Guía Inducción Matemática

ALGEBRA 1, INGENIERIA
HERALDO GONZALEZ SERRANO
Guía Nº 2: Inducción Matemática
1) Si n es un número natural, demuestre la validez en N:
n(n + 1)
a) 1 + 2 + 3 + .... + n =
2
n(n + 1)(2n + 1)
b) 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =
6
2
n (n + 1) 2
c) 13 + 2 3 + 33 + ... + n 3 =
4
n(3n − 1)
d) 1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2) =
2
2
3
n
n
e) 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2(2 − 1)
f) 13 + 33 + 5 3 + ... + (2n − 1) 3 = n 2 (2n 2 − 1)
g) (1 + +2 + 3 + ... + n) 2 = 13 + 2 3 + 3 3 + .... + n 3
h) (n 3 − n) es divisible por 3
i)
(6 n +1 + 4) es divisible por 5
j)
5 n − 2 n es divisible por 3
k) x n − y n es divisible por x − y
l)
n 3 + 2n es divisible por 3
2) Probar que cada una de las siguientes proposiciones se cumple en N
a) n < 2 n
b) 3 n ≥ 2n + 1
c) 2n ≤ 2 n
d) x 2 n − y 2 n es divisible por ( x + y ) ≠ 0
e) 1 + 2r + 3r 2 + 4r 3 + ... + nr n −1 =
1 − (n + 1)r n + nr n +1
(1 − r ) 2
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA - DMCC
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HERALDO GONZALEZ SERRANO
3) Demuestre que las siguientes afirmaciones se cumplen para todo natural n
a)
1 1
1
1
n
=
+ +
+ ... + 2
3 15 35
4n − 1 2n + 1
(2n − 1)3 n + 1
b) 1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 + .. + n ⋅ 3 =
4
1
1
1
1
n
c)
+
+
+ .... +
=
1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7
(2n − 1)(2n + 1) 2n + 1
n(n + 1)
n
1
2
3
d)
+
+
+ .... +
=
2 ⋅3⋅ 4 3⋅ 4 ⋅5 4⋅5⋅6
(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4(n + 2)(n + 3)
2
n −1
3
4) Use Inducción en los siguientes casos
a) Sea (a n ) n∈N tal que a1 = 2 y a n = 3a n −1 para todo n > 1 . Demuestre que
a n = 2 ⋅ 3 n −1 para todo natural n > 1
b) Sea (a n ) n∈N tal que a1 = 2 y a n = a n −1 para todo n > 1 . Demuestre que
an =
3 + (−1) n +1
3 + (−1) n
para todo natural n > 1
c) Sea (a n ) n∈N tal que a1 = 1 , a 2 = 1 y a n = a n −1 + a n − 2 ∀ n ≥ 3
7
Demuestre que a n <  
4
n
5) Use inducción para demostrar:
a) (1 + h) n > 1 + nh , ∀ h ∈ ℜ + , n ≥ 2
b) n 2 > 2n + 1 ∀ n ≥ 3
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