CONCURSO DE PRIMAVERA-nivel III-2014-2015 SOLUCI ´ON

CONCURSO DE PRIMAVERA-nivel III-2014-2015 SOLUCI ´ON

CONCURSO DE PRIMAVERA-nivel III-2014-2015
SOLUCIÓN-19
Semana X - Soluciones
no 5-nivel III-2a fase-2004
1
1 1 1
Sea n un número entero positivo, tal que + + + es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no
2 3 7 n
es verdadera?
A) 2 divide a n
B) 3 divide a n
C) 6 divide a n
D) 7 divide a n
E) n > 84
Sumemos las tres primeras fracciones de la suma indicada en el problema:
1 1 1
1
21 + 14 + 6
1
41
1
+ + + =
+ =
+
2 3 7 n
42
n
42 n
Esta suma es un número entero positivo (lo son los dos sumandos que la forman).
Si n fuese el número entero positivo 42:
n = 42 la suma serı́a:
41
1
+
=1
42 42
Por lo tanto n = 42 es un valor posible de n. Para este n se observa que:
si n = 42, ”2 divide a n”pues 42 : 2 = 21. Es decir, no podemos decir que A) no es verdadera (hemos
encontrado un valor de n para el que sı́ es verdadera)
si n = 42, ”3 divide a n”pues 42 : 3 = 14. Es decir, no podemos decir que B) no es verdadera (hemos
encontrado un valor de n para el que sı́ es verdadera)
si n = 42, ”6 divide a n”pues 42 : 6 = 7. Es decir, no podemos decir que C) no es verdadera (hemos
encontrado un valor de n para el que sı́ es verdadera)
si n = 42, ”n no es mayor que 84”. Es decir, podemos asegurar que D) no es verdadera (hemos encontrado
un valor de n para el que no se cumple tal afirmación)
SOLUCIÓN-20
no 23-1a fase-nivel III-2005
En el cuadrante del cı́rculo OED hay inscrito un rectángulo OBCA como se indica en la figura. Si OE = 10,
¿cuánto mide la diagonal AB?
A) 13
B) 8
C) 10
D)
√
30
E) faltan datos para poder resolverlo
El radio del cı́rculo es OE = OC = 10 cm.
Las dos diagonales AB y 0C del rectángulo OBCA miden lo mismo. Es decir, el segmento AB mide igual que el segmento OC es decir,
10 cm.
D
A
C
O
B
E