Antiderivadas - WordPress.com

Taller Uno
Antiderivadas
1. Encuentre las funciones antiderivadas de:
f (x) = 3x2 + 2x + 1
h(t) =
i(x) =
2x4 −3x3 +5
7x2
l(u) = sen u + 2 senh u
f (z) = tan2 z
−1
t2
m(s) = s5/2 − s54
√
p(x) = x(1 − x2 )
v(x) =
d(t) = 4 sin(2πt) − 2 sin(4π)
sen x
cos2 x
n(x) = 3ex + 7sec2 x
2. La antiderivada de x sen xdx es
x2
sen x + C
2
−x cos x + C
−x cos x + sen x + C
1
tan2 x + C
2
1
sec2 x + C
2
3. La antiderivada de tan x sec2 dx es
sec3 x
+C
3
4. ¿Cuál de las siguientes gráficas muestra la solución del problema de valor inicial
y(−1) = 1
dy
= −x,
dx
Fig 4
5. Halle f
f ′ (x) = 2ex + sec x tan x
f ′′ (θ) = sin θ + cos θ, f (0) = 3, f ′ (0) = 4
f ′′ (x) = 6x + cos x
f ′′′ (t) = et
f ′′ (t) = 2ex + 3 sin x, f (0) = 0 f ′ (π) = 0
6. Muestre que las funciones claramente distintas F1 (x) =
primitivas de f (x) =
1
x
y F2 =
son ambas
1−x
1−x
1
. ¿Cuá1 es la relación entre F1 (x) y F2 (x)?
(1 − x)2
1 − cos(2x)
1 + cos(2x)
y sin2 x =
para determinar las
2
2
2
2
primitivas de f (x) = sin x y f (x) = cos x.
7. Use las identidades cos2 x =
1
8. Resuelva los problemas con condiciones iniciales
dy
= (x − 2);
dx
dy
= (2x + 3)3/2 ;
dx
y(2) = 1
y(3) = 100
9. Sean s(x) y c(x) dos funciones que satisfacen s′ (x) = c(x) y c′ (x) = −s(x) para todo x. Si
s(0) = 0 y c(0) = 1. Demostrar que [s(x)]2 + [c(x)]2 = 1
10. En Fig 1. se muestra la gráfica de f ′ . Dibuje la gráfica de f si ésta es continua y f (0) = −1.
11. En la Fig 2. se ilustra la gráfica de la derivada f ′ de una función f. Determine.
(a) ¿En qué intervalos f es creciente o decreciente?
(b) ¿Para qué valores de x la función f tiene un máximo local o un mı́nimo local?
Fig 1
(c) Trace la gráfica de f ′′ .
(d) Trace la gráfica posible de f .
12. Sea R la región que esta bajo la gráfica de y = f (x) en el intervalo [a, b] sobre el eje
x. Calcular una R-estimación y una L-estimación de las siguientes funciones usando una
partición regular.
f (x) = 2x + 3 en [0, 3] n = 6.
√
f (x) = 1 + 2 x en [2, 3] n = 5.
f (x) =
Fig 2
1
en [1, 6], n = 5
x
13. Determine las sumas de Riemann para la función indicada y una partición regular del
intervalo dado en n subintervalos. Utilice ci = xi es decir, extremo derecho.
f (x) = 9 − x2 en [0, 3] n = 10
f (x) = x3 − 3x en [1, 4] n = 5
14. Demuestre
n
X
k=0
rk =
1 − rn+1
1−r
15. Calcule la integral definida de f (x) = ex en [0, 4] usando sumas de Riemann.
1
16. *Calcule la integral definida de f (x) = 2 en [1, 2] usando sumas de Riemann. (Sugerencia:
x
√
1
1
1
elija ci = xi−1 xi , y use la identidad m(m+1)
=m
− m+1
)
17. Demuestre usando sumas de Riemann que
18. Calcule la integral definida de g(x) =
√
3
Z
b
x3 =
0
1 4
b
4
x en [0, 1] (Sugerencia ci =
i3
n3
y ∆xi = ci − ci−1 )
19. Evalúe el limite dado reconociendo primero la suma indicada como una suma de Riemann asociada a una partición regular de [0, 1] y evaluando a continuación la integral
correspondiente.
√
√
√
√
X i2
13 + 23 + 33 + · · · + n3
1 + 2 + 3 + ··· + n
lı́m
lı́m
√
lı́m
n→∞
n→∞
n3
n4
n→∞
n n
i=1
Z 5p
20. Evalúe la integral
25 − x2 dx interpretándola como el área bajo la gráfica de cierta
función.
