Lugares geométricos

Lugares
geométricos
Laura
Hidalgo Solís
La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Lugares geométricos
La Hipérbola
Foco y
directriz
Laura Hidalgo Solís
Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Iztapalapa
5 de Marzo de 2012
Lugares
geométricos
La hipérbola
Laura
Hidalgo Solís
La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
La hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados
focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Si F1 y F2 son los focos, y 0 < 2a < d(F1 , F2 ) entonces
H = {U ∈ R2 ; |d(U, F1 ) − d(U, F2 )| = 2a}
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Laura
Hidalgo Solís
La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Lugares
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Laura
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a
la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el
infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son
perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y las asíntotas, en la hipérbola
destacan los siguientes elementos:
El centro O, los vértices. La distancia entre los vértices. La
distancia entre los focos. La porción del eje focal
comprendido entro los vértices se llama eje transverso.
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
El segmento que une dos puntos diferentes cualesquiera de
la hipérbola se llama cuerda; estos puntos pueden ser
ambos de la misma rama , o uno de una rama y el otro de la
otra, como el eje transverso. En particular, una cuerda que
pasa por un foco se llama cuerda focal. Una cuerda focal,
perpendicular al eje focal se llama lado recto;
evidentemente, por tener dos focos, la hipérbola tiene dos
lados rectos. Una cuerda que pasa por el centro, se llama
diámetro. Si P es un punto cualquiera de la hipérbola, los
segmentos que unen los focos con el punto P se llaman
radios vectores de P.
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geométricos
Construyendo la hipérbola
con regla y compás
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Paso 1
Con centro en el foco 1 trace una circunferencia, y elija el
foco 2 fuera de esta circunferencia.
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Paso 2
Elige un punto C sobre la circunferencia y traza la recta que
va del centro de la circunferencia al punto C.
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Paso 3
Traza la mediatriz que va del punto C al foco 2. Esta recta
intersecta en un punto P a la recta que pasa por C y el foco
1. El punto P es un punto en la hipérbola
Lugares
geométricos
Paso 4
Laura
Hidalgo Solís
Repite los pasos 2 y 3 para obtener otros puntos sobre la
hipérbola.
La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Paso 5
Si trazas la mediatriz de los focos, por simetría de los
puntos anteriores, puedes encontrar más puntos sobre la
hipérbola.
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Paso 6
Si este proceso lo realizas de manera continua, obtienes
una hipérbola. Las mediatriz del segmento que pasa por C
y el foco 2 es una tangente a la hipérbola.
Lugares
geométricos
La ecuación de la hipérbola
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Es muy fácil obtener la ecuación de la hipérbola con centro
en el origen y focos en el eje y (respectivamente x):
Supongamos que la hipérbola H tiene focos F1 (0, c) y
F2 (0, −c) y que para cada punto U(x, y ) ∈ H el valor
absoluta de la diferencia de las distancias que separan a U
de F1 y F2 es la constante 2a, donde 0 < 2a < 2c, o sea,
0 < a < c. Entonces
|d(U, F1 ) − d(U, F2 )| = 2a
de donde
q
q
2
2
x + (y + c) − x 2 + (y − c)2 = ±2a
(1)
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
p
Si ahora se suma x 2 + (y − c)2 a ambos miembros de
esta ecuación, y se eleva al cuadrado a ambos miembros
de la ecuación resultante, que es equivalente a la anterior,
tenemos:
2
2
2
x + (y + c) = 4a ± 4a
q
x 2 + (y − c)2 + x 2 + (y − c)2 .
Desarrollando binomios y simplificando tenemos:
q
±a x 2 + (y − c)2 = cy − a2 .
Si ahora elevamos al cuadrado ambos miembros de la
igualdad tenemos:
a2 (x 2 + y 2 − 2cy + c 2 ) = a4 − 2a2 cy + c 2 y 2 .
(2)
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Simplificando y factorizando obtenemos:
La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
−a2 x 2 + (c 2 − a2 )y 2 = a2 (c 2 − a2 ).
