada en i) se tiene que la función:
{
uB (x)
x∈B
U (x) =
u(x)
x∈Ω\B
es también subarmónica en Ω.
Supongamos que el dato g ∈ L∞ (∂Ω). Se dice que u ∈ C(Ω) es una subfunción (“unterfunktion”) para el problema de Dirichlet (9.12) si u es subarmónica
y además u ≤ g en ∂Ω. De manera simétrica se define la noción de superfunción
(“oberfunktion”).
Proposición 9.16. Si u, ū ∈ C(Ω) son una subfunción y una superfunción
arbitrarias del problema de Dirichlet (9.12) entonces toda solución clásica u ∈
C 2 (Ω) ∩ C(Ω) de dicho problema satisface:
u ≤ u ≤ ū,
en Ω.
El resultado crucial es el siguiente.
256
Teorema 9.17 (O. Perron). Supongamos que g = g(x) es acotada en ∂Ω y
definamos:
S = {v ∈ C(Ω) : v es subarmónica en Ω , v ≤ g en ∂Ω}.
Entonces:
û = sup v,
v∈S
es armónica en Ω.
De manera análoga la expresión
ũ = ı́nf v,
v∈U
con U = {v ∈ C(Ω) : v es superarmónica en Ω , v ≥ g en ∂Ω} también define
una función armónica. Cuando g ∈ C(∂Ω) toda solución clásica u ∈ C(Ω) ∩
C 2 (Ω) del problema (9.12) ha de satisfacer û ≤ u ≤ ũ. La cuestión es saber
cuándo es cierto que lı́mx→x0 û(x) = g(x0 ) para x0 ∈ ∂Ω. Responder a esta
pregunta pasa por introducir la noción de función barrera de H. Poincaré y de
punto regular x0 ∈ ∂Ω.
Definición 9.18. Un punto x0 ∈ ∂Ω se dice regular para el operador Laplaciano
si existe una función barrera en x0 . Es decir, existe una función superarmónica
w = w(x) ∈ C(Ω) con la propiedad de que w > 0 en Ω \ x0 mientras w(x0 ) = 0.
Lema 9.19. Sea Ω ⊂ Rn un dominio, x0 ∈ ∂Ω un punto que admite una barrera
local, es decir existe una bola centrada en x0 , w ∈ C(B ∩ Ω), w superamónica
en B ∩ Ω con w(x0 ) = 0 y w > 0 en B ∩ Ω \ x0 . Entonces, para toda bola B ′ ⊂ B
centrada en x0 , w|B ′ admite una extensión w a Ω que es una función barrera
en x0 .
Demostración. Basta definir (m = ı́nf B\B ′ w):
{
mı́n(m, w(x))
x ∈ B′
w(x) =
m
x ∈ Ω \ B′.
Se comprueba que w es una barrera en x0 .
Lema 9.20. Sea Ω ⊂ Rn y g ∈ L∞ (∂Ω) continua en x = x0 . Si x0 admite una
función barrera y û es la función armónica construida en el Teorema de Perron
entonces
lı́m û(x) = g(x0 ).
x→x0
Se tiene además lo siguiente.
Teorema 9.21. Sea Ω un dominio acotado de Rn mientras la función g es
continua en ∂Ω. El problema de Dirichlet (9.12) admite una solución clásica si
y sólo si todos los puntos de la frontera ∂Ω son regulares.
9.5. MÉTODO DE PERRON
257
Observaciones 9.7.
a) La condición de punto regular para un dominio Ω del plano no es demasiado
restrictiva. En efecto, la geometría de los puntos regulares es muy “permisiva”
pues basta con que un punto x0 ∈ ∂Ω sea accesible desde Ω \ R2 , es decir el
extremo de una arco γ contenido en R2 \ Ω para que exista una barrera. En
efecto, para B centrada en x0 pequeña podemos construir una determinación θ
del argumento en B ∩ Ω. Una función barrera local es:
w=−
log r
,
log r + θ2
2
con r = |x − x0 |. Este tipo de función barrera permite concluir que el problema
de Dirichlet es resoluble en todo dominio plano en el que ninguna componente
coneza de R2 \ Ω se reduzca a un punto (esta condición geométrica es necesaria
y suficiente para la resolubiliad del problema de Dirichlet, ver [4]).
b) En n ≥ 3 la geometría de los puntos regualres es más sutil. Cuando x0 ∈ ∂Ω
yace en una esfera {x : |x − y| = R} donde B R (y) \ x0 ⊂ Rn \ Ω, una barrera
local es:
w(x) = R2−n − |x − y|2−n .
Hay otras condiciones geométricas sencillas que bastan para la existencia de una
barrera local en x = x0 . Si Ω es un dominio acotado y C 1 todos los puntos de
la frontera ∂Ω satisfacen la condición del “cono exterior” por lo que se puede
asegurar que son regulares (véanse los Ejercicios).
c) N. Wiener caracterizó en 1924 la “cantidad” necesaria de “espacio” fuera de
Ω, y en las proximidades de x0 para que exista una barrera local. El siguiente
ejemplo se debe a H. Lebesgue (1913). Describe la geometría típica de un punto
“no regular”.
Teorema 9.22 (Lebesgue). En R3 \ I, I = {(0, 0, z) : 0 ≤ z ≤ 1} se considera
la función:
∫ 1
ds
√
v(x, y, z) =
.
2
2
x + y + (z − s)2
0
Se define el dominio,
√
Ω = { x2 + y 2 + z 2 < 1} ∩ {v(x, y, z) < 1 + c},
donde c > 0. Entonces (0, 0, 0) es un punto no regular para el problema de
Dirichlet en Ω.
Observación 9.8. Se tiene en realidad que v es armónica en R3 \ I mientras
v toma el valor v = 1 + (c − ε) en superficies Sε dentro de Ω que pasan por
(0, 0, 0) formando allí una cúspide simétrica con respecto al eje 0z. Eso quiere
decir que el problema de Dirichlet (9.12) con dato g(x) = v(x) en ∂Ω carece
de soluciones clásicas. En efecto, v no lo es porque ni siquiera es continua en
258
(0, 0, 0). El esfuerzo de la prueba reside en demostrar que si u es una solución
clásica de,
{
∆u = 0
en Ω
u=v
en ∂Ω.
entonces u = v en Ω lo que contradice la hipótesis de que u sea una solución
clásica.
Observación 9.9. Como corolario de la sección hemos establecido que todo dominio Ω ⊂ Rn acotado y C 1 admite una función de Green G = G(x, y). Debe
advertirse sin embargo que los métodos desarrollados no aseguran la regularidad
C 1 de G hasta la frontera. Esta clase de información requiere un tratamiento
más elaborado (cf. [13]).
9.6.
El semiespacio
El problema de Dirichlet cuando Ω = Rn+1
es resoluble con unicidad si
+
imponemos condiciones de crecimiento en el infinito a las soluciones. En la Sección 9.2 ya se obtuvo una función de Green formal en Ω = Rn+1
+ . El siguiente
resultado establece condiciones de existencia y unicidad para el problema de
Dirichlet.
Teorema 9.23. Para cada φ ∈ Cb (Rn ) el problema de Dirichlet,
{
∆u = 0
(x, xn+1 ) ∈ Rn+1
+
u=φ
(x, 0) ∈ ∂Rn+1
+ ,
admite una única solución acotada u ∈ C 2 (Rn+1
+ ) ∩ Cb ({xn+1 ≥ 0}) que viene
dada explícitamente por la expresión,
∫
2t
φ(y)
u(x, t) =
dy.
(n + 1)ωn+1 Rn |(x − y, t)|n+1
Demostración. La unicidad es consecuencia de combinar el teorema de Liouville
y el principio de reflexión de Schwartz en xn+1 = 0 (véanse los Ejercicios).
Por otro lado, usando:
G(ξ, η) = −Γ2 (ξ − η) + Γ2 (ξ − η ∗ ),
donde ξ = (x, xx+1 ), η = (y, yn+1 ), η ∗ = (y, −yn+1 ) podemos proponer “formalmente” a:
∫
∫
∂G
∂G
u(ξ) = −
(ζ, ξ)φ(ζ) dSζ =
(ζ, ξ)|yn+1 =0 φ(y, 0) dy, (9.13)
∂ν
∂y
n
n
n+1
R
R
como solución del problema. Se tiene:
1
∂G
2t
((y, 0), (x, t)) =
.
∂yn+1
(n + 1)ωn+1 |(x − y, t)|n+1
9.7. LA ECUACIÓN DE POISSON
259
y dicha derivada es armónica en (x, t) (es a su vez la derivada de una función
armónica). La función subintegral en (9.13) es integrable para φ ∈ L∞ arbitraria
pues,
∫
∫ ∞
1
2t
ρn−1
2nωn
dy
=
dρ
(n + 1)ωn+1 Rn |(x − y, t)|n+1
(n + 1)ωn+1 0 (ρ2 + 1) n+1
2
∫
∫
n
Γ((n + 1)/2 1 1 −1
Γ((n + 1)/2 ∞ n −1
− n+1
2
2
z
(z + 1)
dz = √
t 2 (1 − t) 2 −1 dt
= √
πΓ(n/2) 0
πΓ(n/2) 0
Γ((n + 1)/2 1 n
= √
B( , ) = 1.
2 2
πΓ(n/2)
Finalmente, para la continuidad hasta la frontera sea x0 ∈ Rn un punto de
ε
continuidad de φ y, con ε > 0 pequeño, supóngase |φ(x)−φ(x0 )| ≤ si |x−x0 | ≤
2
δ (δ > 0). La positividad del núcleo permite establecer:
∫
ε
2t
|φ(y) − φ(x0 )|
|u(x, t) − φ(x0 )| ≤ +
dy
2 (n + 1)ωn+1 |y−x|≥ δ2 |(x − y, t)|n+1
∫
ε
2t
2K
≤ +
dy
2 (n + 1)ωn+1 |y−x|≥ δ2 |(x − y, t)|n+1
∫
ε
2t
2Ktn
≤ +
dz
2 (n + 1)ωn+1 |z|≥ 2tδ tn+1 {|z|2 + 1} n+1
2
≤ ε,
si |x−x0 | ≤ δ y t es lo suficientemente pequeño como para que la última integral
sea inferior a ε/2 (K ha designado una cota de φ).
9.7.
La ecuación de Poisson
Nos ocupamos ahora de investigar condiciones suficientes para la existencia
de soluciones clásicas del problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson:
{
−∆u = f
x∈Ω
(9.14)
u=g
x ∈ ∂Ω.
La idea principal es eliminar el término f de la ecuación utilizando el potencial
de volumen Vf :
∫
Vf (x) =
Γn (x − y)f (y) dy.
Ω
En el caso plano, el problema quedó esencialmente zanjado en los siguientes