0
2
21. La grafica f está compuesta por segmentos de recta y un semicirculo, como se muestra en
la figura 3. Evalúe cada integral definida utilizando fórmulas geométricas
Z
Z
Z
2
Z
f (x)dx
0
6
Z
f (x)dx
2
6
Z
f (x)dx
−4
2
f (x)dx
−4
6
−4
|f (x)|dx
6
[f (x) + 2]dx
Fig 3
−4

Z 8
 4 si x < 4
f (x)dx donde f (x) =
22. Emplear fórmulas geométricas para calcular
 x si x ≥ 4
0
Teorema fundamental del Calculo
23. Calcular cada una de las siguientes integrales. Dibujese la grafica en cada caso


Z 2
Z 1
 x2
 x
si 0 ≤ x ≤ c
si 0 ≤ x ≤ 1
f (x)dx
f (x) =
c
f (x)dx, f (x) =
1
−
x
 2 − x si 1 < x ≤ 2
 c
0
si c < x ≤ 1
0
1−c

es un número real fijo, 0 < c < 1.


Z 3
 1 − x si −1 ≤ x < 0
f (x)dx
x2
f (x) =
1
24. Si f (x) ≥ 0, b > 1 y
Z



b
f (x) =
1
si 0 ≤ x < 2
−1
p
si 2 ≤ x ≤ 3
b2 + 1 −
√
2. Halle f (x).
25. Hallar un polinomio cuadrático para el cual P (0) = P (1) = 0 y
Z
1
P (x)dx = 1
0
26. Halle un polinomio cúbico tal que P (0) = P (−2) = 0, P (1) = 15 y 3
27. Calcule
Z
1
Z
|x(2x − 1)|dx y
0
a
0
30. Calcule f (4) si:
(a)
Z
x2
Z
c
0
|x(1 − x)|dx = 0
Z
f a + (b − a)x dx
2
f (x)dx +
−2
Z
a
0
5
2
f (x)dx −
Z
−1
f (c − x)dx =
(b)
Z
x
Z
f (x)
3
c−a
f (x)dx
c−b
t2 dt = x cos(πx)
0
f (t)dt = x2 (1 + x)
Z
1
f (s)ds = 1. Calcule
0
f (x)dx como una sola integral
−2
Z
0
32. Suponga que f es continua en R, tal que f (3x) = 5f (x) y si
Z
b
f (t)dt = x cos(πx)
31. Calcule f (2) suponiendo que f es continua y satisface
33. Escriba
P (x)dx = 4
−2
|(x − 1)(3x − 1)|dx
1
0
0
2
28. Halle todos los valores c para los cuales
29. Demostrar
Z
Z b
f (x)dx = (b − a)
Z
Z
b
f (x)dx:
a
Z
3
f (s)ds
0
34. Si
35. Si
Z
Z
5
f (x)dx = 12 y
1
Z
5
4
1
0
Z
f (x)dx = 3,6 encuentre
f (x)dx = 4 y f (x) ≥ 0, entonces es cierto
36. Encontrar la integral indefinida
Z
dx
Z
Z
4
f (x)dx
1
1
0
p
√
f (x)dx = 4 = 2?
Z
sec y(tan y − sec y)
cos x
1 − cos2 x
37. Determinar si los enunciados es Verdadero o Falso, si es falso, explicar por qué proporcionar
un ejemplo
Cada antiderivada de una función polinómica de grado n es un función polinómica
de grado n + 1
Si p(x) es un polinomio entonces p tiene exactamente una antiderivada cuya grafica
contiene el origen.
Si F (x) y G(x) son primitivas de f (x), entonces F (x) = G(x) + C.
R
R
R
f (x)g(x)dx = f (x)dx g(x)dx.
las primitivas son únicas.
Si la norma de una partición tiende a cero, entonces el numero de subintervalos tiende
a infinito.
Z
el valor de
f (x)dx debe ser positivo.
38. Encontrar las constantes a y b que maximizan el valor
miento
39. Evaluar, si es posible, la integral
Z
Z
b
a
(4 − x2 )dx. Explique el razona-
2
⌊x⌋ dx
0
40. Usar el TFC para encontrar F ′ (x) de las siguientes funciones
Z x
Z sen x
√
2
(t − 2t)dt
F (x) =
F (x) =
r dr
2
F (x) =
Z
F (x) =
Z
F (y) =
Z
2
x
2
F (x) =
cos(t)dt
2
x+2
2
2
F (x) =
Z
F (x) =
(2t − 1)dx
41. Sea f una función continua tal que
Z
x
0
43. Pruebe que y = sen x +
Z
x
sen(θ2 )dθ
−x
x
1/x
1
dt
t
F (x) =
tf (t)dt = x sin x − cos x. Calcula f (π/2) y f ′ (π/2).