Como c > a > 0, entonces c 2 > a2 , de donde c 2 − a2 > 0.
Si b2 = c 2 − a2 , b > 0(*), y la ecuación se reduce a
−a2 x 2 + b2 y 2 = a2 b2
dividiendo por a2 b2 tenemos la ecuación
−
x2 y2
+ 2 = 1.
b2
a
(3)
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Si ahora los focos son F1 (c, 0), F2 (−c, 0) y
2c = d(F1 , F2 ) > 2a > 0, tenemos de manéra análoga la
ecuación
x2 y2
− 2 = 1.
(4)
a2
b
Las ecuaciónes 3 y 4 suelen llamarse la primera ecuación
general de la hipérbola, o forma canónica de la hipérbola.
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Reciprocamente, si U(x, y ) es un punto cualquiera cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación
x2 y2
− 2 = 1.
b2
a
Invirtiendo el orden de las operaciones efectuadas para
pasar de la ecuación 3 a la ecuación 1, y dando la debida
interpretación a los signos de los radicales, podemos
demostrar que la ecuación 1 conduce a la relación
|d(U, F1 ) − d(U, F2 )| = 2a,
que es la expresión analítica de la condición geométrica de
la definición de la hipérbola aplicada al punto U.
Por tanto, U está sobre la hipérbola cuya ecuación está
dada por la ecuación 3.
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Nota (*) 2a es la longitud del eje transverso, 2c la distancia
entre los focos, como b2 = c 2 − a2 ,
El segmento que une los puntos (b, 0) y (−b, 0) se
denomina eje conjugado, este es perpendicular al eje focal
y pasa por el centro de la hipérbola; además 2b es la
longitud del eje conjugado.
En particular, si consideramos el triángulo rectángulo con
vértices W1 , C y V1 tenemos que los catetos son a y b y la
hipotenusa es c, es decir c 2 = a2 + b2 , de donde
b 2 = c 2 − a2 .
Es inmediato de la ecuación de la hipérbola que los ejes
focal e imaginario son ejes de simetría de la hipérbola, y
que el centro también es un punto de simetría de la
hipérbola.
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
x2 y2
+ 2 = 1, despejando x 2 tenemos
b2
a
b2 (y 2 − a2 )
2
que x =
, por lo que y 2 − a2 ≥ 0, es decir
a2
y ≥ a o bien y ≤ −a. De aquí que ninguna porción del lugar
geométrico aparece en la región comprendida entre y = a y
y = −a.
x2 y2
Despejando y 2 de la ecuación − 2 + 2 = 1, tenemos
b
a
2
2
b
+
x
a2
, es decir, y ∈ R para cualquier valor de x.
b2
x2 y2
La hipérbola − 2 + 2 = 1 no es una curva cerrada,
b
a
consta de dos ramas diferentes, una de las cuales se
extiende infinitamente hacia arriba, y la otra, infinitamente
hacia abajo.
Dada la ecuación −
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Asíntotas
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
x2 y2
Si de la ecuación − 2 + 2 = 1, despejamos x obtenemos
b
a
s
q
b
b
a2
x =±
y 2 − a2 = ± y 1 − 2 .
a
a
y
2
2
Por otra parte, como a ≤ y , entonces 0 ≤ y 2 − a2 < y 2 .
Luego entonces
q
q
b
b
b
y 2 − a2 ≤
y 2 = |y |
a
a
a
Analogamente
b
−
a
q
q
b
b
2
2
y −a ≥−
y 2 = − |y |
a
a
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Notamos que, si |y | aumenta sin cota entonces:
q
b
b
|y | −
y 2 − a2
l«ım
y →∞ a
a q
b
2
2
= l«ım
|y | − y − a
y →∞ a
p
|y | + y 2 − a2
q
b
|y | − y 2 − a2 = l«ım
p
y →∞ a
|y | + y 2 − a2
y 2 − (y 2 − a2 )
p
|y | + y 2 − a2
ab
p
= l«ım
y →∞ |y | +
y 2 − a2
= 0.
