practico10

Ecuaciones Diferenciales.
Curso 2012.
Práctico 10
1. Introduciendo la función v = u(x, y)eλx+µy y escogiendo adecuadamente los parámetros λ y µ simplificar las siguientes EDPs con coeficientes constantes:
a) uxx + uyy + αux + βuy + γu = 0
b) uxx =
c) uxx −
1
u + αu + βux
α2 y
1
u = αux + βuy
α2 yy
+ γu
d) uxy = αux + βuy
2. Se considera la ecuación diferencial de ondas para la cuerda no acotada:
utt (x, t) − c2 uxx (x, t) = 0
con las condiciones de contorno:
u(x, 0) = ϕ(x)
ut (x, 0) = ψ(x)
a) Introduciendo las coordenadas
ξ = x + αt,
η = x − αt
probar que la ecuación se lleva a
uξη = 0.
b) Resolver la ecuación diferencial
uξη = 0
completamente.
c) Deshacer el cambio de variable para expresar u en función de (x, t). Mostrar
que queda de la forma
f1 (x + αt) + f2 (x − αt).
Suponiendo que la solución del problema existe determinar f1 y f2 para que se
cumplan las condiciones iniciales
u(x, 0) = ϕ(x),
ut (x, 0) = ψ(x).
Calcular completamente u(x, t) solución de la ecuación.
d) Hallar la solución u(x, t) para:

0
si x ∈
/ [0, 2]

1) ϕ(x) =
x
si x ∈ (0, 1) , ψ(x) = 0 para todo x ∈ R.

−x + 2 si x ∈ [1, 2]
1
2) ϕ nula y ψ(x) =
k 6= 0 si x ∈ [0, 2]
.
0
si x ∈
/ [0, 2]
3. Se considera la ecuación del calor con las siguientes condiciones iniciales y borde:

(x, t) ∈ [0, π] × [0, ∞) (1)
 ut = uxx
u(0, t) = u(L, t) = 0
∀t ≥ 0
(2)

u(x, 0) = 3 sen(4x) − 6 sen(7x)
(3)
a) Encontrar una solución de (1) y (2) de la forma u(x, t) = X(x)T (t)
b) Encontrar una solución del problema.
4. Parcial 2008. Sea la ecuación

 ut = uxx
u(t, 0) = 0 y ux (t, π) = 0

u(0, x) = x(2π − x)
P
a) Si u(x, t) = ∞
k=1 uk (x, t) es solución
(t, x) ∈ (0, +∞) × (0, π)
t>0
x ∈ [0, π]
del problema entonces
uk (x, t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Demostrar que la solución anterior es efectiva.
5. Este ejercicio tiene como objetivo hallar la solución de la ecuación del calor frente a
condiciones de borde nulas y una condición inicial que se puede desarrollar en series
de Fourier, con coeficientes absolutamente sumables:

(x, t) ∈ (0, L) × (0, ∞)
 ut (x, t) = uxx (x, t)
u(x, 0) = u0 (x)
x ∈ [0, L]

u(0, t) = u(L, t) = 0
t ∈ [0, ∞)
Este problema es conocido como problema de Cauchy-Dirichlet, y sirve como modelo
para la evolución de la temperatura de una barra de longitud L, que inicialmente
tiene una temperatura u0 (x), y cuyos extremos están siempre a temperatura nula.
El método que usaremos para hallar la solución se llama método de separación de
variables.
a) Hallar una solución de la forma
u(x, t) = X(x)·T (t)
(1)
para el problema de Cauchy-Dirichlet con condiciones de borde nulas y condición inicial u0 (x) = b sin( kπ
L ), con k ∈ N fijo. ¿Bajo qué otras condiciones
iniciales la solución serı́a de la forma (1)?
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b) Probar que si u1 es una solución del problema de Cauchy-Dirichlet

