El arbelo de Arquímedes y su generalización

El arbelo de Arquímedes y su generalización

TRABAJO FIN DE GRADO
Título
El arbelo de Arquímedes y su generalización
Autor/es
María Marqués Gil
Director/es
Oscar Ciaurri Ramírez
Facultad
Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática
Titulación
Grado en Matemáticas
Departamento
Curso Académico
2014-2015
El arbelo de Arquímedes y su generalización, trabajo fin de grado
de María Marqués Gil, dirigido por Oscar Ciaurri Ramírez (publicado por la Universidad de
La Rioja), se difunde bajo una Licencia
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.
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titulares del copyright.
©
©
El autor
Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2015
publicaciones.unirioja.es
E-mail: [email protected]
Trabajo Fin de Grado
Grado en Matemáticas
El arbelo de Arquı́medes y
su generalización
por
Marı́a Marqués Gil
Memoria realizada bajo la dirección del
Dr. D. Óscar Ciaurri Ramı́rez
Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática
Universidad de La Rioja
Junio 2015
Agradecimientos
Antes de empezar esta memoria, me gustarı́a agradecer todo su esfuerzo y dedicación al Dr. D. Óscar Ciaurri Ramı́rez, profesor del Departamento de Matemáticas
y Computación, por enseñarme todo lo que he aprendido y por acogerme como tutor
de este trabajo. También me gustarı́a dar las gracias a todos los demás profesores que
nos han impartido clase, por todos sus esfuerzos y por habernos enseñado y formado
durante estos cuatro años. Y, por último, agradecer toda la ayuda y apoyo en los
momentos más difı́ciles del grado a mis compañeros de clase, mis familiares y mis
amigos.
3
Resumen
En esta memoria vamos a presentar diferentes propiedades relacionadas con el arbelo de Arquı́medes. En el primer capı́tulo introduciremos una figura geométrica, que
llamaremos arbelo generalizado, que tiene como casos particulares el arbelo clásico
y el salino, otra construcción geométrica también atribuida a Arquı́medes. Determinaremos el área del arbelo generalizado e identificaremos los cı́rculos gemelos de
Arquı́medes y el cı́rculo de Pappus. Los resultados y construcciones que incluimos en
la memoria generalizan propiedades geométricas ya conocidas sobre el arbelo clásico y
el salino. En el segundo capı́tulo localizaremos en el arbelo clásico más cı́rculos iguales
a los gemelos de Arquı́medes: el trillizo y el cuatrillizo de Bankoff y los cı́rculos de
Woo; estudiaremos la denominada cadena de Pappus, para la que probaremos la propiedad de Gaba; y definiremos y analizaremos el arbelo de oro. También mostraremos
como es posible probar ciertas desigualdades de medias usando el arbelo. En la parte
final daremos una prueba del que hemos denominado Teorema de Descartes-Soddy y
que se utiliza en varias demostraciones a lo largo de la memoria.
5
Abstract
In this report, we show different properties related to the arbelos of Archimedes. In
the first chapter, we introduce a geometric figure, which we call generalized arbelos,
whose particular cases are the classic arbelos and the salinon, another geometric
construction also attributed to Archimedes. We determine the area of the generalized
arbelos and we identify the Archimedes twin circles and the Pappus circle. Results and
constructions that we use in this report generalize properties already known about
the classical arbelos and the salinon. In the second chapter, we locate in the classical
arbelos more circles equal to Archimedes twin circles: the triplet and the quadruplet
of Bankoff and the Woo’s circles; we study the chain of Pappus, for which we prove
the Gaba property; and we define and analyze the golden arbelos. Moreover, we also
show how it is possible to prove certain inequalities of means using the arbelos. In the
final part, we give a proof of what we have called Descartes-Soddy theorem which is
used in several proofs throughout the report.
7
Índice general
Resumen
5
Abstract
7
Introducción
11
1. El arbelo y su generalización
1.1. El área del arbelo generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Los cı́rculos gemelos de Arquı́medes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. El cı́rculo de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
15
23
27
2. Otras propiedades del arbelo clásico
2.1. Más cı́rculos iguales a los gemelos de Arquı́medes
2.1.1. El trillizo de Bankoff . . . . . . . . . . . .
2.1.2. El cuatrillizo de Bankoff . . . . . . . . . .
2.1.3. Los cı́rculos de Woo . . . . . . . . . . . .
2.2. La cadena de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Propiedad de Gaba . . . . . . . . . . . . .
2.3. Otras propiedades del arbelo clásico . . . . . . .
2.3.1. El arbelo y las desigualdades de medias .
2.3.2. El arbelo de oro . . . . . . . . . . . . . .
31
31
32
35
38
41
45
46
46
48
3. El Teorema de Descartes-Soddy
.
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53
9
Introducción
El objeto principal de esta memoria es presentar dos figuras geométricas, el arbelo
clásico, que también es conocido como arbelo de Arquı́medes, y el arbelo generalizado,
que es una generalización del arbelo clásico, y diferentes propiedades que cumplen
ambas figuras.
En el primer capı́tulo presentaremos el arbelo generalizado, una figura geométrica que tiene como casos particulares al arbelo clásico y al salino, que aparecen por
primera vez en el Libro de los lemas. Además, con ayuda de dos resultados auxiliares, veremos que el área del arbelo generalizado es igual al área de un cierto cı́rculo.
Presentaremos, por su elegancia, una demostración independiente para el caso particular del arbelo clásico y mostraremos el resultado para el caso del salino. También
introduciremos los cı́rculos gemelos de Arquı́medes, dos cı́rculos inscritos en el arbelo generalizado, y determinaremos el valor de su diámetro. Como caso particular
obtendremos el resultado original de Arquı́medes sobre dichos cı́rculos. Finalizaremos el Capı́tulo 1 presentando el cı́rculo de Pappus para el arbelo generalizado y
determinando su radio.
En la primera sección del segundo capı́tulo, introduciremos más cı́rculos con radio
igual al de los gemelos de Arquı́medes que se localizan en el arbelo clásico. Aunque
existen muchos más, solo trataremos el trillizo y el cuatrillizo de Bankoff y los cı́rculos
de Woo. Primero, daremos dos construcciones del trillizo de Bankoff, veremos que
ambas son consistentes y probaremos que su radio, efectivamente, coincide con el de
los gemelos. Posteriormente, presentaremos la construcción del cuatrillizo de Bankoff
y determinaremos el valor de su diámetro gracias a la ayuda de dos lemas auxiliares.
Para concluir la primera sección, definiremos los cı́rculos de Woo que son una familia
de cı́rculos tangentes a ciertas circunferencias y centrados sobre la llamada lı́nea de
Schoch. El contenido de la segunda sección del Capı́tulo 2 estará centrado en la cadena
de Pappus, una familia de cı́rculos inscritos en el arbelo clásico. Determinaremos
sus radios, la altura de sus centros y veremos como algunos de esos centros están
a una misma altura, lo que se conoce como propiedad de Gaba. Finalmente, en la
última sección, mostraremos como podemos probar ciertas desigualdades de medias
con ayuda del arbelo clásico y definiremos el arbelo de oro.
El último capı́tulo de esta memoria se centra en la demostración del Teorema
de Descartes-Soddy, un resultado sobre radios de circunferencias tangentes, usado en
varios puntos a lo largo del trabajo. Daremos una breve introducción histórica del
mismo, seguida del enunciado del teorema y de su demostración, que se apoya en dos
lemas.
11
Capı́tulo 1
El arbelo y su generalización
Vamos a empezar introduciendo las tres figuras geométricas que serán el objeto
principal de estudio en este capı́tulo, el arbelo, el salino y su generalización. Como
hemos dicho en la introducción, las dos primeras, fueron introducidas en el Libro de
los lemas, que es una colección de quince proposiciones sobre circunferencias tradicionalmente atribuida a Arquı́medes. La atribución a Arquı́medes se debe a los árabes y
es a través de ellos como ha llegado hasta nosotros el texto griego perdido. La versión
árabe del texto es original del matemático Thebit ben-Kora, siglo IX, con anotaciones
Figura 1.1
de Almochtasso-abil-Hassan. El texto árabe fue objeto de dos traducciones latinas, la
primera debida a J. Graeves con notas de S. Forster, editada en Londres en 1659 y
a la que se llamó Lemmata, y la segunda realizada por el orientalista A. Ecchellensis
con notas de G. A. Borelli, aparecida en Florencia en 1661, a la que se denominó Liber assumptorum, y que forma parte de una edición de los libros V, VI y VII de las
Cónicas de Apolonio. La figura 1.1 muestra la portada de esta segunda versión.
Thomas L. Heath, en su edición [10] de las obras de Arquı́medes, sugiere que se
trata de una recopilación de proposiciones que pueden ser atribuibles a Arquı́me13
CAPÍTULO 1. EL ARBELO Y SU GENERALIZACIÓN
14
des pero compiladas por algún autor griego posterior, ya que el estilo del texto es
completamente distinto del que aparece en otros trabajos del autor y, también, por la
ausencia de continuidad en el contenido de las proposiciones. De lo que no hay duda es
de que en esta obra aparecen dos figuras geométricas sobre las que trató Arquı́medes:
el arbelo y el salino.
