p b) Dado b = ( ~), indicar si b pertenece al espaciocolumna de A
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p b) Dado b = ( ~), indicar si b pertenece al espaciocolumna de A
Parcial Módulo 2do. Matemática ,J C\) . p (J> 1.- Dada la matriz A = (~ ~1 2 -4 Y una base del espacio columna. ~) 1 e (12/07/2010): Tema 2 )-Ua a) Determinar el rango de la matriz, una base del spacio fila b) Dado b = ( ~ ), indicar si b pertenece al espaciocolumna de A, justificando la respuesta. :L{ c) f) Hallar la dimensión del espacio nulo de A y una base del mismo. d) Si EN es una base del espacio nulo de A y BF una base del espacio fila de A, es ENUEF base de 3{3? Justificar la respuesta. o una ,J 2. a) Dar una expresión explícita para la proyección ortogonal de un vector genérico v = (x, y) sobre el vector s = (1,1) (lr~b) En particular para v = (1,3),determinar la proyeccion de v sobre s y la distancia mínima de v a "~ la recta que pasa por el origen en la dirección del vector s. e) Sea P : R2 -+ R2 la transformación que proyecta un vector v E R2 ortogonalmente sobre \) s = (1, 1).Mostrar que P es una transformación lineal y hallar su representación matricíal en la base canónica de R2. (0 3. (a) Dada una matriz A, O . ~:t:: '.' O Yp::~::r A E 3{nxn, dar la definición de los autovalores de la ~. ~ 1 ), indicar, justificando mediante resultados 1 -l· O teóricos: ., bl ) Si los autovalores de A serán todos reales y si A tendrá una autovalor nulo b2) Si A será diagonalizable y si existirá una base ortogonal de 3{3, formada por autovectores de A. (e) Hallar los autovulores de A Y-ias bases de los correspofídientes aiitóéspacios. indicar si existen matrices S y D, con D diagonal de 3 x 3, tales que A = SDS-1, hallándolas en caso afirmativo. 4. a) Utilizando ~:::il:c::triz y autovectores resultados A = (~ previos, determinar dx / dt ) ( x +z ) dy/dt = y - z . ( dz/dt x - y b) Hallar la solución general de la ecuación y" la solución general del sistema de ecuaciones difer- enciales.. + 2y' + Y = et + 2. 5. (8.) Sea z el número complejo z = (1 + i)//2. Hallar la representación expresión para el número 1/ z y para ZlO. (b) Dada la matriz simétrica A = [ ~l (b l ) Localizar los autovalores se encuentran. ~: ~l polar de z y dar una 1 de A, usando el teorema de Gershgorin, y explicar en cuál intervalo (b2) Dar una expresión para las normas IIAlb'y IIA-1112 de una matriz A de ti x n real y simétrica. En particular, hallar las normas