42. Halle una función f y un número a tal que 6 +
Z
Z
π
Z
x
a
√
f (t)
dt = 2 x
t2
cos(2t)dt + 1 satisface las dos condiciones siguientes:
x
y ′′ = − sen x + 2 sen(2x)
Cuando x = π y = 1 y y ′ = −2.
44. Calcular el área acotada por el eje x y la parábola y = 6 − x − x2
4
sen x
cos x
√
2 y
√
Z
1
dt
1 − t2
sen(t2 )dt
y
x2 +3
x
t(5 − t)dt
45. Determinar el valor medio de f (x) = 3x2 − 2x en el intervalo [1, 4]
46. Encuentre el área de las regiones sombreadas de las figuras 6,
Fig 6
47. Usando la gráfica de la Fig 5. Se define la función g(x) =
Z
x
f (f )dt
1
Encuentre g(1), g(3) y g(−1)
Halle los x ∈ (−3, 4) donde g tiene un máximo relativo.
Escriba una ecuación para la recta tangente a la gráfica de g en x = 1.
Halle los x donde g tiene un punto de inflexión.
Encuentre el rango de g.
48. Use una apropiada sustitución
Z
√
t t + 1dt
√
Z
cos( x)
√
dx
x
Z π/2
(1+sin θ)3/2 cos θdθ
0
Fig 3
Z
Z
π2
sin
π 2 /4
x3
√
√
x cos x
√
dx
x
2 − x2
dx
− 6x + 1
5
Z
3
x2 ex dx
1
dx
1 + ex
Z
ex
dx
1 + e2x
Z
Taller Dos
Técnicas de Integración
NOTA: LOS PUNTOS CON (*) SON PARA ENTREGAR. EL TRABAJO DEBE HACERCE EN PAREJAS. EXITOS
1. Demuestre que
Z
2. Demostrar que
Z
3. *Si f (x) =
4. Encuentre
Z
n
⌊x⌋ dx =
0
0
x
1
x|x| para todo real x real
2
Z cos x
[1 + sin(t2 )]dt, encuentre f ′ (π/2)
dt, donde g(x) =
|t|dt =
g(x)
0
d2
dx2
n(n − 1)
2
1
√
1 + t2
Z x Z sen t p
0
1
0
1 + u4 du dt
5. Exprese los limites como una integral definida sobre un intervalo adecuado o el que se
pide
n
n
X
X
1
p
a) lı́m
xi ln(1 + x2i )∆xi en [2, 6]
c) * lı́m
3
3
n→∞
n→∞
n (1 + i/n)
i=1
i=1
b) * lı́m
n→∞
n
X
i=1
n
n2 + i2
d ) * lı́m
n→∞
6. Integrales por sustitución
6
n
X
i=1
1
√ √
n n+i
1
1/x
dt
si x > 0
1
+
t2
1
x
Z π
Z
π π
xf (sin x)dx =
b) *Demostrar que
f (sin x)dx
2 0
0
Z b
Z b
f (a + b − x)dx
f (x) =
c) Demostrar que
a) *Demostrar que
Z
dt
=
1 + t2
d ) *Si f es par,
a
f (x)dx = 2
−a
e) *Si f es impar,
Z
√
f)
x 1 + 3xdx
Z
g) *
h)
Z
−2/3
xdx
p
1 + x2 + (1 + x2 )3
2x + 3
dx
(6x
+ 7)3
0 2
√
√
Z π
sin x cos x
√
s)
dx
x
π 2 /4
j)
Z
2 − x2
dx
3
x − 6x + 1
7. Integrales por partes
t)
Z
a
f (x)dx
0
f (x)dx = 0
−a
xdx
√
2 − 3x
Z
i) * q
Z
a
dx
x ln x
1/3
1
Z
sugerencia u = π − x
a
a
Z
Z
Z
k) * √
3
l)
Z
2
1
1
x2 (1
+
√
3
x2 )
sin(1/x)
dx
x2
m)
Z
x2
n)
Z
2 sin3 x cos xdx
p
dx
o)
Z
p)
Z
q)
Z
r)
Z
(x3
√
t t + 1dt
x3 + 9dx
Z
z3
ñ) * √
dz
1 − z2
Z
3
u)
x2 ex dx
x2
dx
+ 5)4
√
cos( x)
√
dx
x
π/2
(1 + sin θ)3/2 cos θdθ
Z0
x) *
x2
dx =
(1 + x2 )2
4
dx =
(x2 + 9)
Z
v) *
1
dx =
1 + ex
Z
y) *
Z
w) *
ex
dx =
1 + e2x
Z
z) * sec2 (θ) e(5−7 tan θ) dθ
7
a) *Calcular
Z
1
xf ′′ (2x)dx sabiendo que f (0) = 1, f (2) = 3 y f ′ (2) = 5
0
b) *Suponga que para cierta función f se sabe que
cos(x)
, f (π/2) = a,
x
Z 3π/2
f (x)dx.
