FUNDAMENTOS MATEM´ATICOS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Examen de Diciembre
(1 h)
EJERCICIO 1
1 de febrero de 2011
1. Se sabe que el endomorfismo f : R2 → R2 tiene dos autovalores, de valores 2 y 5. También se
conocen dos autovectores, asociados a los autovalores anteriores, y que tienen las expresiones
(0, 1) y (1, 1) respectivamente en la base B1 = {(1, 1), (1, −2)}.
Determinar la matriz del endomorfismo en la base canónica.
Solución:
FBc = CBA−Bc −1 ∗ FBA ∗ CBA−Bc
2 0
FBA =
0 5
CBA−Bc = CBc−BA −1
CBc−BA se obtiene, en columnas, con las expresiones de los vectores de BA (base de autovectores) según la base canónica
1 1
Para ello, se cambian de base los dos autovectores dados utilizando : CBc−B1 =
1 −2
0
1
v1 = CBc−B1 ∗
=
1
−2
1
2
v2 = CBc−B1 ∗
=
1
−1
1
2
Con lo cual: CBc−BA =
−2 −1
Y finalmente:
FBc = CBc−BA ∗ FBA ∗ CBc−BA
−1
=
6 2
−2 1
√
2. Sea la función f (x, y) = x2 + x y + ln(x − y 2 )
a) Determinar analı́tica y gráficamente el dominio de f . (4 puntos)
Solución:
√
y está bien definida si y ≥ 0
ln(x − y 2 ) está bien definida si x − y 2 > 0
Por tanto,
D = dom(f ) = (x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, x > y 2
0
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
x
2.5
3
3.5
4
b) ¿El conjunto dom(f ) es abierto? ¿Es cerrado? ¿Es compacto? Justificar las respuestas. (4
puntos)
Solución:
Int(D) = (x, y) ∈ R2 : y > 0, x > y 2 6= D. Por lo que D no es abierto.
D̄ = (x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, x ≥ y 2 6= D. Por lo que D no es cerrado.
Como D no es cerrado, no es compacto (tampoco es acotado).
c) Estudiar la diferenciabilidad de f en su dominio. (5 puntos)
Solución:
1
∂f
√
= 2x + y +
existe y es continua en todo punto del dominio de f .
∂x
x − y2
∂f
x
2y
existe y es continua en todo punto del dominio de f salvo los puntos
= √ −
∂y
2 y x − y2
(x, y) tales que y = 0.
En esos puntos (y = 0, x > 0):
√
∂f
f (a, t) − f (a, 0)
a2 + a t + ln(a − t2 ) − a2 − ln(a)
(a, 0) = lı́m
= lı́m
=∞
t→0
t→0
∂y
t
t
Entonces f es diferenciable en (x, y) ∈ R2 : y > 0, x > y 2
d) Calcular D~v f (2, 1) en la dirección del vector ~v = (1, 1) (5 puntos)
Solución:
~v
1 1
Comenzamos por hacer unitario el vector ~v : ~u =
= √ ,√ .
k~v k
2 2
1 1
5
D~u f (2, 1) = ∇f (2, 1) · ~u = (6, −1) · √ , √
=√
2 2
2