Problemas de Geometr´ıa y Topolog´ıa Básica. Relación 2 1.– Sea α

Problemas de Geometr´ıa y Topolog´ıa Básica. Relación 2 1.– Sea α

Problemas de Geometrı́a y Topologı́a Básica.
Relación 2
1.– Sea α: I → R2 una curva plana parametrizada por la longitud del arco y sea M : R2 →
R2 un movimiento. Si consideramos la curva β = M ◦ α , probar que kβ (s) = kα (s) ,
si M es directo, y kβ (s) = −kα (s) si M es inverso. Recı́procamente, si β: I → R2 es
una curva parametrizada por la longitud del arco tal que kβ (s) = −kα (s) , demostrar
que entonces existe un movimiento inverso M tal que β = M ◦ α .
2.– Demostrar que la traza de una curva plana regular esta contenida en una circunferencia
si y sólo si todas las rectas normales pasan por un punto fijo.
3.– Sea α: I → R2 una curva plana regular (de parámetro arbitrario) y sea [a, b] ⊂ I tal
que α(a) = α(b) . Probar que existe un t0 ∈ (a, b) tal que la recta tangente a α en t0
es paralela a la recta que une α(a) con α(b) .
4.– Sea α: I → R2 una curva plana regular y supongamos que la distancia ||α(t)|| al origen
tiene un máximo local en t0 . Demostrar que entonces |k(t0 )| ≥ ||α(t10 )|| .
5.– Consideremos la “Catenaria” definida por α: R → R2 , α(t) = (t, Ch t) . Comprobar
que su curvatura es k(t) = Ch12 t y calcular su evoluta.
6.– Sea α: I → R2 una curva plana regular con k(t) = 0 para todo t ∈ I .
(a) Demostrar que la recta tangente en t a la evoluta de α coincide con la recta normal
a α en t .
(b) Demostrar que, cuando t2 → t1 , el punto de intersección de las rectas normales a
α en t2 y t1 converge a un punto de la evoluta de α .
7.– Calcular la curvatura de la evolvente de una curva plana parametrizada por la longitud
del arco en función de la curvatura de la curva dada.
8.– Sea σ: [a, b] → R2 una curva plana regular parametrizada por la longitud del arco y
sea r = 0 una constante no nula. Se define una nueva curva (“curva paralela a σ ”):
β: [a, b] → R2 , β(s) = σ(s) + r n(s). Demostrar que β es una curva regular siempre
que kσ (s) = 1/r . En tal caso probar que:
(a) La curvatura de β es:
kσ (s)
.
kβ (s) =
|1 − rkσ (s)|
b
(b) Lβ = |Lσ − r a kσ | .
(c) ¿Cuáles son las curvas paralelas a la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1 ?