Utilice integración por partes para evaluar
f ′ (x) =
f (3π/2) = b
π/2
c) * Dada la función F (x) =
Z
x
0
sin t
dt. Calcule
t
Z
F (x)dx
Z 1
Z 1
1
f (x)dx = . Calcule
d ) Suponga que existe f es una función continua y invertible en [0, 1], y que
f −1 (x)dx
3
0
0
Z
Z
Z
2x
2
k)
sen(3x)e dx
p)
x sin xdx
e) * (z − 5z − 3)sen(z)dz
f)
Z
sen−1 (z)dz
l)
Z
g) * x cos xdx
h)
Z
i)
Z
Z
cos3 xdx
q)
Z
m) * x tan−1 xdx
t(ln t)2 dt
n)
Z
ñ)
Z
1
z 2 ez dz
0
Z
x2 e−x dx
Z
r ) * sec3 (t)dt
sin((x − 1)1/4 )dx
Z
s) * ln(1 + t2 )dt
√
x(ln x)dx
Z
Z
ln t
2
√ dt
t) * x5 e−x dx
o)
ln(x)dx
t t
8. integrales Fracciones Parciales
Z
Z 4
Z
e4t
x − 2x3 − 3x2 + 15x − 8
x2 + 1
*
dt
dx
dx
x3 − 3x + 2
x5 + x4 − x − 1
(e2t − 1)3
Z
cos x
dx
Z
Z
sin x(sin x − 1)
sec2 t
x2
*
dt
dx
Z
x4 − 1
tan3 t + tan2 t
dx
x(x2 + 1)
Z
Z
Z
1
1 + ln t
4x4 + x + 1
*
dx
dt
dx
*
(x3 − 1)3
t(3 + 2 ln t)2
x5 + x4
9. *Aplicacion: Suponga que la población P (t) (en millones) de Ruritania satisface Ia ecuación diferencial
dP
= k P (200 − P )
(k constante).
dt
Su población en 1940 era de 100 millones y entonces aumentaba a razón de 1 millón por
año. Pronostique la población de este pais para el año 2000.
j)
Z
10. Sustituciones trigonométricas
Z
sin2 x
a) *
dx
cos6 x
b)
Z
2
sin (3x)dx
c)
Z
3
2
sin (x) cos xdx
Z
d ) * cos5 (x)dx
8
e)
Z
cos4 (2x)dx
f)
Z
tan θdθ
g)
h)
Z
Z0
π/2
x
sec( )dx
2
tan(t) sec3 (t)dt
i)
Z
6
sec (t)dt
Z
sin3 x
√
dx
j) *
cos x
Z
k) *
sin3/2 (t) cos3 (t)dt
Z
cot(t) + csc(t)
l)
dt
sin(t)
11. Halle las siguientes integrales usando una apropiada sustitución trigonométrica.
a)
b)
c)
d)
e)
Z
r
p
r2 − x2 dx Geométricamente que significa?