= l«ım
y →∞
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Por lo tanto, a medida que |y | crece sin cota, el valor de |x|
b
para la hipérbola se acerca más y más a |y |, las ramas de
a
la hipérbola se aproximan más y más a las rectas cuyas
a
b
ecuaciones son x = ± y , o equivalentemente, y = ± x,
b
a
estas rectas reciben el nombre de asíntotas de la hipérbola.
x2 y2
Para obtener las asíntotas de la hipérbola − 2 + 2 = 1,
b
a
x2 y2
consideremos la ecuación asociada − 2 + 2 = 0, si se
b
a
2
b
2
despeja y 2 en función de x se obtine y = 2 x, de donde
a
b
b
y = x o bien y = − x
a
a
b
Análogamente, las rectas y = ± x son asíntotas de la
a
x2 y2
hipérbola 2 − 2 = 1.
a
b
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geométricos
Lado recto
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
x2 y2
+ 2 = 1, si sustituimos el valor
b2
a
y = c, y usamos que c 2 = a2 + b2 , tenemos que
2
2
2
b4
c2
2 a −a −b
2
2
=
x = −b 1 − 2 = −b
a
a2
a2
2
b
Por lo que, los extremos del lado recto son A
, −c ,
a
2 2
2 b
A0 − ba , −c , B ba , c y B 0 − , c , de donde, el ancho
a
b2
focal es d(A, A0 ) = d(B, B 0 ) = 2 .
a
Dada la ecuación −
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Excentricidad
La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Un elemento importante de una hipérbola es su
excentricidad que se define como la razón
c
d(C, F )
=
d(C, V )
a
y se representa usualmente por la letra ε .
Como c > a > 0, la excentricidad de una hipérbola siempre
es mayor que la unidad
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Hipérbolas conjugadas
Si dos hipérbolas son tales que el eje transverso de cada
una es idéntico al eje conjugado de la otra, se llaman
hipérbolas conjugadas. Cada hipérbola es entonces la
hipérbola conjugada de la otra , y también se dice que cada
hipérbola es conjugada con respecto a la otra.
Si la ecuación de una hipérbola es
x2 y2
− 2 =1
a2
b
entonces, de acuerdo con la definición, su hipérbola
conjugada es
y2 x2
− 2 =1
b2
a
Es fácil ver que un par de hipérbolas conjugadas tienen un
centro común, un par común de asíntotas, y todos sus
focos equidistan del centro.
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Ejemplo de hipérbolas
conjugadas
En la siguiente figura mostramos dos hipérbolas
conjugadas, junto con sus asíntotas. Nótese que los focos
equidistan del centro.
Lugares
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Ejemplo1
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Obtenga la ecuación canónica de la hipérbola cuyos focos
son F1 (0, 5) y F2 (0, −5) y cuyos vértices son V1 (0, 4) y
V2 (0, −4).
Notamos primeramente que esta es una hipérbola cuyo eje
principal es el eje y , por lo que su ecuación es de la forma
x2 y2
− 2 + 2 = 1, donde c 2 = a2 + b2 , donde c = kF1 k = 5,
b
a
a = kV1 k = 4, y b2 = c 2 − a2 = 25 − 16 = 9. Así, la
ecuación de la hipérbola es:
x2
y2
+
=1
9
16
Los extremos del eje conjugado son W1 (3, 0) y W2 (−3, 0),
c
5
su excentricidad es ε = = , y el ancho focal es
a
4
2b2 /a = 18/4 = 9/2.
