algunas soluciones

Universidad Rey Juan Carlos
Curso 2007–2008
Teorı́a de Autómatas y Lenguajes Formales
Ingenierı́a Técnica en Informática de Sistemas
Hoja de Problemas 7
Propiedades Lenguajes Regulares
Nivel del ejercicio : (!) básico, (♣) medio, (♠) avanzado.
1. (♣) Prueba que el lenguaje de los palı́ndromos sobre un alfabeto finito con al menos
dos elementos no es regular.
Solución:
2. (!) Demuestra o refuta la siguiente afirmación:
“Todo lenguaje que sea un subconjunto de un lenguaje regular es regular”.
Solución:
3. Sea Σ = {a, b, c} un lenguaje finito. Para cada una de las siguientes definiciones del
lenguaje L ⊆ Σ, demuestra que L no es regular:
(a) (!) L = {an bn | n ≥ 1}.
Solución:
(b) (!) L = {an b2n | n ≥ 1}.
Solución:
(c) (!) L = {an bm | 0 < n ≤ m}.
Solución:
(d) (♣) L = {an bm | |n − m| = 2}.
Solución:
(e) (♣) L = {an bm cm | m, n ≥ 1}.
Solución:
(f) (♣) L = {an bm am+n | m, n ≥ 1}.
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Solución:
(g) (♣) L = {an bm | n, m ≥ 0 y n %= m}.
Solución:
(h) (♣) L = {an bm al | m, n, l ≥ 1 y l %= m + n}.
Solución:
(i) (♣) L = {w ∈ Σ∗ | na (w) = nb (w)}.
Solución:
Supongamos por reducción al absurdo que L es regular.
Sea N ∈ N la constante del Lema de Bombeo. Sea x = aN bN ∈ L una
palabra del lenguaje. Además, su longitud verifica |x| = 2N > N. Por tanto,
podemos aplicar el Lema de Bombeo a esta palabra. Aplicándolo, existen
tres palabras u, v, w ∈ {a, b, c}∗ verificando:
|uv| ≤ N
|v| > 0
x = uvw
uv i w ∈ L para todo i ≥ 0.
Por la forma que tiene x, y usando la propiedad primera y segunda, tenemos
que necesariamente u = aj , v = ak , para j ≥ 0, k ≥ 1, j + k ≤ N. Por
tanto, w = aN −j−k bN . Finalmente, aplicando la última propiedad para i = 0
se tendrı́a que uv 0 w ∈ L, pero
uv 0 w = uw = aj aN −j−k bN = aN −k bN %∈ L
Esta palabra aN −k bN no está en L pues N − k %= N ya que k ≥ 1.
Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción, por lo que se sigue que L
no es regular.
(j) (♣) L = {w ∈ Σ∗ | na (w) < nb (w)}.
Solución:
(k) (♣) L = {w ∈ Σ∗ | na (w) %= nb (w)}.
Solución:
Supongamos por reducción al absurdo que L es regular. Entonces su complementario:
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!
"
Lc = w ∈ {a, b, c}∗ | na (w) = nb (w)
también debe ser regular. Contradicción.
Como hemos demostrado anteriormente (apartado:i), Lc no es regular, y por
tanto L tampoco lo es.
2
(l) (♠) L = {an | n ≥ 1}.
Solución:
(m) (♠) L = {an! | n ≥ 3}.
Solución:
(n) (♣) L = {w1 cw2 | w1 , w2 ∈ Σ∗ y w1 = w2 }.
Solución:
(ñ) (♣) L = {w1 cw2 | w1 , w2 ∈ Σ∗ y w1 %= w2 }.
Solución:
(o) (♣) L = {ww | w ∈ Σ∗ }.
Solución:
4. (♣) Sea Σ = {., 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y sea Lπ ⊆ Σ∗ el lenguaje de las cadenas que
son las truncaciones de la expansión decimal de π. Esto es,
Lπ = {λ, 3, 3., 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, 3,14159, . . .}.
Demuestra que Lπ no es regular.
Solución:
5. (♣) Sea Σ = {a, b} un alfabeto finito, y sea L ⊆ Σ∗ el lenguaje definido por la
siguiente igualdad:
L = {xwx ∈ Σ∗ | x, w ∈ Σ∗ , |x| = 2}.
¿Es L regular?
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Solución:
6. (♣) Sea Σ = {0, 1} un alfabeto finito, y sea L ⊆ Σ∗ el lenguaje definido por la
siguiente igualdad:
L = {xwxR | x, w ∈ {0, 1}+ }.
¿Es L un lenguaje regular?
Solución:
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