términos: a) no basta la continuidad de f para la existencia de soluciones clásicas, b) el problema admite soluciónque si f es de clase C 1 en Ω. En el presente
capítulo vamos a llegar un poco más lejos en el sentido que relajaremos las
condiciones de regularidad sobre f .
260
A tal efecto conviene introducir la siguiente definición. Se dice que f : Ω ⊂
Rn → R es Hölder continua de exponente α ∈ (0, 1] en el punto x0 ∈ Ω si:
[f ]α,x0 :=
sup
|x−x0 |≤δ,x̸=x0
|f (x) − f (x0 )|
< +∞,
|x − x0 |α
para cierto δ > 0. Diremos que f es localmente Hölderiana de exponente α ∈
(0, 1] en Ω, lo que denotaremos f ∈ C α (Ω), si para todo subdominio acotado
Ω1 ⊂ Ω1 ⊂ Ω se tiene que:
[f ]α,Ω1 :=
sup
x,y∈Ω1 ,x̸=y
|f (x) − f (y)|
< +∞.
|x − y|α
En todo lo que resta de sección Ω denotará un dominio acotado de Rn .
La primera propiedad del potencial de volumen es el siguiente,
Lema 9.24. Sea f ∈ L∞ (Ω). Entonces Vf ∈ Cb1 (Rn ). Además,
∫
∂i Vf (x) =
∂i Γn (x − y)f (y) dy
1 ≤ i ≤ n.
Ω
Para llegar a clase C 2 necesitamos un poco más de regularidad, a saber,
Lema 9.25. Si f ∈ C α (Ω) ∩ L∞ (Ω), 0 < α ≤ 1, entonces el potencial Vf ∈
C 2 (Ω). Además:
∫
∫
∂ij Vf (x) =
∂ij Γn (x − y)(f (y) − f (x)) dy − f (x)
∂i Γn (x − y)νj (y) dSy ,
Ω0
∂Ω0
i, j ∈ 1, . . . , n, x ∈ Ω, donde Ω ⊂ Ω ⊂ Ω0 es un dominio regular que contiene a
Ω. Finalmente,
∆Vf = f.
Observación 9.10. Si bien es necesario algo más que continuidad en f para tener
Vf ∈ C 2 (Ω) se demuestra en cambio que Vf es más regular que C 2 . En efecto,
si 0 < α < 1 entonces Vf ∈ C 2,α (Ω), es decir todas las derivadas segundas ∂ij Vf
de Vf son Hölderianas en Ω: ∂ij Vf ∈ C α (Ω) para i, j ∈ {1, . . . , n}.
Una consecuencia inmediata del Lema 9.25 es el siguiente resultado de existencia para el problema de Dirichlet.
Teorema 9.26. Sea Ω un dominio acotado de Rn para el que todos los puntos
de ∂Ω son regulares mientras f ∈ C α (Ω) ∩ L∞ (Ω) con 0 < α ≤ 1. Entonces para
toda g ∈ C(∂Ω) el problema (9.14) admite una solución clásica u ∈ C 2 (Ω) ∩
C(Ω).
La demostración del Lema 9.24 es consecuencia del siguiente resultado de
diferenciación de integrales singulares uniformemente convergentes.
261
Lema 9.27. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado de Rn , G ∈ C((Ω × Ω) \ {(x, y) :
x = y}). Supongamos además que para cada x ∈ Ω la función G(x, ·) ∈ L1 (Ω) y
tiene una singularidad uniformemente integrable en y = x. Es decir:
∫
|G(x, y)| dy → 0+,
(9.15)
Bε (x)∩Ω
uniformemente en x ∈ Ω cuando ε → 0+. Entonces, para toda f ∈ L∞ (Ω) la
función,
∫
F (x) =
G(x, y)f (y) dy,
Ω
es continua en Ω.
Ejemplo 9.11. El núcleo de Riesz:
G(x, y) =
C
,
|x − y|α
x, y ∈ Rn , α > 0, satisface las condiciones del Lema 3 para α < n.
Demostración del Lema 9.27. Usaremos el teorema de la convergencia dominada (la demostración que se da en [10] es, a nuestro juicio, substancialmente maś
complicada). Para ε > 0 introducimos (χ denota la función característica):
∫
Fε (x) =
χ{|y−x|>ε} G(x, y)f (y) dy.
Ω
De la hipótesis de continuidad sobre G se tiene la existencia de una constante
M = M (ε) tal que,
|χ{|y−x|≥ 2ε } G(x, y)f (y)| ≤ M |f |∞
para todo x ∈ Ω y casi todo y ∈ Ω. Por otro lado, si xn → x0 en Ω es inmediato
que
χ{|y−xn |>ε} G(xn , y)f (y) → χ{|y−x0 |>ε} G(x0 , y)f (y),
∀ c. t. y ∈ Ω. En efecto, |y − x0 | > ε (respectivamente, |y − x0 | < ε) conlleva
|y − xn | > ε (r. |y − x0 | < ε) para n ≥ n0 . En el primer caso:
χ{|y−xn |>ε} G(xn , y)f (y) = G(xn , y) → G(x0 , y) = χ{|y−x0 |>ε} G(x0 , y)f (y),
en el segundo, χ{|y−xn |>ε} G(xn , y)f (y) = χ{|y−x0 |>ε} G(x0 , y)f (y) = 0 para
n ≥ n0 . Por tanto, Fε es continua en Ω. Finalmente es obvio que Fε → F
uniformemente en Ω cuando ε → 0+, lo que prueba la continuidad de F .
En cuanto a la diferenciabilidad de integrales singulares uniformemente integrables tenemos lo siguiente.
262
∂G
∈
∂xi
C(Ω × Ω \ ∆), ∆ = {(x, y) : x = y}, funciones uniformemente integrables en el
sentido del Lema 9.27. Entonces para f ∈ L∞ (Ω) la función:
∫
F (x) =
G(x, y)f (y) dy,
Lema 9.28. Supongamos n ≥ 2 y sea G = G(x, y) ∈ C(Ω × Ω \ ∆) con
Ω
es continuamente derivable con respecto a xi en Ω y
∫
∂i F (x) =
∂xi G(x, y)f (y) dy.
Ω
En general, si existen las derivadas parciales ∂xα G en x ̸= y siendo las ∂xα G ∈
C(Ω × Ω \ ∆) uniformemente integrables para |α| ≤ k entonces F ∈ C k (Ω) y
∫
α
∂ F (x) =
∂xα G(x, y)f (y) dy.
Ω
Demostración. Fijemos x0 ∈ Ω y definamos
∫
Fi (x) =
∂xi G(x, y)f (y) dy.
Ω
Del lema 3 sabemos que Fi ∈ C(Ω). Por otro lado para h ∈ R suficientemente
pequeño y designando por [x0 , x0 + hei ] = {x0 + shei : 0 ≤ s ≤ 1} tenemos la
cadena de identidades:
∫ h
∫ h∫
Fi (x0 + sei ) ds =
∂xi G(x0 + shei , y)f (y) dyds
0
0
∫
h
∫
Ω
=
∂xi G(x0 + shei , y)f (y) dyds
0
∫
Ω\[x0 ,x0 +hei ]
∫
{
=
Ω\[x0 ,x0 +hei ]
∫
=
h
∂xi G(x0 + shei , y) ds}f (y) dy
0
G(x0 + hei , y)f (y) dy−
Ω\[x0 ,x0 +hei ]
∫
G(x0 , y)f (y) dy
∫
∫
=
G(x0 + hei , y)f (y) dy −
G(x0 , y)f (y) dy
Ω\[x0 ,x0 +hei ]
Ω
Ω
= F (x0 + hei ) − F (x0 ),
en las que el intercambio de integrales iteradas viene avalado por el teorema de
Fubini. Lo que se ha probado entonces es que ∂i F (x0 ) = Fi (x0 ). La demostración
del resto de las afirmaciones es rutinaria.
263
Observación 9.12. La restricción n ≥ 2 del lema está implícita en el hecho de
que el segmento [x0 , x0 + hei ] tiene medida de Lebesgue cero en Rn para n ≥ 2.
Más aún, el resultado es significativamente falso en dimensión n = 1. En efecto,
si Ω = (a, b) y tomamos como núcleo G(x, y) = θ(x − y) la función de Heaviside
∂G
= 0 para x ̸= y. Pero además para f ∈ L∞ (a, b):
resulta
∂x
∫ b
∫ x
F (x) =
θ(x − y)f (y) dy =
f (y) dy,
a
a
la cual en general no es diferenciable en la totalidad de los puntos de (a, b).
Ejemplo 9.13 (Solución fundamental de la ecuación del calor). Tomemos
|x|2
1
U (x, t) = √
e− 4t ,
( 4πt)
si t > 0, U (x, t) = 0 si t ≤ 0 pero (x, t) ̸= (0, 0).
Para QT = {0 < t < T } (T > 0), f ∈ L∞ (Q) formamos
∫∫
∫ t∫
u(x, t) =
U (x − ξ, t − τ )f (ξ, τ ) dξdτ =
U (x − ξ, t − τ )f (ξ, τ ) dξdτ.
QT
0
Rn
La función u es continua pues
∫ t ∫
U (x − ξ, t − τ )|f (ξ, τ )| dξdτ → 0
|ξ−x|<δ
t−δ
uniformemente en (x, t) cuando δ → 0+. Además u ∈ C 1,0 (QT ) con derivadas:
∫∫
∂x i u =
∂xi U (x − ξ, t − τ )f (ξ, τ ) dξdτ,
QT
pues
∫
∫
t
t−δ
|ξ−x|<δ
∂xi U (x − ξ, t − τ )|f (ξ, τ )| dξdτ → 0
uniformemente en (x, t) cuando δ → 0+. En efecto esta última integral se controla por
∫
t
∫
C
t−δ
|ξ−x|<δ
|xi − ξ| − |x−ξ|2
dξdτ
e 4t
≤
(t − τ )
(t − τ )n/2
∫ δ∫
∫ δ
2
1
1
ds
√ yi e− 4 |y| dydτ ≤ C
√ .
C
s
s
0
|y|≤ √δ
0
s
Si f ∈ C 1,0 (QT ) con derivadas espaciales ∂xi f ∈ L∞ (QT ) entonces u es C 2,1
con derivadas de segundo orden:
∫ t∫
√
2
y
1
√ i e−|y| ∂xj f (x + 2y t − τ , τ ) dydτ.
∂x2i xj u = n/2
π
t−τ
0
Rn
264
Para ello es mejor transvasar la x a f en la integral, después derivar f con
respecto a xi , reescribir la derivada como una derivada con respecto a ξi integrar
por partes y cargar la derivada a la exponencial. Todo esto da:
∫ t∫
√
2
1
y
√ i e−|y| f (x + 2y t − τ , τ ) dydτ.
∂xi u = n/2
π
t−τ
0
Rn
Esta expresión ya está preparada para ser derivada una vez más. Además las
derivadas resultantes cumplen ∂x2i xj ∈ L∞ (QT ).
9.8.
Ejercicios
1. Obtener la función de Green para el problema de Dirichlet en los siguientes
dominios de Rn :
a) La semiesfera de Rn , Ω = Ba (0) ∩ {xn > 0}.
b) En R3 , el octante x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
c) En R3 , el octante de esfera Ω = Ba (0) ∩ {x1 , x2 , x3 > 0}.
2. Dése una definición adecuada para la función de Green y el problema de
Neumann en un dominio acotado y C 1 de Rn , justificando la definición con
la correspondiente fórmula de representación de soluciones del problema.
A tal efecto seguir la siguiente guía de instrucciones.
a) Probar que si u ∈ C 2 (Ω) es una solución clásica del problema:

∆u = f
x∈Ω
∂u

=g
x ∈ ∂Ω,
∂ν
∫
entonces:
∫
f=
Ω
(N )
g.
(C)
∂Ω
Utilizar libremente en lo que sigue que (C) es también condición suficiente para la existencia de al menos una solución clásica del problema de
Neumann (N).
b) Pruébese que:
∫
∂Ω
∂Γn
(y − x) dSy = 1,
∂ν
x ∈ Ω.
c) Determínese la constante α ∈ R para que el problema:

∆h = f
x∈Ω
∂h

= Γn (· − y) − α
x ∈ ∂Ω,
∂ν
admita al menos una solución h1 = h1 (x, y).
(A)
9.8. EJERCICIOS
265
d) Sea h1 una cualquiera de las soluciones clásicas del problema (A). Fórmese
la función:
G1 (x, y) = −Γn (x − y) + h1 (x, y).
Demuéstrese que toda solución clásica (prescindimos deliberadamente de
los detalles de regularidad) del problema (N), supuesto que exista (ver 1))
se puede representar en la forma:
∫
1
u(y) dSy
u(x) =
|∂Ω|n−1 ∂Ω
∫
∫
∂u
+
G1 (y, x) (y) dSy −
G1 (y, x)∆u(y) dy ,
∂ν
∂Ω
Ω
x ∈ Ω, es decir:
u(x) =
1
|∂Ω|n−1
∫
∂Ω
u(y) dSy
∫
∫
+
G1 (y, x)g(y) dSy −
G1 (y, x)f (y) dy .
∂Ω
Ω
De la fórmula de representación (G) se deduce las únicas soluciones para
f = 0 y g = 0 son las constantes. Otra conclusión es que si f y g cumplen la
condición de compatibilidad de existencia de soluciones, existe una única
solución de (P) con promedio fijado.
3. Pruébese el teorema de representación de Green en el plano, a saber, si
u ∈ C 2 (Ω) donde Ω es acotado y C 1 , entonces se tiene que:
∫ (
u(y) =
∂
∂Γ2
∂u
u(x)
(x − y) − Γ2 (x − y) (x)
∂ν
∂ν
)
dsx
∫
Γ(x − y)∆u(x) dx,
+
Ω
siendo Γ2 (z) =
plano.
1
2π
log |z| la solución fundamental del Laplaciano en el
4. Sea Ω ⊂ Rn un dominio que es simétrico con respecto al plano xn = 0
con sección no vacía T en el hiperplano xn = 0. Denotemos x = (x′ , xn ),
x′ ∈ Rn−1 , Ω+ = Ω ∩ {xn > 0}, Ω− = {(x′ , −xn ) : x ∈ Ω+ }. Demuéstrese
(principio de reflexión de Schwarz) que toda función u ∈ C 2 (Ω+ ) ∩ C(Ω+ ),
armónica en Ω+ se extiende a una única función armónica en Ω.
Indicación. Usar el teorema de la media.
5. Sea u armónica y no negativa en la bola BR (0) (continua hasta la frontera).
De la integral de Poisson demuéstrese la desigualdad de Harnack,
Rn−2 (R + |x|)
Rn−2 (R − |x|)
u(0) ≤ u(x) ≤
u(0).
n−1
(R + |x|)
(R − |x|)n−1
266
6. Demuéstrese que u ∈ C(Ω) es subarmónica en Ω si y sólo si satisface
localmente la desigualdad del valor medio, es decir ∀y ∈ Ω, ∃δ = δ(y) > 0
tal que:
∫
1
u(y) ≤
u(y) dSy ,
nωn Rn−1 ∂BR (y)
para cada 0 < R ≤ δ.
7. Usar las ideas del capítulo para probar que si u es armónica en Ω ⊂ Rn se
tiene la estimación interior del gradiente en x0 ∈ ∂Ω:
|∂i u(x0 )| ≤
n
(u(x0 ) − ı́nf u)
Ω
d0
d0 = dist (x0 , ∂Ω).
n
(sup u − u(x0 ))
d0 Ω
d0 = dist (x0 , ∂Ω).
Análogamente,
|∂i u(x0 )| ≤
Pruébese que:
|∂i u(x0 )| ≤
n
u(x0 )
d0
d0 = dist (x0 , ∂Ω)
si u ≥ 0.
8. Pruébese (teorema de Liouville) que toda función armónica en Rn y acotada superiormente es constante.
9. Singularidades evitables. Sea u ∈ C 2 (BR (0)\0)∩C(B R (0)\0) una función
armónica tal que u = 0 en {|x| = R} mientras,
u(x) = o(Γn (x)),
cuando x → 0. Demuéstrese que u = 0 en BR (0) \ 0. Como corolario
pruébese que si u ∈ C 2 (Ω \ x1 , . . . , xN ) es armónica junto con u(x) =
o(Γn (x − xi )) cuando x → xi , para cada i ∈ {1, . . . , N } entonces u admite una única extensión armónica a Ω. Finalmente, demuéstrese que el
problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace está mal propuesto en
toda región G de la forma G = Ω \ x1 , . . . , xN donde Ω es un abierto de
Rn y {x1 , . . . , xN } es una familia finita de puntos de Ω.
Indicación. Seguir las ideas del Capítulo ?? (anterior).
10. Se considera la solución clásica u ∈ C 2 (B) ∩ C(B̄), donde B = BR (0), del
problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace:
{
∆u = F (x) x ∈ B
u(x) = G(x) x ∈ ∂B,
siendo F y G funciones continuas y radiales: F (x) = f (|x|), G(x) = g(|x|)
para sendas funciones f y g. Demuéstrese que también u(x) es radial.
9.8. EJERCICIOS
267
Obténgase la misma conclusión en un anillo Aa,b = {a < |x| < b}. En el
mismo género de ideas, demuéstrese que si f = f (x) es radial, en Ω ⊂ Rn
(luego Ω es una bola
∫ o un anillo) entonces el correspondiente potencial de
volumen V (x) = Ω Γ(x − y)f (y) dy es también radial. Pruébese que si
n = 3 y si f es constante en el anillo Aa,b entonces ∇V = 0 dentro de la
cavidad |x| < a.
11. En una región Ω del espacio R3 se considera una distribución de masas
con densidad f (y), que supondremos acotada, e. d. f ∈ L∞ (Ω). Por tanto,
la masa neta de Ω resultará ser:
∫
M=
f (y) dy.
Ω
Si se considera el potencial newtoniano con densidad f
∫
∫
f (y)
Γ3 (x − y)f (y) dy = G
dy,
V (x) = −4πG
Ω
Ω |x − y|
donde Γ3 representa la solución fundamental del laplaciano, pruébese que
V (x) ∼
GM
|x|
uniformemente cuando |x| → ∞. ¿Qué conclusión se puede sacar de este
resultado?
12. Consideremos la sucesión de problemas de Dirichlet:
{
∆u = 0 x ∈ Ω
u(x) = gn (x) x ∈ ∂Ω,
donde Ω es un dominio acotado de Rn y {gn } es una sucesión de funciones
continuas en ∂Ω tal que gn → g uniformemente en ∂Ω. Supongamos que
cada (Pn ) admite la solución clásica un ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω̄). Utilizar la sucesión {un } para establecer la existencia de la solución clásica del problema
límite:
{
∆u = 0 x ∈ Ω
u(x) = g( x)
x ∈ ∂Ω.
13. Un dominio acotado Ω ⊂ Rn tiene la propiedad exterior del cono si para cada x0 existe un cono recto K = K(ū, θ) := {tx ∈ Rn : 0 ≤ t ≤
x
1, dist ( |x|
, ū) ≤ θ} tal que (x0 + εK) \ x0 ⊂ Rn \ Ω para algún ε > 0.
Denotando por ω ∈ Sn−1 la variable angular en Rn determínese en x0 una
función barrera de la forma rλ w(ω).
14. Problema de Dirchlet “exterior”. Considérese para n ≥ 3 el problema de
hallar u ∈ C 2 {|x| > R} ∩ C{|x| ≥ R}, R > 0, tal que:
{
∆u = 0
|x| > R
(E)
u=g
|x| = R,
268
junto con la condición de contorno en el infinito:
lı́m
|x|→+∞
u(x) = γ,
(I)
donde γ es asimismo una constante prefijada.
a) Sea Ω = {|x| > R}.Pruébese que la transformación de Kelvin:
y=
R2
x,
|x|2
aplica Ω en B \ 0 (B = BR (0)). Introdúzcase el cambio de variable:
( 2 )
R
v(y) = |y|2−n u
y
y ̸= 0,
|y|2
y demuéstrese que si u es solución de (E)-(I) entonces v es armónica en B \ 0 con una singularidad evitable en el origen, por tanto
satisfaciendo el problema de Dirichlet:
{
∆v = 0
|y| < R
(A)
2−n
u=R
g
|y| = R.
b) Usar la fórmula de Poisson para resolver (A), observando que:
|x∗ − ζ| =
R
|x − ζ|
|x|
|ζ| = R,
R2
x. Ajustar después la condición (I) con ayuda de alguna
|x|2
función armónica conveniente. Contrastar los resultados con el caso
n = 2 estudiado por separación de variables en el Capítulo ??.