−
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Para obtener los extremos del lado recto, sustituimos y = 5
x2
y2
x 2 25
en la ecuación − +
= 1, de donde − +
= 1, es
9
16
9
16
x2
25
9
81
decir,
=
−1=
. Luego entonces x 2 =
, así
9
16
16
16
x = ± 49 , por lo que, los extremos de los lados rectos de la
hipérbola son A(9/4, 5), A0 (−9/4, 5), B(9/4, −5) y
B 0 (−9/4, −5)
x2
y2
La hipérbola − +
= 1 tiene dos asíntotas, a saber
9
16
y = ± 34 x
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
y2
x2
+
= 1, tiene focos
9
16
F10 (5, 0) y F20 (−5, 0), a0 = 3 y b0 = 4, por lo que su ecuación
y2
x2
−
= 1, por lo que c 0 = 5, a0 = 3 y b0 = 4.
es
9
16
Luego entonces la excentricidad es 5/3.
El ancho focal es 2b2 /a = 2(16)/3 = 32/3, y los extremos
del lado recto son los puntos (±5, ±16/3).
La hipérbola conjugada a −
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Las hipérbolas conjugadas
x2 y2
x2 y2
− +
=1y
−
=1
9
16
9
16
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geométricos
Ejemplo 2
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Deseamos encontrar la hipérbola que tiene centro en el
origen, 2a = 14, 2b = 6; y su eje focal es el eje x.
Como x es el eje focal, su ecuación es de la forma
x2 y2
− 2 = 1 y por hipótesis a = 7, b = 3, así la ecuación es
a2
b
x2
y2
−
= 1,
49
9
2
2
2
como
los focos estan en
√ c = a + b = 49 + 9 = 58, √
(± 58, 0), la excentricidad es ε = 58/7, el ancho focal es
2b2√/a = 18/7, y los extremos del lado recto son
(± 58, 9/7).
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Lugares
geométricos
Traslación de ejes
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Como hemos visto anteriormente, las coordenadas x y y
están relacionadas con las coordenadas x 0 y y 0 a través de
las ecuaciones
Foco y
directriz
= x0 + h
= y0 + k
(5)
x0 = x − h
y0 = y − k
(6)
x
y
o equivalentemente
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
Cualquier ecuación de la forma
La
característica
Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, no siendo A y C ambos cero,
(7)
completando un cuadrado y combinando los términos
lineales y constantes restantes y empleando las ecuaciones
6 resulta sencillo identificar la gráfica de la curva que esté
representada por una ecuación de la forma 7.
Foco y
directriz
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Ejemplo 3
Deseamos obtener la ecuación de la hipérbola con focos
F1 (3, 2) y F2 (3, −6) cuyo eje transversal tiene longitud 4.
Notamos que los focos se encuentran sobre la recta x = 3,
por lo que esta recta será el eje focal de la hipérbola.
De lo anterior deducimos que la ecuación de la hipérbola es
02
02
de la forma − xb2 + ya2 = 1
El punto medio de F1 y F2 es el centro de la hipérbola, a
saber, C(3, −2), por lo que c = d(C, F1 ) = 4. Como el eje
transversal tiene longitud 4, tenemos a = 2.
Como a = 2, los vértices, en el sistema x 0 y 0 están en (0, 2)
y (0, −2). Como b2 = c 2 − a2 = 16 − 4 = 12.
De lo anterior deducimos que la ecuación de la hipérbola es
x 02 y 02
de la forma −
+
= 1, y sus asíntotas son las rectas
12
4
y 0 = ± √13 x 0 .
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Laura
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
La excentricidad de la hipérbola dada es
ε = c/a = 4/2 = 2, y su ancho focal es
2b2 /a = 2(12)/2 = 12. Los extremos del lado recto, en el
sistema x 0 , y 0 son (±6, ±4).
Considerando el cambio de variable x 0 = x − 3, y 0 = y + 2
tenemos que, en el sistema de coordenadas x, y la
ecuación de la hipérbola es
−
(x − 3)2 (y + 2)2
+
=1
12
4
La ecuación general cartesiana de la hipérbola dada es
x 2 − 3y 2 − 6x − 12y + 9 = 0.
