MATE 3325: Introducción a las Matemáticas Discretas Soluciones

MATE 3325: Introducción a las Matemáticas Discretas Soluciones

Universidad de Puerto Rico, Rı́o Piedras
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matemáticas
San Juan, Puerto Rico
MATE 3325: Introducción a las Matemáticas Discretas
Soluciones para la Asignación 6.
1. Encuentre g = gcd(1575, 231). Exprese g = m(1575) + n(231) donde m, n ∈ Z
Solución: Note que
1575
231
189
42
=
=
=
=
6(231) + 189
1(189) + 42
4(42) + 21
2(21) + 0.
Concluimos que g = gcd(1575, 231) = 21. Ahora,
21 =
=
=
=
189 − 4(42)
189 − 4(231 − 189) = −4(231) + 5(189)
−4(231) + 5(1575 − 6(231))
5(1575) − 34(231).
2. Encuentre g = gcd(54321, 12345). Exprese g = m(54321) + n(12345) donde
m, n ∈ Z
Solución: Note que
54321
12345
4941
2463
15
=
=
=
=
=
4(12345) + 4941
2(4941) + 2463
2(2463) + 15
164(15) + 3
5(3) + 0.
Concluimos que g = gcd(54321, 12345) = 3. Ahora,
3 =
=
=
=
=
2463 − 164(15)
2463 − 164(4941 − 2(2463)) = −164(4941) + 329(2463)
−164(4941) + 329(12345 − 2(4941)) = 329(12345) − 822(4941)
329(12345) − 822(54321 − 4(12345))
−822(54321) + 3617(12345).
1
3. Si k ∈ N, pruebe que gcd(3k + 2, 5k + 3) = 1.
Demostración: Utlice el algoritmo de Euclides. Note que
5k + 3
3k + 2
2k + 1
k+1
k
=
=
=
=
=
1(3k + 2) + 2k + 1
1(2k + 1) + k + 1
1(k + 1) + k
1(k) + 1
1(k) + 0.
Concluimos que gcd(3k + 2, 5k + 3) = 1.
4. Pruebe que si a, b y c son números naturales, gcd(a, c) = 1 y b|c, entonces
gcd(a, b) = 1.
Demostración: Sea g = gcd(a, b). Note que si demostramos que g divide a a y a
c, entonces g| gcd(a, c) = 1 y por consiguiente g = 1. Ahora, g|a por definición
del gcd. De igual forma g|b. Sabemos por hipótesis que b|c, por lo tanto g|c.
Como g|a y g|c, entonces g| gcd(a, c) = 1. Concluimos que gcd(a, b) = 1.
5. Defina f : N\{1} → N como f (n) es igual al divior primo de n más grande.
(a) Encuentre el rango de f .
Solución: El rango de f es el conjunto de todos los primos.
(b) ¿Es f 1-1?
Solución: No. Note que f (2) = 2 = f (4).
(c) ¿Es f sobre?
Solución: No. Note que no existe n tal que f (n) = 4, pues 4 no es primo.
Lo mismo sucede para cualquier número compuesto.
(d) ¿Por qué no podemos expresar f como una función de N → N?
Solución: Porque 1 no tiene divisores primos.
6. Suponga p y p + 2 son primos gemelos y p > 3. Demuestre que 6|(p + 1).
Demostración: Como p, p + 1 y p + 2 son enteros consecutivos, entonces 3
divide a uno de ellos. Ahora, p y p + 2 son primos y ambos son mayores que 3,
por lo tanto 3|p + 1. Como p es primo y como p > 3, entonces p es impar, por
consiguiente p + 1 es par. Esto implica que 2|p + 1. Por lo tanto, 2 y 3 aparecen
en la factorización prima de p + 1. Concluimos que 6|(p + 1).
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