Factorización QR de matrices m × n

6.4
Factorización QR de matrices m × n
Sea A una matriz real m × n cuyo rango es igual a n. Esto es equivalente a decir que las
n columnas de A, a1 , . . . , an , son vectores linealmente independientes de Rm . Si aplicamos el
proceso de Gram-Schmidt al sistema formado por las columnas de A, obtendremos una base
ortogonal
{ u1 , . . . , u n }
del espacio columna de A. Pero además, en cada paso del proceso hemos obtenido una base de
la forma
{ u 1 , . . . , u k , a k +1 , . . . , a n }
en la que los vectores u1 , . . . , uk generan el mismo subespacio de Rm que las primeras k columnas de A, a1 , . . . , ak . En otras palabras: cada ak es una combinación lineal de los k primeros vectores
de {u1 , . . . , un }:
 
r1k
 .. 
 . 
 
rkk 

ak = r1k u1 + · · · + rkk uk + 0uk+1 + · · · + 0un = [u1 . . . un ] 
0
 
 . 
 .. 
0
y además el coeficiente rkk es distinto de cero (de lo contrario, ak sería linealmente dependiente de
las anteriores columnas de A) y puede elegirse el signo de uk de forma que rkk sea positivo.
Los coeficientes de esta combinación lineal forman, pues, la columna k-ésima de una matriz
inversible triangular superior,


r11 r12 . . . r1n
 0 r22 . . . r2n 


R= .
..
..  ,
..
 ..
.
.
. 
0
0
...
rnn
con los elementos diagonales positivos y que, junto con la matriz Q = [u1 . . . un ] verifica
(1)
En el caso especial de que en el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, hemos normalizado el vector obtenido en cada paso (dividiéndolo por su norma de forma que la base obenida,
{u1 , . . . , un }, es una base ortonormal de Col A), esta factorización de la matriz A se conoce como
la factorización QR.
La matriz Q de la factorización QR es una matriz ortogonal, esto es, sus columnas u1 . . . un
forman un sistema ortonormal. Debido a que todos los productos escalares ui ·u j = uTi u j son
1
Versión de 11 de diciembre de 2016, 11:06 h.
A = QR.
iguales a cero si i 6= j e iguales a 1 si i = j, tenemos


uT1
u1 · u1
 .. 
 ..
T
Q Q =  .  [ u1 . . . u n ] =  .
u n · u1
uTn

...
..
.
...
 
u1 · u n
1
..  =  ..
.  .
un · un
0
...
..
.
...

0
..  = I .
n
.
1
Esta es la propiedad característica de las matrices ortogonales.
La factorización QR de una matriz es la única factorización de A como producto de una matriz
ortogonal por una matriz inversible triangular superior con todos los elementos de la diagonal positivos.
Debido a la propiedad característica de las matrices ortogonales, la matriz R de la factorización QR de A se puede calcular de forma sencilla a partir de Q y de A ya que de (1),
multiplicando por la izquierda por QT obtenemos:
R = QT A.
Ejemplo:
En la sección anterior aplicamos el método
lumnas de la matriz

1
1
A=
1
1
y obtuvimos:

1/2
1/2
Q=
1/2
1/2
de Gram-Schmidt para ortonormalizar las co
0 0
1 0

1 1
1 1
√

−3/√12
√0
1/√12 −2/√6

1/√6
1/√12
1/ 12
1/ 6
En consecuencia,

1/2
√
R = QT A = −3/ 12
0
1/2
√
1/ √
12
−2/ 6
1/2
√
1/ √
12
1/ 6

 1
1/2
√
1
1/ √
12  
1
1/ 6
1
0
1
1
1


0
2
3/2
√

0 
0
3/
12
=

1
0
0
1

1
√
2/ √12 .
2/ 6
Como todos los elementos de la diagonal son positivos, hemos encontrado la factorización QR.
Si alguno de los elementos de la diagonal hubiese resultado negativo, habría que cambiar de
signo a todos los elementos de su fila y hacer lo mismo con la correspondiente columna de Q.
2