Segunda relación de ejercicios

Problemas de Geometrı́a Diferencial de Curvas y Superficies.
Relación 2
1.– Sea α: I → R2 una curva parametrizada por la longitud del arco y sea M : R2 → R2
un movimiento. Si consideramos la curva β = M ◦ α , probar que kβ (s) = kα (s) , si M
es directo, y kβ (s) = −kα (s) si M es inverso. Recprocamente, si β: I → R2 es una
curva parametrizada por la longitud del arco tal que kβ (s) = −kα (s) , demostrar que
entonces existe un movimiento inverso M tal que β = M ◦ α .
2.– Demostrar que la traza de una curva regular esta contenida en una circunferencia si y
sólo si todas las rectas normales pasan por un punto fijo.
3.– Sea α: I → R2 una curva regular (de parámetro arbitrario) y sea [a, b] ⊂ I tal que
α(a) ̸= α(b) . Probar que existe un t0 ∈ (a, b) tal que la recta tangente a α en t0 es
paralela a la recta que une α(a) con α(b) .
4.– Sea α: I → R2 una curva regular y supongamos que la distancia ||α(t)|| al origen tiene
un mximo local en t0 . Demostrar que entonces |k(t0 )| ≥ ||α(t10 )|| .
5.– Dada una curva plana, regular y con curvatura no nula α: I → R2 , se define el centro
de curvatura de α en t0 como el punto p = α(t0 ) + k(t10 ) n(t0 ) . A la curva formada por
todos los centros de curvatura se le denomina evoluta de α .
(a) ¿Es la evoluta una curva regular?
(b) En tal caso, demostrar que la recta tangente en t a la evoluta de α coincide con
la recta normal a α en t .
(c) Consideremos la “Catenaria” definida por α: R → R2 , α(t) = (t, Ch t) . Calcular
su curvatura y su evoluta.
6.– Sea σ: [a, b] → R2 una curva regular parametrizada por la longitud del arco y sea
r > 0 una constante positiva. Se define la (“curva paralela a σ ”): β: [a, b] → R2 ,
β(s) = σ(s) − r n(s). Demostrar que β es una curva regular siempre que kσ (s) ̸= −1/r .
En tal caso probar que:
(a) La curvatura de β es:
kσ (s)
kβ (s) =
.
1 + rkσ (s)
∫b
(b) Lβ = Lσ + r a kσ .
(c) ¿Cuáles son las curvas paralelas a la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1 ?