con x∗ =
Apéndice A
Funciones diferenciables
Dada una función real u : Ω → R, u = u(x), Ω ⊂ Rn un dominio (es decir un
conjunto abierto y conexo) resulta bien conocida la noción de derivada parcial
de orden k ∈ N de u en un punto x ∈ Ω (aquí N designa los naturales con el 0).
Para uso posterior se fijan las siguientes notaciones:
α ∈ Nn , α = (α1 , . . . , αn ),
|α| = α1 + · · · + αn , α! = α1 ! . . . αn !,
si ξ ∈ Rn es un vector, ξ α = ξ1α1 . . . ξnαn ,
si k ∈ N, N (k) = card {α ∈ Nn : |α| ≤ k},
para α, β ∈ {α ∈ Nn : |α| ≤ k}, se dice que α < β si o bien |α| < |β| o por
contra, |α| = |β| pero αi < βi donde i = min {j : 1 ≤ j ≤ n, αj ̸= βj },
a cada vector c = (cα )|α|≤k ∈ RN (k) se asocia el polinomio de grado k en
x1 , . . . , xn :
∑
c α xα .
p(x) =
|α|≤k
Nótese entonces que el espacio de polinomios de grado k es isomorfo a RN (k) .
Se dice que u : Ω → R es de clase C k en Ω si admite todas las derivadas
∂u
∂ku
parciales u(x),
(x), . . . , k (x) y tales funciones son continuas en Ω. Se
∂x1
∂ xn
denota C k (Ω) al conjunto de tales funciones. Una de las versiones del teorema
de Schwartz 1 , viene a decir lo siguiente: si todas las derivadas parciales de orden
l − 1 de una función real u(x) son continuas en el entorno de un punto x0 ∈ Rn
y si una derivada parcial específica de orden l de u(x) - llamémosla vl (x) - existe
en dicho entorno y es continua, entonces existen y coinciden con vl (x) todas
aquellas derivadas parciales v̂l (x) de u(x) de orden l que involucran el mismo
número de derivadas parciales respecto de las mismas variables que aparecen en
1 Ver,
por ejemplo, T. M. Apostol 2a edición, nota en página 436.
269
270
APÉNDICE A. FUNCIONES DIFERENCIABLES
vl (x), aunque tomadas en distinto orden. Luego si en vl (x) se deriva -en el orden
que sea- α1 veces con respecto a x1 , . . . , αn veces con respecto a xn (algunos
de los αi muy bien pudieran ser cero) todas esas derivadas v̂l (x) coinciden con
la derivada canónica:
∂lu
(x).
α
1
∂ x1 . . . ∂ αn xn
Siguiendo a L. Schwartz dicha derivada se denota como ∂ α u(x), en referencia al
multiíndice α ∈ Nn . Por tanto, si 0 ≤ l ≤ k por cada α ∈ Nn , |α| = l tendremos
l!
un total de |α|!
α! = α! derivadas parciales de orden l de u(x) que coinciden con
α
∂ u(x). Por otra parte el número total de derivadas parciales de u ∈ C k (Ω)
de orden l coincide con el de las combinaciones
(
)con repetición de n elementos
tomados l a l, CRn,l , es decir Cn+l−1,l = n+l−1
.
l
Se repasan a continuación algunas nociones de cálculo diferencial en varias
variables. Para u : Ω ⊂ Rn → Rp , Ω abierto de Rp , se dice que u(x) es diferenciable en x0 ∈ Ω si ∃L ∈ L(Rn , Rp ) tal que:
u(x) = u(x0 ) + L(x − x0 ) + o(|x − x0 |),
x → x0 .
Decimos que L es la derivada o la diferencial de u en x0 y escribimos L =
du|x=x0 = u′ (x0 ) (también Du(x0 )). Si e1 , . . . , en son los vectores de la base
canónica de Rn la diferenciabilidad de u en x0 implica la existencia de todas las
∂u
derivadas parciales ∂x
(x0 ) = L(ei ). Por otra parte, la existencia y continuidad
i
∂u
de las n funciones ∂xi (x) en un entorno U de x0 , implica la diferenciabilidad de
u en x0 , donde L viene representada en la base canónica mediante las fórmulas
precedentes.
Admitimos ahora que u : Ω → R es diferenciable en cada x ∈ Ω. Si u′ = u′ (x),
u′ : Ω → L(Rn , R) es diferenciable en x0 , su derivada u′′ (x0 ) ∈ L(Rn , L(Rn , R))
(usaremos también los símbolos D2 u(x0 ) y d2 u|x=x0 ). Para v1 ∈ Rn se tendrá
u′′ (x0 )(v1 ) ∈ L(Rn , R). Por eso u′′ (x0 )(v1 )(v2 ) ∈ R y ésta última función es
bilineal en (v1 , v2 ). Por eso escribimos:
u′′ (x0 )(v1 )(v2 ) = u′′ (x0 )(v1 , v2 ).
Se tiene además la siguiente propiedad:
u′′ (x0 )(ei , ej ) =
∂2u
(x0 ),
∂xj ∂xi
para cada i, j. Si vj = (vij ), j = 1, 2 entonces:
u′′ (x0 )(v1 , v2 ) =
∑
i1 ,i2
2
vi11 vi22
∂2u
(x0 ).
∂xi2 ∂xi1
u
Si todas las funciones ∂xi∂ ∂x
(x) existen en un entorno U de x0 y son continuas
i1
2
en x0 , entonces ∃u′′ (x0 ).
271
En general, si u : Ω → R admite las k − 1 primeras diferenciales, con u(k−1) :
Ω → Lk−1 (Rn , R), siendo Lm (Rn , R) el espacio de las aplicaciones m lineales,
e. d., aplicaciones
L:
m
Rn × · · · ×Rn
(v1 , . . . , vm )
−→
7−→
R
L(v1 , . . . , vm )
que son lineales en cada vi cuando se fijan las demás variables, entonces la
derivada (diferencial) k -ésima u(k) (x0 ) si existe, se define como la derivada de
u(k−1) en x0 . Además:
u(k) (x0 )(ei1 , . . . , eik ) =
∂ku
,
∂xik · · · ∂xi1
para cada i1 , . . . , ik ∈ {1, . . . , n}. Puede probarse además 2 que la propia existencia de u(k) (x0 ) ya lleva consigo que dicha apliciación multilineal es simétrica:
u(k) (x0 )(vσ(1) , . . . , vσ(n) ) = u(k) (x0 )(v1 , . . . , vn )
para cualesquiera vi ∈ Rn y permutación σ del grupo simétrico de orden n.
En particular, nótese que la identidad de las derivadas cruzadas ∂ij u(x0 ) =
∂ji u(x0 ) se deduce de la mera existencia de u′′ (x0 ) (¡Comparar con el teorema
de Schwartz!). Con la misma notación de arriba vi = (vji ) se tendrá entonces
que:
n
∑
∂ku
u(k) (v1 , . . . , vk ) =
vi11 . . . vikk
.
∂xik · · · ∂xi1
i ,...,i =1
1
k
k
Ahora, si u es de clase C en Ω y hallamos el valor de la diferencial k-ésima
en (v1 , . . . , vk ) = (v, . . . , v) con v = (vi ), la simetría de u(k) (x0 ) nos lleva a la
identidad:
n
∑
∂ku
u(k) (x0 )(v, . . . , v) =
vi1 . . . vik
∂xik · · · ∂xi1
i ,...,i =1
1
k
∑ k!
=
v α1 . . . vnαn ∂ α u(x0 )
α! 1
|α|=k
=
∑ k!
v α ∂ α u(x0 ).
α!
|α|=k
Normalmente escribiremos u(k) (x0 )(v, . . . , v) = u(k) (x0 )(v)k .
Otro resultado importante es la regla de la cadena. Si f : Ωabto. ⊂ Rn → Rm ,
g : Ωabto.
⊂ Rm → Rp son diferenciables, entonces g◦f lo es y (g◦f )′ = g ′ ◦f ′ . En
1
otros términos, si g = g(y) = (g1 (y), . . . , gp (y)), f = f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)),
entonces para cada 1 ≤ j ≤ m:
∂gj (f (x)) ∑ ∂gj ∂fl
=
.
∂xi
∂yl ∂xi
m
l=1
2 Ver
J. Dieudonné, Introducción al análisis, Vol. I.
272
APÉNDICE A. FUNCIONES DIFERENCIABLES
En particular, si u : Ω ⊂ Rn → R es de clase C k entonces, ∀x ∈ Ω, v ∈ Rn y
0 ≤ m ≤ k se tiene que:
∑ m!
dm
(m)
m
v α ∂ α u(x + tv).
u(x
+
tv)
=
u
(x
+
tv)(v)
=
dtm
α!
|α|=m
Una consecuencia inmediata de la última identidad es el teorema de Taylor
para funciones u : Ωabto. ⊂ Rn → R de clase C k . A saber, si x0 ∈ Ω y x ∈ Ω es
tal que el segmento [x0 , x] = {x0 + ζ(x − x0 )/1 ≤ ζ ≤ 1} ⊂ Ω entonces:
u(x) =
∑
|α|≤k−1
∑ 1
1 α
∂ u(x0 )(x − x0 )α +
∂ α u(x0 + θ(x − x0 ))(x − x0 )α ,
α!
α!
|α|=k
donde 0 < θ < 1.
∞