El arbelo es una figura geométrica con la siguiente construcción: Sea AB el diámetro de una semicircunferencia y D un punto sobre él. Consideremos ahora dos semicircunferencias en el interior de la dada de diámetros AD y DB. Entonces la región
comprendida entre la semicircunferencia mayor y las dos menores es lo que Arquı́medes denomina arbelo. En la parte izquierda de la figura 1.2, podemos ver un ejemplo
de arbelo. El término griego ((arbelos)) significa cuchilla de zapatero. En la parte derecha de la figura 1.2 aparece una imagen de esta herramienta, que nos permite ver
la similitud entre ella y la figura geométrica.
A
D
B
Figura 1.2
Para construir el salino comenzamos nuevamente con una semicircunferencia de
diámetro AB. Sobre AB tomamos dos puntos C y D, de tal manera que AC = DB. En
la semicircunferencia de diámetros AB, construimos dos semicircunferencias interiores
de diámetros AC y DB. Además, construimos una semicircunferencia exterior de
diámetro CD. La región encerrada por las cuatro semicircunferencias es el salino. En
la figura 1.3, podemos ver un ejemplo de salino.
A
C
D
Figura 1.3
B
1.1. EL ÁREA DEL ARBELO GENERALIZADO
15
Resulta sencillo comprobar que ambas figuras, el arbelo y el salino, pueden verse
como casos particulares de una construcción más general. Sea AB el diámetro de una
semicircunferencia y C y D dos puntos sobre el diámetro AB tales que AC ≤ AD.
Consideramos las semicircunferencias de diámetros AC = d1 = 2r1 y DB = d2 = 2r2
interiores a la de diámetro AB y la semicircunferencia de diámetro CD = d3 = 2r3
exterior a la de diámetro AB. La región limitada por las cuatro semicircunferencias
la denominamos arbelo generalizado y puede verse en la figura 1.4.
A
C
D
B
Figura 1.4
Sin perdida de generalidad, podemos suponer que r1 > r2 . Observamos que si
r3 = 0 el arbelo generalizado se convierte en el arbelo clásico y si r1 = r2 se transforma
en el salino. En algunas ocasiones, denotaremos el arbelo generalizado construido del
modo anterior por FABCD .
A continuación, vamos a probar tres resultados sobre el arbelo generalizado que
tendrán como casos particulares los resultados sobre el arbelo y el salino dados en el
Libro de los lemas. La descripción del arbelo generalizado y los principales resultados
de este capı́tulo están tomados de [4].
1.1.
El área del arbelo generalizado
Nuestro primer resultado tiene como objetivo la determinación del área del arbelo generalizado. Veremos que dicha área es igual al área de un cierto cı́rculo, al
que llamaremos ΓABCD , que viene dado por la siguiente construcción: En el arbelo
generalizado FABCD , sean O y O2 los centros de las semicircunferencias de diámetros
AB y CD respectivamente. Sea P la intersección de la perpendicular a la lı́nea AB
que pasa por O y la semicircunferencia de diámetro AB. Similarmente, denotaremos
por Q la intersección entre la semicircunferencia de diámetro CD y la perpendicular
a la lı́nea AB que pasa por O2 . La lı́nea P Q corta al diámetro AB en S y la lı́nea
perpendicular a AB por S corta el borde del arbelo generalizado en los puntos M y
L. El cı́rculo ΓABCD será el que tenga por diámetro el segmento LM y puede verse
en la figura 1.5.
CAPÍTULO 1. EL ARBELO Y SU GENERALIZACIÓN
16
P
L
ABCD
O2
A
C
O
S
D
B
M Q
Figura 1.5
Proposición 1. El área del arbelo generalizado FABCD es igual al área del cı́rculo
ΓABCD ; es decir, el área de las regiones sombreadas en las siguientes figuras son la
misma.
L
F ABCD
ABCD
A
C
D
B
A
C
D
M
Para probar esta proposición, necesitaremos dos resultados auxiliares que demostraremos a continuación. El primero es la Proposición I del Libro de los lemas y el
segundo resultado es un lema auxiliar que nos permitirá usar esa proposición.
Proposición 2 (Proposición I del Libro de los lemas). Sean F y G los centros de
dos cı́rculos tangentes en un punto E. Si AB y CD son diámetros paralelos de los
respectivos cı́rculos, entonces los puntos B, E y D están alineados.
Demostración. Veamos en primer lugar el caso en el que los cı́rculos son externamente
tangentes. Para ello consideremos el siguiente diagrama.
B
1.1. EL ÁREA DEL ARBELO GENERALIZADO
C
D
r2
G
2 2
r2
C
D
r2
G
17
r2
E
E
=⇒
r1
2 2
A
r1
A
F
F
r1
r1
B
B
Como los triángulos DGE y EF B son isósceles, por ser los diámetros AB y CD
paralelos, los ángulos BF E y DGE son iguales y su medida es α; y los ángulos F EB
y GED son iguales y miden π2 − α2 . Por lo tanto, B, E y D están alineados.
Consideremos ahora el caso en el que los cı́rculos son internamente tangentes.
E
E
r2
r1
D
2
C
r2
A
G
r1
A
=⇒
F
F
-
r1
B
-
2
G
r2
D
r2
C
2
2
r1
B
Similarmente al caso anterior, como los triángulos DGE y EF B son isósceles, ya que
los diámetros AB y CD son paralelos, los ángulos BF E y DGE son iguales, con una
cierta medida β. Entonces los ángulos F BE y GDE son iguales y miden π2 − β2 y, por
lo tanto, B, E y D están alineados.
Lema 3. Sean FABCD un arbelo generalizado y LM el diámetro de la circunferencia
ΓABCD . Sean X e Y las intersecciones de las lı́neas AL y BL con los cı́rculos de
CAPÍTULO 1. EL ARBELO Y SU GENERALIZACIÓN
18
diámetro AC y DB respectivamente. Si O1 y O3 son los centro de los semicı́rculos
de diámetros AC y DB, respectivamente, entonces las lı́neas O1 X, OL, O2 M y O3 Y
son paralelas.
L
X
Y
O2
A
O1
C
O
S
D
O3
B
M
Demostración.
L
X
A
O1
C
O
D
B
En el diagrama anterior, los triángulos AO1 X y AOL son isósceles y comparten
un ángulo, luego son semejantes y, por lo tanto, las lı́neas OL y O1 X son paralelas.
L
Y
A
C
O
D
O3
B
1.1. EL ÁREA DEL ARBELO GENERALIZADO
19
A partir de la figura previa tenemos que los triángulos BO3 Y y BOL también son
semejantes ya que son isósceles y comparten un ángulo y, por lo tanto, las lı́neas OL
y O3 Y son paralelas.
Veamos, por último, que OL y O2 M son paralelas.
P
L
O2
A
C
O
S
D
B
M Q
En la figura anterior, los triángulos OSP y O2 SQ son semejantes ya que son triángulos
rectángulos en los que los ángulos P SO y QSO2 son iguales. Entonces tenemos la
relación
OS
OS
O2 S
O2 S
⇒
,
(1.1)
=
=
PO
QO2
LO
M O2
ya que P O = LO, por ser ambos radios de la semicircunferencia AB, y QO2 = M O2 ,
pues ambos son radios de la semicircunferencia CD. Por tanto, deducimos que los
triángulos OSL y O2 SM son semejantes y, de esta forma, OL y O2 M son paralelas.
L
O2
A
C
O
S
D
B
M
Ahora ya tenemos las herramientas necesarias para probar la Proposición 1.
Demostración de la Proposición 1. Para comenzar, es claro que la igualdad ((visual))
siguiente es cierta.
CAPÍTULO 1. EL ARBELO Y SU GENERALIZACIÓN
20
Z
=
π
2 sin(2α) ×
O
U
V
O
W
2
πr
y el área del triángulo es
2
En efecto, basta observar que el área del semicı́rculo es
sin( π2 − α) × W V × W Z
sin α cos α
sin α × U V × U Z
+
=
(U Z 2 + ZW 2 )
2
2
2
sin 2α
=
(2r)2 = r2 sin 2α.
4
Aplicando la Proposición 2 y el Lema 3, tenemos que los puntos C, M y X son
colineales, y lo mismo ocurre con M, D e Y . Ası́, por la observación anterior,
L
L
X
X
Y
A
Y
=
C
D
B
π
2 sin(2α) ×
A
C
D
M
M
L
X
Y
=
π
2 sin(2α) ×
A
C
D
M
L
ABCD
X
Y
=
A
C
D
M
B
B
B
1.1. EL ÁREA DEL ARBELO GENERALIZADO
21
En el caso r3 = 0, donde se recupera el arbelo clásico, obtenemos el resultado de la
Proposición IV del Libro de los lemas. Este resultado lo enunciamos a continuación y
damos una prueba del mismo que es esencialmente distinta de la dada para el arbelo
generalizado y que resulta especialmente sencilla y elegante. Esta proposición dice
que el área del arbelo clásico es igual al área de un cierto cı́rculo con la siguiente
construcción: Sea AB el diámetro de la semicircunferencia mayor del arbelo clásico y
AD y DB los diámetros de las dos semicircunferencias menores. Sea L la intersección
de la perpendicular a la recta AB que pasa por D y la semicircunferencia de diámetro
AB. Entonces el cı́rculo que nos interesa será el de diámetro DL.
Proposición 4 (Proposición IV del Libro de los lemas). El área de las regiones
sombreadas en la siguiente figura es la misma.
L
L
T
R
A
B
D
A
B
D
Demostración. Por el Teorema de Pitágoras
T
T1
T1
T2
R1
S1
T + T 1 + T2 = S1 + S2
S2
S1
S1 = R 1 + T 1
CAPÍTULO 1. EL ARBELO Y SU GENERALIZACIÓN
22
T2
R2
S2
S2 = R 2 + T 2
Entonces
T + T 1 + T 2 = R1 + T 1 + R2 + T 2 ,
luego
T = R1 + R2 = R.
