uk(x, t)

Facultad de Igenierı́a
IMERL
Ecuaciones Diferenciales
.
Como mostrar la efectividad de una solución.
Letra del ejercicio.
1. Se considera la ecuación del calor con las siguientes condiciones iniciales y de borde:

(x, t) ∈ (0, π) × (0, ∞)
 ut = uxx
u(0, t) = u(π, t) = 0
∀t ≥ 0

u(x, 0) = f (x)
{
Siendo
f (x) =
2. Si u(x, t) =
∑∞
k=1 uk (x, t)
x
si x ∈ [0, π/2]
−x + π si x ∈ [π/2, π]
es solución del problema entonces
uk (x, t) = . . . . . . . . . . . . . . .
3. Probar que lo hallado en (2) satisface la ecuación ut = uxx con (x, t) ∈ (0, π) × (0, ∞).
Solución
(a) Solución de la parte 1 y 2:
La serie de f (la suma N −ésima suma parcial) está dada por:
( )
N
∑
4sen nπ
2
SN (f, x) =
sen(nx).
πn2
n=1
La solución del problema es u(x, t) =
∑∞
k=1 uk (x, t),
( kπ )
uk (x, t) =
4sen 2
πk 2
donde:
exp−k t sen(kx).
2
Observamos que la función u está definida pues para cada (x, t) ∈ [0, π] × [0, ∞) se cumple
que:
4
|uk (x, t)| 6
∀k ≥ 1.
πk 2
1
(b) Solución de la parte 3:
Probemos que dado (x0 , t0 ) ∈ (0, π) × (0, ∞) se cumple que ut (x0 , t0 ) = uxx (x0 , t0 ) (en
particular probaremos que las derivadas existen).
Si probamos que
∑ ∂ 2 uk
∑ ∂uk
∂2 ∑
∂ ∑
y que
uk =
uk =
2
2
∂x
∂x
∂t
∂t
entonces conlcuimos que
(1)
∑ ∂uk (1) ∂ ∑
(1) ∑ ∂ 2 uk
∂2
∂2 ∑
∂
u
=
u
=
=
=
uk = u
k
2
2
2
∂x
∂x
∂x
∂t
∂t
∂t
Vamos a probar que si tomamos δ > 0 tal que
U = (x0 − δ, x0 + δ) × (t0 − δ, t0 + δ) ⊂ (0, π) × (0, +∞) entonces las expresiones
∑ ∂ 2 uk
∑ ∂uk
∑
∑ ∂uk
,
y
uk ,
∂x
∂x2
∂t
convergen uniformemente en U .
∑
∑ ∂uk
Ahora vamos a probar que
uk y
∂t convergen uniformemente en U . Observar que
t0 − δ > 0. Sea ahora (x, t) ∈ U
Entonces,
2
4sen ( kπ )
4e−k2 t
4e−k (t0 −δ)
−k2 t
2
|uk (x, t)| = e
sen(kx)
≤
.
≤
πk 2
πk 2
πk 2
2
∑
4e−k (t0 −δ)
Como las serie +∞
es convergente, aplicando el lema de Weierstrass tenemos
2
k=1
πk
∑+∞
que la serie k=1 uk converge uniformemente en U .
También tenemos que:
( )
2
4e−k2 t
∂uk (x, t) 4sen kπ
4e−k (t0 −δ)
2
−k t
2
=
e
sen(kx)
≤
.
≤
∂t
π
π
π
2
∑
4e−k (t0 −δ)
Nuevamente, como las serie +∞
es convergente, aplicando el lema de Weierk=1
π
∑
∂uk
strass tenemos que la serie +∞
converge
uniformemente en U .
k=1 ∂t
Luego, aplicando el Teorema 5 página 38 (entrar en http://imerl.fing.edu.uy/ecdif/bibliografia.htm
e ir a ”2) Lineales, Picard y estabilidad.pdf”) tenemos justificadas la igualdad
∑ ∂uk
∂ ∑
=
uk .
∂t
∂t
Análogamente, se demuestra la convergencia uniforme de las otras series.
2