Autovalores y autovectores

Autovalores y autovectores
¿Qué son?... ¿Para qué sirven?...
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1
Hallar los autovalores y autovectores de cada una las siguientes matrices:
a)
3 0 


 8 −1
e)
2 
5 6


0 −1 − 8
1 0 − 2


f)
1 
− 2 0


− 6 − 2 0 
 19 5 − 4 


10 − 9 

b) 
 4 − 2
c)
− 2 − 7


2 
 1
 1 −1 0 


d)  − 1 2 − 1
 0 −1 1 


Ejercicio 2
 3 a  Calcular los valores de los parámetros a y b para que el vector (− 1 1) sea un

A = 
 − 1 b  autovector asociado al autovalor λ = 1 en la matriz A. ¿Cuál es el otro autovalor?
Ejercicio 3
 a −1 0 


(0 0 1) sea un autovector asociado al autovalor λ = 4 en la matriz A. A =  0 2 b 
 b c 4
¿cuáles son los otros autovectores asociados a dicha matriz?


Determinar los valores de los parámetros a, b y c para que el vector
Ejercicio 4
 1 4 2


Dada la siguiente matriz: B =  4 1 2 
 2 − 2 3


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Autovalores y autovectores
¿Qué son?... ¿Para qué sirven?...
a) Calcular los autovalores y autovectores asociados a la matriz B.
b) Aplicando propiedades, obtener los autovalores y autovectores de las matrices:
2 ⋅ B , B T y B −1 .
Ejercicio 5
Verificar si las siguientes matrices son diagonalizables. En caso afirmativo, encontrar la matriz
P / P −1 AP = D , siendo D la matriz diagonal.
 2 0 − 2


A = 0 3 0 
0 0 3 


 0 0 − 2


B = 1 2 1 
1 0 3 


Ejercicio 6
 a − 1 0  Encontrar el valor de a ∈ ℜ tal que λ = 3 sea un autovalor de


A = 0 3
0  multiplicidad 2. ¿Es diagonalizables la matriz? Justificar la respuesta. Si es
 0 0 − 5  diagonalizable, encontrar P / P −1 AP = D .


Ejercicio 7
Estudiar, en cada caso, para qué valores de a son diagonalizables las siguientes matrices.
a 2 2 


A =  0 0 − 2
0 1 3 


 1 a 0


B =  0 2 3
 0 0 1


Ejercicio 8
Calcular la potencia n - ésima de las siguientes matrices.
0 −1 0


A = 1 0 1
0 −1 0


 − 1 − 1 − 1


B =  − 1 − 1 − 1
 − 1 − 1 − 1


Ejercicio 9
La población activa de un país se clasifica en 3 categorías profesionales: técnicos superiores (x),
obreros especializados (y) y obreros no especializados (z).
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GIE
Grupo de Ingeniería y Educación
Así, en cada generación k la fuerza de trabajo del país está caracterizada por el número de
personas incluidas en las 3 categorías, es decir, x(k), y(k) y z(k). Suponiendo que:
■ Cada trabajador activo sólo tiene un hijo.
■ El 50% de los hijos de los técnicos superiores lo son también, el 25% pasa a ser obrero
especializado y el 25% restante es obrero no especializado.
■ Los hijos de los obreros especializados, se reparten entre las 3 categorías según los
porcentajes. 30%, 40% y 30%.
■ Para los hijos de los obreros no especializados las proporciones de reparto entre las
categorías son 50%, 25% y 25%.
a) Plantear en forma matricial un modelo que represente la distribución de la fuerza del trabajo
del país de generación en generación.
b) ¿Cuál será la distribución de los trabajadores a largo plazo independientemente de la
distribución inicial?
Ejercicio 10
Los informativos nocturnos de las cadenas de televisión WW y R7 compiten por la audiencia en la
misma franja horaria. Diversos estudios muestran que, el 60% de los telespectadores del
informativo WW lo siguen siendo el día siguiente, mientras que el 40% restante pasan a ver el de
R7. Además, de los espectadores del informativo de R7, el 70% continúan siéndolo el día después,
mientras que el otro 30% prefieren ver el de WW. Si se supone que la audiencia total permanece
constante y que hoy se han repartido la audiencia al 50%.
a) ¿Cuál será el porcentaje de espectadores del informativo mañana?
b) ¿Cuál será el porcentaje de espectadores que ve cada informativo al cabo de una semana?
c) ¿Cuál será el porcentaje que ve cada informativo el dia n-ésimo?
d) ¿Cuál será la distribución porcentual de espectadores en el futuro?
Ejercicio 11
Identificar y graficar cada una de las siguientes curvas:
a) 2 x 2 + 4 xy + 5 y 2 = 6
c) x 2 + 2 xy + y 2 − 4 = 0
b) − x 2 + 6 xy − y 2 = 1
d) x 2 − 2 xy + y 2 = 0
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Ejercicio 12
Encontrar el valor de k ∈ ℜ + para que la ecuación 2 x 2 + kxy + 8 y 2 +
50
5
+
1
= 0 represente
4
una parábola.
Ejercicio 13
Encontrar el valor de k ∈ ℜ para que la ecuación 25 x 2 + 10 xy + y 2 = k represente un par de
rectas paralelas que distan entre sí cuatro unidades.
Ejercicio 14
Una partícula se mueve en un campo de fuerza plano. Su vector posición x satisface x´ = A . x.
Hallar la función x(t) teniendo en cuenta que:
 4 − 5

− 2 1 
A = 
 2,9 

 2,6 
x0 = 
Ejercicio 15
Determinar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales que se muestra a continuación:
 dx
 dt = 3 x − 18 y

 dy = 2 x − 9 y
 dt
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