ν ν γ ν ν γ ν γ ν γ γ ν γ γ = γ 0 .

10. Incremento relativista de la masa y equivalencia entre masa y energía
Considérese una partícula libre que en su sistema propio de referencia emite dos
fotones, en direcciones opuestas, de energías E 0 = hν 0 . Por tanto, la partícula no
experimentará ninguna aceleración. En su sistema propio, la partícula habrá cedido
una energía ∆E 0 = −2hν 0 .
Considérese, ahora, un sistema de referencia K en el que la partícula se mueve con
r
velocidad v en la dirección en la que se emiten los fotones. En este sistema la
frecuencia del fotón emitido en el sentido del movimiento experimentará un
desplazamiento hacia el azul y la del otro hacia el rojo:
νA =
νR =
ν0
r
v⎞
⎛
γ ⎜1 − ⎟
⎝
c⎠
ν0
r
v⎞
⎛
γ ⎜1 + ⎟
⎝
c⎠
y el intercambio neto de momento entre los dos fotones será
⎤
⎡
⎥
⎢
v
γ
E A E B 1 ⎢ hν0
hν0 ⎥ γ
v
= 2hν0 = − ∆E 0
−
=
r −
r
c
c
c
c
c⎢ ⎛
c
v⎞
v ⎞⎥ c
⎛
⎢γ ⎜1 − ⎟ γ ⎜1 + ⎟ ⎥
⎝
c⎠
c⎠⎦
⎣ ⎝
y la partícula adquirirá un momento
∆P = ∆ (mv ) = ∆mv − m∆v =
γ
c
∆E 0
v
c
pero por el principio de relatividad ∆v = 0 , luego,
∆mc 2 = γ∆E 0
esta expresión es válida en cualquier sistema de referencia, y en el propio de la
partícula se escribe
∆m0 c 2 = ∆E 0
que es la famosa expresión de Einstein. Por otro lado de lo anterior se obtiene
∆mc 2 = γ∆m0 c 2
de donde se deduce el incremento relativista de la masa: m = γm0 .