Cuando r1 = r2 , que es el caso correspondiente al salino, la Proposición 1 se reduce
al resultado de la Proposición XIV del Libro de los lemas. Este resultado dice que el
área del salino es igual al área de un cierto cı́rculo con la siguiente construcción: Sea
LM el segmento perpendicular a AB por su punto medio y que corta a la semicircunferencia de diámetro AB en L y a la de diámetro DC en M . Entonces el cı́rculo
buscado es el de diámetro LM como muestra la figura 1.6.
L
A
C
D
M
Figura 1.6
B
1.2. LOS CÍRCULOS GEMELOS DE ARQUÍMEDES
1.2.
23
Los cı́rculos gemelos de Arquı́medes
La Proposición V del Libro de los lemas establece que si en el arbelo trazamos la
perpendicular al segmento AB por D, que corta a la semicircunferencia de diámetro
AB en L, y construimos dos cı́rculos, uno tangente a la recta DL y a las semicircunferencias de diámetros AB y AD, y otro tangente a la misma recta y a las semicircunferencias de diámetros AB y DB, ambos son iguales. Además, establece que el
DB
diámetro de ambos cı́rculos es la media armónica de r1 = AD
2 y r2 = 2 . A estos
cı́rculos se les denomina los gemelos de Arquı́medes y pueden verse en la figura 1.7.
L
C1
C2
A
B
D
Figura 1.7
En el caso del arbelo generalizado también podemos construir una pareja de cı́rculos que probaremos que son iguales. La construcción en este caso es igual pero cambiando la recta LD del caso clásico, por la recta LM utilizada en la construcción del
cı́rculo ΓABCD . Los cı́rculos en este caso se muestran en la figura 1.8.
L
C1
C2
A
C
D
B
M
Figura 1.8
Proposición 5. Los cı́rculos C1 y C2 construidos sobre el arbelo generalizado FABCD
son iguales. Además, su diámetro es la media armónica de los valores r1 +r3 y r3 +r2 .
CAPÍTULO 1. EL ARBELO Y SU GENERALIZACIÓN
24
Demostración. Nuestro cálculo del radio de C1 esta basado en el siguiente esquema.
L
r
G
rT
r1
C
A
O1
H
r2
S
O
D
O2
O3
B
r3
M
Sea G el centro de C1 , r su radio y H la proyección de G sobre AB. Aplicando el
Teorema de Pitágoras a los triángulos O1 HG y OHG deducimos que
O1 H 2 + HG2 = GO12
y
OH 2 + HG2 = GO2 .
Ası́, eliminando HG2 , se tiene
O1 H 2 − OH 2 = GO12 − GO2 ⇒ O1 H 2 − OH 2 = (r1 + r)2 − (rT − r)2 ,
(1.2)
donde rT es el radio de la semicircunferencia de diámetro AB; es decir, rT = AB
2 .
Analicemos ahora la diferencia O1 H 2 − OH 2 con ayuda del dibujo anterior. Es claro
que
O1 H 2 − OH 2 = (O1 H + OH)(O1 H − OH)
= (rT − r1 )(O1 O − 2OH)
= (rT − r1 )(rT − r1 − 2(r − OS))
= (rT − r1 )(rT − r1 − 2r + 2OS).
Usando la semejanza vista en el Lema 3 entre los triángulos P OS y QO2 S, donde P
y Q son los puntos definidos en la construcción del cı́rculo ΓABCD , ver (1.1), tenemos
OS
O2 S
OS
rT
=⇒ OSr3 = rT (OO2 − OS)
=
=⇒
=
OP
O2 Q
O2 S
r3
=⇒ OS(r3 + rT )= OO2 rT
=⇒ OS = OO2
rT
r1 − r2
= rT
,
rT + r 3
r T + r3
ya que OO2 = rT − r3 − 2r2 = r1 − r2 . Entonces llegamos a
1.2. LOS CÍRCULOS GEMELOS DE ARQUÍMEDES
25
2
O1 H 2 − OH 2 = (rT − r1 ) rT − r1 − 2r + 2rT rrT1 −r
+r3 ,
que al sustituir en (1.2) da
2)
= (r1 + r)2 − (rT − r)2 .
(rT − r1 ) rT − r1 − 2r + 2rT (rrT1 −r
+r3
Ası́, tras sencillas manipulaciones algebraicas, concluimos que
r=
(r1 + r3 )(r3 + r2 )
r1 + 2r3 + r2
y
d = 2r =
1
r1 +r3
2
+
1
r3 +r2
,
que efectivamente es la media armónica de los valores r1 + r3 y r3 + r2 .
Para determinar el radio de C2 consideramos el esquema siguiente.
L
rT
r'
G'
r1
r2
S
A
O1
C
O
O2
H'
D
O3
B
r3
M
Si G es el centro de C2 , r su radio y H la proyección de G sobre AB, aplicando
el Teorema de Pitágoras a los triángulos O3 H G y OH G se tiene
O3 H 2 + H G2 = G O32
y
OH 2 + H G2 = G O2 ,
que, despejando H G2 , da
O3 H 2 − OH 2 = G O32 − G O2 ⇒ O3 H 2 − OH 2 = (r2 + r )2 − (rT − r )2 .
(1.3)
Tratemos ahora la diferencia O3 H 2 − OH 2 . Con el esquema previo podemos comprobar que
O3 H 2 − OH 2 = (O3 H + OH )(O3 H − OH )
= (rT − r2 )(O3 O − 2OH )
CAPÍTULO 1. EL ARBELO Y SU GENERALIZACIÓN
26
= (rT − r2 )(rT − r2 − 2(r + OS))
= (rT − r2 )(rT − r2 − 2r − 2OS).
Usando nuevamente la semejanza de los triángulos P OS y QO2 S y (1.1), deducimos, como ya hemos visto para C1 , que
OS = rT
r1 − r 2
rT + r 3
y, por tanto,
2
O3 H − OH
2
r 1 − r2
= (rT − r2 ) rT − r2 − 2r − 2rT
rT + r4
.
Sustituyendo lo anterior en (1.3) queda
(r1 − r1 )
(rT − r2 ) rT − r2 − 2r − 2rT
= (r2 + r)2 − (rT − r)2 ,
rT + r3
que se convierte en
r=
(r1 + r3 )(r3 + r2 )
r1 + 2r3 + r2
y
d = 2r =
1
r1 +r3
2
+
1
r3 +r2
.
1 r2
Cuando r3 = 0 tenemos que d = r2r
, luego efectivamente es la media armónica
1 +r2
de r1 y r2 y se corresponde con el resultado clásico de Arquı́medes. Cuando r1 = r2
3
tenemos que r = r1 +r
que es la media aritmética de r1 y r3 y se corresponde a los
2
radios de los cı́rculos gemelos del salino que mostramos en la figura 1.9.
L
C2
C1
A
C
D
M
Figura 1.9
B
1.3. EL CÍRCULO DE PAPPUS
1.3.
27
El cı́rculo de Pappus
La Proposición VI del Libro de los lemas afirma que si en el arbelo clásico trazamos
un cı́rculo tangente a las tres semicircunferencias de diámetros AB, AD y DB, su
radio es
r1 r2 (r1 + r2 )
.
r12 + r1 r2 + r22
A este cı́rculo se le conoce como cı́rculo de Pappus y se puede observar el la figura 1.10.
A
B
D
Figura 1.10
En el caso del arbelo generalizado también se puede construir un análogo del
cı́rculo de Pappus tomando un cı́rculo tangente a las semicircunferencias de diámetros
AB, AC y DB, en la figura 1.11 mostramos un ejemplo particular.
U
A
C
D
B
Figura 1.11
Nuestra siguiente proposición nos da el radio del cı́rculo de Pappus del arbelo
generalizado en función de los radios r1 , r2 y r3 .
Proposición 6. Sea r el radio del cı́rculo Pappus del arbelo generalizado FABCD ,
entonces
r3
rT
r1
+1+
.
=
r
r3 + r 2
r1 + r2
CAPÍTULO 1. EL ARBELO Y SU GENERALIZACIÓN
28
Demostración. Nuestra prueba se basará en el siguiente esquema.
r
rT
P
r1
r2
H
A
O1
C
O
D
O3
B
Sea P el centro del cı́rculo Pappus y H la proyección de P sobre la lı́nea AB.
Entonces, aplicando el Teorema de Pitágoras a los triángulos O1 HP , OHP y O3 HP ,
se cumple que
O1 H 2 + HP 2 = P O12 ,
OH 2 + HP 2 = P O2
y
O3 H 2 + HP 2 = P O32 .
(1.4)
Despejando HP 2 de la primera y tercera ecuación llegamos a la relación
P O12 − P O32 = O1 H 2 − O3 H 2 ,
que en términos de radios equivale a
(r + r1 )2 − (r + r2 )2 = (rT − r1 + OH)2 − (rT − r2 − OH)2
y que, tras algunas manipulaciones, da
OH =
(rT + r)(r1 − r2 )
.
rT + r3
Aplicando el mismo razonamiento a la primera y segunda ecuación en (1.4) deducimos que
P O12 − P O2 = O1 H 2 − OH 2 ,
que en función de los radios queda
(r + r1 )2 − (rT − r)2 = (rT − r1 + OH)2 − OH
y
OH = r
rT + r 1
− rT .
rT − r1
Finalmente, igualando las dos expresiones para OH
1.3. EL CÍRCULO DE PAPPUS
29
rT
r2
r1
+1+
.
