1 Los números naturales

Transcripción

1
Los números naturales
Presentación de la unidad
•Los números naturales no parecen obedecer a ninguna “construcción” intelectual del hombre. Desde siempre y en todas las
culturas surgen de modo natural para contar, ordenar, medir, etc.
•La unidad comienza contrastando algunos de los sistemas de numeración más conocidos. Así, además de apuntar la evolución
histórica de los métodos de representación, se muestra que el
concepto de número natural es el mismo en todos los casos, independientemente de cómo se exprese, verbalmente o por escrito.
•En el repaso de las operaciones, además de practicar el cálculo
operativo, priorizamos la resolución de problemas, actividad que
garantiza la revisión y la mejora en la construcción de conceptos.
•Por último, se avanza en la resolución de expresiones con paréntesis y operaciones combinadas.
•Los contenidos de esta unidad son de tres tipos:
•Tras revisar la estructura del sistema de numeración decimal, y
constatar sus ventajas respecto a otros sistemas de numeración,
se trabaja la lectura y la escritura de números de nueve o más cifras. También se recuerdan los procedimientos y las ocasionales
ventajas de la aproximación por redondeo.
•Se repasan después las operaciones básicas con números naturales, y algunas de sus propiedades, poniendo especial empeño
en la división, en la que se detectan con frecuencia errores y lagunas, tanto conceptuales como en la mecánica del algoritmo.
–Aspectos teóricos:
•Sistemas de numeración. El sistema de numeración decimal.
•Propiedades de las operaciones y ventajas que aportan a la
práctica del cálculo.
–Cálculo:
•Algoritmos de las operaciones.
•Expresiones con paréntesis y operaciones combinadas.
•Cálculo mental.
–Utilización de la calculadora:
•Conocimiento de las técnicas básicas.
•Uso adecuado.
Esquema de la unidad
LOS NÚMEROS NATURALES
se expresan mediante
LOS SISTEMAS
DE
NUMERACIÓN
se utilizan para
SISTEMA EGIPCIO
SISTEMA ROMANO
SISTEMA MAYA
…
APROXIMAR
RESULTADOS
RESOLVER
PROBLEMAS
ORDENAR
mediante
mediante
REDONDEO
OPERACIONES
el sistema
que utilizamos es
CONTAR
EL SISTEMA
DE NUMERACIÓN
DECIMAL
que cuando se hace de
una forma aproximada se
llama
en el que los grandes
órdenes de unidades son
LOS
MILLONES
24
CODIFICAR
LOS
BILLONES
de
ESTIMAR
SUMA
RESTA
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
que por su resto
pueden ser
DIVISIONES
EXACTAS
DIVISIONES
INEXACTAS
Conocimientos mínimos
Adaptación curricular
•Estructura del sistema de numeración decimal.
En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación
curricular de esta unidad 1 del libro del alumnado, para cuya elaboración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que
aquí se proponen.
•Lectura y escritura de números grandes.
•Redondeo.
•Cálculo mental y escrito con las cuatro operaciones.
•Uso elemental de la calculadora.
•Resolución de expresiones sencillas con operaciones combinadas.
•Resolución de problemas de una y dos operaciones.
Anticipación de tareas
•Buscar información sobre distintos sistemas de numeración (civilizaciones antiguas, sistema binario de los lenguajes informáticos, etc.).
•Revisar la operativa con las cuatro operaciones (detección de lagunas).
•Mostrar los distintos tipos de calculadora.
La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para
mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáticas: el práctico y el intelectual.
Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no
han sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente
para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va
dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se
proponen.
Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha suprimido o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigidos.
Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la unidad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de
nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la
autoevaluación.
•Recordar algunas estrategias y procedimientos generales para
resolver problemas y describir los procesos de resolución.
En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensamiento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, el emprendimiento y la resolución de problemas.
Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la actividad,
y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.).
Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*).
APRENDIZAJE COOPERATIVO
PENSAMIENTO COMPRENSIVO
PENSAMIENTO CRÍTICO
Pág. 9. Actividad sugerida en esta P.D. para los Pág. 11. Actividad 2
dos apartados de la página.(*)
Pág. 9. Actividad propuesta en los dos apartados de la página.(*)
Pág. 13. Actividad sugerida en esta P.D.
Pág. 17. Actividades 15, 16 y 17
Pág. 10. Actividad propuesta en el ladillo.(*)
Pág. 20. Actividades 5 y 8
Pág. 20. Actividad 13 y actividad sugerida en
esta P.D.
INTERDISCIPLINARIEDAD
EMPRENDIMIENTO
Todos los problemas propuestos en el L.A. están encuadrados en
este apartado. Aquí se señalan algunos que tienen especial interés.
Pág. 15. Actividad 6
Pág. 26. Actividad “Lee e infórmate”
Pág. 18. Actividad “Por
qué”(*)
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Pág. 19. Actividad 6 (*)
Pág. 23. Actividad “Aprende a resolver problemas” (*)
Pág. 22. Actividad 28 (*)
(*)
Pág. 26. Actividad “Investiga” (*)
Pág. 27. Actividad “Entrénate resolviendo problemas” (*)
25
1
Así multiplicaban los antiguos egipcios
Los números naturales
Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo
hacían 23 × 18.
Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. Estos han
pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo.
←• 1 ⎯→
18 →
←• 2 ⎯→
←• 4 ⎯→
36 →
72 →
8
144
←• 16 ⎯→ 288 →
414 ←
→ 23
– La segunda, duplicaban sucesivamente el segundo factor, en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían
duplicado 1 en la primera columna.
– Después, en la primera columna tomaban los números
necesarios para que al sumarlos se obtuviera el primer
factor; en nuesro caso, para quer sumaran 23:
– Para concluir, cogían, en la segunda columna, los números correspondientes a los sumandos de la primera
columna y los sumaban. En nuestro caso:
2000 a.C.
Mayas
– En la primera, duplicaban sucesivamente 1 sin sobrepasar el primer factor; en nuestro caso, sin pasarse de 23.
1 + 2 + 4 + 16 = 23
Babilonios
Egipcios
2000 a.C.
Escribían dos columnas de números siguiendo las siguientes reglas:
18 + 36 + 72 + 288 = 414
3500 a.C.
Romanos
100 a.C.
El resultado de la suma obtenida en la columna de la derecha era el producto buscado. En nuestro ejemplo:
23 × 18 = 414
1
Chinos
3500 a.C.
a) 17 × 41
6
Hindúes
500 a.C.
12
9 6
1 2
1 9 7 2 2
L
os sistemas de numeración sirven para escribir números
y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir, también, para operar con ellos. Piensa en el sistema romano (que
ya conoces) y en cómo se las apañarían para efectuar sumas.
Por ejemplo, MCCCXLVI + DCCCXXXIV. ¿Complicado? Pues
imagina lo difícil que tendría que ser multiplicar.
• La página presenta distintos sistemas de numeración y propone una reflexión sobre su utilidad, sobre sus diferencias y sobre el papel que han
desempeñado en las distintas culturas y épocas.
• En la idea de que los números son conceptos y los sistemas de numeración distintas formas de expresarlos, podemos motivar el estudio de la
unidad proponiendo a los alumnos y a las alumnas que inventen su propio sistema de numeración y, a partir de su análisis, contrastar conceptos como los de sistema aditivo o posicional, ventajas de utilizar un símbolo para el cero, o de operar con unos u otros.
• En la página de la derecha se presentan dos modelos de multiplicación,
que permiten descubrir relaciones entre cada sistema de numeración y
sus posibilidades o ventajas para el cálculo.
2
– Sin embargo, el sistema hindú utilizaba un procedimiento muy similar
al nuestro, más rápido y cómodo, donde cada cifra se ubicaba en un
lugar determinado, consecuencia de la utilización de un sistema posicional.
Cuestiones para detectar ideas previas
•Crear un sistema de signos que sirva para codificar cualquier número
menor que 50 (o 100 o…).
•Leer y escribir números de hasta ocho cifras.
•Calcular con las operaciones básicas.
•Comparar expresiones muy sencillas variando la posición del paréntesis.
•Inventar problemas para una operación dada.
– Se suman los resultados en vertical. En cada columna
solo cabe un dígito.
Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones:
a) 208 × 34
3
b) 453 × 26
Comparando estas formas de multiplicar con la nuestra, ¿cuál
te parece más cómoda y efectiva? Justifica tu respuesta.
Aprendizaje cooperativo
Si el profesor o la profesora lo considera oportuno, estas actividades pueden realizarse en grupo, estimulando el aprendizaje entre iguales. En un
primer tiempo, los grupos buscarán soluciones, que se contrastarán en
una posterior puesta en común, justificando los logros conseguidos, rebatiendo en los desacuerdos y llegando, finalmente, a conclusiones comunes.
Soluciones de las actividades
1 a)
– Señalaremos que en el sistema egipcio, al no ser posicional, resulta
imposible el algoritmo que nosotros aprendemos, por lo que se debe
recurrir a métodos más tortuosos, basados en la suma y en el cálculo
del doble. Los estudiantes analizarán ese proceso.
26
– En cada casilla se pone el resultado de multiplicar los
dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la casilla sombreada, 4 × 7 = 28.
1
Sistema decimal
que usamos
b) 41 × 17
Así multiplicaban los antiguos hindúes
5
3 0 7
3 2 0 4 2
1 5 2 8
2
2 1
4
Árabes
700 d.C.
Al iniciar la unidad
Efectua las multiplcaciones siguientes al estilo egipcio:
1
41
2
b)
1
17
82
2
34
4
164
4
68
8
328
8
136
16
656
16
272
17
697
32
544
41
697
17 × 41 = 697
41 × 17 = 697
2 a)
8
3
0 2 4 4
2 0 0 3 2
0 6 0 0
2
0 8
0
7
6 10
1 0
0 7 0 7 2
3 Respuesta libre.
b)
3
2
0 6 6
1
0 1 8
4
0 8 3 0
8
2 4
5
0
7
11 7
1 1
1 1 7 7 8
1 Sistemas de numeración
El sistema de numeración decimal
3
4
Aquí aparece escrito el número
1 333 331.
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
asa
cuerda
flor
dedo
rana
hombre
7
8
9
• El valor de una cifra depende del lugar que ocupe. Por eso, este sistema es de
tipo posicional.
7
8
4
3
ES
U
D
N
EC
ID
EN
AD
AS
AS
N
TE
EN
C
U
D NI
E D
M AD
IL E
LA S
R
D
E
D
EC
M EN
IL AS
LA
R
Veamos un ejemplo:
4
1
6
• Cada cifra puede ocupar cualquiera de esos órdenes.
2 DM → 20 000
7 UM → 7 000
4C→
400
7 D → + 70
3U→
3
27 473
↓
palo
5
• Diez unidades de un orden hacen una unidad del orden inmediato superior.
C
D EN
E T
M EN
IL A
LA S
R
Por ejemplo, los antiguos egipcios utilizaban los símbolos siguientes:
2
• Se definen órdenes de unidades: unidades, decenas, centenas…
N
ID
M AD
IL
LÓ ES
N
Los símbolos utilizados para representar los conteos, junto con sus normas de
uso, forman un sistema de numeración.
1
Para leer y escribir números, se establecen estas normas:
Un número se puede descomponer
según sus órdenes de unidades y según el valor de posición de cada cifra:
27 473
U
A medida que la sociedad evolucionaba se hizo necesario manejar cantidades
grandes y representarlas de una forma práctica. Así, aparecieron en distintas culturas los sistemas de numeración.