Cuando una función
∑es 1de αclase C en Ωα en cada x0 ∈ Ω tiene sentido la
serie formal de Taylor α α! ∂ u(x0 )(x − x0 ) y es natural preguntarse cuándo
la serie de Taylor representa, localmente en Ω, a la función dada. Por ejemplo,
si P (x) en un polinomio en Rn de grado k, entonces es inmediato comprobar
que, ∀x0 ∈ Rn :
∑ 1
P (x) =
∂ α u(x0 )(x − x0 )α .
α!
|α|≤k
Tales funciones son las se denominan analíticas (reales) (Capítulo 3).
Apéndice B
Series Múltiples
∑
Definición B.1. Decimos que una serie α cα es convergente 1 si ∃s ∈ R tal
que, para toda familia creciente de índices Ak ⊂ Nn (e d. Ak finita, Ak ⊂ Ak+1
para cada2 k ∈ N y ∪k Ak = Nn ) se tiene que3 :
lı́m SAk = s.
Cada elección de una familia de Ak ’s da lugar a un “método” para sumar la
serie. Por ejemplo:
( k
) ( k
)
∑
∑
∑
1
α1
α
αn
x = lı́m
x1
...
xn
=
,
(1
−
x
)
.
. . (1 − xn )
1
α
α =1
α =1
1
n
siempre que ∥x∥∞ < 1. Aquí Ak = {∥α∥∞ ≤ k}.
Nuestra definición de convergencia requiere que todo método de sumar la
serie dé lugar a la misma suma. Se tiene la siguiente propiedad:
∑
Teorema B.2. La serie α cα es convergente 4 a s sí y sólo sí ∀ε > 0 existe
Aε ⊂ Nn finito, tal que ∀A ⊂ Nn , A finito, A ⊃ Aε , se tiene que |SA − s| < ε.
∑
Definición B.3. La serie α cα satisface la condición de Cauchy si ∀ε > 0
existe Aε ⊂ Nn finito, tal que ∀A ⊂ Nn finito con A ∩ Aε = ϕ, se tiene que
|SA | < ε.
∑
Teorema B.4. La serie α cα es convergente sí y sólo sí satisface la condición
de Cauchy.
1 La definición y resultados que siguen son una variación mínima de los que sobre el tema
se dan en “Méthodes Mathématiques pour les Sciences Physiques"por L. Schwartz, Hermann,
París (1965).
2 Suponemos que 0 ∈ N.
3 Para cada A ⊂ Nn finita escribiremos la suma parcial con índices en A como S
A =
Σα∈A cα .
4 Es esta afirmación lo que se suele tomar como definición de convergencia de una serie
múltiple.
273
274
APÉNDICE B. SERIES MÚLTIPLES
∑
Es conveniente observar que si una serie
α cα tiene todos sus términos
cα ≥ 0 entonces es evidente que s < +∞ o bien s = +∞ y su suma no puede
ser otra que:
s = sup sA .
A⊂Nn
Se tiene además el siguiente teorema.
∑
Teorema B.5. La∑serie
α cα es convergente sí y sólo sí es absolutamente
convergente, e. d., α |cα | < +∞.
En otras palabras, la clase de convergencia que aquí se considera se reduce
en última instancia a la de series no negativas (se descartan las series “condicionalmente convergentes").
∑
Teorema B.6. Supongamos que α cα ∑
es convergente. Si Bm es una partición
de Nn entonces todas
las
series
parciales
β∈Bm cβ son convergentes, pongamos
∑
∑
a sm , y además α cα = m sm .
Definición B.7. Sean cα = c∑
α (x) una familia de funciones reales en un abierto
Ω ⊂ Rn . Se dice que la serie α cα (x) converge uniformemente en Ω si ∀ε > 0
existe m(ε) ∈ N tal que ∀A ⊂ {|α| > m(ε)} se tiene que
|SA (x)| < ε
para cada x ∈ Ω.
∑ Obsérvese que la definición equivale a que en la condición de∑Cauchy para
α cα (x), Aε sólo dependa de ε y no de x ∈ Ω. Por otro lado, si ∑α cα (x) converge uniformemente en Ω la sucesión de sumas parciales Sm (x) = |α|≤m cα (x)
∑
converge uniformemente en Ω a la suma α cα (x) de la serie.
Diremos que la serie Σα aα mayora a Σα cα , y escribimos Σα cα ≪ Σα aα , si
para cada α se tiene que |cα | ≤ aα .
Se tiene el siguiente resultado.
Teorema B.8 (Teorema “M” de Weierstrass). En las condiciones precedentes
supongamos que las funciones cα∑
(x) son de clase ∑
C k en Ω y ∑
que para cada
β
β
β
n
β ∈ N , 0 ≤ |β| ≤ k, la serie ∑
∂
c
(x)
<<
c
con
α
α cα < +∞,
α
α α
k
entonces la suma de la serie c(x) = α cα (x) es de clase C de forma que, para
cada β,
∑
∂ β c(x) =
∂ β cα (x).
α
Demostración. Se ve inmediatamente que Sm (x) es de Cauchy en sentido uniforme en Ω. Fijados x0 ∈ Ω, ε > 0, ∃δ = δ(ε, x0 ) con |Sn (x) − Sn (y)| < ε para
x, y ∈ Bδ (x0 ) y n arbitrario. De ahí se deduce fácilmente que s(x) = lı́m Sm (x)
es continua en x = x0 .
∑
Para la diferenciabilidad definimos por ejemplo vi =
∂i cα (x). Como,
∫
t
Sm (x) = Sm (x0 ) +
∂i Sm (x0 + s ei ) ds ,
0
275
si x = x0 + t ei , resulta entonces que
∫
t
s(x) = s(x0 ) +
vi (x0 + s ei ) ds .
0
Luego ∂i s(x0 ) = vi (x0 ).
Ejemplo B.1. La función
∑
1
xα
=
(1 − x1 ) . . . (1 − xn )
α
se obtiene como una serie en Ω = {x/||x||∞ < 1}. Es de clase C ∞ , pero además
todas sus derivadas se pueden obtener derivando término a término dicha serie.
Para ello, basta con demostrar que las series derivadas convergen uniformemente
sobre compactos de Ω. Bastará con mayorarlas en ||x||∞ ≤ r < 1. La serie
derivada β veces es:
∑
α!
xα−β := A.
(α
−
β)!
α
∑
Se recuerda ahora que una serie de potencias f (z) = n an (z − z0 )n se puede
derivar término a término, y la serie y todas las series derivadas convergen
uniformemente en cada disco |z − z0 | ≤ r para cada 0 < r < ρ, donde ρ es el
1
radio de convergencia ρ−1 = lı́m(|an |) n . En particular:
∑
k!
k!
=
z n−k
k+1
(1 − z)
(n − k)!
n≥k
converge absoluta y uniformemente en |z| ≤ r < 1. Por ello,
A≪
∑ (β + γ)!
γ
γ!
(
lı́m
m→+∞
|xγ | =
)
) ( m
m
∑
∑ (βn + γn )!
(β1 + γ1 )! γ1
γn
|x1 | . . .
|xn | =
γ1 !
γn !
γ =n
γ =1
n
1
β!
≤
(1 − |x1 |)β1 +1 . . . (1 − |xn |)βn +1
β!
< +∞,
(1 − r)|β|+n
de lo que se deduce la afirmación formulada más arriba.
∑
Teorema B.9. Sea α cα xα una serie de potencias que converge (por tanto
absolutamente) en z = (zi ) con |zi | > 0 para cada i, e.d.,
∑
|cα ||z α | < +∞.
α
276
APÉNDICE B. SERIES MÚLTIPLES
∑
Entonces α cα xα converge absolutamente a una función c(x) de clase C ∞ en
el polidisco 5 D(0, |z|) = {x/|xi | < |zi |, 1 ≤ i ≤ n}. Además, para cada β ∈ Nn ,
x ∈ D(0, |z|) se tiene que:
∑
∂ β c(x) =
α≥β
En particular c(x) =
se tiene que:
α!
cα xα−β .
(α − β)!
∑
1 α
α
α α! ∂ c(0)x .
c(x) =
∑
Por otra parte, para cada x1 ∈ D(0, |z|)
ĉα (x − x1 )α ,
α
donde la serie converge en un cierto entorno N (x1 ) ⊂ D(0, |z|) de x1 y donde,
para cada α se tiene que:
ĉα =
∑
β≥α
β!
cβ xβ−α
.
1
α!(β − α)!
Finalmente, para cada x1 ∈ D(0, |z|) existe un entorno N (x1 ) ⊂ D(0, |z|) de x1
y constantes positivas M, r > 0 tales que:
|α|!
, ∀x ∈ N (x1 ).
r|α|
∑
Propiedad B.10. Supongamos que α cα xα es una serie formal de potencias
tal que:
1
lim(|cα |)1/|α| = < +∞,
λ
∑
entonces c(x) = α cα xα converge absolutamente en ∥x∥∞ < λ. Además λ =
sup r tal que la serie converge absolutamente en D(0, r̄), r̄ = (r, . . . , r), r > 0.
|∂ α c(x)| ≤ M
No obstante, la geometría del dominio de convergencia absoluta de una serie
no tiene por qué ser
“cubo”. Para tener un polidisco, basta multiplicar n
∑ un
i n