=
r
r2 + r3
r1 + r3
Para el caso del arbelo clásico, cuando r3 = 0, tenemos que
rT
r2
r1
+1+ ,
=
r
r2
r1
es decir, el resultado de la Proposición VI del Libro de los lemas, y para el caso del
salino, cuando r1 = r2 , tenemos
rT
2r1
.
=1+
r
r1 + r 3
Capı́tulo 2
Otras propiedades del arbelo
clásico
En este capı́tulo vamos a ver otras propiedades del arbelo clásico. Comenzamos
introduciendo más cı́rculos con radio igual al de los gemelos de Arquı́medes que se
pueden localizar en el arbelo clásico. Bankoff encontró primero dos cı́rculos iguales
a los gemelos de Arquı́medes, a los que llamó el trillizo y el cuatrillizo. Más tarde,
en 1999, Dodge, Schoch, Woo y Yiu describieron 29 cı́rculos iguales a los cı́rculos
gemelos, a los que se denominan los cı́rculos de Schoch y los cı́rculos de Dodge, y una
familia infinita de ellos a los que se conoce como los cı́rculos de Woo.
Nos centraremos en los cı́rculos de Bankoff y los de Woo. También analizaremos
una cadena infinita de cı́rculos inscritos en el arbelo clásico, conocida como cadena
de Pappus, ya que el primer cı́rculo de la cadena es el cı́rculo de Pappus, y daremos
la relación entre el radio de estos cı́rculos y la altura a la que están. Además veremos
una propiedad que cumplen estos cı́rculos.
Finalmente, en la última sección veremos como demostrar algunas desigualdades
de medias usando el arbelo clásico e introduciremos el arbelo de oro.
2.1.
Más cı́rculos iguales a los gemelos de Arquı́medes
Leon Bankoff en [2] encontró dentro del arbelo clásico otro cı́rculo con el mismo
radio que los cı́rculos de Arquı́medes, de ahı́ su nombre: cı́rculo trillizo de Bankoff. El
mismo Bankoff, en un trabajo posterior [6], se preguntó si los cı́rculos de Arquı́medes
son únicamente tres. Veremos que no, que en realidad son cuatro.... y muchos más.
Recordemos que el radio de la semicircunferencia de diámetro AD lo denotábamos
por r1 y el de la de diámetro DB por r2 . Ası́, el radio de la semicircunferencia de
diámetro AB será r1 + r2 .
31
CAPÍTULO 2. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
32
2.1.1.
El trillizo de Bankoff
El cı́rculo trillizo de Bankoff tiene la siguiente construcción: Sea H el punto de
intersección de la semicircunferencia de diámetro AD y la recta perpendicular a AB
trazada desde el centro de la semicircunferencia de diámetro AD y sea K el punto
de intersección entre la semicircunferencia de diámetro DB y la recta perpendicular
a AB trazada desde el centro de la semicircunferencia de diámetro DB. Sea J la
intersección entre el segmento HK y el segmento DL. Entonces el cı́rculo trillizo de
Bankoff tiene su centro en el segmento DL y como diámetro JD, como muestra la
siguiente figura
L
H
J
K
A
B
D
Proposición 7. El diámetro del cı́rculo trillizo de Bankoff es
de los cı́rculos gemelos de Arquı́medes.
2r1 r2
r1 +r2 ,
el mismo que el
Demostración. Supongamos que la paralela a AB por K corta a LD en un punto P y
a la perpendicular a AB a través del punto H en I, tal como se muestra en la figura.
L
H
J
I
K
P
A
B
D
Según la definición del cı́rculo trillizo de Bankoff, es evidente que DJ es el diámetro
de este cı́rculo. Denotaremos por x su longitud. Vemos que los triángulos IHK y P JK
son semejantes, ya que todos sus ángulos son iguales, y, por tanto, tenemos
x − r2
JP
r1 − r 2
HI
=
=
=⇒
IK
PK
r1 + r2
r2
2.1. MÁS CÍRCULOS IGUALES A LOS GEMELOS DE ARQUÍMEDES
=⇒ (x − r2 ) =
=⇒ x =
33
r2 (r1 − r2 )
r 1 + r2
r2 (r1 − r2 )
2r1 r2
+ r2 =
,
r1 + r 2
r1 + r 2
como querı́amos probar.
En algunas referencias, ver por ejemplo [8], el trillizo de Bankoff se define de la
siguiente forma: Si el cı́rculo de Pappus de un arbelo clásico es tangente a las semicircunferencias de diámetros AD y DB en M y N , respectivamente, la circunferencia
que pasa por los puntos D, M y N es el cı́rculo trillizo de Bankoff. Podemos ver esta
construcción alternativa en la figura 2.1.
L
M
N
A
B
D
Figura 2.1
Veamos que las dos definiciones son consistentes, para ello vamos a demostrar el
siguiente lema.
Lema 8. El cı́rculo trillizo de Bankoff descrito inicialmente, pasa por los puntos M
y N que son los puntos de contacto del cı́rculo de Pappus con las semicircunferencias
AD y DB.
Demostración. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que r1 + r2 = 1. Con ello, el
radio de los cı́rculos gemelos es r1 r2 y el radio del cı́rculo de Pappus es
r=
r1 r 2
r1 r2 (r1 + r2 )
=
.
r12 + r22 + r1 r2
1 − r1 r 2
L
O
M
N
A
O1
D
O2
B
CAPÍTULO 2. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
34
Basándonos en el dibujo anterior, tenemos que el triángulo OO1 O2 , formado por los
centros de los cı́rculos de diámetros AD y DB y el cı́rculo de Pappus, tiene por lados
r1 + r, r2 + r y r1 + r2 = 1, donde r es el radio del cı́rculo de Pappus. Luego el
semiperı́metro del triángulo OO1 O2 es s = 1 + r. Aplicando la formula de Herón, el
área de dicho triángulo cumple
A2 = s(s − r1 − r)(s − r2 − r)(s − 1) = (1 + r)r1 r2 r.
Ahora bien, el área del triángulo también viene dada por A = sR, siendo R el radio
de la circunferencia inscrita. Como M N D es la circunferencia inscrita en el triángulo
OO1 O2 , su radio cumplirá1
A = sR,
elevando al cuadrado e igualando ambas expresiones tenemos
(1 + r)r1 r2 r = (1 + r)2 R2
y, despejando R, nos queda
r2 r2
1 2
r 1 r2 r
= 1−rr11rr22 = r12 r22 ,
R =
1+r
1 + 1−r1 r2
2
es decir
R = r1 r 2 ,
lo que implica que el cı́rculo inscrito en el triángulo OO1 O2 es el cı́rculo trillizo de
Bankoff; es decir, el trillizo pasa por lo punto M , N y D.
La siguiente figura, nos muestra los gemelos de Arquı́medes, el trillizo de Bankoff
y el cı́rculo Pappus.
1 Usando
la notación a = BC, b = CA y c = AB, esta propiedad se deduce de la siguiente figura
A
s-a
s-a
R
R
B
A=
1
2
2
s-c
R
s-b
s-b
s-c
C
R(s − a)
R(s − b)
R(s − c)
+2
+2
2
2
2
= sR
La demostración de que la circunferencia inscrita divide a los lados en segmentos de longitudes
s − a, s − b y s − c se verá en el Lema 22 del Capı́tulo 3, al desarrollar la prueba del Teorema de
Descartes-Soddy.
2.1. MÁS CÍRCULOS IGUALES A LOS GEMELOS DE ARQUÍMEDES
A
35
B
D
L
2.1.2.
El cuatrillizo de Bankoff
Tras haber encontrado el trillizo, Bankoff encontró otro cı́rculo con el mismo radio
que el de los cı́rculos gemelos. Se trata del máximo cı́rculo inscrito en el segmento
circular que recorta de la semicircunferencia de diámetro AB la recta tangente común
a las dos semicircunferencias de diámetros AD y DB. A este cı́rculo Bankoff lo llamó el
cuatrillizo. La figura 2.2 muestra el cı́rculo cuatrillizo de Bankoff.
L
X
Y
A
B
D
Figura 2.2
Notar que el punto de tangencia del cuatrillizo con la semicircunferencia de diámetro AB será el punto de corte de la paralela a XY tangente a dicha semicircunferencia.
Además, su diámetro será la distancia entre el segmento XY y la paralela tangente. Veamos ahora como construir el cuatrillizo de Bankoff. Para ello necesitamos el
siguiente lema.
Lema 9. Las rectas AL y BL cortan a las semicircunferencias de diámetros AD y
DB en los puntos de tangencia de la recta tangente común.
CAPÍTULO 2. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
36
Demostración. Nuestra prueba está basada en la siguiente figura.
L
X
Y
A
D
B
Notemos que DY LX es un rectángulo ya que todos sus ángulos internos son rectos.
Ası́ tenemos
∠Y XD = ∠Y LD = ∠XAD
y, por el teorema del ángulo semiinscrito,2 el ángulo ∠Y XD está semiinscrito al arco
XD y XY es tangente a la semicircunferencia de radio AD en X. Un razonamiento
similar nos permite probar que XY es tangente a la semicircunferencia de diámetro
DB en Y .
El siguiente lema, nos va a permitir dar una construcción precisa del cı́rculo cuatrillizo.
