Presentación de PowerPoint

Proyecto
Geometría Analítica
Tema 6
sesión 3:
Parábola e Hipérbola
Isidro Huesca Zavaleta
17/07/2015
1
Contenido
• Definición de parábola.
• Los elementos de la parábola.
• Ecuación y propiedades de la parábola.
• Construyendo una parábola.
• Ejemplos de aplicación de la parábola.
• Definición de hipérbola.
• Los elementos de la hipérbola.
• Ejemplos de aplicación de la hipérbola.
• Ejercicios a resolver.
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
• Ecuación y propiedades de la hipérbola.
Video Parábola
En la siguiente liga podrán encontrar un video en el que se traza una parábola pero
por medio del doblado de papel, con lo que se muestra en él se puede dar una
introducción al tema.
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
https://www.youtube.com/watch?v=UDgMlSlDSEw
Definición de parábola
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano , es siempre
igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.
Al punto fijo se le llama foco y a la recta directriz.
Directriz
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Foco
Los elementos de la parábola
Foco (𝑭):
𝑼
Vértice (𝑽):
Directriz (𝑫):
Eje (𝑺𝑻):
𝑷
𝑸
𝑭
𝑹
Radio vector (𝑭𝑼):
Lado recto (𝑸𝑹):
𝑶
𝑽
𝑺
Proyecto
𝑫
Galileo-Colombia 2015
Cuerda focal (𝑷𝐎):
Ecuación y propiedades de la parábola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje 𝑋, es
𝑦 2 = 4𝑝𝑥
en donde el foco es el punto (𝑝 , 0) y la ecuación de la directriz es 𝑥 = − 𝑝. Si
𝑝 > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si 𝑝 < 0, la parábola se abre hacia la
izquierda.
Ecuación y propiedades de la parábola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Si el eje de una parábola coincide con el eje 𝑌 , y el vértice está en el origen, su
ecuación es
𝑥 2 = 4𝑝𝑦
en donde el foco es el punto (0, 𝑝), y la ecuación de la directriz es 𝑦 = −𝑝. Si
𝑝 > 0, la parábola se abre hacia arriba; si 𝑝 < 0, la parábola se abre hacia abajo.
Ecuación y propiedades de la parábola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
La ecuación de una parábola con vértice (ℎ, 𝑘) y eje paralelo al eje 𝑋, es de la
forma
𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ
Siendo |𝑝| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.
Si 𝑃 > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si 𝑃 < 0, la parábola se abre hacia
la izquierda.
Ecuación y propiedades de la parábola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Si el vértice es el punto (ℎ, 𝑘) y el eje de la parábola es paralelo al eje 𝑌, su
ecuación es de la forma
𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − ℎ
Si 𝑃 > 0, la parábola se abre hacia arriba; si 𝑃 < 0, la parábola se abre hacia
abajo.
Ecuación y propiedades de la parábola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
La normal a la parábola en un punto 𝑃 𝑥1 , 𝑦1 cualquiera de la parábola forma
ángulos iguales con el radio vector 𝑃 y la recta que pasa por 𝑃 y es paralela al eje
de la parábola, es decir, todos los rayos que llegar a la parábola de forma paralela al
eje rebotan y van al foco, también los rayos que salen del foco rebotan en la
parábola y salen de forma paralela al eje.
Construyendo una parábola
De acuerdo con la definición de parábola construyamos una con foco el punto
𝐹(2, 1) y directriz la recta 𝑦 = −2
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Graficamos la recta y el punto.
Construyendo una parábola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Ahora trazamos una recta paralela a la directriz a 6 unidades de distancia, esta sería
y=4
Construyendo una parábola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Trazamos una circunferencia con centro en el punto (2, 1) y radio 𝑟 = 6 (la distancia
entre las rectas), así obtenemos dos puntos que están a la misma distancia de la
recta y el foco, estos puntos son: (−3.2, 4) y (7.2, 4)
Construyendo una parábola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Ahora trazamos una recta que este a 5 unidades de la directriz, esta puede ser
𝑦 = 3 y también una circunferencia con centro en el foco y radio 5, marcamos los
puntos de intersección, los cuales son: (−2.58, 3) y (6.58, 3)
Construyendo una parábola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Trazamos una recta que este a 4 unidades de la directriz, esta puede ser 𝑦 = 2 y
también una circunferencia con centro en el foco y radio 4, marcamos los puntos de
intersección, los cuales son: (−1.87, 2) y (5.87, 2)
Construyendo una parábola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Trazamos una recta que este a 3 unidades de la directriz, esta puede ser 𝑦 = 1 y
también una circunferencia con centro en el foco y radio 3, marcamos los puntos de
intersección, los cuales son: (−1, 1) y (5, 1)
Construyendo una parábola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Trazamos una recta que este a 2 unidades de la directriz, esta puede ser 𝑦 = 1 y
también una circunferencia con centro en el foco y radio 2, marcamos los puntos de
intersección, los cuales son: (0.27, 0) y (3.73, 0)
Construyendo una parábola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Agregamos una parábola y la ajustamos para que pase por los puntos que hemos
obtenido.
Ejemplos de aplicación de la parábola
La parábola tiene un gran variedad de aplicaciones, por ejemplo:
Diseño de espejos parabólicos.
Diseño de faros para automóvil.
La trayectoria de un proyectil.
En la arquitectura, en arcos.
Las antenas para la recepción de señales.
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Los cables de un puente colgante.