x
series de potencias
a
n i de cada una de las coordenadas xi . Un ejemplo más
∑
exótico es
aα1 α2 xα1 y α2 con aα1 α2 = δα1 α2 /α1 α2 (δij la delta de Kronecker).
Es fácil ver que el dominio de convergencia absoluta es |xy| ≤ 1.
5 Para r = (r , . . . , r ) ∈ Rn , x = (x ) ∈ Rn , designaremos por D(x , r) = {x/|x −x | <
n
1
0
0
0i
i
0i
+
ri , 1 ≤ i ≤ n}.
Apéndice C
Superficies. Integrales de
superficie
Las siguientes líneas recogen la materia básica que usaremos sobre integración de superficies.
Se dice que S ⊂ Rn es una superficie simple de clase C k , k ≥ 1, si existe
U ⊂ Rn−1 abierto y conexo y una apilciación de clase C k
g:
U
s
−→
7−→
Rn
g(s),
x = (x1 , . . . , xn ), s = (s1 , . . . , sn−1 ), tales que:
S = {x = g(s)|s ∈ U } ,
es inyectiva
g = g(s)
y
{
rango
(C.1)
∂g
∂g
,...,
∂s1
∂sn−1
(C.2)
}
=n−1
∀s ∈ U.
(C.3)
El par (g, U ) se denomina una parametrización de S. Fijadas S y (g, U ), diremos que (ĝ, Û ), ĝ : Û → Rn , x = g(σ), σ = (σ1 , . . . , σn−1 ), ĝ de clase C k , ĝ
satisfaciendo (C.1), (C.2), (C.3), es una parametrización equivalente de S si la
aplicación ĝ −1 ◦ g : U → Û es un homeomorfismo C k con inverso también C k .
Así pues, una superficie C k se define a través de todas sus parametrizaciones
equivalentes.
No es muy difícil probar que g define un homeomorfismo local, e. d., su
restricción a un pequeño entorno de cualquier punto p ∈ U es un homeomorfismo
(Ejercicio). Así, g define un homeomorfismo de U sobre S. Análogamente, la
misma cuenta puede aprovecharse para comprobar que dos parametrizaciones
arbitrarias g y ĝ son siempre equivalentes. Para ambas afirmaciones, la idea
277
278
APÉNDICE C. SUPERFICIES. INTEGRALES DE SUPERFICIE
para probar las condiciones de homeomorfismo y difeomorfismo local consiste en
escribir los parámetros s (s ∼ s0 ) en términos de n − 1 de las x′ s, xi1 , . . . , xin−1 ,
sj = Sj (xi1 , . . . , xin−1 ),
1 ≤ j ≤ n − 1,
donde x ∼ x0 , x0 = g(s0 ).
Para x0 = g(s0 ) ∈ S, el plano tangente a S en x0 se define:
{
}
∂g
∂g
T Sx0 = span
.
,...,
∂s1
∂sn−1 (C.4)
s=s0
Una curva γ regular en R es todo conjunto de la forma γ = {x = g(s)/g : I →
Rn , g de clase C 1 , I ⊂ R un intervalo abierto, g ′ ̸= 0 en I}.
Puede probarse (Ejercicio) que toda curva γ en una superficie simple S,
γ ⊂ S, se puede escribir como γ = {x = g(s(t))|t ∈ I} donde s : I → Rn−1
define una curva C l en Rn−1 , siendo I ⊂ R un intervalo. Se tiene la siguiente
proposición inmediata (Ejercicio).
n
Proposición C.1. El plano tangente T Sx0 a S en x0 coincide con el conjunto
de los vectores tangentes en x0 , de cada una de las curvas en S que pasan por
x0 .
Es también inmediato probar que si (g, U ) y (ĝ, Û ) son parametrizaciones
equivalentes entonces los planos tangentes definidos por medio de g y ĝ a través
de (C.4) coinciden. Es decir, T Sx0 no depende de la parametrización (Ejercicio).
Ejemplos C.1.
a) Para x ∈ Rn escribimos x = (x′ , xn ) con x′ = (x1 , . . . , xn−1 ). Si f = f (x′ ),
f : U → R, U ⊂ Rn−1 un dominio, f ∈ C k (U ), entonces {xn = f (x′ )} es una
superficie C k . Su plano tangente en x0 está generado por los vectores
{e1 + fx′ 1 en , . . . , en−1 + fx′ n−1 en }x0 .
b) Si F ∈ C k (Ω), Ŝ := {F = 0}, donde ∇F ̸= 0 ∀x ∈ Ŝ, se comprueba que un
entorno S suficientemente pequeño de z en Ŝ con z ∈ Ŝ arbitrario, es siempre
una superficie C k . Si x0 ∈ S el plano tangente en x0 tiene por ecuación: (x −
x0 ) · ∇F (x0 ) = 0.
Consideremos ahora el siguiente
a1
∂g1
∂s1
.
.
.
∂g1
∂sn−1
determinante:
...
an ∂gn ···
∂s1 .. .
..
.
. ∂gn · · · ∂sn−1 ∂g
Se define el producto exterior de los vectores { ∂s
, . . . , ∂s∂g
} como:
1
n−1
∂g
∂g
∧ ··· ∧
= A1 e1 + · · · + An en ,
∂s1
∂sn−1
279
donde Ai representa el adjunto del elemento ai del determinante. Si escribimos:
N (s) =
∂g
∂g
∧ ··· ∧
,
∂s1
∂sn−1
resulta que N (s) es ortogonal al plano tangente a S en x = g(s), para cada
s ∈ U . En particular, dicho plano se podrá representar en x0 = g(s0 ) como
(x − x0 )N (s0 ) = 0. Por eso se dice que N (s) es el campo normal a S asociado
a la parametrización (g, U ). Como cada x ∈ S se escribe de manera única como
x = g(s) con s = g −1 (x), la parametrización permite definir N como una función
(en realidad un campo) de x ∈ §, N = N (x), que es de clase C k−1 .
Ejemplos C.2. Para S definida como xn = f (x′ ), x′ = (x1 , . . . , xn−1 ) se tiene
que:
N = (−1)n (fx1 , . . . , fxn−1 , −1).
Si S se representa por F (x) = 0, de la expresión anterior y el teorema de la
Función Implí cita se deduce,
N = (−1)n+1
∇F
.
Fxn
Consideremos ahora otra parametrización x = ĝ(σ) de S y calculamos el
campo normal en dicha parametrización: N̂ (σ). Se tiene,
N̂ (σ) =
∂ĝ
∂ĝ
∧ ··· ∧
.
∂σ1
∂σn−1
Si denotamos por G : U → Û , σ = G(s) la aplicación G = ĝ −1 ◦ g, G =
(G1 , . . . , Gn−1 ), entonces,
N (s) = det G′ (s) N̂ (σ)
σ=G(s)
(
′
donde det G (s) = det
∂Gk
∂sl
,
(C.5)
)
es el determinante jacobiano (denotado usual-
∂(G1 , . . . , Gn−1 )
) que es por tanto no nulo en U . Se dice entonces que
∂(s1 , . . . , sn−1 )
la parametrización ĝ tiene la misma orientación que g si det G′ (s) > 0 en U ,
siendo las orientaciones distintas si el determinante jacobiano es negativo. En
conclusión, una superficie simple sólo admite dos orientaciones. Los “lados de la
superficie” se definen mediante la orientación con respecto a una parametrización que sirve de referencia. Análogamente, se define el campo unitario normal
S, con respecto a g, como
mente
ν(x) =
N (s(x))
|N (s(x))|
s = g −1 (x) .
Es obvio de (C.5) que si ĝ define otra parametrización, entonces
ν(x) = signo (G′ (s(x))) ν̂(x),
280
donde σ = G(s) y ν̂(x) = N̂ (σ(x))/|N̂ (σ(x))|, σ(x) = g −1 (x). Es decir, cualquiera que sea la parametrización solamente hay dos campos unitarios normales:
±ν(s).
Sea ahora f : S → R una función que cumple que f ◦ g es medible
en U . Se
∫
define la integral de superficie de f sobre S, que representaremos S f dS como,
∫
∫
f dS =
f (g(s)) |N (s)| ds,
(C.6)
S
U
siempre que la integral de Lebesgue en (C.6) exista. Si tal es el caso se dice que
f es integrable-Lebesgue en S y se escribe f ∈ L1 (S). Se comprueba que si f es
integrable sobre S con respecto a una parametrización g, lo es con respecto a
cualquier otra parametrización equivalente ĝ, siendo el resultado de la integral
independiente de ĝ. Es habitual llamar a dS = |N (s)| ds el elemento de área de
S. De hecho, se define como área de S a la correspondiente integral en donde
f = 1.
Ejemplo C.3. Las coordenadas esféricas en Rn se definen por inducción como,