0
Recuerda
E
Los hombres prehistóricos ya utilizaban algunas técnicas para contar: comparaban con los dedos de sus manos, hacían muescas en un trozo de madera o arcilla,
ensartaban cuentas en una cuerda, etc.
El sistema de numeración que utilizamos actualmente es el decimal. Consta de
diez símbolos o cifras:
D
Los números naturales (1, 2, 3, …) surgieron de la necesidad de contar, y su representación evolucionó adaptándose a cada momento cultural e histórico.
Este hombre primitivo ha escrito el número 47. ¿Sabrías decir el valor
de cada símbolo?
0
4
↓
4 000 000 U
↓
4 000 U
4U
Piensa y practica
La norma para escribir un número era sencilla: se iban añadiendo (sumando) los
símbolos necesarios hasta completar la cantidad deseada. Estos símbolos, junto
con la norma anterior, forman el sistema de numeración egipcio.
1. Escribe en el sistema de numeración egipcio los nú-
8. Escribe el número que es 300 decenas de millar ma-
A los sistemas de numeración, como el egipcio, en que se van añadiendo símbolos y sumando su cantidad representada, los llamamos sistemas aditivos.
2. En un sistema aditivo se utilizan estos símbolos:
9. ¿Qué número natural tiene esta descomposición?:
El sistema de numeración romano
meros 19, 65, 34 120 y 2 523 083.
yor que 23 456.
2 000 000 + 300 000 + 7 000 + 30 + 7
1
5
10
10. Ordena estas matrículas de la más antigua a la más
100
moderna (tienes que tener en cuenta primero las letras y luego los números):
Escribe, basándote en él, los números 18, 382 y 509.
Los romanos utilizaban como símbolos las siguientes letras:
3. Escribe en el sistema de numeración romano estas
3948 - FBG
cantidades:
18
1
5
10
50
100
500
1000
43
98
3 456
NORMAS
Aquí se ve escrito el número 1 778.
EJEMPLOS
Las letras i, x, c y m se pueden repetir hasta tres
veces seguidas.
iii → 3
ccc → 300
xx → 20
mm → 2 000
Las letras i, x, o c a la izquierda de otra de mayor
valor, le restan a esta su valor.
iv → 4
xl → 40
ix → 9
xc → 90
El valor de un conjunto de letras queda multiplicado por 1 000 al colocar sobre ellas una barra.
—
—
iv → 4 000
ixcc → 9 200
—
m → 1 000 000
12. ¿Verdadero o falso?
—
vcccxxxi
cccxxvii
4389 - GFB
cambias las unidades con las unidades de millar, aumenta en 999. ¿Qué número es?
de estos números romanos:
cxlix
3894 - FBG
11. Un número tiene cinco cifras que suman 5. Si inter-
4. Escribe en el sistema de numeración decimal el valor
Y estas eran sus normas:
a) En el sistema de numeración egipcio, si cambias el
orden de los signos, cambia el valor del número.
5. ¿Qué valor tiene la cifra 0 si ocupa el lugar de las cen-
b) En el sistema decimal, si cambias de lugar las cifras, cambia el valor del número.
tenas? ¿Y si ocupa el lugar de los millones?
6. Si añades un 0 a la derecha de un número, ¿por cuán-
c) Medio millar equivale a 5 centenas.
to multiplica su valor? ¿Y si lo añades a la izquierda?
d) La cifra 6 tiene el mismo valor en el número 3 648
que en el número 3 468.
7. ¿Qué orden de unidad ocupa en un número la cifra 5
si su valor es de 50 000 unidades?
e) Mil millares hacen un millón.
10
Sugerencias
• La utilización de distintos sistemas de numeración, ideados en diferentes épocas y culturas, hará valorar a los estudiantes el esfuerzo progresivo realizado por la humanidad en la construcción de herramientas que
hoy utilizamos sin percibir, acaso, la dificultad del proceso, y que son
parte de la herencia cultural, en continua reelaboración, que cada generación transmite a la siguiente.
• A la vez, se puede señalar que cada cultura ha utilizado el sistema de
numeración que se adaptaba a sus necesidades. No nos podemos imaginar ninguna situación en la que un hombre primitivo, cazador y recolector, tuviera que manejar números de, por ejemplo, siete cifras. Pero
solo tenemos que abrir un periódico, o cualquier tratado científico, para
ver que esos mismos números son imprescindibles en la sociedad actual. Es decir, los sistemas de numeración se han ido perfeccionando a
medida que evolucionaban las necesidades de enumerar y calcular (comercio, construcción, estadística…), y, a la vez, cada avance ha permitido acceder a nuevos campos de la ciencia y ha traído consigo la aparición de nuevas necesidades numéricas.
• Para apreciar las virtudes de nuestro sistema de numeración decimal,
conviene compararlo con otros tipos de sistemas, especialmente los
aditivos. Hágase ver la dificultad de esos últimos para representar números grandes y números decimales y también para operar.
Refuerzo y Ampliación
11
Emprendimiento
Se sugiere la siguiente actividad:
Supón que eres un agente secreto y necesitas acordar con tu compañero
una clave para escribir números del 1 al 30. ¿Serías capaz de hacerlo utilizando dos dados, uno verde y otro rojo? Explícalo.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 19 =
2 18 =
382 =
382 =
3 18 = XVIII 43 = XLIII 98 = XCVIII 3 456 = MMMCDLVI
4 CXLIX = 149
—
VCCCXXXI = 5 331
6 A la derecha, se multiplica por 10. A la izquierda, no varía.
7 Decenas de millar.
9 2 307 037
• Del cuaderno de TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
CCCXXVII = 327
5 Cero centenas. Cero millones.
• Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Ampliación: Ejercicios 4 y 5 de la pág. 3.
120 =
2 523 083 =
8 3 023 456
Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la pág. 2.
65 =
34 =
Se recomiendan:
Refuerzo: Ejercicios 1 a 4.
1
UNIDAD
10 3894-FBG, 3948-FBG, 4389-GFB
11 40 001
12 a) Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Falso e) Verdadero
27
2 Los números grandes
3
Muchas cantidades y datos superan las nueve cifras: el número de habitantes de
la Tierra (7 000 000 000), los segundos que tiene un siglo (3 153 600 000), los
kilómetros de un año luz (9 460 800 000 000)…
1
3
8
0
0
0
0
C
D
U
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil de recordar e incómodo para
operar. Por eso, suele convenir sustituirlo por otro más manejable de valor aproxic) Nueve billones cuatrocientos
sesenta mil ochocientos millones.
mado, terminado en ceros.
Por ejemplo:
2 a) 28 350 000
e) 1 500 000 000 000
b) 143 000 000
En España
circulan
86800000
billetes de 500 €.
El año pasado
nos visitaron
58 millones
de personas.
d) 16 000 000 000
pasado
El año
tro
n nues
visitaro
963430
país 57
ros.
extranje
¿Cuántos miles de
millones de euros serán,
aproximadamente?
f) 15 350 000 000 000
La forma más frecuente y práctica de realizar aproximaciones es el redondeo.
3 a) … millón.
b) … millardo.
En la web
Actividades para practicar la aproximación.
c) … millardo.
Ten en cuenta
Aunque no es muy habitual, a los miles de millones también se les llama
millardos.
También se designa con el prefijo
giga:
1 000 000 000 bytes = 1 gigabyte
b) Tres mil ciento cincuenta y tres millones seiscientos mil.
c) 2 700 000 000
MILLARES
1
MILLONES
BILLONES
MILES DE
MILLONES
El sistema de numeración decimal permite representar cantidades tan grandes
como deseemos. Aquí tienes algunos órdenes para números con más de 9 cifras,
junto a algunos ejemplos:
…
1
UNIDAD
1 a)
Siete mil millones.
Aproximación
de números naturales
Para redondear un número a un determinado orden de unidades:
• Se sustituyen por ceros todasd)
las …
cifrasbillón.
a la derecha de dicho orden.
• Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco, se suma una unidad
a la cifra anterior.
4 Entre 10 y 70 billones de células.
Ejercicio resuelto
El universo se originó
hace trece mil ochocientos millones de años.
El cerebro de una persona
joven tiene unos cien mil
millones de neuronas.
La Tierra tiene un volumen aproximado de un billón de kilómetros cúbicos.
• Un millón ↔ Un 1 seguido de 6 ceros.
5
Aproximar el número 384 523
Diez mil billones.
a las centenas de millar, a las
decenas de millar y a los millares.
CENTENAS DE MILLAR
DECENAS DE MILLAR
MILLARES
384523
3 8 4 5 2 3
3 8 4 5 2 3
CM 8 ≥ 5
=
DM 4 < 5
+1
6 Un 1 seguido de 24+1 ceros
→ un billón de billones.
400000
3 8 0 0 0 0
UM 5 ≥ 5
3 8 5 0 0 0
• Un billón ↔ Un millón de millones ↔ Un 1 seguido de 12 ceros.
• Un trillón ↔ Un millón de billones ↔ Un 1 seguido de 18 ceros.
1. Lee las primeras líneas de esta página. Escribe cómo
se leen:
a) El número de habitantes de la Tierra.
b) El número de segundos de un siglo.
c) El número de kilómetros que tiene un año luz.
2. Escribe con cifras.
a) Veintiocho millones trescientos cincuenta mil.
b) Ciento cuarenta y tres millones.
c) Dos mil setecientos millones.
d) Dieciséis gigas.
e) Un billón y medio.
f ) Quince billones trescientos cincuenta mil millones.
3. Copia en tu cuaderno y completa.
a) Mil millares hacen un …
b) Mil millones hacen un …
c) Un millón de millares hacen un …
d) Un millón de millones es un …
4. El cuerpo humano tiene entre diez y setenta millones
de millones de células. Expresa esas cantidades en billones.
5. ¿Cómo leerías el número expresado por un 1 seguido
de 16 ceros?
6. Los científicos calculan que los mares y océanos de
la Tierra contienen tres cuatrillones de kilogramos de
agua. ¿Qué crees que es un cuatrillón?
12
Sugerencias
• Los números grandes (de seis, nueve, doce y más cifras) aparecen frecuentemente en informaciones científicas, sociológicas, económicas
etc.; de ahí que resulten necesarios para elaborar e interpretar mensajes
relativos a medios en los que ya se mueven los escolares.
• Los alumnos y las alumnas han de leer y escribir con agilidad los números de muchas cifras y han de manejar con soltura los correspondientes
órdenes de unidades (millones, miles de millones, billones...) y sus equivalencias.
• También es aconsejable incidir en la diferencia que existe entre nuestro
término “billón” y el término “billion” que suele aparecer en los textos y
medios de comunicación norteamericanos y que, con frecuencia, da lugar a errores en las traducciones. El “billion” equivale, contra lo que cabría esperar, a mil millones. Y quizá, para diferenciarlo del billón, y para
tener un término equivalente en las traducciones, es por lo que se ha
acuñado el nuevo término millardo, aunque su uso no es frecuente.
Se recomiendan:
Refuerzo: Ejercicios 4 y 5 de las págs. 2 y 3.
Ampliación: Ejercicio 7 de la pág. 3.
Interdisciplinariedad
Selecciona cuatro de los números grandes que aparecen en esta página e
indica la rama científica con la que están relacionados. Por ejemplo:
“Número de habitantes de la Tierra: siete mil millones (Estadística –
Geografía humana).