Lugares
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Laura
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Lugares
geométricos
Rotación de ejes
Laura
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Ya sabemos que, si se rotan los ejes de coordenadas
alrededor del origen y se considera que están fijos todos los
puntos del plano, entonces cada punto (o vector), excepto
el origen, tendrá un nuevo par de coordenadas (o
componentes). Estas nuevas coordenadas están dadas
como
x 0 = x cos φ + y sen φ,
y 0 = −x sen φ + y cos φ
(8)
y = x 0 sen φ + y 0 cos φ
(9)
o equivalentemente
x = x 0 cos φ − y 0 sen φ,
donde φ es el ángulo que forma el eje x 0 con respecto al eje
x (medido en levógiro).
Lugares
geométricos
Ejemplo 4
Laura
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Emplearemos las ecuaciones 9, para obtener una ecuación
en las variables x 0 y 0 de la gráfica de la ecuación
11x 2 − 24xy + 4y 2 + 30x + 40y − 45 = 0
(10)
en las variables x y y dadas, bajo una rotación de ejes del
ángulo φ, tal que cos φ = 3/5 y sen φ = 4/5.
Como
x
y
3 0
x −
5
4
= x 0 sen φ + y 0 cos φ = x 0 +
5
= x 0 cos φ − y 0 sen φ =
4 0
y
5
3 0
y
5
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Laura
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Al sustituir estos valores en la ecuación 10 tenemos:
11
+4
3 0
3 0
4 0 2
5 x − 5 y − 24 5 x
4 0
3 0 2
+ 50x 0 −
5x + 5y
− 54 y 0
4 0
5x
+ 35 y 0
45 = 0
desarrollando la expresión anterior, y asociando términos
semejantes obtenemos la ecuación:
−5x 02 + 20y 02 + 50x 0 − 45 = 0
Foco y
directriz
Por lo cual, esta ecuación es de tipo hiperbólico.
Para saber de que hipérbola se trata, completaremos
cuadrados, esto es, la ecuación anterior es equivalente a:
−5(x 02 − 10x 0 ) + 20y 02 − 45 = 0
es decir
−5(x 0 − 5)2 + 20y 02 = −80
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Lo anterior es equivalente a la hipérbola
(x 0 − 5)2 y 02
−
=1
16
4
Por lo que, en el sistema de coordenadas x 0 y 0 , el centro de
la hipérbola es el punto (5, 0).
Si ahora efectuamos la transformación x 00 = x 0 − 5 y
y 00 = y 0 , en este nuevo sistema de coordenadas obtenemos
la ecuación
x 002 y 002
−
=1
16
4
En el sistema de coordenadas x 00 y 00 la ecuación
corresponde a una hipérbola cuyo eje focal es el eje x 00 , su
centro es el origen, sus vértices son los puntos (±4, 0).
Los extremos del eje conjugado son (0, ±2).
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
√
√
Como c 2 = a2 + b2 = 16 + 4 =
√20, c = 20 = 4 5 y sus
focos están en los puntos (±2 5, 0). Su ancho focal es
2b2 /a
√ = 8/16 = 1/2, y los extremos de los lados rectos son
(±2 5, ±1).√Por otra√parte, su excentricidad es
ε = c/a = 2 5/4 = 5/2 ' 1.118033989, y sus asíntotas
son y 00 = 12 x 00 ,
Lugares
geométricos
Laura
Hidalgo Solís
La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Lugares
geométricos
Laura
Hidalgo Solís
La ecuación general de
segundo grado
La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Como hemos visto anteriormente, una ecuación de la forma
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
(11)
donde A, B, C, D, E, F ∈ R, con A, B y C no todos cero, se
denomna una ecuación cuadrática (o ecuación general de
segundo grado) en dos variables.
Si B = 0, podemos identificar la gráfica aplicando
simplemente una traslación.
Si B 6= 0 necesitamos aplicar una rotación
x = x 0 cos φ − y 0 sen φ,
y = x 0 sen φ + y 0 cos φ.