−r
Z
Z
1
dx
√
f) * √
dx
2
9 + 4x2
4x + 1
Z
Z p
dx
x2 + 1dx
g)
(x2 + 1)3/2
Z p
Z 2 √ 2
x −3
h) *
x2 − 4dx
* √
x
3
Z p
Z p
x2 + 1dx
25 − x2 dx
i) *
dx
49x2 − 4
Z
x3
dx
k) * √
1 − 4x2
Z e
dy
√
l) *
dx
y
1
− ln y
1
Z ln 4
ey dy
√
m) *
dx
e2y + 9
0
j)
Z
√
12. Integrales interesantes
Z
1
dx Sug: complete el cuadrado perfecto
a) * √
9 + 16x − 4x2
4
2
2
b) Determine
Z constantes a y b tales que x + 1 = (x + ax + 1)(x + bx + 1) y luego
dx
Calcule
x4 + 1
Z
dx
c) *
Use la sustitución tan x = t
2 − sin2 x
Z 1 2
x +1
π
d ) **Demuestre que
dx = √
4+1
x
2 2
0
Z
Z
√
Z
p
2 + 6x
x
dx
h)
k
)
(3x−2) 9x2 + 12x + 8dx
e) *
dx
2
2
(3 + 2x − x )
x3/4 + 2
Z
Z
Z √
x2
2x3 + 3x
x+4
√
i
)
*
dx
=
dx
l
)
**
f) *
dx
6
x4 + x2 + 1
x
Z 16 − x
Z
dx
2x + 3
p
j ) **
dx
g) *
2
2
x (1 + x2 )3
9x + 6x + 5
13. Integre aplicando cualquier método
9
a)
Z
x3
i)
dx
x−5
Z
x2 − x − 2
j)
dx
x3 − 2x − 4
Z
x2 + 1
dx
k)
x3 + 3x − 4
Z 2
(x2 − ⌊x⌋)dx
l)
Z0 2
πz 2
z sin(
)dz
m)
4
Z−1
1
n)
du
u2 s
+ 2u + 5
Z
1 + 1/x
1
dx
ñ)
2
x
1 − 1/x
Z 1/2 p
x2 1 − x2 dx
o)
Z
x
5 dx
Z π/2
7cos t sin tdt
b) *
0
Z
c) * xx (1 + ln(x))dx
Z
d)
ln(x + x2 )dx
e)
Z
f) *
π/3
x tan xdx
0
Z
e
√
3s+9
ds
x4 + 2x2
dx
x3 − 1
Z
1
dx
h) *
x3 + 8
−1
x ) *Demuestre que para cualquier número a > 1
g) *
Z
Z
a
ln xdx +
1
Z
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x
√
dx
3 − 2x − x2
Z
1
dx
9x2 + 6x + 5
Z
2 + 6x
dx
3 + 2x − x2
Z
senh(ln x)
*
dx
x
Z
cos x
p
dx
1 + sin2 x
Z
x
* √ 2
dx
2x
e
−1
Z
1
√
dx
2x − x2
Z p
x2 + 1dx
*
Z
ln a
ey dy = a ln a
0
y) *Suponga que f tiene inversa y Demuestre
Z
Z
f −1 (x)dx = xf −1 (x) − f (y)dy
y a partir de esto calcule
Z
cos−1 xdx
z ) Resuelva los problemas con valor inicial para y como una función de x.
√
dy
1) x
= x2 − 16
x ≥ 4, y(4) = 0
dx
√
dy
y(0) = 1
= x2 + 1
2) (x2 + 1)2
dx
14. Recuerde que sinh x =
ex − e−x
ex + e−x
y que cosh x =
usando esto demuestre que
2
2
senh(x) es una función impar y que cosh x es una función par
cosh2 x − senh2 x = 1
10
√
* senh−1 x = ln(x + x2 + 1) para todo x
1 1+x * tanh−1 x = ln 1−x
para |x| < 1.
2
Z
dx
√
15. * Calcule
usando la sustitución x = sinh t y también usando x = tan t
1 + x2
Z
dx
√
usando la sustitución x = cosh t y también usando c = sec t
16. Calcule
x2 − 1
17. *Determine si la expresión es Falsa o Verdadero, Si es falsa explicar por qué o dar un
ejemplo que lo demuestre
Z
dx
3x
1
√
a)
= arc sec( ) + C
2
4
4
3x 9x − 16
Z
1
x
dx
=
arctan( ) + C
b)
25 + x2
25
25
Z
dx
x
√
c)
= − arc cos( ) + C
2
4 − x2
Z
2e2x
√
18. *Halle
dx usando la función arcoseno.
9 − e2x
19. Reglas del Trapecio y regla de Simpson
a) Use (a) la regla del trapecio, (b) la Regla de Simpson para aproximar la integral con el valor
especificado de n. (Redondee sus respuestas a seis decimales.)
1)
2)
Z
Z
2
1
5
1
ln x
dx, n = 10
1+x
cos x
dx, n = 8
x
Z 4
3) * (4 − x2 )dx, n = 6
1
Z 9
√
xdx, n = 8
4)
5)
Z
3
0
1
dy,
1 + y5
n=6
4
b) *Aproximar el área de la región sombreada utilizando a) la regla de los trapecios y b) la regla de
Simpson con n = 4.