28
Piensa y practica
1. Redondea a los millares estos números:
Piensa y practica
4. A continuación puedes ver varias aproximaciones al
ANOTACIONES
a) 24 963
b) 7 280
c) 40 274
precio de un piso en venta:
SE VENDE
d) 99 399
2. Aproxima a los millones por redondeo.
138 290 €
a) 24 356 000
b) 36 905 000
c) 274 825 048
d) 213 457 000
3. Haz una tabla como esta en tu cuaderno:
APROXIMACIONES
NÚMERO
A LAS CENTENAS
DE MILLAR
A LAS DECENAS
DE MILLAR
Complétala redondeando los siguientes números:
530 298
828 502
359 481
299 352 362
Tel.: 23987688
100 000 €
138 000 €
138 300 €
140 000 €
a) ¿Cuál es más cercana al precio real?
b) ¿Cuál te parece más adecuada para una información coloquial, si no se recuerda la cantidad exacta?
c) ¿Cuál identificas con un redondeo a las centenas de
millar?
5. Un ayuntamiento ha presupuestado 149 637 € para
rehabilitar un área deportiva.
¿Qué cifra darías para comunicar este dato en una
conversación informal?
13
• La distancia de Sevilla a Santander.
3 Aproximación de números naturales
1
UNIDAD
• El consumo anual, en litros, de aceite en España.
s de
los
Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil de recordar e incómodo para
operar. Por eso, suele convenir sustituirlo por otro más manejable de valor aproximado, terminado en ceros.
ndes
ras,
Por ejemplo:
0
lubios.
es
bi-
do
de
de
En la web
Actividades para practicar la aproximación.
Redondear los datos recogidos haciéndolos manejables para, después,
ponerlos en común.
En la puesta en común, contrastar las diferencias, seleccionar razonadamente los más fiables, etc.
¿Cuántos miles de
millones de euros serán,
aproximadamente?
La forma más frecuente y práctica de realizar aproximaciones es el redondeo.
0
0
En España
circulan
86800000
billetes de 500 €.
El año pasado
nos visitaron
58 millones
de personas.
pasado
El año
tro
n nues
visitaro
963430
país 57
ros.
extranje
U
• El número de habitantes de Londres.
Para redondear un número a un determinado orden de unidades:
1 a) 25 000
• Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.
• Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco, se suma una unidad
a la cifra anterior.
Ejercicio resuelto
Aproximar el número 384 523
a las centenas de millar, a las
decenas de millar y a los millares.
CENTENAS DE MILLAR
DECENAS DE MILLAR
384523
+1
CM
8≥5
400000
DM
4<5
c) 40 000
380000
a) 24 963
b) 7 280
c) 40 274
d) 99 399
3
385000
4. A continuación puedes ver varias aproximaciones al
precio de un piso en venta:
SE VENDE
2. Aproxima a los millones por redondeo.
138 290 €
a) 24 356 000
b) 36 905 000
c) 274 825 048
d) 213 457 000
3. Haz una tabla como esta en tu cuaderno:
APROXIMACIONES
NÚMERO
A LAS CENTENAS
DE MILLAR
A LAS DECENAS
DE MILLAR
Complétala redondeando los siguientes números:
530 298
828 502
359 481
299 352 362
d) 213 000 000
UM 5 ≥ 5
aproximaciones
Piensa y practica
1. Redondea a los millares estos números:
b) 37 000 000
c) 275 000 000
384523
+1
d) 99 000
2 a) 24 000 000
MILLARES
384523
=
b) 7 000
Tel.: 23987688
100 000 €
138 000 €
138 300 €
140 000 €
a) ¿Cuál es más cercana al precio real?
b) ¿Cuál te parece más adecuada para una información coloquial, si no se recuerda la cantidad exacta?
c) ¿Cuál identificas con un redondeo a las centenas de
millar?
5. Un ayuntamiento ha presupuestado 149 637 € para
rehabilitar un área deportiva.
¿Qué cifra darías para comunicar este dato en una
conversación informal?
13
número
a las centenas
de millar
a las decenas
de millar
530 298
500 000
530 000
828 502
800 000
830 000
359 481
400 000
360 000
299 352 362
299 400 000
299 350 000
4 a) 138 300
b) 140 000
c) 100 000
5 150 000
ANOTACIONES
Sugerencias
• Además de aprender el significado del término aproximar y de dominar
la técnica del redondeo de cantidades, el alumnado se ha de acostumbrar a realizar esas operaciones para expresar con propiedad, recordar
o apuntar datos relativos a informaciones y resultados de cálculos que
maneja de forma cotidiana.
• Cuando en la televisión nos dicen que “los acertantes de 14 cobrarán
119 274 euros”, recordamos y transmitimos la información: “los de 14
cobrarán 120 000 euros”. Otra cosa será cuando uno de los afortunados
vaya a hacer efectivo su premio. Ahí sí es necesaria la exactitud.
• Para que el aprendizaje se incorpore a las competencias de los alumnos
y de las alumnas, podemos proponerles, como actividad, la elaboración
de una lista de situaciones, como la del ejemplo, en las que el redondeo
es apropiado y eficaz (precios, presupuestos, datos estadísticos de población, economía, etc.).
Refuerzo: Ejercicio 8, de la pág. 3.
Refuerzo: Ejercicio 9.
Aprendizaje Cooperativo
Si la programación contempla en este momento la atención al aprendizaje
cooperativo, se sugiere la siguiente actividad:
Pedir a los estudiantes, individualmente o por grupos, la búsqueda (utilizando los recursos que se consideren oportunos) de varios datos concretos, con distinta dificultad, como por ejemplo:
29
4
UNIDAD
Operaciones básicas con números naturales
Aunque ya sabes operar con números naturales, conviene que hagamos un rápido
repaso de algunos conceptos y de sus propiedades.
AFORO: 25342 localidades
Localidades ocupadas
11 576 + 9 006 = 20 582
La suma cumple las siguientes propiedades:
Ejemplos
Propiedad conmutativa
34 + 16 = 16 + 34
• Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los su-
50
• Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma
38
38
20 582 veces
La multiplicación cumple las siguientes propiedades:
880
La propiedad asociativa nos permite
reagrupar los términos, y la conmutativa, cambiarlos de orden.
• Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los
factores.
a·b=b·a
• Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente
de la forma en que se agrupen los factores.
a+b=b+a
en que se agrupen los sumandos.
Propiedad asociativa
(18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17)
18 + 20
35 + 35 + 35 + … + 35 = 35 · 20 582 = 720 370 €
88 × 10
mandos.
50
21 + 17
Por ejemplo, si una entrada para el partido de fútbol de la página anterior costaba
35 €, la recaudación por las 20 582 entradas vendidas sería:
16 × 55
8 × 2 × 5 × 11
Recuerda que sumar es unir, juntar, añadir.
Por ejemplo, si queremos saber el número de espectadores que hay en el campo
de fútbol que se ve en el margen, deberemos hacer una suma:
Recuerda que multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma repetida
de sumandos iguales.
Cálculo mental
La suma y sus propiedades
Gradas este: 11576
Gradas oeste: 9006
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
• Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta)
es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.
En la web
Actividades para practicar el cálculo mental con multiplicaciones.
a · (b + c) = a · b + a · c
Recuerda que restar es quitar, suprimir, hallar lo que falta o lo que sobra; es decir,
calcular la diferencia.
En la web
35 · 7 + 35 · 3 = 35 · (7 + 3)
Por ejemplo, para saber cuántas localidades vacías hay en el partido mencionado
antes, tenemos que realizar una resta:
25 342 – 20 582 = 4 760
Recuerda
25 342 ← Minuendo (M )
– 20 582 ← Sustraendo (S )
4 760 ← Diferencia (D )
Observa, además, que 25 342 = 20 582 + 4 760 y que 20 582 = 25 342 – 4 760.
M =S +D
Relaciones entre la suma y la resta: M – S = D → )
S=M –D
245 + 105
35 · 10
350
350
a) Esta suma en una resta: 48 + 12 = 60
c) 1 526 – 831 + 63
d) 1 350 – 1 107 – 58
b) Esta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14
2. Estima la respuesta y compruébala después.
Carmen compra un bolso que cuesta 167 €, una gabardina de 235 € y un pañuelo de 32 €. ¿Cuánto se
ha gastado?
a) Se ha gastado alrededor de 350 €.
b) Se ha gastado, más o menos, 450 €.
c) Se ha gastado alrededor de 550 €.
9. Multiplica mentalmente por 9 y por 11 como se ha-
ce en los ejemplos.
9
8
×
2 8 7 4
5
9 0
1 2 6 0
• 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207
• 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253
6 9 9 3 4
7. Recuerda que para multiplicar por 10, por 100, por
1 000, … se añaden uno, dos, tres, … ceros.
4. Si Alberto tuviera 15 años más, aún sería 18 años más
joven que su tío Tomás, que tiene 51 años. ¿Cuál es la
edad de Alberto?
5. Si comprara solo una lavadora, me sobrarían 246 €,
gasto de 7 entradas + gasto de 3 entradas ↔ gasto de (7 + 3) entradas
6. Completa en tu cuaderno.
3. Transforma.
b) 340 + 255 – 429
Podemos calcular de dos formas el coste de las entradas:
35 · 7 + 35 · 3 = 35 · 10
Piensa y practica
a) 254 + 78 + 136
En una peña de amigos, compraron el jueves 7 entradas para el partido, y el viernes,
3 entradas más para los rezagados. ¿Cuál fue el coste de las entradas?
Piensa y practica
× 2
1. Calcula.
a · (b – c) = a · b – a · c
El siguiente ejemplo te ayudará a comprender el significado de la propiedad distributiva:
La resta y sus relaciones con la suma
Actividades para practicar el cálculo mental con sumas y restas.
a) 19 · 10
b) 12 · 100
c) 15 · 1 000
d) 140 · 10
e) 230 · 100
f ) 460 · 1 000
8. Expresa con una igualdad aritmética:
pero si comprara también un televisor, me faltarían
204 €. ¿Puedes decir el precio de alguno de estos artículos?
Multiplicar un número por ocho es lo mismo que multiplicarlo primero por diez y después restarle su doble.
¿Qué propiedad se aplica en esta igualdad?
a) 12 · 9
b) 25 · 9
c) 33 · 9
d) 12 · 11
e) 25 · 11
f ) 33 · 11
10. ¿Cuántas vueltas da en una hora una rueda que gira
a razón de 1 500 revoluciones por minuto?
11. Un agricultor tiene una huerta con 200 melocotone-
ros. Calcula que con cada árbol llenará siete cajas de
cinco kilos de melocotones.
¿Qué beneficio obtendrá si vende toda la producción a 2 € el kilo?
14
15
Sugerencias
• Se abre aquí un espacio para consolidar aprendizajes iniciados en cursos anteriores, que servirá de preparación para abordar más adelante
las operaciones con números enteros y con fracciones, donde se aplicarán técnicas similares a las que aquí se ejercitan.
• Se revisan los algoritmos y también las propiedades y las relaciones de
la suma y la resta con un objetivo doble:
– Su implantación automatizada y espontánea para la mejora del cálculo.
– Su formalización teórica (expresión con letras) para que los estudiantes superen el ejemplo concreto y las generalicen para todos los números.