Lugares
geométricos
Laura
Hidalgo Solís
Si se sustituyen estos valores en la ecuación 11 la ecuación
resultante es de la forma
La hipérbola
A0 x 2 + B 0 xy + C 0 y 2 + D 0 x + E 0 y + F 0 = 0
Transformación
de
coordenadas
La
característica
donde
Foco y
directriz
A0 = A cos2 φ + B cos φ sen φ + C sen2 φ,
(12)
B
0
= 2(C − A) sen φ cos φ + B(cos φ − sen φ), (13)
C
0
= A sen2 φ − B cos φ sen φ + C cos2 φ,
(14)
D
0
= D cos φ + E sen φ,
(15)
E
0
= −D sen φ + E cos φ,
(16)
F
0
= F
(17)
2
2
Lugares
geométricos
Laura
Hidalgo Solís
Para eliminar el término x 0 y 0 es necesario que B 0 = 0, es
decir,
2(C − A) sen φ cos φ + B(cos2 φ − sen2 φ) = 0.
La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Como 2 sen φ cos φ = sen 2φ y cos2 φ − sen2 φ = cos 2φ la
ecuación 18 equivale a
(C − A) sen 2φ + B cos 2φ = 0.
Si A = C, para que B 0 = 0 es necesario que B cos 2φ = 0,
de donde cos 2φ = 0.
Por lo cual, podemos tomar φ = π/4.
Si A 6= C, entonces
tan 2φ =
B
,
A−C
y como la función tangente es periódica de periodo π,
podemos restringir el valor de 2φ para que 0 < 2φ < φ, es
π
decir, 0 < φ < .
2
Lugares
geométricos
La característica de la
ecuación cuadrática
Laura
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Definición
La característica de la ecuación cuadrática general
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
se define como
∆ = 4AC − B 2
Cabe notar, que la característica de una ecuación de
segundo grado en dos variables
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
es invariante bajo traslación y rotación de ejes.
Lugares
geométricos
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Invarianza bajo traslaciones
Para ver esto, supongamos que x = x 0 + h, y que
y = y 0 + k , entonces la ecuación
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
se transforma en
A(x 0 +h)2 +B(x 0 +h)(y 0 +k )+C(y 0 +k )2 +D(x 0 +h)+E(y 0 +k )+F = 0
Desarrollando tenemos:
Ax 02 + Bx 0 y 0 + Cy 02 + (2Ah + Bk + D)x 0 + (Bh + 2Ck + E)y 0
+(Ah2 + Bhk + Ck 2 + Dh + Ek + F ) = 0
que podemos reescribir como
A0 x 02 + B 0 x 0 y 0 + C 0 y 02 + D 0 x 0 + E 0 y 0 + F 0 = 0
Notamos que A = A0 , B = B 0 y C = C 0 , luego entonces
4A0 C 0 − B 02 = 4AC − B 2
Lugares
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Invarianza bajo rotaciones
Supongamos que
x = x 0 cos φ − y 0 sen φ,
y = x 0 sen φ + y 0 cos φ
y sustituyamos estos valores en nuestra ecuación
cuadrática general
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.
Como hemos visto anteriormente, esta ecuación se
transforma en
A0 x 02 + B 0 x 0 y 0 + C 0 y 02 + D 0 x 0 + E 0 y 0 + F 0 = 0
donde, de acuerdo a las ecuaciones 12, 13 y 14:
A0 = A cos2 φ + B cos φ sen φ + C sen2 φ,
B 0 = 2(C − A) sen φ cos φ + B(cos2 φ − sen2 φ),
C 0 = A senφ −B cos φ sen φ + C cos2 φ.