Lema 11. El cı́rculo cuatrillizo de Bankoff es tangente a la semicircunferencia de
diámetro AB en L, (el punto de corte de dicha circunferencia con la perpendicular
por D al segmento AB) y su diámetro es el segmento LM , que es perpendicular a
XY pasando por L.
Demostración. Por la observación posterior a la definición del cı́rculo cuatrillizo de
Bankoff, basta determinar el punto de tangencia con la semicircunferencia de diámetro
AB de la recta paralela a XY . Veamos que ese punto es L y habremos concluido. Sea
t la recta tangente en L a la semicircunferencia de diámetro AB. Por el Lema 9, las
rectas AL y BL cortan en X e Y y tenemos el siguiente esquema.
2 El
Teorema del ángulo semiinscrito dice lo siguiente.
Teorema 10. Sean A y B dos puntos de una circunferencia. Si AD y BD son dos segmentos
tangentes a la semicircunferencia desde un punto exterior D y C otro punto cualquiera de la circunferencia, entonces ∠ACB = ∠DAB. Inversamente, si C es un punto de una circunferencia, D
es un punto exterior y ∠ACB = ∠DAB, entonces AD y BD son tangentes a la circunferencia.
2.1. MÁS CÍRCULOS IGUALES A LOS GEMELOS DE ARQUÍMEDES
t
37
L
X
M
A
Y
B
D
Por el teorema del ángulo semiinscrito los ángulos en la figura son iguales y las
rectas XY y t son paralelas.
Ahora ya tenemos todas las herramientas necesarias para demostrar la siguiente
proposición.
Proposición 12. El diámetro del cuatrillizo de Bankoff es
cı́rculos gemelos de Arquı́medes.
2r1 r2
r1 +r2 ,
igual al de los
Demostración.
L
X
M
Y
A
B
D
De la figura anterior podemos deducir que los triángulos ABL e Y XL son semejantes,
en consecuencia tenemos la relación
LM
LD
XY × LD
=
⇒ LM =
.
XY
AB
AB
Como XY = LD (notar que son diagonales del rectángulo DY LX), deducimos que
LM =
LD2
.
AB
Por la Proposición 4, que establece que el área del arbelo clásico es igual a la del
cı́rculo de diámetro LD, se tiene que
2 2 2 2
AD + DB
AD
DB
LD
π
−
−
,
=π
2
2
2
2
2
CAPÍTULO 2. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
38
lo que implica
1
2
(AD + DB) − AD2 − DB 2 = LD2 ,
2
que es equivalente a AD × DB = LD2 . Por lo tanto, concluimos que
LM =
2.1.3.
2r1 2r2
2r1 r2
AD × DB
.
=
=
AB
2(r1 + r2 )
r 1 + r2
Los cı́rculos de Woo
El artı́culo [9] de Martin Gardner motivó al entonces estudiante Thomas Schoch
a descubrir más cı́rculos gemelos. De forma independiente, Clayton W. Dodge, de la
Universidad de Maine, Peter Woo, de la Universidad Biola de California, y Paul Yiu,
de Florida, también investigaron la existencia de otros cı́rculos con el mismo radio
que los cı́rculos gemelos. En 1999, Dodge, Schoch, Woo y Yiu escribieron un artı́culo
[6] en el que describen 29 cı́rculos iguales a los cı́rculos gemelos, aparte de una familia
infinita de ellos, que presentamos a continuación.
Los cı́rculos de Woo son una familia infinita de cı́rculos arquimedianos en el arbelo clásico centrados en la llamada lı́nea de Schoch. Esta lı́nea es perpendicular a AB
1 −r2 )
y corta a la semicircunpasando por un punto K tal que que AK = 2r1 + r1(rr21(r
+r2 )2
ferencia de diámetro AB del arbelo en un punto V .
Para construir la familia infinita de cı́rculos de Woo consideramos un número real
positivo λ y construimos dos familias de semicircunferencias Pλ y Qλ , ambas tangentes
al segmento DL, perpendicular a AB pasando por D, estando las semicircunferencias
Pλ centradas en AD o en su prolongación y con radio λr1 y las semicircunferencias
Qλ centradas en DB o en su prolongación y con radio λr2 . Entonces el cı́rculo de
Woo Uλ es aquel que es tangente a Pλ y Qλ y esta centrado en la lı́nea de Schoch
KV. La siguiente figura muestra algunos cı́rculos de Woo.
P4
U7
Q4
P2
V
U4
Q2
U2
U1
U0
A
B
D
K
2.1. MÁS CÍRCULOS IGUALES A LOS GEMELOS DE ARQUÍMEDES
39
En el caso lı́mite λ = 0 podemos definir el cı́rculo de Woo U0 como aquel que pasa
por D, tiene su centro sobre la lı́nea de Schoch y tiene radio igual al de los gemelos
de Arquı́medes.
A continuación probaremos que cada cı́rculo de la familia de Woo tiene el mismo
radio que los gemelos de Arquı́medes, lo que dará consistencia a nuestra definición de
U0 . Además, daremos un recı́proco de este hecho.
Teorema 13 (Teorema de Woo). Para cada λ > 0 el radio del cı́rculo Uλ de la
familia de Woo es igual al radio de los gemelos de Arquı́medes. Además, cada cı́rculo
3
2
1 r2 )
centrado en la lı́nea de Schoch, a una altura mı́nima de 2(r
(r1 +r2 )2 , y con radio el de
los gemelos de Arquı́medes es tangente a dos circunferencias Pλ y Qλ con un cierto
λ > 0.
Demostración.
U
C
C P
D K
A
B
C Q
Usando el esquema anterior, es claro que la recta que une el centro Cλ de un
cı́rculo Uλ con el centro CQλ de la circunferencia Qλ pasa por el punto de tangencia
entre ambas y lo mismo pasa para el centro CPλ de la circunferencia Pλ . Denotemos
por r el radio del cı́rculo Uλ . Ası́, por el Teorema de Pitágoras,
CPλ Cλ2 = Cλ K 2 + KCP2 λ
y
2
CQλ Cλ2 = Cλ K 2 + KCQ
.
λ
Eliminando Cλ K 2 y usando que los radios de Pλ y Qλ son, respectivamente, λr1
y λr2 , se tiene
(r + λr1 )2 − (λr1 + DK)2 = (r + λr2 )2 − (λr2 − DK)2 ,
que implica la relación
r = DK
r 2 + r1
.
r1 − r 2
Como
DK = AK − AD = AK − 2r1 =
concluimos que
r1 r2 (r1 − r2 )
,
(r1 + r2 )2
(2.1)
CAPÍTULO 2. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
40
r=
r1 r2
;
r1 + r2
es decir, el radio coincide con el de los gemelos de Arquı́medes.
Veamos el inverso. Es evidente que el cı́rculo más bajo que podemos tomar centrado
en la lı́nea de Schoch y tangente a dos circunferencias pasando por D debe pasar por
este punto (en este caso estamos considerando dos circunferencias que degeneran en
el propio punto), ver figura siguiente.
C0
A
B
D
K
Ahora aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo C0 DK tenemos
DC02 = C0 K 2 + DK 2 .
Como C0 K es el radio del cı́rculo y coincide con el radio de los gemelos de Arquı́medes,
usando el valor de DK dado en (2.1) resulta
C0 K =
r1 r2
r 1 + r2
2
−
r1 r2 (r1 − r2 )
(r1 + r2 )2
2
=
r 1 r2 (r1 + r2 )2 − (r1 − r2 )2
(r1 + r2 )2
=
2(r1 r2 ) 2
.
(r1 + r2 )2
3
Resulta evidente que un cı́rculo centrado en la lı́nea de Schoch por encima del valor
3
2(r1 r2 ) 2
(r1 +r2 )2
siempre será tangente a dos circunferencias Pλ y Qλ , con λ, λ > 0. Veamos
que λ = λ y habremos concluido.
2.2. LA CADENA DE PAPPUS
41
P
U
Q'
C
C P
D K
A
B
C Q '
Aplicando nuevamente el Teorema de Pitágoras a los triángulos CPλ KC y CQλ KC
obtenemos
CPλ C 2 = CPλ K 2 + KC
CQλ C 2 = CQλ K 2 + KC.
y
Eliminando KC entre las dos ecuaciones deducimos que
C P λ C 2 − C P λ K 2 = C Q λ C 2 − C Q λ K 2
es decir,
r1 r2
+ λr1
r1 + r 2
2
− (λr1 + DK)2 =
r1 r2
+ λ r2
r1 + r2
2
− (λ r2 − DK)2 ,
donde hemos usado que el cı́rculo tiene el radio de los gemelos. Ası́,
λr1
r1 r 2
− DK
r1 + r 2
= λ r2
r 1 r2
+ DK
r 1 + r2
y usando (2.1) concluimos que
λr1
2.2.
2r1 r22
2r12 r2
=
λ
r
⇒ λ = λ .
2
(r1 + r2 )2
(r1 + r2 )2
La cadena de Pappus
El llamado cı́rculo de Pappus inscrito en el arbelo clásico es el primero de una
sucesión infinita de cı́rculos, llamada cadena de Pappus, en la que cada cı́rculo de la
cadena es tangente al anterior y a las dos semicircunferencias de diámetros AB y AD
del arbelo, como muestra la siguiente figura.
CAPÍTULO 2. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
42
C2
C3
C1
C4
C0
A
B
D
El siguiente resultado es referido por Pappus como un teorema antiguo y se desconoce
su autor. Notemos que la demostración que vamos a dar no es la que dio Pappus en
su dı́a, si no una demostración mucho mas simple basada en inversión.