• La comprensión de las propiedades y su implantación a nivel práctico, a
estas edades, ha de conseguirse por el camino de la experimentación y
de la práctica, más que por el del razonamiento analítico. Y, por consiguiente, la explicitación teórica será posterior a la comprensión y supondrá el último paso del proceso de aprendizaje. Apoyando esa implantación práctica, es conveniente hacer notar a los estudiantes las
ventajas que ofrece la aplicación de las propiedades para facilitar el cálculo de productos, especialmente en el desarrollo de estrategias de cálculo mental, como muestran los siguientes ejemplos:
– El producto 35 × 12 se puede transformar en otro más sencillo,
42 × 10, combinando las propiedades asociativa y conmutativa:
35 × 12 = (7 × 5) × (2 × 6) = 7 × (5 × 2) × 6 =
= 7 × 10 × 6 = 7 × 6 × 10 = 42 × 10
– El producto 125 × 23 se facilita con la propiedad distributiva:
125 × 23 = 125 × (20 + 3) = 125 × 20 + 125 × 3 = 2 500 + 375
• Como ampliación de estos contenidos, se propone la extracción de factor común, que es la aplicación de la propiedad distributiva en sentido
inverso a su presentación habitual: a · b + a · c = a · (b + c)
30
1
La multiplicación y sus propiedades
Se recomiendan:
Ampliación: Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 8. Ejercicio 5-d) de la pág. 9.
Refuerzo: Ejercicios 8 y 11.
1 a) 468
b) 166
c) 758
d) 185
2 La respuesta correcta es la b): 167 + 235 + 32 = 434
3 a) 12
b) 22
4 18 años
5 El precio del televisor es de 450 euros.
6
4 5
9 5 8
× 2 8
× 7 3
3 6 0
9 0
1 2 6 0
7 a) 190
2 8 7 4
6 7 0 6
b) 1 200
6 9 9 3 4
c) 15 000
d) 1 400
e) 23 000
f) 460 000
8 x · 8 = x · (10 – 2) = x · 10 – x · 2. Se aplica la propiedad distributiva.
9 a) 108
b) 225
10 90 000 vueltas
11 14 000 €
c) 297
d) 132
e) 275
f) 363
1
UNIDAD
La división
Una propiedad de la división
Recuerda dos de las situaciones que resuelve la división y que aparecen frecuentemente en los problemas aritméticos:
Observa lo que ocurre cuando en una división multiplicamos el dividendo y el
divisor por el mismo número:
• Se han gastado 5 625 metros cúbicos de agua para regar un parque durante 15 días.
¿Cuántos metros cúbicos se han gastado cada día?
Para regar 3 arbustos, utilizamos 24 litros de agua. ¿Qué ocurre si tenemos el doble
de arbustos y el doble de litros de agua?
5625
112
075
00
AGUA PARA EL
RIEGO DIARIO
15
375
24 litros
⎯→
48 6
24 3
0 8
0 8
Al repartir el doble de litros entre el doble de arbustos, la cantidad que corresponde a cada uno no varía.
Dividir es repartir un todo entre varios, en partes iguales, para averiguar cuánto le toca a cada uno.
• El riego de un parque supone un gasto diario de 375 metros cúbicos de agua. ¿Para
cuántos días hay reservas en un depósito con 5 625 metros cúbicos?
5625
1875
000
375
15
⎯→
5 675 : 375 = 15 días
División exacta y división entera
En el ejemplo anterior, con 5 625 metros cúbicos se regaba el parque exactamente durante 15 días, y no sobraba nada de agua.
375
15
⎯→
5 625 = 375 · 15
Decimos que esta división es exacta.
Pero si en el depósito hubiera 5 700 metros cúbicos, tendría reservas, igualmente,
para 15 días, pero sobraría algo de agua.
5700
1950
075
Si en una división se multiplican el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía.
Piensa y practica
12. Averigua el cociente y el resto en cada división:
Dividir es partir un todo en porciones iguales de un tamaño determinado,
para averiguar cuántas porciones se obtienen.
5625
1875
000
48 litros
5 625 : 15 = 375 m3 cada día
375
15
⎯→
a) 96 : 13
b) 713 : 31
c) 5 309 : 7
d) 7 029 : 26
e) 49 896 : 162
f ) 80 391 : 629
16. Averigua el término que falta en cada división:
dividendo
39
13. Divide mentalmente, por partes, igual que se hace
a) El cociente debe ser mayor que el divisor.
: 12
:3
8
b) El resto es siempre menor que el divisor.
:4
32
a) 60 : 12
b) 180 : 12
c) 300 : 12
d) 75 : 15
e) 90 : 15
f ) 180 : 15
g) 180 : 30
h) 240 : 30
i) 390 : 30
c) Si es exacta, al multiplicar por dos el dividendo, el
cociente se hace el doble.
d) Al multiplicar por 3 el dividendo y el divisor, el
cociente aumenta al triple.
e) La división cumple la propiedad conmutativa.
14. Realiza en tu cuaderno las operaciones como se indi-
18. Resuelve sin lápiz ni papel.
ca en los esquemas.
(36 : 12) : 3
5 700 = 375 · 15 + 75
36 : (12 : 3)
a) Repartimos 150 gramos de mortadela en tres bocadillos. ¿Cuántos gramos pondremos en cada uno?
:
b) Colocamos 36 kilos de manzanas en 3 cestas.
¿Cuántos kilos van en cada cesta?
:
Decimos que esta división es entera.
Una división puede ser exacta o entera dependiendo del valor del resto.
• División exacta (el resto es cero).
D
0
d
c
⎯→ El dividendo es igual al divisor por el cociente.
D=d·c
• División entera (el resto es distinto de cero).
En la web
• Actividades para practicar el cálculo
mental con divisiones.
• Actividades para practicar las divisiones.
D
r
d
c
⎯→ El dividendo es igual al divisor por el cociente más
el resto.
D=d·c+r
c) Hemos recorrido, por la autopista, 240 kilómetros en tres horas. ¿Cuántos kilómetros por hora
son?
¿Qué observas?
15. Calcula y compara los resultados. Después, reflexio-
d) ¿Cuántos minutos son 180 segundos?
na y contesta.
a) (50 : 10) : 5
50 : (10 : 5)
b) (36 : 6) : 2
36 : (6 : 2)
19. Un granjero recoge 1 274 huevos, los envasa en ban-
dejas de 30, y las bandejas, en cajas de 10.
¿Cuántos huevos quedan sin completar una bandeja?
¿Cumple la división la propiedad asociativa?
¿Cuántas bandejas quedan sin completar una caja?
16
Sugerencias
• Los alumnos ya deben dominar el algoritmo de la división, aunque aprovecharemos este epígrafe para detectar posibles lagunas en su aprendizaje que bloquearían la adquisición de contenidos posteriores.
• Los conceptos de división se revisarán mediante la propuesta de actividades en contextos adecuados (resolución de problemas):
– La división como reparto: consiste en averiguar cuántos elementos
corresponden a cada parte cuando un conjunto se va a dividir en un
número determinado de partes iguales.
– La división como partición: consiste en averiguar cuántas partes de un
determinado tamaño se pueden hacer con los elementos de un conjunto. Este concepto requiere especial atención por presentar mayor
dificultad.
• Las relaciones entre los términos de la división exacta y entera se afianzarán con su comprobación y aplicación en situaciones concretas (por
ejemplo, con la prueba de la división).
• El epígrafe se completa con una propiedad importante de la división:
¿Qué ocurre al multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número? Los estudiantes pueden interiorizarlo a través de ejemplos contextualizados y de simple operativa. Será importante responder también a
la pregunta: ¿qué ocurre con el resto? La aplicación de esta propiedad
será fundamental para justificar los algoritmos de la división con divisores decimales, y enlazará con otros contenidos como la equivalencia y la
simplificación de fracciones.
Se recomiendan:
Refuerzo: Ejercicios 6 y 7 de la pág. 9.
divisor
38
17. ¿Verdadero o falso?
en el ejemplo.
• 96
1 000
12
53
15
17
Refuerzo: Ejercicios 6, 7 y 12.
Ampliación: Ejercicios 14 a 19.
12 a) c = 7; r = 5
b) c = 23; r = 0
c) c = 758; r = 3
d) c = 270; r = 9
e) c = 308; r = 0
f ) c = 127; r = 508
13 a) 5
b) 15
c) 25
d) 5
e) 6
f) 12
g) 6
h) 8
i) 13
14 Los resultados son 1 y 9.
Se observa que la división no cumple la propiedad asociativa.
15 a) 1; 25
b) 3; 12
La división no cumple la propiedad asociativa.
16
dividendo
divisor
→ 834
→ 26
17 a) Falso
b) Verdadero
18 a) 50 g
c) 80 km/h
c) Verdadero
d) Falso
e) Falso
b) 12 kg
d) 3 minutos
19 Quedan 14 huevos sin completar una bandeja. Quedan dos bandejas
sin completar una caja.
31
5
UNIDAD
Expresiones con operaciones combinadas
Resolver, con una calculadora de cuatro operaciones.
a) 40 – 12 : 4 + 2 · 3
¿Por qué?
Orden en que han de hacerse las operaciones
Escribe un número de dos cifras, a b .
Escribe el número cambiando el orden de las cifras, b a .
Suma ambos números y divide el resultado entre la suma de las dos cifras,
a + b.
( a b + b a ) : (a + b) = ¿…?
¿Qué obtienes? Averigua por qué.
Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debes tener en cuenta las
normas del lenguaje matemático. Estas normas aseguran que cada expresión tenga un significado y una solución únicos.
12 · 7 + 5 · 6 + 5 · 3
84 + 30 + 15
129
84 + 5 ·
84 +
45
Secuencia de teclas:
40 ≤ 12 / 4 µ 2 * 3 ≤Ñ ⎯→ {∫∫∫∫∫∫¢«}
b) (40 – 12) : 4 + 2 · 3
Secuencia de teclas:
Observa el orden de actuación en las siguientes expresiones. Los resultados son
diferentes a pesar de estar formadas por los mismos números y operaciones.
48 : 3 + 5 – 2 · 3
48 : (3 + 5) – 2 · 3
48 : 3 + (5 – 2) · 3
16 + 5 – 6
48 : 8 – 6
16 + 3 · 3
21 – 6
6–6
16 + 9
15
0
25
40 - 12 =/ 4 ≤ 2 * 3 ≤Ñ ⎯→ {∫∫∫∫∫∫‘«}
Compruébalo.
Piensa y practica
1. Opera como en los ejemplos.
5. Resuelve, indicando los pasos seguidos, y comprueba
la solución que se da a la derecha. Si no coincide, repasa el ejercicio.
• 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4
En las expresiones con operaciones combinadas, hemos de atender:
• (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4
• Primero, a los paréntesis.
a) 8 + 5 · 2
b) 13 – 4 · 3
• Después, a las multiplicaciones y a las divisiones.
c) 5 + 6 : 3
d) 15 – 10 : 5
• Por último, a las sumas y a las restas.
e) 4 · 2 + 7
f ) 4 · 6 – 13
g) 15 : 3 + 10
h) 5 · 6 – 18
Problema resuelto
Si un empleado eventual ha trabajado este mes 12 jornadas de 7 horas, con
tarifa normal, y 5 jornadas con 6 horas de tarifa normal y 3 de tarifa nocturna, ¿cuántas horas ha trabajado en todo el mes?
Lo podemos resolver con dos expresiones:
12 · 7 + 5 · (6 + 3)
normal
9
nocturna
en 12
jornadas
en 5
jornadas
12 · 7 + 5 · 6 + 5 · 3 =
12 · 7 + 5 · (6 + 3) =
= 84 + 30 + 15 = 129
= 84 + 5 · 9 = 84 + 45 = 129
Solución: Ha trabajado, en total, 129 horas.
129
⎯→ 7
e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3
⎯→ 1
g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2)
⎯→ 0
(6 – 2) · 3
h) 3 · [13 – 3 · (5 – 2)]
⎯→ 12
c) 15 – 4 · 3
(15 – 4) · 3
d) 5 · 2 + 4
5 · (2 + 4)
e) 2 · 15 – 10
2 · (15 – 10)
6.