Lugares
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Como
A0 = A cos2 φ + B cos φ sen φ + C sen2 φ
La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
y
C 0 = A sen2 φ − B cos φ sen φ + C cos2 φ
entonces
A0 C 0 = A2 cos2 φ sen2 φ + AB cos φ sen3 φ
+AC sen4 φ − AB cos3 φ sen φ
−B 2 cos2 φ sen2 φ − BC cos φ sen3 φ
+AC cos4 φ + BC cos3 φ sen φ
+C 2 cos2 φ sen2 φ
Lugares
geométricos
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Asociando términos semejantes obtenemos
4A0 C 0 = 4(A2 − B 2 + C 2 ) cos2 φ sen2 φ
+4(AB − BC) cos φ sen3 φ
−4(AB − BC) cos3 φ sen φ
+4AC(sen4 φ + cos4 φ)
Como sen2 φ + cos2 φ = 1, entonces
cos4 φ + sen4 φ = 1 − 2 sen2 φ cos2 φ, sustituyendo esta
identidad en la ecuación anterior, y simplificando tenemos:
4A0 C 0 = 4AC + 4(A2 − B 2 + C 2 − 2AC) cos2 φ sen2 φ
+4(AB − BC)(cos φ sen3 φ − cos3 φ sen φ)
Lugares
geométricos
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Por otra parte, como
B 0 = 2(C − A) cos φ sen φ + B(cos2 φ − sen2 φ)
entonces
B 02 = 4(C 2 − 2AC + A2 ) sen2 φ cos2 φ
+4(AB − BC)(cos φ sen3 φ − cos3 φ sen φ)
+B 2 (cos4 φ − 2 cos2 φ sen2 φ + sen4 φ)
= 4(C 2 − 2AC + A2 ) sen2 φ cos2 φ
+4(AB − BC)(cos φ sen3 φ − cos3 φ sen φ)
+B 2 (1 − 4 cos2 φ sen2 φ)
= B 2 + 4(A2 − B 2 + C 2 − 2AC) cos2 φ sen2 φ
+4(AB − BC)(cos φ sen3 φ − cos3 φ sen φ)
Lugares
geométricos
Laura
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De donde, ∆0 = 4A0 C 0 − B 02 está dada como
La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
∆ = 4AC + 4(A2 − B 2 + C 2 − 2AC) cos2 φ sen2 φ
+4(AB − BC)(cos φ sen3 φ − cos3 φ sen φ)
− B 2 + 4(A2 − B 2 + C 2 − 2AC) cos2 φ sen2 φ
+4(AB − BC)(cos φ sen3 φ − cos3 φ sen φ)
= 4AC − B 2
Por lo que concluimos que la característica de una ecuación
cuadrática en dos variables es invariatne bajo rotaciones.
Lugares
geométricos
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Por la invarianza de la característica, si B 0 = 0, se tiene
4A0 C 0 = 4AC − B 2
Pero, de acuerdo con lo visto anteriormente, la gráfica de
A0 x 02 + C 0 y 02 + D 0 x 0 + E 0 y 0 + F 0 = 0
donde A0 y C 0 no son ambos cero, es de tipo elíptico si
A0 C 0 > 0, de tipo parabólico si A0 C 0 = 0, y de tipo
hiperbólico si A0 C 0 < 0.
Podemos resumir la información anterior en el siguiente
cuadro:
Lugares
geométricos
La caracterización de una
ecuación cuadrática.
Laura
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
La característica
La gráfica de Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 es:
1
de tipo elíptico si ∆ = 4AC − B 2 > 0,
2
de tipo parabólico si ∆ = 4AC − B 2 = 0, y
3
de tipo hiperbólico si ∆ = 4AC − B 2 < 0.
Lugares
geométricos
Ejemplos
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
1
Si C : 3x 2 − 14xy + 9x − 7y + 13 = 0, entonces
∆ = 4AC − B 2 = 4(3)(0) − 142 = −142 = −196 < 0;
por lo cual C es de tipo hiperbólico.
2
Si C : 6x 2 − 2xy + y 2 + 2x + 3y − 41 = 0, entonces
∆ = 4AC − B 2 = 4(6)(1) − (22 ) = 24 − 4 = 20 > 0; por
lo cual C es de tipo elíptico.
3
Si C : 3x 2 − 6xy + 3y 2 − 14x + 22y − 7 = 0, entonces
∆ = 4AC − B 2 = 4(3)(3) − (62 ) = 36 − 36 = 0; por lo
cual C es de tipo parabólico.