x1
= ρ cos θ1





= ρ sen θ1 cos θ2

x2
..
.




x

n−1 = ρ sen θ1 sen θ2 · · · sen θn−2 cos θn−1


xn
= ρ sen θ1 sen θ2 · · · sen θn−2 sen θn−1 ,
en donde 0 ≤ θ1 , · · · ≤ θn−2 ≤ π, 0 < θn−1 < 2π. Nótese que la aplicación
(ρ, θ1 , . . . , θn−1 ) → x
define un difeomorfismo de (0, +∞) × (0, π) × · · · (0, π) × (0, 2π) en Rn \ N , N =
{xn−1 ≥ 0, xn = 0}. Cuando en una integral n-dimensional se hace el cambio
de variable a esféricas de Rn , x = x(ρ, θ1 , . . . , θn−1 ), tenemos que eliminar N
del recinto Ω de integración. Esto no supone ningún problema porque N tiene
medida de Lebesgue zero. Por otro lado, el elemento de volumen dx se transforma
de acuerdo con la ley:
dx = ρn−1 senn−2 θ1 senn−3 θ2 · · · sen θn−2 dρdθ1 · · · dθn−1 .
(5)
Pues bien, resulta que el elemento de área de la esfera de centro cero y de radio
r vale:
dSr = rn−1 senn−2 θ1 senn−3 θ2 · · · sen θn−2 dθ1 · · · dθn−1 = rn−1 dS1 ,
donde dS1 representa el área de la esfera unidad Sn−1 en Rn . Se deduce de aquí
que el área σn de la esfera unidad en Rn viene dado por:
σn =
2π n/2
,
Γ(n/2)
281
donde Γ(z) =
∫∞
0
e−u uz−1 dz. En efecto, la integral
∫
π
senk θ dθ =
0
mientras Γ(1/2) =
xΓ(x) resulta,
Γ((k + 1)/2)Γ(1/2)
,
Γ((k + 2)/2)
√
π. Por otro lado, de la relación de recurrencia Γ(x + 1) =
Γ
(n)
2


