1er. Parcial de Análisis III -Cátedra González - Foros

1er. Parcial de Análisis III -Cátedra González- 23/10/12
Ejercicio 1
a) Analizar si existe f / f (z) + f (z) = 2Re(z) siendo ambas f y f enteras.
C : 0 < Re(z) < 2,
b) Hallar una función holomorfa que transforme Ω en Ω0 con Ω = {z ∈
y Ω0 = {z ∈ : Im(z) > 1}
C
¿En qué puntos de
Im(z) > 0}
C la función encontrada es conforme? Indicar cómo transforma el borde (∂Ω).
R
c) Decidir en qué puntos de 2 la función f (x, y) = sinh
y hallar la conjugada armónica.
x
x2 +y 2
· cos
y
x2 +y 2
es armónica conjugada
Ejercicio 2
a) Describir y graficar la convergencia de la serie
∞
P
n=0
(−1)n
1
n2 +1 (z−i+1)n .
Analizar la convergencia en el
borde.
b) Determinar las regiones donde f (z) = z21+1 se puede desarrollar en serie de potencias de (z − i) y
obtener el desarrollo donde z = 0 es convergente.
6
P
c) Siendo f (z) =
n=−∞
(−1)n
|n|! (z
R
− i)n . Clasificar singularidades en i. Calcular Res[f, i] y (z−i)3 f (z)dz
C
con C una curva cerrada y simple en el interior de i.
Ejercicio 3
a) Hallar y clasificar las singularidades en
Ĉ de g(z) = exp(1 )−1 (z − 2πi1 )
1
z
b) Si g(z) es la del item a) obtener:
i) Res[g, 0]
ii) Res[g, 1]
iii)
R
g(z)dz con γ = z : z −
γ
c) Calcular
2π
R
0
1 2πi
=
3
10π
dt
1+sin( 2t )·cos( 2t )
1