Ejercicios1

Fisicoquímica IV. Problemas 1.
1. Determinar cuáles de las siguientes funciones son aceptables como funciones de onda
definidas en los intervalos indicados.
1
a)
[0,∞) ; b) e-|x| (-∞,∞) ; c) sen x [-4π, 4π]; d) ex [0,∞) ; e) e − x cos x [0,∞)
x
2. De las siguientes funciones, normalice aquellas en que la normalización sea posible:
a) e x [0, ∞)
b) e iθ [0, 2π]
c) x ⋅ e − x [0, ∞)
3. La función de onda para una partícula en un sistema monodimensional definido entre x = 0
2 −xa
e donde a es 1.0000 nm. A t=0 se mide la posición de la partícula.
y x = ∞, a t=0 es Ψ =
a
a) Calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre entre x=1.5000 nm y x=1.5001
nm. b) Calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre entre x=0 y x=2 nm. c)
Verifique que la función de onda está normalizada.
4. Indique cuál de los siguientes operadores es lineal :
a) Âf(x)=df(x)/dx
(derivada de f(x))
b) Âf(x)=f*(x)
(forma la compleja conjugada de f(x))
c) Âf(x)= f(0)
(evalúa la función para x=0)
d) Âf(x)=ln f(x)
(toma el logaritmo de f(x))
e) Âf(x)= ∫ f ( x )dx
(integral de f(x))
5. a) Cuál de las siguientes funciones es autofunción del operador d/dx : a) eikx ; b) cos kx ; c)
2
k, d) kx ; e) e − ax . ¿Cuáles son sus autovalores? b) Determine cuáles de las funciones
anteriores es también autofunción del operador d2/dx2 y dé los autovalores correspondientes.
6. Halle los conmutadores siguientes:
2
a) [ x̂ ,
d2
dx 2
b) [ x̂ , p̂ x ]
c) [ Px, H ]
]

d 2  x 2

7. Calcule  xˆ +
 e + cos 2 x 
2 

dx 

8. Deduzca si cada una de las expresiones siguientes es un operador o una función.
a) Aˆ Bˆ g ( x ) ; b) Aˆ Bˆ + Bˆ Aˆ ; c) Bˆ 2 f ( x ) ; d) f ( x )* Aˆ f ( x )
9. Si la posición de un electrón se mide con una precisión de ±0.001 Å ¿Cuál será la máxima
precisión para el momento?
10. Demuestre que en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π, las funciones einθ, donde n=0, ±1, ±2, ..., forman
un conjunto de funciones ortogonales. Halle la constante de normalización para este conjunto
de funciones.
∂
) son e ikx y
∂x
− ikx
e , donde k es una constante. Escriba la función de onda de una partícula que se mueve
libremente en la dimensión x si sabemos que la probabilidad de la partícula tenga un
momento px=+kħ es de 0.75 y la probabilidad de que el momento sea px=-kħ es de 0.25.
¿Cuál es el valor medio del momento para esa partícula?
11. Las autofunciones del operador momento en la coordenada x ( pˆ x = −ih
12. El estado de una partícula está descrita por la función de onda:
ψ = cos χ ·eikx + senχ ·e − ikx , donde χ es un parámetro.
a) Sabiendo que las autofunciones del operador momento en el eje x, p̂ x , son: e
e
ikx
y
− ikx
, ¿cuáles son las probabilidades de encontrar la partícula con un momento px =
+kh y con un momento px = -kh?
b) ¿Determine el valor de χ si tenemos un 90% de certeza de que la partícula tiene un
momento +kh?
c) Determine la energía cinética de la partícula.
13. Verificar que si Ψ es una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo,
entonces cΨ es también solución, siendo c una constante.
14) Demostrar que el hamiltoniano de un sistema ligado es un operador hermítico, sus autovalores
son reales y sus autofunciones son ortonormales, empleando la NOTACION DE DIRAC. Calcular el
valor medio del operador hamiltoniano.
15) Demostrar que el producto de dos operadores hermíticos es hermítico si y solo si dichos operadores
conmutan. Demostar que el momento lineal Px es hermítico. Demostrar que el operador d2 / dx2 es
hermítico.