(n/2 − 1)!
=
(n − 1)! √

 [n/2]
π
4
[n/2]!
n = 2̇
n = 2̇ + 1.
Así, el área de la esfera de radio r vale rn−1 σn . Una simple integración muestra
n
que el volumen de la bola de radio r es rn σn . Para uso posterior reservaremos
el símbolo,
2π n/2
σn
=
.
ωn =
n
nΓ(n/2)
para representar el volumen de la bola unidad en Rn .
Finalmente, es costumbre representar la fórmula (5) como,
dx = ρn−1 dρ dS1 ,
donde dS1 representa el elemento de área de la esfera unidad de Rn .
Ejemplo C.4. Si f (x) = F (r), r = |x| es una función radial e integrable en el
dominio esférico: Ω = {a < |x| < b} su integral se puede escribir como,
∫
∫
b
F (r)rn−1 dr.
f dx = ωn
Ω
a
En particular, para f = e−|x| tenemos,
∫
∫ ∞
2
Γ(n/2)
−|x|2
e
dx = ωn
e−r rn−1 dr = ωn
= π n/2 .
2
n
R
0
2
Sea F : S → Rn un campo sobre una superficie simple S, orientada con un
campo unitario normal ν(x). Se llama flujo de F a través de S en el sentido de
la normal ν a la integral,
∫
S
F · ν dS,
supuesto que dicha integral exista. Remitimos a los Ejercicios del Capítulo 1
para una interpretación física de la noción de flujo.
El concepto de superficie simple se extiende, por razones técnicas, al de
superficie de clase C k (k ≥ 1). La propia esfera en R3 no es una superficie
simple (¿por qué?). Decimos que S es una superficie de clase C k si S = S1 ∪· · ·∪
Sm donde cada Si es una superficie simple y donde además si (gi , Ui ), (gj , Uj )
parametrizan respectivamente a Si y Sj con Si ∩ Sj ̸= ϕ entonces gj−1 ◦ gi :
282
gi−1 (Si ∩ Sj ) → gj (Si ∩ Sj ) es un homeomorfismo de clase C k , con inverso C k .
Se dice que {Si }m
i=1 es una estructura diferenciable de S.
Si f : S → R, se define la integral de superficie de f sobre S en los términos
siguientes:
∫
∫
∫
∫
f dS =
f dS1 +
f dS2 + · · ·
f dSm ,
(6)
S
S1
S2 \S1
Sm \(S1 ∪···Sm−1 )
siempre que todas las integrales del segundo miembro existan. Se demuestra que
el valor de la integral no depende de la elección de las superficies simples Si que
constituyen S, e. d., de la estructura diferenciable. En efecto si {S̃i }qi=1 es otra
estructura diferenciable de S, entonces
∫
∫
∫
∫
f dS̃ q ,
f dS =
f dS̃ 1 +
f dS̃ 2 + · · ·
S̃q \(S̃1 ∪···S̃q−1 )
S̃2 \S̃1
S
S̃1
Se dice que S es orientable si es posible elegir una familia de parametrizaciones de forma que el signo de los determinantes det ((gj−1 ◦ gi )′ (s)) sea el mismo,
siempre que Si ∩ Sj ̸= ϕ. En este caso se puede definir sobre S un campo unitario normal ν que es continuo sobre S. En general se sabe que toda superficie
compacta y C k de Rn (por ejemplo la esfera) es orientable. También se sabe
que hay superficies, en el sentido aquí considerado, que no son orientables. Es
un buen ejercicio construir una estructura diferenciable de la banda de Möbius,
probando después que es una superficie no orientable de R3 .
Ejercicio C.1. Comprúebese que la parametrización:

ϕ

x = a cos ϕ + t b cos ϕ cos 2
y = a sen ϕ + t b sen ϕ cos ϕ2


z = t b sen ϕ2
donde 0 < b < a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −1 < t < 1, define una superficie equivalente a la
banda de Möbius.
Otra noción importante es la de dominio acotado de clase C k . Son los abiertos
y conexos Ω ⊂ Rn acotados tales que su frontera ∂Ω es una superficie C k , que
al ser compacta, resulta ser orientable. Satisfacen la condición adicional de que
es posible elegir un campo unitario normal a ∂Ω, ν = ν(x), de forma que para
cada x ∈ ∂Ω los puntos x + tν(x) ̸∈ Ω para 0 ≤ t < ε, mientras x + tν(x) ∈ Ω
para −ε < t < 0, donde ε > 0 es suficientemente pequeño. Para Ω un dominio
de clase C k , ν siempre designará tal campo normal que se llama la “normal
unitaria exterior”.
Se debe resaltar (ver [8], p. 354) que que toda superficie compacta S de Rn
es la frontera de un abierto de clase C k (no necesariamente acotado), de forma
que uno de sus campos normales es “exterior” a dicho abierto.
Podemos finalmente enunciar el siguiente resultado fundamental.
283
Teorema C.2 (Teorema de la divergencia). Sean Ω ⊂ Rn un dominio acotado
de clase C k , k ≥ 1 y F : Ω → Rn un campo C 1 definido en Ω. Entonces se
tiene:
∫
∫
F · ν dS =
div F dx.
∂Ω
Ω
Una consecuencia importante del teorema de la divergencia es el
Corolario C.3 (Fórmula de integración por partes). Sea Ω ⊂ Rn como en el
teorema anterior y sean P, Q ∈ C 1 (Ω). Entonces,
∫
∫
∫
∂P
∂Q
Q dx =
P Qνi dS −
P dx ,
∂x
∂x
i
i
Ω
∂Ω
Ω
donde νi representa la componente i-ésima del campo unitario y normal exterior
a ∂Ω.
Ejemplos C.5.
a) Comprúebese la identidad en el teorema de la divergencia para Ω la esfera de
radio a en R3 y F = r2 x, con x = (x1 , x2 , x3 ).
b) Para f = f (x) = (f1 , f2 , f3 ) de clase C 1 en R3 y cumpliendo |f (x)| ≤ 1/(|x|3 +
1), pruébese que
∫
div f dx = 0 .
R3
284
Apéndice D
Diferenciación bajo el signo
integral
Sean Ω ⊂ Rn , Q ⊂ Rm abiertos (típicamente Q es o bien Rm o un pequeñ o
entorno de un punto). Sea asimismo una función adecuada
f:
Ω×Q
(x, y)
−→
7−→
R
f (x, y)
y nos preguntamos cuándo
∫
F (y) =
f (x, y) dx ,
Ω
es una función suficientemente regular de y ∈ Q. Por ejemplo, si f es k veces
derivable con respecto a y, cuándo podremos derivar k veces F y cuándo el
resultado de derivar equivale a derivar bajo el signo integral. El siguiente teorema
hace posible la operación bajo las condiciones más razonables.
Como terminología preliminar diremos que f : Ω × Q → R es una función de
Carathéodory si f (·, y) es medible en Ω para cada y ∈ Q, mientras que f (x, ·)
es continua en Q para c.t. x ∈ Ω. Entre las propiedades más interesantes de
esta clase de funciones –que no demostraremos y que de momento tampoco
vamos a usar– señalemos las siguientes. Si u = u(x) es medible en Ω, entonces
U (x) := f (x, u(x)) coincide en c.t. x de Ω con una función medible en Ω. Si las
un = un (x) son medibes en Ω y un → u en c. t. p. x ∈ Ω (con lo que u coincide
con una función medible en c. t. p., (cf. [19]), entonces f (x, un (x)) → f (x, u(x))
para c. t. x ∈ Ω.
La definición precedente se extiende de la manera obvia a funciones f :
S × Q → R, S una superficie regular de clase C k , obteniéndose las mismas
propiedades.
Podemos ya enunciar el resultado relevante de la sección.
285
286
APÉNDICE D. DIFERENCIACIÓN BAJO EL SIGNO INTEGRAL
Teorema D.1. Supongamos que las funciones ∂yα f (x, y) son de Carathéodory
para |α| ≤ k. Supongamos además que existe g = g(x) ∈ L1 (Ω) tal que
|∂yα f (x, y)| ≤ g(x),
y ∈ Q,
Entonces la función
|α| ≤ k
para c. t. x ∈ Ω.
∫
f (x, y) dx
F (y) =
Ω
es de clase C k en Q y además:
∫
α
∂yα f (x, y) dx ,
∂ F (y) =
Ω
para todo |α| ≤ k.
Una consecuencia inmediata es el
Corolario D.2. Sea S una superficie C k , mientras que las funciones ∂yα f (x, y)
son de Carathéodory en S × Q, para |α| ≤ k. Supongamos además que existe
g = g(x) ∈ L1 (S) tal que
|∂yα f (x, y)| ≤ g(x),
y ∈ Q,
Entonces la función
|α| ≤ k
para c. t. x ∈ S.
∫
F (y) =
S
f (x, y) dSx
es de clase C k en Q y además:
∫
∂ α F (y) =
S
para todo |α| ≤ k.
∂yα f (x, y) dSx ,
Bibliografía
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287
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Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales.

Transcripción

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