3. Calcula, siguiendo los pasos del ejemplo.
• 4 · 5 – 3 · 4 – 2 = 20 – 12 – 2 = 8 – 2 = 6
Introduce en la calculadora esta secuencia: 2 + 3 * 4 =
e) 6 · 5 – 10 + 8 : 4
f ) 19 + 10 : 2 – 8 · 3
Aunque te parezca extraño, según la máquina que utilices puedes obtener en
pantalla dos soluciones diferentes, 20 o 14.
g) 15 : 3 + 4 · 2 + 3 · 4
h) 4 · 7 – 4 · 2 – 3 · 5
4. Observa el ejemplo y calcula.
• 4 · (7 – 5) – 3 = 4 · 2 – 3 = 8 – 3 = 5
{∫‘¢} → La calculadora hace primero el producto. Es decir, respeta la prioridad
a) 2 · (7 – 3) – 5
b) 3 · (10 – 7) + 4
c) 4 + (7 – 5) · 3
d) 18 – 4 · (5 – 2)
2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14
e) 8 – (9 + 6) : 3
f ) 22 : (7 + 4) + 3
g) 5 · 2 + 4 · (7 – 5)
h) 18 : 2 – 2 · (8 – 6)
Como ves, no todas las calculadoras tienen la misma lógica interna. Averigua de
cuál de los dos tipos es la tuya y tenlo en cuenta cuando la utilices.
⎯→ 9
d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6
(2 + 3) · 4
d) 28 – 4 · 5 + 3
de las operaciones.
⎯→ 2
c) 21 : (3 + 4) + 6
b) 6 – 2 · 3
b) 3 · 5 – 12 + 3 · 6
(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20
⎯→ 14
b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5
a) 2 + 3 · 4
c) 6 · 3 – 4 – 7
{∫“≠} → La calculadora hace las operaciones en el orden en que van entrando.
a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7)
f ) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) ⎯→ 11
2. Resuelve mentalmente y compara los resultados.
a) 4 · 6 + 3 · 6 – 25
Aprende a usar la calculadora
Escribe una expresión que resuelva cada enunciado y calcula la solución.
a) Una furgoneta transporta 8 cajas de plátanos, 20 de
naranjas y 6 de manzanas. Las cajas de plátanos pesan 15 kilos, y las de naranjas y manzanas, 8 kilos.
¿Cuántos kilos de fruta transporta la furgoneta?
b) Un supermercado hace un pedido de 20 packs de
leche entera, 15 de leche desnatada y 10 de semidesnatada. Cada pack contiene seis cajas de litro.
¿Cuántas cajas van en el pedido?
c) En una cafetería hay 15 mesas, 55 sillas y 12 taburetes. ¿Cuántas patas hay en total?
(nota: las mesas y las sillas son de 4 patas, y los
taburetes, de 3).
d) Un granjero envasa 1 500 huevos en cajas de 10
unidades, otros tantos en cajas de 6 unidades, y
una partida de 300 huevos de producción ecológica, también en cajas de 6 unidades. ¿Cuántas cajas
ha llenado?
18
Sugerencias
• El lenguaje matemático, como cualquier otro lenguaje, requiere un
aprendizaje secuenciado y exige tiempo. La interpretación y la producción de expresiones aritméticas con operaciones combinadas y paréntesis no resulta obvia para los estudiantes. Por el contrario, la experiencia
nos demuestra que se le ha de dedicar una atención especial para no
incurrir en errores de aprendizaje que perturbarán avances posteriores.
• Para analizar las distintas expresiones y contrastar sus diferencias, se recomienda utilizar esquemas que saquen a la luz la estructura de las mismas, como muestran los ejemplos. Es importante que los estudiantes,
tras calcular el valor de una expresión a través del desarrollo de su estructura, se acostumbren a expresar todos los pasos mediante sucesivas
igualdades presentadas en horizontal.
• También resulta interesante el análisis del comportamiento de distintas
calculadoras al realizar operaciones combinadas. Presentando dos máquinas, una que respete la prioridad de las operaciones y otra, más simple, que opere en el orden de entrada, les sorprenderá observar que la
misma secuencia de teclas arroja en cada una resultados diferentes:
19
Refuerzo: Ejercicio 10.
Ampliación: Ejercicios 20 y 21.
1 a) 18
b) 1
c) 7
d) 13
e) 15
f ) 11
g) 15
h) 12
2 a) 14 y 20
b) 0 y 12
d) 14 y 30
c) 3 y 33
e) 20 y 10
3 a) 17
b) 21
c) 7
d) 11
– Máquina que respeta la prioridad: 4 + 6 × 3 → 22
e) 2
f)0
– Máquina que opera en el orden de entrada: 4 + 6 × 3 → 30
g) 25
h) 5
La conclusión es que para utilizar con garantía una calculadora, hemos
de conocerla a fondo y tener en cuenta su modo de funcionamiento.
Se recomiendan:
Refuerzo: Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 10. Ejercicios 4, 5, 6 y 7 de la pág.
11.
Ampliación: Ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 de la pág.12. Ejercicios 6, 7, 8, 9 y 10
de la pág. 13.
32
1
Ejercicio resuelto
4 a) 3
b) 13
c) 10
d) 6
e) 3
f)5
g) 18
h) 5
5 a) 14
e) 1
6 a) 328 kilos
c) 316 patas
b) 2
c) 9
d) 7
f ) 11
g) 0
h) 12
b) 270 cajas
d) 450 cajas
7
aproximaciones
Ejercicios y problemas
número
Sistemas de numeración
1.
Utilidades de los números
Traduce al sistema decimal estos números del antiguo Egipto:
A
9.
B
D
C
10.
Operaciones
Según publicó un periódico cairota, la población
de la capital de Egipto, en junio del año 2013, era de
16 794 464 habitantes. Si te preguntaran por esa cifra
y no te acordaras de la cantidad exacta, ¿qué responderías?
Sumas y restas
La tabla contiene algunos datos sobre el consumo
de pescado en España durante el año 2008:
15.
PESO
2.
Escribe en el sistema aditivo egipcio cada uno de
estos números:
a) 48
3.
b) 235
4.
c) 2 130
b) 425
c) 2 600
d) 54 528
11.
Escribe el número “cincuenta y siete” en, al menos, tres sistemas de numeración.
5.
1 087 368
445 115
781 169
total
886 811
1 868 537
Esta es la matrícula de cierto coche:
b) ¿Cuántos coches se matricularon aún con las mismas letras?
b) … un trillón?
Copia en tu cuaderno y completa la tabla.
¿Cuántos coches se matricularon entre ambos?
12.
A LAS CENTENAS
DE MILLAR
a) 48 + … = 163
16.
A LOS MILLONES
235
724
10e) 12 + 13 + 8 – 23
b) Otra está en la última planta. ¿Qué número tiene?
6
400 000 000
Copia en tu cuaderno, calcula y completa.
Calcula mentalmente.
b) (4 · 6) : 8
d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5
c) 20 : (2 · 5)
d) (30 : 5) · 3
e) 10 : (40 : 8)
) (40 : 8) : 5
f ) 40peso
– 18 – 12aproximado
–6
euros faproximados
Calcula (cientos
mentalmente, teniendo
cuenta que di(millones de24.kg)
deenmillones)
vidir entre 5 es igual que dividir entre 10 y, después,
Calcula.
b) 52 – (36 – 27)
e) 348 – (148 – 86 + 29)
f ) 235 – (340 – 152 – 84)
congelado
442
d) 237 – (152
+ 48 000
– 14) 000
445 000 000
Calcula.
a) 5 – [7 – (2 + 3)]
887 000 000
total
multiplicar por 2.
: 10
a) 60 : 5
800 000 000
000
000
e) 1701: 900
5
f ) 200
:5
c) 120 : 5
g) 210 : 5
h) 340 : 5
i) 420 : 5
– [12
– (2 + 5)]
11d) 7a)
Después,
9901-JMA. Anterior, 9899-JMA.
25.
Copia en tu cuaderno, completa y calcula.
6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = 60
e) 20 – [15 – (11 – 9)]
f ) 15
(8 + 4)]
b)– [17
99– coches.
................. = 5 · 9 – 5 · 6 = ....
Comprueba tus resultados:
a) 3;c)b) 9900-JMA
4; c) 14; d) 2; e) es
7; f )más
10
(10 – 8) · 4 = ...................... = ....
antiguo. 99 coches.
................. = 7 · 12 – 2 · 12 = ....
¿Qué propiedad has usado?
Multiplicación y división
12 a) 235
b) 724 26.
Resuelve mentalmente. c)
c) Mil veces un millón hacen un giga.
— Cuesta casi trescientos mil euros.
d) Cien gigas hacen un billón.
— Cuesta doscientos y pico mil.
e) Un billón tiene un millón de millones.
— Cuesta doscientos noventa mil.
20
9
b) 80 : 5
b) Cien millones son mil centenas de millar.
a) Un millón equivale a mil centenas.
18
·2
d) 140 : 5
13d) 17La· 100que más
se aproxima
es la tercera.
e) 85 · 100
f ) 120 · 100
13.
¿Verdadero o falso?
1 100 000 000
:5
• 90
Lees, en un anuncio, que una vivienda se vende
por 293 528 €. Unos días después lo comentas con
un amigo, pero no te acuerdas exactamente del precio. ¿Cuál de las siguientes expresiones elegirías para
transmitir la información? Explica por qué.
399 675 000
b) … · 86 = 1 548
d) Falso
Verdadero
d) 1 862 : …e)
= 133
a) 3 · (10 : 5)
19.
8.
5
7
c) ¿Cuáles de ellas están a la misma altura?
19 270 000
19 000 000
b) 18 – 4 – 5 – 6
a) 47 – (35 – 28)
c) 128fresco
– (86 – 45 – 12)
18.
23.
14
9
6
c) Verdadero
c) … : 57 = 26
c) 10 – 6 + 3 – 7
231
a) Una de ellas está al final del pasillo. ¿Cuál es?
2 830 554
3
a) 123 · … = 5 904
b) Verdadero
d) … – 284 = 196
9a) 517
millones
+7–3–4
17.
22.
b) … + 256 = 359
8c) 628
a) –Falso
… = 199
3 000
8 2 000
5
6
c) 831 – 392
– 76
263 700 000
399
675 000d) 1 648 – 725 –399
Estos son los números de varias habitaciones en
un hotel de playa:
401
8
19 300 000
1
a los millones
b) 651 + 283 – 459
c) 2 + [6 + (13 – 7)]
¿Cuál de los dos es más antiguo?
APROXIMACIONES
Calcula.19 270 000
UNIDAD
Copia y completa en tu cuaderno.
2 800 000
b) 3 + [8 – (4 + 3)]
0273-JMC
Una estrella, A, está a una distancia de cinco años
luz, y otra, B, a cinco billones de kilómetros. ¿Cuál
de las dos está más lejos?
21.
2 830 554
a) 6 070 + 893 + 527
c) Otro coche tiene esta matrícula:
¿Cuántos ceros son en cada caso?
NÚMERO
(miles de €)
441 696
congelado
14.
9900-JMA
¿Cuántas cifras necesitas para escribir…
7.
(toneladas)
fresco
a) ¿Cuál es la matrícula del coche que se matriculó
inmediatamente después? ¿Y la del anterior?
a) … un billón?
6.
VALOR
Repite la tabla, aproximando los datos a los millones
de kilos y a los cientos de millones de euros.
Expresa en números romanos.
a) 87
a las centenas
de millar
20.
Multiplica.