Proposición 14. Si hn es la distancia del centro del n-ésimo cı́rculo de la cadena de
Pappus a la recta AB y Rn es su radio, entonces se cumple que hn = 2nRn .
Demostración.
l
m
C3
C2
C1
C2 '
C1 '
C0
A
C0 '
D
B
Sea I la inversión con centro A y radio el segmento de tangente desde A al cı́rculo
Cn , como muestra la figura anterior en el caso particular n = 3. Por ser Cn ortogonal
a la circunferencia de inversión, tenemos que I(Cn ) = Cn y la recta AB, al pasar
por el centro de inversión, también es fija por la inversión I. Las semicircunferencias
de diámetros AB y AD se invierten en rectas, ya que ambas pasan por el centro de
inversión, y además deben ser tangentes a Cn , ası́ que se transforman en las rectas m
y l. Finalmente, los cı́rculos C1 , C2 , ...., Cn se transforman en una cadena de cı́rculos
entre m y l con el mismo radio ya que son todos tangentes a las semicircunferencias
de diámetros AB y AD. Por lo que la figura con su inversión nos quedarı́a
2.2. LA CADENA DE PAPPUS
43
C5 '
m
C4 '
l
C3
C2
C4
C1
C2 '
C1 '
C0
C0 '
A
B
D
Donde vemos fácilmente que la altura hn del centro del cı́rculo Cn es n veces el
diámetro de dichos cı́rculos; es decir, hn = 2nRn .
A continuación vamos a determinar el radio de cada uno de los cı́rculos de la
cadena de Pappus en función de los radios de las semicircunferencias AD y DB. Por
simplicidad supondremos que AB = 2 y de esta forma tendremos que AD = 2r1 y
DB = 2r2 = 2(1 − r1 ). La prueba de nuestro resultado se basará en el Teorema de
Descartes-Soddy cuya prueba daremos en el Capı́tulo 3.
Teorema 15 (Teorema de Descartes-Soddy). Si tres circunferencias son tangentes
exteriormente dos a dos, entonces existen otras dos circunferencias tangentes a esas
tres, una de ellas interiormente y la otra exteriormente. Si r1 , r2 y r3 son los radios
de las circunferencias tangentes exteriormente dos a dos y r4 es el radio de una de
las dos circunferencias tangentes a las tres anteriores, entonces se tiene
2
1
1
1
1
+ 2+ 2+ 2
2
r1
r2
r3
r4
=
1
1
1
1
+
+
±
r1
r2
r3
r4
2
.
El signo positivo en la expresión del teorema anterior se corresponde al caso en el
que la cuarta circunferencia es tangente exteriormente a las otras tres (es decir, las
tres circunferencias iniciales quedan en el exterior de la cuarta), y el signo negativo
se corresponde al caso en el que la cuarta circunferencia es tangente interiormente a
las otras tres (en este caso las tres circunferencias iniciales quedan en el interior de la
cuarta).
Proposición 16. Sea AB = 2, AD = 2r1 y DB = 2(1 − r1 ), entonces el radio del
n-ésimo cı́rculo de la cadena de Pappus viene dado por
Rn =
r1 (1 − r1 )
.
n2 (1 − r1 )2 + r1
(2.2)
Demostración. Esta fórmula puede obtenerse de forma iterativa resolviendo la ecuación cuadrática generada por el Teorema de Descartes-Soddy. En efecto, como cada
cı́rculo en la cadena de Pappus es tangente al anterior, al de diámetro AD = 2r1 y al
de diámetro AB = 2, llamando
CAPÍTULO 2. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
44
=
1
r1 ,
0 =
1
1−r1
y
n =
1
Rn ,
n > 0,
el Teorema de Descartes-Soddy nos dice que
2(2 + 2n + 2n+1 + 1) = ( + n + n+1 − 1)2 ,
que escrito como ecuación en n+1 queda
2n+1 − 2( + n − 1)n+1 + 22 + 2n + 2 − ( + n − 1)2 = 0.
Tomando la solución con el signo positivo, obtenemos
√
n+1 = + n − 1 + 2 n − − n .
Usemos un argumento de inducción para probar que efectivamente (2.2) se cumple.
1
1
1
1
Si n = 0, como n − − n =
−
−
= 0, llegamos a
r 1 1 − r1
r1
1 − r1
1 = + n − 1 =
1
1
r 2 − r1 + 1
+
−1= 1
r1
1 − r1
r1 (1 − r1 )
y, por lo tanto,
R1 =
1
r1 (1 − r1 )
=
.
1
(r1 − 1)2 + r1
Supuesta la expresión para Rn , se verifica que
1 n2 (1 − r1 )2 + r1
n2 (1 − r1 )2 + r1
1
−
−
r1
r1 (1 − r1 )
r1
r1 (1 − r1 )
1
n2 (1 − r1 )2 + r1
−
=
r12
r1
2
2
n (1 − r1 )
=
,
r12
n − − n =
luego
√
n+1 = + n − 1 + 2 n − − n
1
n2 (1 − r1 )2 + r1
2n(1 − r1 )
+
−1+
r1
r1 (1 − r1 )
r1
(1 − r1 )2 + n2 (1 − r1 )2 + 2n(1 − r1 )2 + r1
=
r1 (1 − r1 )
(n + 1)2 (1 − r1 )2 + r1
,
=
r1 (1 − r1 )
=
lo que concluye la demostración.
2.2. LA CADENA DE PAPPUS
2.2.1.
45
Propiedad de Gaba
Otra propiedad del arbelo relacionada con la cadena de Pappus fue descubierta
por M. G. Gaba y apareció publicada en The American Mathematical Monthly [7].
Esta propiedad establece que la lı́nea que une ciertos centros de cı́rculos de la cadena
de Pappus es paralela a la recta AB.
Proposición 17. Si
(k − 1)
AD
=
, k > 1,
(2.3)
AB
k
siendo k un número entero, los centros de al menos un par de cı́rculos de la cadena
de Pappus estarán en una paralela a la recta AB. Los cı́rculos emparejados de esta
manera serán aquellos cuyo número de orden en la cadena sean divisores de k(k − 1).
C3
C4
C2
C3
C2
C1
C1
A
B
D
A
D
B
En el ejemplo mostrado en la parte izquierda de la figura anterior, tenemos k = 3
y k(k − 1) = 6. El entero 6 puede factorizarse de dos formas: 1 × 6 y 2 × 3. Por
tanto, los cı́rculos emparejados son el primero y el sexto y el segundo y el tercero. En
la parte derecha de la figura vemos el caso k = 4. Entonces k(k − 1) = 12 y como
12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4, tenemos tres pares de cı́rculos emparejados.
Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer AB = 2. Ası́, como
AD = 2r1 , de (2.3) se deduce que
1 − r1 =
1
.
k
(2.4)
Ahora, sustituyendo el valor de Rn obtenido en la Proposición 16 en la expresión para
hn de la Proposición 14 y usando (2.4), tenemos que
hn = 2nRn = 2n
r1 (1 − r1 )
=
n2 (1 − r1 )2 + r1
2n k−1
k2
n2
k2
+
k−1
k
=
2n(k − 1)
.
n2 + k(k − 1)
Ahora, si m y n son distintos, concluimos que
hn = hm ⇐⇒
2m(k − 1)
2n(k − 1)
= 2
m2 + k(k − 1)
n + k(k − 1)
⇐⇒ mn2 + mk(k − 1) = m2 n + nk(k − 1)
⇐⇒ mn = k(k−1).
Luego si mn = k(k − 1) los cı́rculos m y n están a la misma altura; es decir, la lı́nea
que une los centros de cı́rculos cuyo orden en la cadena de Pappus sean divisores de
k(k − 1) es paralela a AB.
CAPÍTULO 2. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
46
2.3.
Otras propiedades del arbelo clásico
En esta sección vamos a ver otras propiedades del arbelo clásico. En la primera
parte utilizaremos el arbelo para demostrar ciertas desigualdades sobre medias y en
la segunda analizaremos un arbelo muy particular: el arbelo de oro, en el que las
longitudes AD y DB están en proporción áurea.
2.3.1.
El arbelo y las desigualdades de medias
Recordemos que dados dos números positivos, a y b, se define la media de orden
r ∈ R \ {0} como
1
r
a + br 2
.
Mr (a, b) =
2
√
Además, M0 (a, b) = ab. El siguiente resultado nos va a permitir localizar los valores
de ciertas medias en el arbelo clásico y probar algunas desigualdades sobre ellas.
Teorema 18. Siguiendo la notación de la figura siguiente, se tiene:
a) OR = OL = M1 (AD, DB).
b) DL = M0 (AD, DB).
c) LE = M−1 (AD, DB).
d) DR = M2 (AD, DB).
e) Finalmente,
DB ≤ M−1 (AD, DB) ≤ M0 (AD, DB) ≤ M1 (AD, DB) ≤ M2 (AD, DB) ≤ AD.
Además, las desigualdades son estrictas cuando AD = DB .
R
L
E
A
O1
O
D
O2
B
Demostración. Puesto que OL y OR son radios de la semicircunferencia de diámetro
AB, se tiene
AD + DB
AB
=
= M1 (AD, DB),
OL = OR =
2
2
2.3. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
47
lo que prueba a). Ahora,
OD = OB − DB =
AB
AD + DB
AD − DB
− DB =
− DB =
.