20. Nuevos Ejercicios
Pruebe que si f es continua, entonces
11
Z
x
0
f (z)(x − z)dz =
Z
x
0
Z
z
0
f (t)dt dz
Taller Tres
Aplicaciones de la Integral
LOS EJERCICIOS EN (∗) SON PARA ENTREGRAR EN PAREJAS. FECHA DE
ENTREGA 10 DE ABRIL 2015.
1. Calcular el área de las regiones según la gráfica
(*)
(*)
2. Dibuje y calcule el área de la región acotada por las cada una de las curvas
(*)
a) y = |x|;
2y = x + 2.
e) y = 4 − x2 ;
b) y 2 = x;
y 2 = 2(x − 3).
f ) y = −x2 − 2x;
c) *x = y 2 − 2;
d ) * y 2 = x − 4y;
y = ln(x);
y = 1;
y + x = 2;
2y = y 2 + x
y = x2 − 4
3. Encontrar c tal que la recta y = c divide la región acotada por las dos funciones en dos
regiones de área igual.
c) y = x,
2
b) y = 9 − |x|, y y = 0
y=4 x=0
d ) *y = 4 − x,
x=0
4. Encontrar
el área de la región en el primer cuadrante, que está acotada por arriba por
√
y = x y por abajo por el eje x y la recta y = x − 2
12
x=3
g) * y = |x2 − 4| 2y = x2 + 8
√
h) x = y − 1: x + y = 3; x2 = 4y y x = 0
y = −1
a) * y = 9 − x2 , y y = 0
x = −2;
5. Determine el área de la región R acotada por la recta y = 12 x y por la parábola y 2 = 8 − x.
6. *Trace la región en el plano xy definida por las desigualdades x − 2y 2 ≥ 0 y 1 − x − |y| ≥ 0,
y determine su área.
7. ¿Para qué valores m de la recta y = mx y la curva y =
el área de la región.
x
x2 +1
definen una región? Calcule
8. Utilice el cálculo para obtener la formula A = πr2 para el área de un circulo de radio r.
9. *Hay una recta que pasa por el origen que divide la región definida por la parábola y = x−x2
y el eje x en dos regiones de área igual. ¿Cuál es la pendiente de la recta?
10. * En la figura 1se ilustra una horizontal y = c que corta a la curva y = 8x − 27x3 . Encuentre
el número c tal que las áreas de las regiones sombreadas sean iguales.
11. **En la figura 2 se ilustra una curva C con la propiedad de que para todo punto P en la
mitad de la curva y = 2x2 , las áreas A y B son iguales. Determine una ecuación de C.
12. La elipse
Fig 1.
x2
y2
+
= 1. Demostrar que el área de la región que acota es A = πab. (Fig 1).
a2
b2
13. *Sean A y B los puntos de intersección de la parábola y = x2 y la recta y = x + 2 y sea C el
punto de la parabola donde la recta tangente es paralela a la gráfica de y = x + 2. Muestre
que el área del la región entre la parabola y la recta es 34 del área del triángulo ABC.
Ejer 13
Ejer 14.
VOLUMENES DE SOLIDOS: Use cualquier método
1. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de
a) y = x2 − 1, y = 0, x = 0 y x = 1 alrededor del eje y
b) y = x2 + 1, y = −x + 3 alrededor de y = −1.
c) * y = x2 y = 4x − x2 , (a) alrededor del eje x; (b) alrededor de y = 6
d ) y = 6 − 2x − x2 y = x + 6, (a) alrededor del eje x (b) alrededor de y = 3
2. *Un fabricante taladra una esfera de metal de 5 pulgadas de radio. El orificio tiene un
radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del objeto de metal resultante?
3. Suponga que la base de un sólido es la región acotada por las rectas f (x) = 1 − x2 ,
g(x) = −1 + x2 y x = 0; y cuando hacemos secciones transversales perpendiculares al eje
y son triángulos equiláteros. Con esta información Calcule el Volumen de dicho solido.
4. * Demostrar que el volumen de una pirámide con una base cuadrada es V = 13 hB, donde
h es la altura de la pirámide y B es el área de la base.
13
Fig 2
5. Encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por y =
x = 3 la cual gira alrededor de la recta y = 4.
3
1+x ,
y = 0, x = 0
6. * Un toro se forma al girar la región acotada por la circunferencia x2 + y 2 = 1 alrededor
de la recta x = 2
7. *Encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de las
ecuaciones al girar alrededor de las rectas dadas.
a) (y − 2)2 = 4 − x, x = 0
El eje x
la recta y = 5
El eje y
la recta x = 5
8. * Se corta una cuña curva de una cilindro con radio 3 en dos planos. Uno de los planos es
perpendicular al eje del cilindro; el otro cruza al primero formando un ángulo de 45◦ en el
centro del cilindro ver figura. Determinar el volumen de la cuña.