IIAII2 y IIA-11l2 de la matriz A dada(Ayuda: los autovalores son Al = 2.59,A2 = 4.00, A3 = 5.41) de Cholesky para llevarla a la forma A = RT R?, ¿ cuáles condiciones debe cumplir esta matriz A para poder realizarla? Explicar como son los factores R y RT y como se calcula R. (c) ¿Es posible aplicar la descomposición o \. ~~~ P~dJ 7é~ 0) 2, (d~:_~ ~~ (11~) kÁ~ (el) (~ ¿ -; -4 ef~ ~)~ (~ \0 ;t -:::::=. (~ ~& -~ (0 -;¿ -A W I (D} ~W{ C3-f ~ ~ i ~) - O j) O 8!-~1UJ{~} ó "r:: ¡;¿, =} (~rW1 j cko~f) r~~(A)~Z (!~j :-4) ~ (~ ~ _Zt¿)::. (6 ~L~) ,) ~ ~! \ ot \ O) AT.•.. ) 2 O A -~ A ~~~~ \lD ~) p b €o b ~ (~) (}) = ~ [~ O O O (4)~ I ? LU.*- p C{) ~~~ -A = 2,6 2.z~_13 ...A _.a p :A-GcXf-¡ 5 2= 2e>l- S%.:4 _~ ~z::.;1-P ~ --z> ~pz_~ 2- )-p-,6--z 4ft A - 4~-){) S?! 3 +:2 1 ) X-Ji i1'C. D Lyi?:--e.o -k '1 - Yz Ze.o-t 1 c¿r ( . N~)~ - \(~~L)} \(=~)} bwN= cb(MAJ)" l - - I lO) ~ U$NU~:\(-;) (1l{~)f I olA '(}\ ; lA 1 '~:t).¡ ¿11- o __ ¡.l' fM?M 1 I - --1i- --'" d ~Iu-~Ef G ""'º éJ~ ""'&.,.').!.<.D r )j (b) cD~·. Al:. ~o o-1 -A --1\ O A ~c.v.-c:;. ~ ~ V}u' ~ lAA-~ -< MA ~~ • ~Io - t i. ~~ -ee, 1) 4 ~Á.'j -z ~~ Cdl. ~ c:L~.J;- ~ = -l:.. (b ) ,L ~ oU~~J 5-4 !l 'S ~1JC..b I . c.:". ~"'" &.~~ un-t ~Q(1 Jr1, \ \" z_-t- 2:y- t- -.{= o lr+Afzo ~ z.- - ~--- - ~-r N L. rQllJ ,.,~ \(? d~~O i. ie . ~~--:-----:-~ 7; s, '" .A "~ -0.----;.--;.- 1 , c;:P ~ e[.~ 1- " ~t J 'l. ~ " ----\._ (...L!lUI__ :e -? io_ tl ~ J t;y. chlok. ffi~~b .~ r -r<; r'..,(J~f ~ e.- ¡~ -.: UD j y: e.,~J%-. t,/'~ \~ \ = fr0+ l o» 51J{ t i.. ~ (}1M ;J2¡) J}, \A - Q¡X I ~ ,Z o.~I 1 V~ L-=fj ~Qu.~ -11 mC%? I ctv"c:..o d-.Q I ec) -: I ~óq )) 2SL \nY-~ ~~c:..D ~W. A-;t1 ., R ll'O "() 1,U f { .~ (...\ll, f"'" ( h 'v ../\ Ti f"- l v oc5 ~Ít I : 7 j2 .}¡. 11 r'¡ 7,TI ri}1 ~-- ( r- , ~'-~ 7",.. r <2"- 9. :~ (=~ \) I \ ("1 ..J..' , I ? ¿ 1 ~ ,v ~/\j' U r \ y- " r f) O) t -{h ¿' -Z t y IZ.-\ "1-"-1 y': ~y- \1" G ",,--- Z t -r\ 'l, -= ~ ~'¿.\ 'i 1 ' h tf X ' ~/ r t /1 o/y -1q (-lC-z -~/ r -- , "1 ~ ' I r " I'i'i .1/'1- "vv')r: - ) C' o •6- \1A '(:,.>-u \- ~ " ).~'fiJ l' 6 ~ z:-. r r ( '( J ! L• I 0h ~ y I z. ~ ~ Ví ... =z. ~ ( J C'~ r-'" ~ *fJ ?-I''':J';' I ?<J T,K' ' ,po. x ~,{ y ~_ x I l· i.t: )_t t» ) 1 t r -, 1 \ ,7 , r¿ 1 , !) -..=~-i- -~.....---?X: 1-/ 1 (~)"2 2t~) 1 t 1.... -.:lit 'x 1't::6l"""J , r-:' '*¡=, :;:) - b2I .'"-¡~~ v r l' /( t. \( I '~-:>A- <....:.... .-yy-- x. -+ 7;>(; \ 11;(,.:;.. { ':x.. .~ ¿: ~ -t -\ \ t-í\- l \ ~ • I ""~Vl~. J""l =l-, r I I j ~ Z lL \"()l G ( ,