Video Hipérbola
En la siguiente liga podrán encontrar un video en el que se traza una hipérbola pero
por medio del doblado de papel, con lo que se muestra en él se puede dar una
introducción al tema.
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
https://www.youtube.com/watch?v=Ag0ZYuEaWlc
Definición de hipérbola
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos
fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una constante, positiva y menor
que la distancia entre los focos.
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
𝒅𝟏 − 𝒅𝟐 = 𝑸𝟐 − 𝑸𝟏 = 𝒌
Los elementos de la hipérbola
Focos (𝑭𝟏 , 𝑭𝟐 ): Son los puntos fijos.
Eje Focal: Recta que pasa por los dos focos.
Vértices (𝑽𝟏 , 𝑽𝟐 ): Intersección del eje
focal con las ramas de las hipérbola.
Eje transverso: Segmento del eje focal
comprendido entre los vértices.
Centro (𝑪): Puntos medio del eje
transverso.
Eje Normal: Rectas que pasa por 𝐶 y
perpendicular al eje focal.
Cuerda focal: Segmento de recta que une
Lado recto: Cuerda focal perpendicular al
eje focal.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
dos puntos cualesquiera de la hipérbola y
que pasa por alguno de los focos.
Ecuación y propiedades de la hipérbola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
La ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje focal el eje 𝑋, y focos los puntos
(𝑐, 0) y (−𝑐, 0), es
𝑥2 𝑦2
− 2=1
2
𝑎
𝑏
Si el eje focal coincide con el eje 𝑌, de manera que las coordenadas de los focos
sean (0, 𝑐) y (0, −𝑐), entonces la ecuación es
𝑦2 𝑥2
− 2=1
2
𝑎
𝑏
Ecuación y propiedades de la hipérbola
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
La ecuación de la hipérbola con centro en el punto (ℎ, 𝑘), eje focal paralelo al eje
𝑋, es de la forma
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
−
=1
𝑎2
𝑏2
Si el eje focal es paralelo al eje 𝑌, entonces la ecuación es
(𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2
−
=1
𝑎2
𝑏2
Ecuación y propiedades de la hipérbola
Las asíntotas de la hipérbola con
eje focal paralelo al eje Y, son
𝑎
𝑦 = 𝑥−ℎ +𝑘
𝑏
𝑎
𝑦 =− 𝑥−ℎ +𝑘
𝑏
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Las asíntotas de la hipérbola con
eje focal paralelo al eje 𝑋, son
𝑏
𝑦 = 𝑥−ℎ +𝑘
𝑎
𝑏
𝑦 =− 𝑥−ℎ +𝑘
𝑎
Ecuación y propiedades de la hipérbola
Para toda hipérbola, 𝑎 es la longitud del
semieje transverso, 𝑏 la del semieje
conjugado, 𝑐 la distancia del centro a cada
foco, y 𝑎, 𝑏, 𝑐 están ligados por le
expresión
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
También, para cada hipérbola, la longitud
Proyecto
y
Galileo-Colombia 2015
de cada uno de sus lados rectos es
la excentricidad 𝑒 está dada por la
relación
𝑐
𝑎2 + 𝑏 2
𝑒= =
>1
𝑎
𝑎
2𝑏2
,
𝑎
Ejemplos de aplicación de la hipérbola
También es útil en la modelación de la
trayectoria que toma un cometa al entrar
al sistema solar.
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
Uno de los usos de la hipérbola es en el sistema de
navegación LORAN, el cual consiste en emitir una
señal al mismo tiempo desde dos puntos fijos a
una nave en el mar, la diferencia de tiempo de
llegada de las dos señales a la nave determinan la
distancia a la cual se encuentra dicha nave de los
puntos donde se emite la señal. Con lo anterior se
puede determinar el punto en el cual se encuentra
la nave en una de las ramas de la hipérbola.
Ejemplos de aplicación de la hipérbola
En la guerra también es utilizada para la
localización de artillería, por medio del
sonido que estas producen al ser
disparadas, a este método se le llama
localización acústica.
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
La hipérbola al igual que la parábola tiene
una propiedad de reflexión (no la misma)
que ayuda en la creación de lentes de
telescopio.
Ejercicios a resolver
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
La Estufa Solar
Como proyecto final en la clase de geometría analítica los alumnos deben fabricar
una estufa solar, las indicaciones que tienen es que la profundidad de esta debe
ser de 80 centímetros y la circunferencia que se forma en la parte superior debe
tener un radio de 2 metros.
¿A qué distancia, en centímetros, del vértice deben poner lo que pretenden
cocinar?
Ejercicios a resolver
Uno de los cables de la estructura del puente de la bahía de Sídney tiene algunos
daños y debe ser cambiado. Si el largo del puente (la que se encuentra sobre el
agua) es de 503 metros y la altura (sobre el nivel del agua) es de 137 metros,
¿Cuántos metros mide el cable que debe ser cambiado (de color rojo)?
137 m
?
Proyecto
Galileo-Colombia 2015
503 m
Ejercicios a resolver
Calcular el radio de la circunferencia que se forma en la parte superior de la
chimenea de una planta nuclear, si el diámetro de la circunferencia de la base es
de 23.12 metros y la imagen se debe ajustar a una dimensión de 385 ×
517 𝑝𝑖𝑥𝑒𝑙𝑒𝑠 en el laboratorio de geometría analítica.
385 p
Proyecto
23.12 m
Galileo-Colombia 2015
517 p