4
Si C : xy + 2x − 3y − 6 = 0, entonces
∆ = 4AC − B 2 = 4(0)(0) − 12 = −1 < 0; por lo cual C
es de tipo hiperbólico.
La
característica
Foco y
directriz
Lugares
geométricos
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
C : 3x 2 −14xy +9x −7y +13 = 0,
∆<0
Lugares
geométricos
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
C : 6x 2 − 2xy + y 2 + 2x
+3y − 41 = 0, ∆ > 0
Lugares
geométricos
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
C : 3x 2 − 6xy + 3y 2 − 14x +
22y − 7 = 0, ∆ = 0
Lugares
geométricos
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
C : xy + 2x − 3y − 6 = 0, ∆ < 0
Lugares
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La hipérbola en términos de
foco y directriz
La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
La hipérbola
Para una recta dada D y un punto fijo que no esté sobre D,
el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el
cociente de la distancia de P a F y a D es una constante
ε > 1 es una hipérbola H, esto es,
d(P, F )
H = P;
=ε>1 .
d(P, D)
La recta D se denomina una directriz de la hipérbola.
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Cuando analizamos la ecuación de la hipérbola obtuvimos
la ecuación 2
q
±a x 2 + (y − c)2 = cy − a2 .
Esta ecuación la podemos reescribir como
q
c
a2
2
2
x + (y − c) =
y−
a
c
Como ε =
y=
c
> 0, F1 (0, c), si definimos D como la recta
a
a2
, tenemos que esta ecuación se traduce en
c
d(U, F1 ) = εd(U, D),
por lo que toda hipérbola tiene asociada una recta directriz
a2
D:y =
.
c
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
La hipérbola en términos de
foco y directriz
Lugares
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Si sustituimos la recta D : y = a2 /c por D0 y = −a2 /c y al
punto F1 (0, c) por el punto F2 (0, −c), entonces la ecuación
todavía es válida, es decir
d(U, F2 )
d(U, F1 )
=
= ε.
d(U, D)
d(U, D0 )
Claro está que en el caso de la hipérbola, como c > a > 0 y
ε = c/a, se tiene ε > 1.
Lugares
geométricos
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
Ejemplo
Sea D la recta x = 0, consideremos el punto F (4, 0), y sea
ε = 3, deseamos obtener una ecuación cartesiana del lugar
geométrico
La
característica
H:
Foco y
directriz
{U ∈ R2 ;
d(U, F )
= 3}
d(U, D)
= {U ∈ R2 ; d(U, F ) = 3d(U, D)}
Si U(x, y ) es un punto en H, usando la fórmula de distancia
de un punto a una recta y distancia de un punto a un foco
tenemos
q
|x|
(x − 4)2 + y 2 = 3 √
2
1 + 02
es decir,
q
(x − 4)2 + y 2 = 3|x|
Lugares
geométricos
Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad tenemos
(x − 4)2 + y 2 = 9x 2
Laura
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La hipérbola
de donde
x 2 − 8x + 16 + y 2 = 9x 2
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
por lo cual
8x 2 + 8x − y 2 = 16
Completando cuadrados
8(x 2 + x + 1/4) − y 2 = 18
es decir
1
8(x + )2 − y 2 = 18
2
Por lo que, la ecuación general de la hipérbola es
(x + 12 )2
9
4
−
y2
= 1.
18
Lugares
geométricos
Laura
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Lugares
geométricos
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz
Podemos ver que la hipérbola
(x + 12 )2
9
4
−
y2
=1
18
√
tiene centro en (− 21 , 0), asíntotas y = ± 8(x + 21 ). Los
vértices están en V1 (1, 0) y V2 (−2, 0), el otro foco se
encuentra en F2 (−5, 0), finalmente, la otra directriz es
D0 : x = −1.
Lugares
geométricos
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La hipérbola
Transformación
de
coordenadas
La
característica
Foco y
directriz