235 y 231
a) 16 · 10
b) 128 · 10
c) 60 · 10
a) En un bidón de agua caben 5 litros. ¿Cuántos bidones se llenan con 100 litros?
g) 22 · 1 000
h) 134 · 1 000
i) 140 · 1 000
b) Un kilo de almendras cuesta 12 €. ¿Cuánto cuesta
una bolsa de 5 kilos?
Calcula el cociente y el resto en cada caso:
a) 2 647 : 8
b) 1 345 : 29
ANOTACIONES
c) 9 045 : 45
d) 7 482 : 174
e) 7 971 : 2 657
f ) 27 178 : 254
c) Una caja de refrescos contiene 24 botellas. ¿Cuántas botellas hay en 10 cajas?
d) Cambiar las cuatro cubiertas de las ruedas de un
coche ha salido por 360 euros. ¿Cuánto ha costado
cada cubierta?
21
Pensamiento crítico
Describe una situación, un hecho o un objeto que sería imposible sin la
ayuda de los números y explica qué ocurriría sin su existencia.
Interdisciplinariedad
Infórmate y responde: ¿qué es un código alfanumérico?
Escribe tres ejemplos de código alfanumérico explicando su estructura y
su utilidad.
Soluciones de “Ejercicios y problemas”
1 a) 57
b) 234
c) 2 540
2 a)
d) 3 430 000
b)
3 a) 87 = LXXXVII
c) 2 600 = MMDC
c)
b) 425 = CDXXV
d) 54 528 = LIV
4 Decimal: 57; Romano: LVII; Egipcio:
5 a) 13 cifras, 12 ceros
b) 19 cifras, 18 ceros
6 La estrella A está más lejos que la B.
33
1
UNIDAD
21.
Operaciones
8
Sumas y restas
n
e
a
-
14.
o
a) 6 070 + 893 + 527
b) 651 + 283 – 459
c) 831 – 392 – 76
d) 1 648 – 725 – 263
22.
d) … – 284 = 196
c) … : 57 = 26
23.
d) 1 862 : … = 133
b) (4 · 6) : 8
c) 10 – 6 + 3 – 7
d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5
c) 20 : (2 · 5)
d) (30 : 5) · 3
e) 12 + 13 + 8 – 23
f ) 40 – 18 – 12 – 6
e) 10 : (40 : 8)
f ) (40 : 8) : 5
b) 52 – (36 – 27)
c) 128 – (86 – 45 – 12)
d) 237 – (152 + 48 – 14)
e) 348 – (148 – 86 + 29)
f ) 235 – (340 – 152 – 84)
18.
Calcula.
a) 5 – [7 – (2 + 3)]
b) 3 + [8 – (4 + 3)]
c) 2 + [6 + (13 – 7)]
18
·2
9
a) 60 : 5
b) 80 : 5
d) 140 : 5
e) 170 : 5
f ) 200 : 5
g) 210 : 5
h) 340 : 5
i) 420 : 5
25.
d) 7 – [12 – (2 + 5)]
:5
: 10
c) 120 : 5
Copia en tu cuaderno, completa y calcula.
e) 20 – [15 – (11 – 9)]
6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = 60
f ) 15 – [17 – (8 + 4)]
................. = 5 · 9 – 5 · 6 = ....
Comprueba tus resultados:
(10 – 8) · 4 = ...................... = ....
................. = 7 · 12 – 2 · 12 = ....
a) 3; b) 4; c) 14; d) 2; e) 7; f ) 10
¿Qué propiedad has usado?
Multiplicación y división
19.
26.
Multiplica.
a) 16 · 10
b) 128 · 10
c) 60 · 10
d) 17 · 100
e) 85 · 100
f ) 120 · 100
g) 22 · 1 000
h) 134 · 1 000
i) 140 · 1 000
20.
Calcula el cociente y el resto en cada caso:
a) 2 647 : 8
b) 1 345 : 29
c) 9 045 : 45
d) 7 482 : 174
e) 7 971 : 2 657
f ) 27 178 : 254
Resuelve mentalmente.
a) En un bidón de agua caben 5 litros. ¿Cuántos bidones se llenan con 100 litros?
b) Un kilo de almendras cuesta 12 €. ¿Cuánto cuesta
una bolsa de 5 kilos?
c) Una caja de refrescos contiene 24 botellas. ¿Cuántas botellas hay en 10 cajas?
d) Cambiar las cuatro cubiertas de las ruedas de un
coche ha salido por 360 euros. ¿Cuánto ha costado
cada cubierta?
21
14 a) 7 490
b) 475
c) 363
d) 660
15 a) 115
b) 103
c) 429
d) 480
16 a) 5
b) 3
c) 0
e) 10
f) 4
b) 43
c) 99
e) 257
f ) 131
18 a) 3
b) 4
c) 14
d) 2
e) 7
f ) 10
b) 1 280
c) 600
d) 1 700
e) 8 500
f ) 12 000
g) 22 000
h) 134 000
i) 140 000
b) c = 46; r = 11
c) c = 201; r = 0
e) c = 3; r = 0
f ) c = 107; r = 0
d) 1
17 a) 40
d) 51
19 a) 160
20 a) c = 330; r = 7
d) c = 43; r = 0
21
8 1 6
2 5
8 2 9 5 6
1 4
0 6 6
3 2
1 2 9
5 9 2 5
1 6
0 3 5
0 7 6
0 6
22 a) 48
23 a) 6
d) 18
34
b) 18
c) 1 482
d) 14
b) 3
c) 2
e) 2
f) 1
f ) 40
g) 42
h) 68
i) 84
25 5 · (9 – 6) = 5 · 9 – 5 · 6 = 15
ANOTACIONES
Calcula mentalmente, teniendo en cuenta que dividir entre 5 es igual que dividir entre 10 y, después,
multiplicar por 2.
• 90
e) 34
26 a) 20 bidones
a) 3 · (10 : 5)
24.
d) 28
Se ha usado la propiedad distributiva.
b) 18 – 4 – 5 – 6
a) 47 – (35 – 28)
e
n
a
b) … · 86 = 1 548
a) 5 + 7 – 3 – 4
Calcula.
c) 24
(7 – 2) · 12 = 7 · 12 – 2 · 12 = 60
b) … + 256 = 359
b) 16
(10 – 8) · 4 = 10 · 4 – 8 · 4 = 8
6
c) 628 – … = 199
17.
n
5
7
a) 48 + … = 163
ó
9
a) 123 · … = 5 904
16.
14
8 2
3
6
s
5
6
Calcula.
15.
-
Copia y completa en tu cuaderno.
24 a) 12
b) 60 euros
c) 240 botellas
d) 90 euros
UNIDAD
27.
32.
¿Verdadero o falso?
a) 30 – 4 · (5 + 2)
b) Tres veces quince es lo mismo que quince veces
tres.
c) 5 · (11 – 3) + 7
D: 3 puntos por cada problema.
e) La propiedad conmutativa se cumple solo para los
números pares.
h) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3)
Investiga: Si en una división multiplicas
el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía. Pero ¿qué le ocurre al resto?
a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f ) 14; g) 9; h) 11
b) 2 · 4 + 6
c) 8 : (7 – 5)
d) 5 · 7 – 5
e) (5 + 6) · 4
f) 5 + 6 : 3
g) (19 – 7) : 2
h) 18 – 7 · 2
30.
Comprueba tus soluciones:
Interpreta, describe, exprésate
b) 8 : 4 + 7 – 3
c) 15 – 2 · 3 – 5
d) 10 – 12 : 6 – 4
e) 22 – 6 · 3 + 5
f ) 8 + 10 : 5 – 10
g) 36 – 8 · 4 – 1
h) 11 – 2 – 9 : 3
i) 4 · 7 – 13 – 2 · 6
j) 15 : 3 + 7 + 4 : 2
k) 5 · 4 + 12 – 6 · 4
l) 12 : 4 – 1 – 6 : 3
II. La clase de música tiene 50 alumnos matriculados, pero hoy han faltado 4 y otros 16 han ido a
un concierto.
III. Ernesto compró una camiseta de 16 € y una gorra de 4 €, y pagó con un billete de 50 €.
IV. En el hotel han pernoctado 50 clientes. Hoy entran 16 nuevos y salen 4.
34.
m) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5
n) 9 : 3 + 8 : 4 – 7 : 7
ñ) 8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8
o) 18 : 2 – 12 : 3 – 6 : 2
b) 50 – 16 + 4
c) 50 – (16 + 4)
d) 50 – (16 – 4)
e) 50 + (16 – 4)
f ) 50 + 16 – 4
¿Con cuál o cuáles de las expresiones de abajo se
calcula el decimoquinto término de esta serie?:
- 5 - 9 - 13 - 17 - 21 - …
1 + 15 · 4
35.
B
a) 50 – 16 – 4
1
Escribe, en cada caso, una expresión cuyo resultado sea el peso de la balanza:
A
Asocia cada enunciado con dos de las expresiones
de abajo:
I. En el autobús urbano iban 50 personas. En la
primera parada bajan 16 y suben 4.
Calcula.
a) 8 + 7 – 3 · 4
A
B
luisa
5
4
marcos
3
4
4
5
2
2
9
g) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2)
Opera.
a) 2 · (4 + 6)
1 + 14 · 4
Lee el enunciado del problema y observa su resolución. Después, explica el significado de cada operación y lo que se obtiene en cada resultado parcial.
En una granja hay caballos, vacas y gallinas. En total
hemos contado 714 patas, 168 cuernos y 137 picos.
¿Cuántos caballos hay en la granja?
La tabla lleva la cuenta de la tarea entregada:
f ) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7)
29.
31.
C: 3 puntos por los ejercicios teóricos.
e) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4)
33.
37.
B: 2 puntos por los de operaciones.
d) 3 · (2 + 5) – 13
d) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar
primero por cinco y después por dos.
Operaciones combinadas
En clase de matemáticas se acumulan puntos por
el trabajo realizado.
A: 1 punto por cada ejercicio de operaciones simples.
b) 5 + 3 · (8 – 6)
c) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar
dos veces por cinco.
28.
36.
Calcula.
a) Al multiplicar un número por tres obtenemos el
mismo resultado que si le sumamos su doble.
15 · 4 – 3
16 · 4 – 3
¿Cuál o cuáles de las expresiones aritméticas llevan a la solución de este problema?:
En el supermercado se han vendido esta mañana 24 kilos de manzanas a 2 €/kg, 12 melones a 4 euros la pieza, y 13 piñas a 2 euros cada una. ¿Cuánto se ha ingresado en caja por la venta de esas frutas?
a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2
b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2
c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4
d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)
adela
C
D
6
Escribe una expresión, combinando operaciones y
datos, para calcular los puntos que lleva acumulados
cada uno de esos tres alumnos.
Resolución
1.º 168 : 2 = 84
2.º 84 · 4 = 336
3.º 137 · 2 = 274
4.º 336 + 274 = 610
5.º 714 – 610 = 104
6.º 104 : 4 = 26
Aprende a resolver problemas
Un mayorista en alimentación compra 150 sacos de patatas de 30 kg por 2 000 €.
Después, al seleccionar la mercancía desecha 300 kg y envasa el resto en bolsas de
5 kg, que vende a 4 € la bolsa. ¿Qué ganancia obtiene?
Comprueba que has entendido el enunciado.
¿Qué compra? ¿Cuánto pesa cada saco? ¿Cuánto le cuesta la compra? ¿Qué hace después?
¿Qué vende y a qué precio? ¿Qué preguntan?
Piensa el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?
¿Te vendría bien saber cuántos
kilos envasa?