2
2
2
Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo DOL, se deduce que
2 2
AD + DB
AD − DB
2
2
DL = OL − OD =
−
2
2
√
= AD · DB = M0 (AD, DB)
y b) está demostrado. Para probar c) usaremos que los triángulos DOL y LED son
semejantes, ya que tienen todos sus ángulos iguales. Entonces tenemos la relación
LE
2AD · DB
LD
LD2
AD · DB
=
=
⇒ LE =
=
= M−1 (AD, DB).
1
LD
OL
OL
AD + DB
(AD + DB)
2
Para obtener la longitud de DR y probar d), basta aplicar el Teorema de Pitágoras
al triángulo DOR. En efecto,
DR = OR2 + OD2 =
=
AD + DB
2
2
+
AD − DB
2
2
AD2 + DB 2
= M2 (AD, DB).
2
Las siguientes imágenes prueban las desigualdades centrales de e):
R
R
L
E
A
O1
L
E
O
D
O2
A
B
O1
O
R
L
E
A
O1
D
O2
B
M0 (AD, DB) = DL ≤ OL = M1 (AD, DB)
M−1 (AD, DB) = LE ≤ DL = M0 (AD, DB)
O
D
O2
B
M1 (AD, DB) = OR ≤ DR = M2 (AD, DB)
CAPÍTULO 2. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
48
Para probar las desigualdades de los extremos basta observar que
AD = AO + OD = RO + OD ≥ DR = M2 (AD, DB)
y
DB = OB − OD ≤ OB − OE = OL − OE = LE = M−1 (AD, DB).
Las igualdades ocurren solo cuando los tres triángulos rectángulos se reducen a un
segmento; es decir, cuando el punto D coincide con el punto O y, por lo tanto, AD =
DB.
2.3.2.
El arbelo de oro
Leon Bankoff consideró en su artı́culo [1] un arbelo muy particular. Supuso que el
punto D divide al segmento AB en la razón áurea; es decir, cumpliendo que AD2 =
AB · DB. Si volvemos a suponer que √
AB = 2 y AD = 2r1 , esto ocurre cuando
−1+ 5
2
. Llamamos arbelo de oro a este caso tan
r1 = 1 − r1 ; es decir, cuando r1 =
2
especı́fico. Vamos a probar una propiedad relacionada con el arbelo de oro pero para
ello debemos definir antes dos familias de circunferencias en él.
Si en el arbelo de oro consideramos circunferencias completas en lugar de semicircunferencias y tomamos las tangentes comunes a las circunferencias de diámetros
AD y DB, podemos construir una familia Γn de circunferencias del siguiente modo:
Tomamos Γ0 como la circunferencia de diámetro DB y cada circunferencia Γn es
tangente a Γn−1 y a las tangentes comunes mencionadas antes. Algunos elementos de
la familia Γn pueden verse en la siguiente figura.
0
A
D
B
1
2
3
4
L
Lema 19. Para cada n ≥ 0, el radio de las circunferencias Γn es sn = (1 − r1 )r1n .
Demostración. Si sn es el radio de las circunferencias Γn tenemos la siguiente figura
2.3. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
49
r1
sn
s0 =1-r1
s1
s2
Resulta claro que cada uno de los triángulos del diagrama que aparece a continuación
son semejantes.
z
sn
y
x
s0
r1
De esta forma
y
s0
=
r1
x
y, como y = x − r1 − s0 ,
s0
r1 + s0
r1 + s 0
s0
=1−
=⇒
=1−
r1
x
x
r1
1
2r1 − 1
r1 − s 0
=⇒ =
=
x
r1
r1
r1
=⇒ x =
.
2r1 − 1
CAPÍTULO 2. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
50
Además,
z
r1
sn
= =⇒ sn = (x − r1 − 2s0 − 2s1 − · · · − 2sn−1 − sn )
r1
x
x
=
(sn−1 + sn )r1
r1
(x − r1 − 2s0 − 2s1 − · · · − sn−1 ) −
x
x
= sn−1 −
lo que implica que
(sn−1 + sn )r1
,
x
(2.5)
r1 r1 = sn−1 1 −
sn 1 +
x
x
y, usando (2.5),
sn = sn−1
r1
− r1
x − r1
1 − r1
= sn−1 2rr11−1
= sn−1
= sn−1 r1 ,
x + r1
+
r
r1
1
2r1 −1
pues 1 − r1 = r12 en el arbelo de oro. Como s0 = (1 − r1 ), inmediatamente se tiene
que sn = (1 − r1 )r1n .
En el arbelo de oro consideramos tres circunferencias Δ1 , Δ2 y Δ3 definidas de la
siguiente forma:
a) Δ1 es el gemelo de Arquı́medes tangente a la circunferencia de diámetro AD,
b) Δ2 es tangente a Δ1 y a las circunferencias de diámetros AB y AD,
c) Δ3 es tangente a Δ1 , a la circunferencia de diámetro AD y a la recta DL.
A
D
B
1
2
3
3
2
1
L
Ası́, ya estamos en condiciones de establecer la siguiente proposición.
Proposición 20. En el arbelo de oro, las circunferencias Γ1 , Γ2 y Γ3 son iguales,
respectivamente, a Δ1 , Δ2 y Δ3 .
2.3. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLÁSICO
51
Demostración. Según el lema previo los radios de Γ1 , Γ2 y Γ3 son
s1 = (1 − r1 )r1 ,
s2 = (1 − r1 )r12
y
Sabemos que el radio de los gemelos de Arquı́medes es
r1 (1−r1 )
r1 +1−r1
s3 = (1 − r1 )r13 .
r 1 r2
r1 +r2 ,
que en este caso, como
= r1 (1 − r1 ). Luego el radio de Δ1 coincide con
r2 = 1 − r1 , se convierte en
el de Γ1 . Para calcular el radio de Δ2 , que denotaremos por P2 , usaremos el Teorema
de Descartes-Soddy. En este caso, ese resultado implica que
2
1
1
1
+ 2
+ 2 +1
r12
r1 (1 − r1 )2
P2
y, de este modo,
=
2
1
1
1
+
−1
+
r1
r1 (1 − r1 ) P2
√
2(1 + 1 − r1 )
r1
1
=
+
P2
r1
1 − r1
=
2(1 + r1 )
r1
2(1 − r12 ) + r12
+
=
r1
1 − r1
r1 (1 − r1 )
=
2 − r12
1 + r1
1
=
= 2
,
r1 (1 − r1 )
r1 (1 − r1 )
r1 (1 − r1 )
donde hemos usado que r12 = 1 − r1 . Ası́, P2 = s2 y las circunferencias Δ2 y Γ2 son
iguales. Denotando por P3 el radio de Δ3 , por el Teorema de Descartes-Soddy, considerando la recta DL como una circunferencia de radio infinito, nos da
2
1
1
1
+ 2
+ 2
r12
r1 (1 − r1 )2
P3
=
1
1
1
+
+
r1
r1 (1 − r1 ) P3
2
,
de donde obtenemos
√
1
2(1 + 1 − r1 )
1
2(1 + r1 )
1
=
−
=
−
P3
(1 − r1 )r1
1 − r1
(1 − r1 )r1
1 − r1
=
2 + r1
1
=
,
(1 − r1 )r1
(1 − r1 )r13
ya que, por ser r12 = 1 − r1 , se tiene que 2 + r1 = r12 . Por tanto P3 = s3 y las circun1
ferencias Γ3 y Δ3 son idénticas, lo que concluye la demostración.
Capı́tulo 3
El Teorema de
Descartes-Soddy
Finalmente, en este capı́tulo, vamos a dar una demostración del Teorema de
Descartes-Soddy que hemos utilizado en la Proposición 16 y en la Proposición 20.
Antes de dar la demostración demos una pequeña introducción histórica.
En 1643, Descartes enunció, en una carta dirigida a la princesa Isabel de Bohemia, el resultado que relaciona los radios de cuatro circunferencias tangentes entre sı́,
conocido hoy como el Teorema de las circunferencias de Descartes. Esa versión inicial
del resultado únicamente cubrı́a el caso en el que las cuatro circunferencias son tangentes exteriormente. En 1937, el matemático aficionado y premio Nobel de quı́mica,
Frederick Soddy redescubrió el Teorema de Descartes incluyendo el caso en el que las
circunferencias sean tangentes interiormente. Este teorema es a veces conocido como
el Teorema de los cı́rculos besadores, ya que Soddy publicó su versión de este teorema
en forma de poema, al que tituló The Kiss Precise y que fue publicado en la revista
Nature el 20 de junio de 1937:
Cuatro cı́rculos llegaron a besarse,
cuanto menores tanto más curvados,
y es su curvatura tan sólo la inversa
de la distancia desde el centro.
Aunque este enigma a Euclides asombrara,
ninguna regla empı́rica es necesaria:
al ser las rectas de nula curvatura
y ser las curvas cóncavas tomadas negativas,
la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas
es igual a un medio del cuadrado de su suma.
El hecho de que una parte del resultado se deba a Descartes y la otra a Soddy es
lo que nos ha llevado a denominarlo Teorema de Descartes-Soddy. Recordemos ahora
el enunciado.
Teorema 21 (Teorema de Descartes-Soddy). Si tres circunferencias son tangentes
exteriormente dos a dos, entonces existen otras dos circunferencias tangentes a esas
53
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE DESCARTES-SODDY
54
tres, una de ellas interiormente y la otra exteriormente. Si r1 , r2 y r3 son los radios
de las circunferencias tangentes exteriormente dos a dos y r4 es el radio de una de
las dos circunferencias tangentes a las tres anteriores, entonces se tiene
2
1
1
1
1
+ 2+ 2+ 2
2
r1
r2
r3
r4
=
1
1
1
1
+
+
±
r1
r2
r3
r4
2
.