9. * Cada una de las integrales representa el volumen de un sólido de revolución. Identificar a)
la región plana que se gira y b) el eje de revolución.
a) 2π
Z
b) 2π
Z
c) 2π
Z
d ) 2π
Z
2
3
x dx
e) π
0
Z
1
y − y 3/2 dy
0
0
1
0
p
6 − ydy
(4 − x)ex dx
(x − 1)dx
1
f ) 2π
Z
g) 2π
Z
6
(y + 2)
5
h) π
Z
2
y[5 − (y 2 + 1]dy
0
4
0
Fig 2
x
x( )dx
2
2
0
[16 − (2y)2 ]dy
10. * Volumen de un casquete de una esfera Sea una esfera de radio r que se corta por un
plano, formando un casquete esférico de altura h. Mostrar que el volumen de este segmento
es 31 πh2 (3r − h).
11. Calcule el volumen de un tronco de un cono circular recto cuya altura es h, base inferior de
radio R, y radio de la parte superior r.
12. * Sean V1 y V2 los volúmenes de los sólidos que resultan cuando la región plana limitada por
y = x1 , y = 0, x = 14 , y x = c (c > 14 ) se gira alrededor del eje x y el eje y, respectivamente.
Encontrar el valor de c para el cual V1 = V2 .
13. *Considerar la gráfica y 2 = x(4−x)2 (ver la figura 2). Encontrar los volúmenes de los sólidos
que se generan cuando la espira de esta gráfica se gira alrededor a) del eje x, b) del eje y y
c) la recta x = 4.
14. *Determine el volumen común a dos cilindros circulares, ambos de radio r, si los ejes de los
cilindros se cortan en ángulos rectos ver fig.
Fig 2
14
15. Determine la fórmula para el área A(x) de las secciones transversales del sólido perpendicular al eje x. En cada uno delos siguientes casos
(I) El sólido que se encuentra
acotado
√
√ por los planos x = 1 y x = 1 y las semicircuferencias y = 1 − x2 y y = − 1 − x2 .
a) Las secciones transversales son discos circulares con diámetros en el plano xy.
b) Las secciones transversales son cuadrados con base en el plano xy.
c) *Las secciones transversales son cuadrados√con diagonales en el plano xy. (La
longitud de la diagonal de un cuadrado es 2 veces la longitud de sus lados).
d ) *Las secciones transversales son triángulos equiláteros con bases en el plano xy.
√
(II) El sólido
se encuentra entre los planos x = 0 y x = 4 y las parábolas y = − x y
√
y= x
a)
b)
c)
d)
*Las secciones transversales son discos circulares con diámetros en el plano xy.
*Las secciones transversales son cuadrados con bases en el plano xy.
Las secciones transversales son cuadrados con diagonales en el plano xy.
Las secciones transversales son triángulos equiláteros con bases en el plano xy.
16. *La regiones que se muestra a continuación se hace girar alrededor del eje x para generar
un sólido. ¿Cuál de los métodos (el de discos, el de arandelas, o el de casquillos) podrı́a
utilizarse para determinar el volumen del sólido? ¿Cuántas integrales son necesarias en
cada caso? Explique.
15
3.1.
Longitud de arco
1. *Determinar la longitud de la astroide Fig 1, donde las ecuaciones parametricas
son
x = cos3 t
y = sin3 t,
0 ≤ t ≤ 2π
2. *Un fabricante necesita hacer hojas de metal corrugado de 36 pulgadas de
ancho con secciones transversales con la forma de la curva
y=
1
sin(πx)
2
0 ≤ x ≤ 36
¿Qué ancho deben tener las hojas originales extendidas para que el fabricante
produzca estas hojas corrugadas?
Fig 1
3. Determine la longitud s de la curva x = 16 y 3 +
1
2y
1≤y≤2
4. determine las longitudes de las curvas.
a) *y = ln(cos x), de 0 ≤ x ≤ π3
x +1
con 0 < a ≤ x ≤ b
b) y = ln eex −1
c) *x = 8 cos t + 8t sin t, y = 8 sin t − 8t cos t,
2
3/2
t
(2t + 1)
,y =
, 0≤t≤4
2
3
1
y3
+
de y = 1 a y = 3
e) * x =
3
4y
Z yp
f ) *x =
sec4 t − 1dt, − π4 ≤ y ≤ π4
0
Z yp
g) *x =
3t4 − 1dt, −2 ≤ y ≤ −1
0 ≤ t ≤ π/2
d) x =
−2
5. *Halle la función longitud de arco para la curva y = sin−1 x +
punto de inicio (0, 1).