(x, t) ∈ (0, L) × (0, ∞)
 ut (x, t) = uxx (x, t)
u(x, 0) = u01 (x)
x ∈ [0, L]

t ∈ [0, ∞)
u(0, t) = α1 (t) y u(L, t) = α2 (t)
y u2 es una solución del problema

(x, t) ∈ (0, L) × (0, ∞)
 ut (x, t) = uxx (x, t)
u(x, 0) = u02 (x)
x ∈ [0, L]

u(0, t) = β1 (t) y u(L, t) = β2 (t)
t ∈ [0, ∞)
entonces w(x, t) = u1 (x, t) + u2 (x, t) es solución del problema:

(x, t) ∈ (0, L) × (0, ∞)
 ut (x, t) = uxx (x, t)
u(x, 0) = u01 (x) + u02 (x)
x ∈ [0, L]

u(0, t) = α1 (t) + β1 (t) y u(L, t) = α2 (t) + β2 (t)
t ∈ [0, ∞)
c) Hallar la solución del problema de Cauchy-Dirichlet con condiciones de borde
nulas y condición inicial:
u0 (x) =
n
X
bk sin
k=1
kπ
x
L
d) Probar que la solución al problema de Cauchy-Dirichlet con condición inicial
u0 (x) =
∞
X
k=1
bk sin
kπ
x
L
es la función
u(x, t) =
∞
X
k=1
Sugerencia:
cumple que
2
−( kπ
t
L )
bk e
sin
kπ
x
L
Para probar que en un punto (x0 , t0 ) en el interior de Ω, se
∞
X
2
∂
kπ
−( kπ
t
)
L
ut (x, t) =
bk e
sin
x
∂t
L
k=1
basta elegir un t0 > δ > 0, y probar la convergencia uniforme de la serie de
las derivadas parciales en el conjunto ∈ (0, L) × [δ, ∞), para poder aplicar los
resultados sobre convergencia uniforme.
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6.
a) Un caso particular de soluciones de la ecuación del calor son las que corresponden a situaciones en las que el perfil de temperaturas no se modifica con el
tiempo (lo que equivale a decir que u(x, t) no depende de t, y que ut = 0) a las
que llamaremos soluciones estacionarias del problema.
Hallar la solución estacionaria, ue (x), para el problema con datos de contorno
u(0, t) = A,
u(L, t) = B
b) Hallar la solución, u(x, t), de la ecuación del calor en (0, 1) × (0, ∞) con condiciones de borde
u(0, t) = 0,
u(1, t) = 1
y dato inicial
u0 (x) =
Sugerencia:
2x si x ∈ [0, 12 ]
1 si x ∈ [ 12 , 1]
utilizar el principio de superposición de soluciones.
c) Hallar una estimación de |u(x, t) − ue (x)| y probar que la solución hallada en
la parte anterior tiende a la solución estacionaria cuando t tiende a infinito.
7. Hallar la solución de la ecuación de ondas,
utt (x, t) − c2 uxx (x, t) = 0 (x, t) ∈ (0, L) × (0, ∞)
con las condiciones de contorno:
u(x, 0) = x(L − x)
x ∈ [0, L]
ut (x, 0) = 0
x ∈ [0, L]
u(0, t) = u(L, t) = 0 t ∈ [0, ∞)
utilizando el método de separación de variables.
8. Sea {fn } una sucesión de funciones (fn : R → R) tal que
′′
fn (x) = fn+2 (x)(n + 2)(n + 1) − fn (x) ∀x ∈ R ∀n ∈ N
con f0 (x) = ex y f1 (x) = 0
a) Probar que f2n+1 (x) = 0,∀x ∈ R, ∀n ∈ N y que f2n (x) = 2n ex /(2n)! ∀x ∈ R,
∀n ∈ N .
b) Se considera la ecuación de ondas
utt (x, t) = uxx (x, t) + u(x, t) con − L < x < L y 0 < t < 1
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i) Buscar soluciones de la forma
u(x, t) =
+∞
X
fn (x)tn
n=0
, dando una expresión explı́cita para fn (x).
ii) Probar que la función u(x, t) hallada en i) es efectivamente solución.
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