— Sí. Calcularé los kilos que compra y les quitaré los que desecha:
Compra: 150 sacos × 30 kilos = 4 500 kilos
Embolsa: 4 500 – 300 = 4 200 kg
¿Podría ahora calcular las bolsas
que llena?
— Es fácil, dividiendo los kilos entre lo que va en una bolsa:
Llena: 4 200 : 5 = 840 bolsas
Y sabiendo las bolsas que llena,
¿puedes calcular el dinero que
ingresa?
— Claro, 840 bolsas, a 4 euros la bolsa, son:
Ingresa: 840 · 4 = 3 360 €
Por último…
— ¡Ya termino yo! La ganancia es:
Ingresos – Gastos: 3 360 – 2 000 = 1 360 €
Solución: El mayorista obtuvo una ganancia de 1 360 euros.
22
23
37 1.º El número de vacas es igual a la mitad del número de cuernos:
27 a) Verdadero
1
b) Verdadero
c) Falso
d) Verdadero
e) Falso
28 El resto queda multiplicado por el mismo número.
29 a) 20
Vacas → 168 : 2 = 84
2.º Patas de vaca → 84 · 4 = 336
3.º El número de patas de gallina es el doble que el de picos:
b) 14
c) 4
d) 30
f) 7
g) 6
h) 4
4.º Patas de vaca + patas de gallina → 336 + 274 = 610
30 a) 3
b) 6
c) 4
d) 4
e) 9
f) 0
g) 3
h) 6
5.º El número de patas de caballo es igual al total de patas menos las
de vaca y de gallina:
i) 3
j) 14
k) 8
l) 0
m) 12
n) 4
ñ) 0
o) 2
e) 44
Patas de gallina → 137 · 2 = 274
Patas de caballo → 714 – 610 = 104
6.º El número de caballos se obtiene dividiendo el dato anterior entre
4:
31 a) 9 + (3 – 1) = 11
Caballos → 104 : 4 = 26
b) 9 – (3 + 1) = 5
32 a) 2
b) 11
c) 47
d) 8
e) 9
f ) 14
g) 9
h) 11
33 I → b) y d)
II → a) y c)
Aprende a resolver problemas
En este apartado, mediante el seguimiento de un ejemplo, se pretende
ofrecer a los estudiantes modelos, estrategias y pautas para resolver problemas:
– Detenerse en la comprensión del enunciado.
III → a) y c)
Aclarar lo que se sabe y lo que se desea averiguar.
IV → e) y f)
No empezar hasta haber interiorizado el enunciado.
34 1 + 14 · 4 y 15 · 4 – 3
35 b) y c)
36 Luisa → 5 · 1 + 4 · 2 + 6 · 3
– Reflexionar sobre el proceso.
Decidir qué datos y qué pasos intermedios son necesarios para llegar a
la solución.
Marcos → 3 · 1 + 4 · 2 + (4 + 5) · 3
– Describir el proceso. Explicar el significado de cada operación y del dato que se obtiene con ella.
Adela → 2 · 2 + (2 + 9) · 3
– Presentar la solución.
35
Resuelve problemas
38.
39.
40.
41.
Un camión de reparto transporta 15 cajas de refrescos de naranja y 12 cajas de limón. ¿Cuántas botellas lleva en total si cada caja contiene 24 unidades?
En la familia Smith, el padre, Jonathan, cobra
1 940 dólares al mes. Si gana 720 dólares más que
Jon, el hijo mayor, 880 más que Cathy, la hija que sigue, más joven, y 280 menos que Catherine, su mujer, ¿cuáles son los ingresos mensuales de la familia?
Un autobús con 54 turistas a bordo sufre una
avería camino del aeropuerto. Como no hay tiempo,
pues el avión no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de cuatro plazas.
¿Cuántos taxis necesitan?
En un campo rectangular de 150 m × 300 m se
van a plantar chopos, dispuestos en filas y columnas
paralelas a las vallas, de forma que cada línea esté a
5 metros de las contiguas o, en su caso, de los bordes.
¿Cuántos chopos albergará el campo?
42.
Un pueblo tiene dos mil habitantes, pero se espera que en los próximos diez años aumente su población en un 50 %. ¿Qué población se espera para
dentro de diez años?
43.
Una fábrica de coches ha producido 15 660 unidades entre enero, febrero y marzo. ¿Cuántos coches
saca, por término medio, cada día?
44.
Un barco pesquero ha conseguido 9 100 € por
la captura de 1 300 kg de merluza. ¿Cuánto obtendrá
otro barco que entra en puerto con 1 750 kg de merluza de la misma calidad?
45.
El sector hotelero de una localidad turística ha
contratado este mes a 12 845 personas. Tres de cada
cinco son mujeres. ¿Cuántas mujeres han entrado a
trabajar en el sector?
46.
47.
48.
49.
En una población de 8 400 habitantes, cuatro de
cada cinco están en edad laboral; y de ellos, trabajan
cinco de cada siete. ¿Cuántos habitantes trabajan?
55.
1.ª
Una sociedad financiera con el capital fraccionado en 25 000 acciones reparte unos beneficios de
375 000 euros. ¿Qué dividendos corresponden a un
inversor que posee 1 530 acciones?
Un senderista camina a un ritmo de 75 pasos por
minuto y avanza 84 cm en cada paso. Su punto de
llegada está a 4 km de la salida y pretende llegar antes
de una hora. ¿Lo conseguirá? ¿Por qué?
1
51.
52.
53.
54.
Entre las 8 300 sociedades inscritas en el registro
de cierta comunidad autónoma, tres de cada cien son
organizaciones sin ánimo de lucro (ONGs). ¿Cuántas ONGs hay registradas en la comunidad?
Una fábrica de electrodomésticos produce 250
lavadoras cada día, con un coste medio de 208 € por
unidad. ¿Qué ganancia obtiene, si vende la producción de un mes a un mayorista, por un importe global de dos millones de euros?
56.
58.
Cándido tiene una granja de patos y gansos. Hoy
ha vendido 21 de sus animales por 350 euros.
Entre los animales había el doble de patos que de
gansos, y un ganso vale el triple que un pato.
¿Qué precio tiene un pato? ¿Y un ganso?
Un coche que avanza por una autovía tarda 78
segundos en atravesar un tramo de 2 km con la velocidad limitada a 90 km/h. ¿Crees que ha superado el
límite permitido? ¿Por qué?
Haz, primero, un problema más fácil: ¿De cuántas formas se podrían sentar, si Antonio ha ocupado ya la butaca
n.º 1?
1
0
3.ª
0
1
0
1
Problemas “+”
61.
110
101
100
111
83 kg - 87 kg - 91 kg - 80 kg - 84 kg - 88 kg
El más grande pesa 46 kg. ¿Cuánto pesa cada uno por
separado?
62.
La carta de un restaurante ofrece cinco variedades
de primer plato, tres de segundo y dos de postre. ¿De
cuántas formas puede elegir su menú un cliente que
toma un plato de cada grupo?
Un apicultor tiene 187 colmenas con una producción de dos cosechas al año, a razón de 9 kilos de
miel por colmena en cada cosecha. La miel se envasa
en tarros de medio kilo y se comercializa en cajas de
seis tarros que se venden a 18 euros la caja. ¿Qué beneficio anual produce el colmenar?
Cuatro amigos se pesan, por parejas, de todas las
formas posibles y anotan desordenadamente los resultados obtenidos:
Se está celebrando el gran premio de motociclismo en el circuito de Laguna Sosa.
La moto verde salió mal y está invirtiendo 1 minuto y
46 segundos en cada vuelta. La moto roja salió bien,
pero cada vuelta la da en 1 minuto y 48 segundos.
En este momento cruza la línea de control la moto
roja, y 3 segundos después, la verde. Todavía queda
mucha carrera por delante.
¿Cuánto tardará la moto verde en doblar a la roja?
63.
La gráfica informa de la distribución, por colores,
de los 30 690 coches fabricados en un trimestre.
De los alumnos y alumnas matriculados en primero de ESO, sabemos que:
— 44 se quedan al comedor, 58 usan el transporte
escolar y 47 están apuntados a actividades extraescolares.
— 24 se quedan al comedor y a extraescolares.
GRIS
BLANCO VERDE
AZUL
ROJO
— 23 se quedan al comedor y usan el transporte escolar; 25 usan el transporte y se quedan a extraescolares.
OTROS
— 11 usan los tres servicios, y 17, ninguno de los tres.
¿Cuántos coches rojos se han fabricado en ese periodo?
59.
Una compañía de telefonía móvil en expansión
ha gestionado durante el trimestre que finaliza ochocientas cincuenta mil llamadas al día. En el próximo
trimestre espera llegar al millón e ir aumentando
trimestralmente en la misma cantidad durante los
próximos dos años. ¿Cuántas llamadas diarias espera
gestionar dentro de dos años?
Antonio, Beatriz, Cora y David acaban de entrar
al cine. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar
en las cuatro butacas que les corresponden?
2.ª
¿Cuántos números de cuatro cifras tienen solo ceros y
unos? ¿Y de cinco cifras?
57.
50.
Utilizando solamente ceros y unos, se pueden
construir cuatro números diferentes de tres cifras:
60.
Para la elaboración de una estadística sobre las
vacaciones en una población de interior, se ha hecho
una encuesta que arroja los siguientes datos:
— El 56 % ha estado en la playa.
— El 47 % ha pasado unos días en el pueblo.
— El 23 % ha disfrutado de ambos destinos.
¿Qué tanto por ciento no ha estado ni en la playa ni
en el pueblo?
¿Cuántos alumnos hay matriculados en primero de
ESO?
¿Te serviría utilizar un gráfico
como este?
1.º ESO
COMEDOR
TR. ESCOLAR
ACT. EXTR.
64.
Gorka y Fernando viven en el mismo portal y
van al mismo colegio. Gorka, cuando va solo, tarda
20 minutos en el recorrido de casa a clase. Fernando,
a su paso, tarda 30 minutos en el mismo trayecto.
Hoy, cuando sale Gorka, hace ya cinco minutos que
se fue su compañero. ¿Cuánto tardará en alcancarle?
Martina ha obtenido así la suma de los 7
primeros números naturales.
1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
8 · 7 = 56
+ 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 14
56 : 2 = 28
8+8+8+8+8+8+8
¿Sabrías calcular la suma de los números del uno al
cien?
24
25
56 Puede elegir 30 posibles menús.
38 648 botellas.
57 Produce un beneficio de 20 196 €.
39 La familia ingresa, mensualmente, 6 440 euros.
58 Se han fabricado 3 960 coches rojos.
40 Necesitan 14 taxis.
59 El 20 % de la población no ha estado ni en la playa ni en el pueblo.
41 El campo albergará 1 624 chopos.
60 Gorka tarda 10 minutos en alcanzar a Fernando.
42 Se espera una población de 3 000 habitantes.
61 Pesan 46 kg, 45 kg, 42 kg y 38 kg.
43 Cada día saca 174 coches.
62 En 55 vueltas y media la moto verde doblará a la roja.
44 Obtendrá 12 250 €.
63 En 1.º de ESO hay 105 alumnos matriculados.
45 En el sector han entrado a trabajar 7 707 mujeres.
64 La suma de los números del uno al cien es 5 050.
46 Hay 249 registradas.
47 Trabajan 4 800 habitantes.
48 Le corresponden 22 950 €.
49 En una hora recorre 3 780 m. No consigue llegar a su destino.
50 Obtiene una ganancia de 440 000 €.
51 Cada pato vale 10 €, y cada ganso, 30 €.
52 En 78 segundos recorrería 1 950 m. Sí ha superado el límite de velocidad permitido.
53 Espera gestionar 2 050 000 llamadas.
54 Se pueden sentar de 24 maneras diferentes.
55 Hay 8 números de cuatro cifras que solo contienen 0 y 1.
Hay 16 números de cinco cifras que solo contienen 0 y 1.