Recordemos que el signo positivo en la expresión del teorema anterior se corresponde al caso en el que la cuarta circunferencia es tangente exteriormente a las otras
tres (es decir, las tres circunferencias iniciales quedan en el exterior de la cuarta), y
el signo negativo se corresponde al caso en el que la cuarta circunferencia es tangente
interiormente a las otras tres (en este caso las tres circunferencias iniciales quedan en
el interior de la cuarta).
Antes de proceder con la demostración en sı́ misma veamos un par de lemas que
serán de gran utilidad.
Lema 22. Sean C1 , C2 y C3 tres circunferencias tangentes exteriormente y C4 una
circunferencia pasando por los puntos de tangencia de C1 , C2 y C3 . Sean A, B y C
los centros de C1 , C2 y C3 respectivamente, y a = BC, b = CA y c = AB. Si r1 , r2 , r3
y r4 son los radios de C1 , C2 , C3 y C4 , respectivamente, entonces
r1 = s − a,
r2 = s − b,
r3 = s − c
y
r4 = r,
donde s es el semiperı́metro de ABC y r el radio de la circunferencia inscrita al
triángulo ABC. Además, se cumple la relación
1
1
1
1
+
+
= 2.
r 2 r3
r 3 r1
r1 r 2
r4
(3.1)
Demostración. En primer lugar veamos que la circunferencia inscrita en un triángulo
ABC divide los lados del triángulo en segmentos de longitud s − a, s − b y s − c. En
efecto, usando la figura siguiente, construida teniendo en cuenta que los segmentos
tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son iguales, se deducen las
relaciones
x + y = c,
y + z = a,
y
z + x = b,
que implican
x = s − a,
y =s−b
z = s − c.
y
A
x
x
y
B
z
r
y
z
C
55
La configuración de las circunferencias del enunciado es la que aparece en la figura
siguiente.
A
C1
C4
R
C2
B
r
Q
C
P
C3
Es evidente que C4 es la circunferencia inscrita al triángulo ABC y, por tanto, su
radio es r y, además, por la observación anterior,
r1 = AR = s − a,
r2 = BP = s − b
r3 = CQ = s − c.
y
Veamos que efectivamente se cumple (3.1). Teniendo
en cuenta que la fórmula de
Herón asegura que el área del triángulo ABC es s(s − a)(s − b)(s − c) y que esa
misma área es igual a s · r, tenemos que r2 = (s−a)(s−b)(s−c)
y entonces
s
1
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
r2 r3
r3 r1
r 1 r2
(s − b)(s − c) (s − c)(s − a) (s − a)(s − b)
1
1
s
= 2 = 2.
=
(s − a)(s − b)(s − c)
r
r4
Lema 23. Sean C1 , C2 y C3 tres circunferencias tangentes interiormente (C2 y C3
son interiores a C1 ) y C4 una circunferencia pasando por los puntos de contacto
de C1 , C2 y C3 . Sean A, B, y C los centros de C1 , C2 y C3 , respectivamente, y
a = BC, b = CA y c = AB. Si r1 , r2 , r3 y r4 son los radios de C1 , C2 , C3 y C4 ,
respectivamente, entonces
r1 = s,
r2 = s − c,
r3 = s − b
y
r4 = ra ,
donde s es el semiperı́metro de ABC y ra es el radio de la circunferencia exinscrita
al triángulo ABC tangente al lado BC. Además, se cumple la relación
1
1
1
1
−
−
= 2.
r 2 r3
r 3 r1
r1 r 2
r4
(3.2)
56
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE DESCARTES-SODDY
Demostración. La situación descrita en el enunciado aparece recogida en la siguiente
figura
C1
A
C2
C3
B
P
C
Q
R
C4
Es claro que C4 es la circunferencia exinscrita al triángulo ABC tangente a BC y,
por tanto, r4 = ra .
Para determinar los otros radios usaremos la figura siguiente
A
T
r
I
B
P
R
C
Q
ra
Ia
57
Es claro que
ABC = ABIa + ACIa − BCIa ,
luego, como ya vimos que el área de ABC es s · r, tenemos
s·r =
ra
1
(c · ra + b · ra − a · ra ) = (c + b − a) = ra (s − a)
2
2
y
r
s−a
=
.
ra
s
(3.3)
Puesto que los triángulos AT I y ARIa son semejantes, usando (3.3), se tiene
AT
s−a
TI
r
=⇒
=⇒ AR = s
=
=
AR
RIa
AR
ra
De este modo
r1 = AR = s,
r2 = BP = BR = AR − c = s − c,
y
r3 = CP = BC − BP = a − s + c = s − b.
Comprobemos que (3.2) se verifica. Teniendo de nuevo en cuenta (3.3) y que
r2 s = (s − a)(s − b)(s − c) se deduce que
1
1
1
1
1
1
b+c−s
−
−
=
−
−
=
r 2 r3
r3 r1
r1 r 2
(s − c)(s − b) (s − c)s s(s − b)
s(s − b)(s − c)
2
1
1
s−a
s−a
= 2 = 2.
=
=
s(s − b)(s − c)
r·s
ra
r4
Ahora ya tenemos las herramientas necesarias para probar el Teorema de DescartesSoddy.
Demostración del Teorema de Descartes-Soddy. Antes de comenzar con la demostración introduciremos algo de notación. Dadas cuatro circunferencias A1 , A2 , A3 y A4 ,
si son tangentes externamente les asociamos los valores α1 , α2 , α3 y α4 que son iguales
a los inversos de sus radios; y si las circunferencias son tangentes interiormente, los
valores αi serán los mismos pero con un signo negativo para la que rodea a las otras
tres.
Sean ahora E1 , E2 y E3 las tres circunferencias tangentes dos a dos y E4 la
circunferencia tangente exteriormente, como mostramos en la figura siguiente.
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE DESCARTES-SODDY
58
E1
H4
H3
H2
H1
E2
E4
E3
Las cuatro circunferencias se cortan en seis puntos, que tomados de tres en tres definen
otras cuatro circunferencias, H1 , H2 , H3 y H4 . Si a las circunferencias Ei y Hi les
asociamos los valores i y ηi , respectivamente, de la manera que hemos comentado al
inicio, las fórmulas (3.1) y (3.2) de los Lemas 22 y 23, implican las relaciones
⎧
2 3 + 3 1 + 1 2
⎪
⎪
⎪
⎨ + + 1 2
2 4
4 1
⎪
+
+
1
3
3
4
4 1
⎪
⎪
⎩
2 3 + 3 4 + 4 2
= η42 ,
= η32 ,
= η22 ,
= η12 ,
(3.4)
⎧
η2 η3 + η 3 η 1 + η 1 η2
⎪
⎪
⎪
⎨η η + η η + η η
1 2
2 4
4 1
⎪
η
+
η
η
+
η
η
1
3
3
4
4 η1
⎪
⎪
⎩
η2 η3 + η3 η 4 + η4 η2
= 24 ,
= 23 ,
= 22 ,
= 21 ,
(3.5)
Sumando todas las ecuaciones en (3.4) se tiene
2(1 2 + 1 3 + 1 4 + 2 3 + 2 4 + 3 4 ) = η12 + η22 + η32 + η42 .
Entonces llegamos a
(1 + 2 + 3 + 4 )2 = 21 + 22 + 23 + 24 + 2(1 2 + 1 3 + 1 4 + 2 3 + 2 4 + 3 4 )
= 21 + 22 + 23 + 24 + η12 + η22 + η32 + η42 .
Procediendo del mismo modo con (3.5), podemos concluir que
(η1 + η2 + η3 + η4 )2 = 21 + 22 + 23 + 24 + η12 + η22 + η32 + η42 .
Por tanto,
(1 + 2 + 3 + 4 )2 = (η1 + η2 + η3 + η4 )2 ,
(3.6)
59
lo que permite deducir la relación
1 + 2 + 3 + 4 = η1 + η2 + η3 + η4 .
Además sabemos que
(1 + 2 + 3 − 4 )(1 + 2 + 3 + 4 ) = (1 + 2 + 3 )2 − 24
= 21 + 22 + 23 − 24 + 2(1 2 + 1 3 + 2 3 )
= 21 + 22 + 23 − 24 + 2η42 .
Ahora, usando (3.5) para eliminar 2i , tenemos la identidad
(1 + 2 + 3 − 4 )(1 + 2 + 3 + 4 ) = 2η4 (η1 + η2 + η3 + η4 ),
que, como (1 + 2 + 3 + 4 ) = (η1 + η2 + η3 + η4 ), implica
1 + 2 + 3 − 4 = 2η4 .
De manera análoga, llegamos a
1 + 2 − 3 + 4 = 2η3 ,
1 − 2 + 3 + 4 = 2η2 ,
−1 + 2 + 3 + 4 = 2η1 ,
Al elevar al cuadrado las cuatro ecuaciones anteriores, sumándolas, concluimos
21 + 22 + 23 + 24 = η12 + η22 + η32 + η42
(3.7)
Finalmente, de (3.6) y (3.7), deducimos que
(1 + 2 + 3 + 4 )2 = 2(21 + 22 + 23 + 24 ),
que es la identidad que querı́amos probar.
El caso en el que la circunferencia E4 es tangente interiormente a E1 , E2 y E3 es
análogo y omitimos los detalles.
Bibliografı́a
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