√
1 − x2 con
6. Determine
una curva que pase por el punto (1, 1), cuya integral de longitud sea
Z 4r
1
1+
dx. ¿Cuántas curvas cumplen con lo anterior? Justifique su
L=
4x
1
respuesta.?
7. *Determine una
curva que pase por el punto (0, 1), cuya integral de longitud
Z 2r
1
1 + 4 dy. ¿Cuántas curvas cumplen con lo anterior? Justifique
sea L =
y
1
su respuesta.?
8. Determine la longitud del rizo formado por x = t2 , y =
√
√
inicia en t = − 3 y termina en t = 3
16
t3
3
− t Fig 2. El rizo
Fig 2
3.2.
Área superficies de revolución
1. Determine el área de cada superficie generada al hacer girar la curva dada alrededor
del eje indicado.
√
a) x = 2 4 − y 0 ≤ y ≤ 15
4 , eje y
√
b) x = 2y − 1 58 ≤ y ≤ 1, eje y
c) x =
y4
4
+
1
8y 2
1 ≤ y ≤ 2 eje x
√
d ) * y = 31 (x2 + 2)3/2 0 ≤ x ≤ 2 eje y
e) *x = cos t, y = 2 + sin t, 0 ≤ t ≤ 2π eje x
√
√
√
√
2
f ) x = t + 2, y = t2 + 2t, − 2 ≤ t ≤ 2, eje y
g) *Tronco de Cono: x = 2t, y = t + 1,
0 ≤ t ≤ 1, eje x.
h) Cono: x = ht, y = rt, 0 ≤ t ≤ 1, eje x
√
i ) y = √x3 , 0 ≤ x ≤ 3, eje x
j) y =
√
4 − x2
−1 ≤ x ≤ 1, eje x
2. *Determine el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva y =
1 ≤ x ≤ 16 eje y.
R x p√
t − 1,
1
3. *Considere una esfera de radio r como una superficie de revolución, y demuestre que el
area de su superficie es A = 4πr2 .
4. * Un departamento de manufactura necesita saber cuánto esmalte asul debe tener disponible para producir 5000 sartenes (ver fig 1).¿Qué les dirı́a?
5. *Por medio de planos paralelos separados una distancia h, se corta, de una esfera de radio
R, la banda sombreada que se muestra en la figura 2. Demuestre que el área de la superficie
de la banda es 2πRh
3.2.1.
Centros de masa- Centroide
1. Encuentre el centroide de las siguientes regiones acotada por las curvas
e) y = −x2 + 2x y 16x = y 2
a) *y = cos x, y = 0, x = 0 y x = π/2
b) y = x y y = x2
f ) y = −x y x2 + y 2 = 1
c) y = 4 − x2 y y = x2
√
√
d ) *y = x y x = y
g) *x = 4 − y 2 y y = x + 2
17
2. * La placa triangular que se muestra en la fig 1 tiene una densidad constante de
ρ = 3g/cm3 . Determinar
(a) el momento, My , de la placa respecto del eje y.
(b) la masa, m, de la placa.
(c) la coordenada x̄ del centro de masa de la placa.
Fig 1
3. Usando el teorema de Pappus, halle los volumenes de los sólidos que se general rotar las
regiones limitada por las siguientes curvas
a) y = x2 , x = −y 2 alrededor de la recta x + y = 3.
b) *y = x3 , x = y 3 alrededor de la recta x + y = 2.
√
c) *y = −x2 + 2x, y = −4 x alrededor de la recta: (a) x = 4, (b) y = 2, (c) y = x + 2.
d ) y = −x2 , y 2 = x alrededor de la recta y = −2x + 3.
e) y = 4x − x2 , 0 ≤ x ≤ 4 alrededor de la recta x = −1.
4. * Sea R una región cualquiera totalmente contenida en el tercer cuadrante de área 10
3 y
tal que su centroide se encuentra sobre la recta
y
=
x.
si
el
volumen
del
solido
generado
√
al girar R respsecto a la recta y = −x es 20 2. Halle
a) El centroide de R.
b) Momento respecto al eje x de R.
c) Volumen del solido generado al rotar respecto a la recta y = 1.
18