36
1
UNIDAD
ANOTACIONES
El número 100 sí es un número cuadrado.
Taller de matemáticas
1
UNIDAD
Entrénate resolviendo problemas
Infórmate e investiga
Reflexiona, ensaya y sé organizado
Números con geometría
• Si escribes todos los números impares entre el 100 y
• Los números 1, 3, 6 y 10 se pueden representar con una dis-
tribución de puntos en forma de triángulo, como puedes ver
a la derecha. Por eso se llaman números triangulares. ¿Cuáles
serán los tres siguientes? Dibújalos.
el 200, ¿cuántas veces habrás usado la cifra 6?
1
3
6
• ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar
utilizando solamente las cifras 1, 2, y 3?
• Coloca los números del 1 al 9, uno por casilla, de
forma que todos los tríos alineados sumen 15.
10
• También hay números cuadrados. ¿Cuáles crees que son los
cuatro primeros? ¿Será cuadrado el número 100? ¿Por qué?
• ¿Cuántos números capicúas de dos cifras hay? ¿Y de
tres cifras?
• ¿Qué número asocias a la figura de la derecha? ¿Serías capaz
• ¿Cuántas veces utilizarás la cifra 5 si escribes todos
de dibujar alguno más del mismo tipo?
los capicúas de tres cifras?
Si más arriba has visto números triangulares y números cuadrados, ¿cómo llamarías ahora a estos últimos?
100
Autoevaluación
Piensa y deduce
Los ábacos aparecen en muchas culturas a lo largo de la historia. Los
griegos, los fenicios, los romanos y los chinos los usaban.
tan.
• ¿Qué número se ha
representado en cada
uno de estos ábacos?
Di si cada uno de los sistemas es aditivo o posicional.
¿Cuál es la diferencia?
• La extensión de Brasil es de 8 514 877 km2.
• El caudal de este río es de 209 487 m3/s.
aprender
• Luisa ha recibido un premio de seiscientos ochenta
y cinco mil cuatrocientos veintisiete euros.
22
Descifra los movimientos de fichas realizados para sumar en el ábaco 326 + 15.
• La población de Australia
35 es de veintidós millones
seiscientos ochenta y siete mil cuatrocientos veintisiete habitantes.
a) Expresa con letras las cantidades que están dadas
con cifras, y viceversa.
Piensa y deduce
b) Redondea a las decenas de millar.
c) Redondea al orden de unidad que consideres más
• Dibuja, de la misma forma, los movimientos de estas operaciones:
c) 30 275 :
b)
= 35
: 27 = 98
d) 1 508 =
· 125 + 8
5. Copia en tu cuaderno y rellena los huecos.
a) 18 ·
= 180
c) 4 000 :
2. Observa estas cantidades:
emprender
= 462
a) 154 ·
mmcdxlviii
4 528
a) 341 – 15
Resoluciones de estos ejercicios.
4. Copia en tu cuaderno y calcula los términos que fal-
El más potente de todos es el ábaco chino, como el que aparece en la
ilustración de la derecha con el número 13 900. ¿Ves el número?
Investiga
En la web
1. Completa
en tu 22.
cuaderno
siguiente
tabla:
3. Calcula. Otros números pentagonales
• El
número
Esla un
número
pentagonal.
a) 1 528 + 35 + 482
b) 4 321 + 189 – 1 387
DE NUMERACIÓN
son: EGIPCIO SISTEMASROMANO
c) 324 · 28
d) 3 611 : 157
DECIMAL
= 40
b)
· 100 = 27 000
d)
: 10 = 38
6. Realiza las siguientes operaciones combinadas:
a) 12 + 3 · 5 – 2
b) 7 · 3 – 4 · 2 + 2
c) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7 d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)]
51
7. Tienes un buen montón de monedas de 50, 20 y 10
céntimos. ¿De cuántas formas diferentes puedes juntar un euro? Justifica tu respuesta.
8. Un hortelano tiene dos campos con 165 y 213 man-
zanos, respectivamente. Espera cosechar, por término
medio, 35 kg de manzanas por árbol. Al recoger la
cosecha, la empaquetará en cajas de 10 kg y la venderá a un almacén que le paga a 3 € la caja. ¿Qué
hipótesis
y comprobarlas, descubrir
cantidad espera ingresar por la venta de manzanas?
adecuado para que la información sea razonable e
Analizar,
observar relaciones, lanzar
indica a qué orden has redondeado.
leyes generales de comportamiento, son capacidades y recursos impres27
cindibles en el quehacer matemático.
b) 563 + 361
26
Estas actividades, en las que los estudiantes se enfrentan a una dificultad
adecuada a su nivel, pero sin presentación teórica, suelen ser bien aceptadas y se adaptan al trabajo en grupo y al aprendizaje entre iguales.
Infórmate e investiga
Una vez descubierto el funcionamiento del ábaco, conviene dejar constancia por escrito de las conclusiones.
Números con geometría
Las relaciones entre los números naturales y la geometría siempre han despertado la curiosidad de los matemáticos. Aprovechando este hecho, se
presentan de manera informal los números triangulares, cuadrados y pentagonales, incitando al alumnado al descubrimiento y a la generalización.
Soluciones
• Ábaco de la izquierda → 257
Ábaco de la derecha → 18 400
Soluciones
Investiga
• Los tres siguientes números triangulares son:
Para la realización de esta actividad conviene que el estudiante disponga
de un ábaco que le facilite el descubrimiento por experimentación y ensayo-error.
Se recomienda la realización individual o en pequeño grupo, sin instrucciones previas, con posterior puesta en común.
Soluciones
15
21
28
a)
3 4 1
3 3 11
3 2 6
• Los cuatro primeros números cuadrados son:
– 15
b)
– 15
3+1
9
5 6 3
5 6 4
+ 361
1
4
9
+ 360
16
6+6
9
5 12 4
6 2 4
+ 300
9 2 4
+ 300
37
1
UNIDAD
Soluciones de la autoevaluación
1 El sistema de numeración decimal es posicional. Los sistemas egipcio
y romano son aditivos.
Reflexiona, ensaya y sé organizado
• Si escribes todos los números impares entre el 100 y
el 200, ¿cuántas veces habrás usado la cifra 6?
• ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar
utilizando solamente las cifras 1, 2, y 3?
sistemas de numeración
• Coloca los números del 1 al 9, uno por casilla, de
forma que todos los tríos alineados sumen 15.
egipcio
romano
decimal
MMMXLII
3 042
MMCDXLVIII
2 448
IV DXXVIII
4 528
• ¿Cuántos números capicúas de dos cifras hay? ¿Y de
tres cifras?
• ¿Cuántas veces utilizarás la cifra 5 si escribes todos
los capicúas de tres cifras?
Autoevaluación
En la web
1. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
EGIPCIO
ROMANO
DECIMAL
Resoluciones de estos ejercicios.
3. Calcula.
a) 1 528 + 35 + 482
b) 4 321 + 189 – 1 387
c) 324 · 28
d) 3 611 : 157
4. Copia en tu cuaderno y calcula los términos que fal-
tan.
a) 154 ·
mmcdxlviii
4 528
Di si cada uno de los sistemas es aditivo o posicional.
¿Cuál es la diferencia?
• La extensión de Brasil es de 8 514 877 km2.
m3/s.
• Luisa ha recibido un premio de seiscientos ochenta
y cinco mil cuatrocientos veintisiete euros.
• La población de Australia es de veintidós millones
seiscientos ochenta y siete mil cuatrocientos veintisiete habitantes.
a) Expresa con letras las cantidades que están dadas
con cifras, y viceversa.
b) Redondea a las decenas de millar.
c) Redondea al orden de unidad que consideres más
adecuado para que la información sea razonable e
indica a qué orden has redondeado.
b)
= 35
c) 30 275 :
: 27 = 98
d) 1 508 =
· 125 + 8
5. Copia en tu cuaderno y rellena los huecos.
a) 18 ·
= 180
= 40
c) 4 000 :
2. Observa estas cantidades:
• El caudal de este río es de 209 487
= 462
b)
· 100 = 27 000
d)
: 10 = 38
ochocientos setenta y siete kilómetros cuadrados.
– El caudal de este río es de doscientos nueve mil cuatrocientos
ochenta y siete metros cúbicos por segundo.
– Luisa ha recibido un premio de 685 427 euros.
6. Realiza las siguientes operaciones combinadas:
a) 12 + 3 · 5 – 2
2 a) La extensión de Brasil es de ocho millones quinientos catorce mil
– La población de Australia es de 22 687 427 habitantes.
b) 7 · 3 – 4 · 2 + 2
c) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7 d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)]
7. Tienes un buen montón de monedas de 50, 20 y 10
céntimos. ¿De cuántas formas diferentes puedes juntar un euro? Justifica tu respuesta.
8. Un hortelano tiene dos campos con 165 y 213 man-
zanos, respectivamente. Espera cosechar, por término
medio, 35 kg de manzanas por árbol. Al recoger la
cosecha, la empaquetará en cajas de 10 kg y la venderá a un almacén que le paga a 3 € la caja. ¿Qué
cantidad espera ingresar por la venta de manzanas?
27
b) La extensión de Brasil es de 8 510 000 km2.
– El caudal de este río es de 210 000 m3/s.
– Luisa ha recibido un premio de 690 000 euros.
– La población de Australia es de 22 690 000 habitantes.
c) – La extensión de Brasil es de 8 500 000 km2 (redondeo a las centenas de millar).
– El caudal de este río es de 210 000 m3/s (redondeo a las decenas
de millar).
– Luisa ha recibido un premio de 700 000 euros (redondeo a las centenas de millar).
Se incluyen en este apartado una serie de problemas o retos, independientes de formulaciones teóricas y del programa de contenidos, cuyo objetivo es practicar estrategias de elaboración personal en la resolución de
problemas de lógica matemática. El estudiante recurrirá, por supuesto, a
sus conocimientos matemáticos, pero también a la experimentación, al
tanteo, al descubrimiento por ensayo-error, o a cualquier otro camino que
le lleve a la solución. Se pretende, además, ofrecer un espacio, fuera de
programa, en el que, mediante actividades o situaciones más distendidas,
experimentar el placer de razonar y superar retos.
– La población de Australia es de 22 700 000 habitantes (redondeo a
las centenas de millar).
3 a) 2 045
b) 3 123
c) 9 072
d) 23
4 a) 3
b) 2 646
c) 865
d) 12
5 a) 10
b) 270
c) 100
d) 380
6 a) 25
b) 15
c) 32
d) 130
7 De 10 formas diferentes:
Soluciones
• La cifra 6 se habrá usado cinco veces (161, 163, 165, 167, 169).
50 · 2, 50 + 2 · 20 + 10, 50 + 20 + 3 · 10, 50 + 5 · 10, 20 · 5,
• De dos cifras hay 9, y de tres cifras, 90.
20 + 4 + 10 · 2, 20 · 3 + 10 · 4, 20 · 2 + 10 · 6, 20 + 10 · 8, 10 · 10.
• La cifra 5 se utiliza 29 veces.
8 Espera ingresar 3 969 €.
• Hay 27 números distintos.
6
7
1
5
8
3
4
9
38
ANOTACIONES
2
ANOTACIONES
39

1 Los números naturales

Transcripción

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